1、 微专题 68 圆锥曲线的离心率问题 离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面 也体现了参数, a c之间的联系。 一、基础知识： 1、离心率公式： c e a （其中c为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：0,1e （2）双曲线：1,+e 2、圆锥曲线中, ,a b c的几何性质及联系 （1）椭圆： 222 abc， 2a：长轴长，也是同一点的焦半径的和： 12 2PFPFa 2b：短轴长 2 :c 椭圆的焦距 （2）双曲线： 222 cba 2a：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值： 12 2PFPFa 2b：虚轴长 2 :c 椭圆的焦距 3、求离心率的方
2、法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数, ,a b c的比例关系（只需找 出其中两个参数的关系即可） ，方法通常有两个方向： （1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形） ， 那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距。从 而可求解 （2） 利用坐标运算： 如果题目中的条件难以发掘几何关系， 那么可考虑将点的坐标用, ,a b c进 行表示，再利用条件列出等式求解 2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑： （1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围 有要
3、求。如果问题围绕在“曲线上存在一点” ，则可考虑该点坐标用, ,a b c表示，且点坐标的 范围就是求离心率范围的突破口 （2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的 值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于, ,a b c的不等式，进而解出离心率 注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：0,1e，双 曲线：1,+e 二、典型例题： 例 1：设 12 ,F F分别是椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段 1 PF的中点在y轴上，若 12 30PFF，则椭圆的离心率为 （ ） A 3 3
4、B 3 6 C 1 3 D 1 6 思路： 本题存在焦点三角形 12 PFF， 由线段 1 PF的中点在y轴 上，O为 12 FF中点可得 2 PFy轴，从而 212 PFF F，又因为 12 30PFF，则直角 三角形 12 PFF中， 1212 :2:1:3PFPFFF ，且 1212 2,2aPFPFcFF，所 以 12 12 23 23 FFcc e aaPFPF 答案：A 小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O为 12 FF中点是一个隐含条件，如果图中存 在其它中点，则有可能与O搭配形成三角形的中位线。 例2： 椭圆 22 2 1 02 3 12 xy b b 与渐近线为20 xy的双曲
5、线有相同的焦点 12 ,F F,P 为它们的一个公共点,且 12 90FPF,则椭圆的离心率为_ 思路：本题的突破口在于椭圆与双曲线共用一对焦点，设 12 2FFc，在双曲线中， 1 :2:1:5 2 b abc a ， 不 妨 设P在 第 一 象 限 ， 则 由 椭 圆 定 义 可 得 ： 12 4 3PFPF，由双曲线定义可得： 12 4 2 5 PFPFac，因为 12 90FPF， 22 2 12 4PFPFc而 22 22 1212 12 = 2 PFPFPFPF PFPF 代入可得： 2 2 16 48810 5 c cc 30 6 c e a 答案： 30 6 小炼有话说：在处理
6、同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线 的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。 例 3：如图所示，已知双曲线 22 22 10 xy ab ab 的右焦点为F，过F的直线l交双曲线 的渐近线于,A B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的 2 倍，若2AFFB，则该 双曲线的离心率为（ ） A. 3 2 4 B. 2 3 3 C. 30 5 D. 5 2 思路： 本题没有焦半径的条件， 考虑利用点的坐标求解， 则将所涉及的点坐标尽力用, ,a b c 表 示，再寻找一个等量关系解出, ,a b c 的关系。双曲 线的渐近线方程为 b yx a ，由直线l的倾斜
7、 角 是 渐 近 线OA倾 斜 角 的2倍 可 得 ： 222 2 2 2 1 OA b ab a k bab a ，确定直线 l 的方程为 22 2ab yxc ab ，与渐近线联立方程得 22 2222 2 22 3 ab yxc abcabc ab yor y babab y a 将2AFFB转 化 为 坐 标 语 言 ， 则2 AB yy ， 即 2222 22 2 3 abcabc abab ， 解 得 :3 : 1 : 2abc ，从而 2 3 3 e 答案：B 例 4： 设 21 FF，分别为双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左、 右焦点， 双曲线上
8、存在一点P使 得, 4 9 | ,3| 2121 abPFPFbPFPF则该双曲线的离心率为 A. 3 4 B. 3 5 C. 4 9 D.3 思路：条件与焦半径相关，所以联想到 12 2PFPFa，进而与 , 4 9 | ,3| 2121 abPFPFbPFPF找到联系，计算出, a b的比例，从而求得e 解： 12 2PFPFa 22 121212 4PFPFPFPFPFPF 即 2222 9499940baabbaba 2 9940 bb aa 解得： 1 3 b a （舍）或 4 3 b a : :3:4:5a b c 5 3 c e a 答案：B 例 5：如图，在平面直角坐标系xOy
9、中， 1212 ,A A B B为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的四个 顶点，F为其右焦点，直线 12 AB与直线 1 B F相交于点 T，线段OT与椭圆的交点M恰为线 段OT的中点，则该椭圆的离心率为 . 思路：本题涉及的条件多与坐标有关，很难联系到参数的几何意 义， 所以考虑将点的坐标用, ,a b c进行表示， 在利用条件求出离心。 首先直线 121 ,AB BF的方程含, ,a b c，联立方程后交点T的坐标可 用, ,a b c进 行 表 示 （ 2 , b acac T acac ） ， 则OT中 点 , 2 b acac M acac ，再利用M点在椭圆上即可求出
10、离心率e 解：直线 12 AB的方程为：1 xy ab ； 直线 1 B F的方程为：1 xy cb ，联立方程可得： bxayab cybxbc 解得： 2() (,) ac b ac T acac ， 则 () (,) 2() acb ac M acac 在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上， 22 222 22 () 1,1030,1030 ()4() cac cacaee acac 解得：2 75e 答案：2 75e 例 6： 已知 F 是双曲线 2 22 1 x ab 2 y 0,0ab的左焦 点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于,A B两点，
11、若ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为 （ ） A 1, B 1,2 C 1,12 D 2,12 思路：从图中可观察到若ABE为锐角三角形，只需要AEB为锐角。由对称性可得只需 0, 4 AEF 即可。且,AF FE均可用, ,a b c表示，AF是通径的一半，得： 2 b AF a ， FEac，所以 2 tan1 AFb AEF FEa ac 22 112 caca e a aca ， 即1,2e 答案：B 小炼有话说： （1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的 问题转变为边的比值问题 （2）本题还可以从直线AE的斜率入手， 2 ,0 , b
12、 E aAc a ，利用1,0 AE k 即可求出 离心率 例 7：已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左、 右焦点分别为 12 ,0 ,0FcF c，若椭圆上存在点P使 1221 sinsin ac PFFPF F ，则该椭圆的离心率的取值范围为 （ ） A. 0, 21 B. 2 ,1 2 C. 2 0, 2 D. 21,1 思路： 1221 ,PFFPF F为焦点三角形 12 PFF的内角，且对边为焦半径 21 ,PFPF，所以利 用正弦定理对等式变形： 1221 sinsin ac PFFPF F 1 21 122 sin sin PFPF Fcc PFFaPFa ，再由
13、21 2PFPFa解得： 2 2 2a PF ac ，再利用焦半径的范围为,ac ac可得（由于依 题 意 ，P非 左 右 顶 点 ， 所 以 焦 半 径 取 不 到 边 界 值,ac ac）： 22222 2 2222 22 22210 acaaca acac acaaaccee ，解得 21,1e 答案：D 例 8：已知 12 ,F F是椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 的左右焦点，若椭圆上存在点P，使得 12 PFPF，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. 5 ,1 5 B. 2 ,1 2 C. 5 0, 5 D. 2 0, 2 思路一：考虑在椭圆上的点P与焦点连线所成的角中
14、，当P位于椭圆短轴顶点位置时， 12 FPF达到最大值。所以若椭圆上存在 12 PFPF的点P，则短轴顶点与焦点连线所成的 角90，考虑该角与, ,a b c的关系，由椭圆对称性可知， 2 45 2 OPF ，所以 2 2 tan1 OFc OPF OPb ，即 22222 cbcbcac，进而 2 2 1 2 c a 即 2 1 2 e ， 解得 2 2 e ，再由0,1e可得 2 ,1 2 e 思 路 二 ： 由 12 PFPF可 得 12 90FPF， 进 而 想 到 焦 点 三 角 形 12 FPF的 面 积 ： 12 22 12 tan 2 F PF FPF Sbb ， 另 一 方
15、面 ： 12 12 1 2 F PFPP SFFycy， 从 而 2 2 PP b cyby c ，因为P在椭圆上，所以, P yb b ，即 2 P b ybbc c ， 再同思路一可解得： 2 ,1 2 e 思路三： 12 PFPF可想到 1 2 0PFPF，进而通过向量坐标化，将数量积转为方程。设 12 ,0 ,0P x yFcF c，则有 12 ,PFcxyPFcxy ，则 222 1 2 0PFPFxyc，即P点一定在以O为圆心，c为半径的圆上，所以只需要该 圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径rb时才可有交点，所以cb，同思路一 可解得 2 ,1 2 e 注：本题对P在圆上也
16、可由 12 PFPF判定出P在以 12 FF为直径的圆上，进而写出圆方程 思路四：开始同思路三一样，得到P所在圆方程为 222 xyc，因为P在椭圆上，所以联 立圆和椭圆方程： 222222 222 b xa ya b xyc 代入消去x可得： 2222222 bcya ya b，整理 后可得： 4 2242 2 b c yby c ，由,yb b 可得： 4 22 2 b ybcb c ，同思路一即可 解得： 2 ,1 2 e 答案： 2 ,1 2 e 小炼有话说：本题的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同 的结论得到不同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点
17、数形结合去解还是通过坐 标方程用代数方式计算求解 例 9：设点 12 ,A A分别为椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左右焦点，若在椭圆上存在异于点 12 ,A A的点P，使得 2 POPA，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（ ） A. 1 0, 2 B. 2 0, 2 C. 1 ,1 2 D. 2 ,1 2 思路： 本题取值范围的突破口在 “椭圆上存在点P” ， 则P的横纵坐标分别位于 ,a ab b 中，所以致力于计算P的坐标，设 00 ,P x y，题目中 2 ,0A a，由 2 POPA可得P也在以 2 OA为 直 径 的 圆 上 。 即 2 2 2 24 aa
18、 xy ， 所 以 联 立 方 程 ： 2 2 2 2 22 2 22 22 24 10 1 aa xy b xaxb a xy ab ，即 2 22 2 0 c xaxb a ，由已知可得 2 ,0A a也是圆与椭圆的一个交点，所以由韦达定理可得： 222 00 22 a bab axx cc ，再根据 0 x的范围可得： 2 222222 2 1 2 ab aabcacce c ，解得 2 ,1 2 e 答案：D 小炼有话说：本题运用到了一个求交点的模型：即已知一个交点，可利用韦达定理求出另一 交点，熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标 例 10：如图，已知双曲线)0, 0( 1 2
19、2 2 2 ba b y a x 上有一点A，它关于原点的对称点为B， 点F为双曲线的右焦点， 且满足BFAF ， 设A B F， 且 6 , 1 2 ， 则该双曲线 离 心率e的取值范围为（ ） A32 , 3 B 13,2 C32 ,2 D 13, 3 思路：本题与焦半径相关，所以考虑, a c的几何含义，BFAF 可得ABF为直角三角形， 且22ABOFc，结合ABF可得2 sin ,2 cosAFcBFc，因为,A B关 于原点对称，所以AF即为B的左焦半径。所以有22cossinaBFAFc， 则 211 2cossin 2cos 4 c e a ，即关于的函数，在 6 , 12 求
20、值域即 可： 5621312 ,cos,2cos, 4312442422 ，所 以2, 31e 答案：B 三、历年好题精选 1、已知双曲线已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab ，M，N是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上关于原点对称的两点，P是双是双 曲线上的动点，直线曲线上的动点，直线PM，PN的斜的斜率分别为率分别为 1212 ,(0)k k k k，若，若 12 kk的最小值为的最小值为1， 则双曲线的离心率为（则双曲线的离心率为（ ） A2 B 5 2 C 3 2 D 3 2 2、 （2016，新，新余一中模拟）已知点余一中模拟）已知点A是抛物线是抛物线 2 4x
21、y的对称轴与准线的交点，点的对称轴与准线的交点，点B为抛物为抛物 线的焦点，线的焦点，P在抛物线上且满足在抛物线上且满足PAm PB，当，当m取最大值时，点取最大值时，点P恰好在以恰好在以,A B为焦为焦 点的双曲线上，则双曲线的离心率为（点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ） Ox y A B F A. 21 B. 21 2 C. 51 2 D. 51 3 3、已知已知 12 ,F F分别是双曲线分别是双曲线 22 22 10 xy ab ab 的左、右焦点，过点的左、右焦点，过点 1 F且垂直于且垂直于x轴的轴的 直线与双曲线交于直线与双曲线交于,A B两点，若两点，若 2 ABF是钝角三
22、角形，则该双曲线离心率的取值范围是是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 （ ） A A 21, B B 21, C C 1, 12 D D 31, 4、设设 12 ,F F分别是双曲线分别是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左右焦点，若双曲线左支上存在一点的左右焦点，若双曲线左支上存在一点 M，使得，使得 11 0FMOMOF，O为坐标原点，且为坐标原点，且 12 3 3 MFMF，则该双曲线的离，则该双曲线的离 心率为（心率为（ ） A. 31 B. 31 2 C. 62 D. 62 2 5、 （2016 四川高三第一次联考） 椭圆四川高三第一次联考） 椭圆 22 22
23、 10 xy ab ab 和和 圆圆 2 22 2 2 bt xyc ， （， （c为椭圆为椭圆的半焦距）对任意的半焦距）对任意1,2t恒有四个交点，则椭圆的离心恒有四个交点，则椭圆的离心 率率e的取值范围为（的取值范围为（ ） A. 4 0, 5 B. 4 ,1 5 C. 17 0, 17 D. 17 4 , 175 6、如图如图，内外两个椭圆的离心率相，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆同，从外层椭圆顶点向内层椭圆 引切线引切线,AC BD，设内层椭圆方程为，设内层椭圆方程为 22 22 10 xy ab ab ，外层，外层 椭圆方程为椭圆方程为 22 22 10,1 xy
24、 abm mamb 若若,AC BD的斜率之积为的斜率之积为 9 16 ，则椭圆的离，则椭圆的离 心率为心率为_ 7、 （2015，新课标，新课标 II）已知）已知,A B为双曲线为双曲线E的左右顶点的左右顶点，点点M在在E上上，ABM为等腰三角为等腰三角 形形，且顶角为且顶角为120，则则E的离心率为的离心率为（ ） A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 8、 （2016，宜昌第一中学，宜昌第一中学 12 月考）月考）已知双曲线已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点分别的左、右焦点分别 为为 12 ,F F， 点， 点M在双曲线的左支上， 且在双曲线的左支上， 且
25、 21 7MFMF， 则此双曲线离心率的最大值为 （， 则此双曲线离心率的最大值为 （ ） A 4 3 B 5 3 C 2 D 7 3 9、 （2015，山东）平面直角坐标系，山东）平面直角坐标系xOy中中，双曲线双曲线 22 1 22 :10,0 xy Cab ab 的渐近线与的渐近线与 抛物线抛物线 2 2: 20Cxpy p交于点交于点, ,O A B，若若OAB的垂心为的垂心为 2 C的焦点的焦点，则则 1 C离心率为离心率为 _ 10、 （2014，湖北）已知，湖北）已知 12 ,F F是椭圆和双曲线的公共焦点是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点是它们的一个公共点，且且 1
26、2 3 FPF ，则椭圆和双曲则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A. 4 3 3 B. 2 3 3 C. 3 D. 2 11、 （2014，浙江）设直线，浙江）设直线300 xymm与双曲线与双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的的 两条渐近两条渐近线分别交于点线分别交于点,A B，若点若点,0P m满足满足PAPB，则该双曲线的离心率则该双曲线的离心率 是是_ 解得： 习题答案： 1、答案：B. 解析：设),(),(),(tsPqpNqpM，则1, 1 2 2 2 2 2 2 2 2 b t a s b q a p ， 两式相减得:
27、2 2 22 22 b a tq sp ， 而 222 12 222 2 2221 qtqtqtqtqtbb kk pspsps pspsaa ，则 2ba， 22222222 55 44454 42 bacaaacee. 2、答案：A 解析：由抛物线方程可得：0, 1 ,0,1AB，过P作准线的垂线，垂足为M，所以 PBPM，所以 1 sin PA m PBPAM ，可知m取得最大值时，PAM最小，数形结合 可知当AP与抛物线相切时，PAM最小。设:1AP ykx，联立方程 2 4 1 xy ykx ，即 2 440 xkx， 则01k， 此 时2, 1P， 则22 ,2P AP B， 所
28、以 222221aP AP Ba，则 1 21 21 c e a 3 3、解析： 2 ABF为钝角三角形，且 2221 ,45AFBFAF F 即 112 AFFF， 2 22 220 b ccaac a 即 2 21012eee 答案：B 4、答案：A 思路：已知条件与焦半径相关，先考虑焦点三角形 12 MFF的特点，从 11 0FMOMOF 入 手 ， 可 得 11 FMOMOF， 数 形 结 合 可 得 四 边 形 1 OMPF为 菱 形 ， 所 以 12 OMOFOF，可判定 12 MFF为直角三角形。 1212 :3:33 ,3MFMFMFk MFk，可得 22 1212 2 3FF
29、MFMFk 12 21 22 3 31 233 FFck e aMFMFkk 5、答案：B 解析：由椭圆与圆有四个不同的交点，则 2 2 2 2 bt ca bt cb 对任意1,2t恒成立，即 2 2 2 bca b cb ，平方变形后可得： 2 2 222 540 5404 ,1 1 5170 17 ee cac e eac 6、答案： 7 4 解析： 设切线AC的方程为 1 yk xma， 切线BD的方程为 2 yk xmb， 联立切线AC 与内层椭圆方程，得： 1 222 ykxma bxayab ，所以 22223224222 111 20ba kxma k xm a ka b，由0
30、 可得： 2 2 1 22 1 1 b k am ，同理 2 22 2 2 1 b km a ，所以 42 22 121 2 42 9 16 bb k kk k aa : :4:3:7a b c 。即 7 4 e 7、答案：D 解析：设双曲线方程为 22 22 10,0 xy ab ab ，如 图所示：2 ,120BMABaABM， 过点M作 MNx轴于N，在RtBMN中， ,3BNa MNa，所以 2 , 3Maa，代入双曲 线 方 程 可 得 ： 2 2 22 3 2 1 a a ab 可 得 ： 1:1:1:2 a a b c b ，从而2 c e a 8、答案：A 解析：由双曲线可知
31、211 62MFMFMFa，所以 1 3 a MF ，因为点 1 MFca， 即 3 a ca，所以 4 3 c a ，即最大值为 4 3 9、答案： 3 2 解 析 ： 由 1 C方 程 可 得 其 渐 近 线 方 程 为 b yx a ， 与 抛 物 线 联 立 可 解 得 交 点 22 22 2222 (,), (,) pbpbpbpb AB aaaa ，抛物线的焦点坐标为 ,0 2 p 2 22 2 2 4 2 2 4 0 AF pbp ba a k pb ab a ，由AFOB及 OB b k a ，可得： 22 4 4 baa abb ， 即 22222 44:5:4baaba，从
32、而 22 :9:4ca ，所以 3 2 e 10、答案：A 解析：设椭圆半长轴长为 1 a，双曲线半实轴长为 2 a ，椭圆，双曲线离心率分别为 12 ,e e 不妨设P在第一象限 由双曲线与椭圆性质可得： 121122 2 ,2PFPFa PFPFa 由余弦定理可得： 222 12121212 2cosFFPFPFPF PFFPF 22 1212 PFPFPF PF 代入 22 22 22 12121212 1 2 2 PFPFPFPFPFPFaa 22 22 12121212 1 4 PF PFPFPFPFPFaa 可得： 222 12 22 12 13 434caa ee 由柯西不等式可得： 2 22 12 12 22 12 1111 13 4=+ 11 1 1 33 eeee ee 12 114 3 3ee 11、答案： 5 2 解析： 双曲线的渐近线方程为： b yx a ， 分别联立方程： 33 , xymxym bb yxyx aa 可解得： , 3333 mabmmabm AB ababababa AB中点 22 2222 3 , 99 mamb D baba PDAB 2 22 222 2 22 3 0 9 333 29 9 PD mb ba kbab ma m ba 22 42abab 2222 55cabbcb 5 2 c e a
