1、 微专题 71 求曲线（或直线）的方程 一、基础知识： 1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多 （例如斜率，焦距，半轴长，半径等） ，那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的 值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算， 那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替） ，从而该方程便可参与题目中 的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。可以说两个方向各有侧重，一个倾 向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理 2、所学方程中字母的几何意义 （1）直线：
2、：斜率； 00 ,x y：直线所过的定点 （2）圆：, a b:圆心的坐标； :r圆的半径 （3）椭圆：2a：长轴长，焦半径的和；2 :b 短轴长；2c：焦距 （4）双曲线：2a：实轴长，焦半径差的绝对值；2 :b 虚轴长；2c：焦距 注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着, ,a b c展开，通过这些条件也可以求出, ,a b c 的值，从而确定曲线方程。例如（椭圆与双曲线共有的） ： 离心率： c e a ；通径（焦点弦长的最小值） ： 2 2b a 等 （5）抛物线：:p 焦准距 3、待定系数法中方程的形式： （1）直线与曲线方程通式： 直线：ykxm，xmyt 圆： 22 0 xy
3、DxEyF 椭圆： 标准方程： 22 22 10 xy ab ab （或 22 22 10 yx ab ab ，视焦点所在轴来决定） 椭圆方程通式： 22 10,0mxnymn 双曲线： 标准方程： 22 22 10,0 xy ab ab （或 22 22 10,0 yx ab ab ，视焦点所在轴决定） 双曲线方程通式： 22 10mxnymn 抛物线： 标准方程： 2 20ypx p等 抛物线方程通式： 2 ymx， 2 xmy （2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。曲线系方程的一 大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程，则将问题转化为利用条件求解参数，
4、让 解题目标更为明确，曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。常见的曲线系方程如下： 过相交直线 1111 2222 :0 :0 lAxB yC lA xB yC 的交点的直线系方程为： 12 0ll即 111222 0AxB yCA xB yC（其中为参数） 与直线0AxByC平行的直线系方程为：0AxBy（其中为参数） 与直线0AxByC垂直的直线系方程为：0BxAy（其中为参数） 过相交两圆 22 1111 22 2222 :0 :0 CxyD xE yF CxyD xE yF 交点的圆系方程为： 12 01CC 即 2222 111222 0 xyD xE yFxyD xE yF 若
5、直线:0l AxByC与圆 22 1: 0CxyDxEyF有公共点，则过公共点的 圆系方程为： 0Cl即 22 0 xyDxEyFAxByC 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线 22 22 1 xy ab 渐近线相同的双曲线系方程为： 22 22 0 xy ab 二、典型例题： 例 1：已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的长轴长为 4，若点P是椭圆C上任意一点，过原 点的直线与椭圆相交于,M N两点，记直线,PM PN的斜率分别为 12 ,k k，且 12 1 4 k k ，则 椭圆的方程为（ ） A. 22 1 164 xy B. 22 1 42 xy C. 2 2 1 4
6、y x D. 2 2 1 4 x y 思路：由已知可得2a ，所以只需利用条件 12 1 4 k k 求出的值即可，设 00 ,P x y， 11 ,M x y，则 11 ,Nxy。则 1010 12 1010 , yyyy kk xxxx ，从而 22 101010 1 2 22 101010 1 4 yyyyyy k k xxxxxx ，由分子分母平方差的特点及,M P在椭圆上联想到 点差法，得： 22 11 2 2222 1010 2 22 00 2 1 11 4 0 4 1 4 xy b xxyy bxy b ，所以 222 10 22 10 1 44 yyb xx 即 2 1b ，所
7、以椭圆方程为 2 2 1 4 x y 答案：D 例 2：椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为,A B，且 5 2 ABBF （1）求椭圆C的离心率 （2）若斜率为的直线过点0,2，且交椭圆C于,P Q两点，OPOQ，求直线的方程及椭 圆C的方程 解：（1）由椭圆方程可得：,0 ,0.,0A aBb F c 2222 ,ABabBFbca 5 2 ABBF 22222 55 24 abaaba 22 42abab :2:1:3a b c 3 2 c e a （2）由（1）可得椭圆方程为： 22 222 22 144 4 xy xyb bb 1122 ,
8、P x yQ x y，OPOQ 1212 0OP OQx xy y 由已知可得，直线的方程为22yx 联立方程： 222 22 44 yx xyb ，消去y可得： 2 22 4 2240 xxb，即： 22 17321640 xxb 2 1212 16432 , 1717 b x xxx 2 12121212 14 22224444 17 b y yxxx xxx 22 1212 16414 40 1717 bb x xy y ，解得：1b 经检验：当1b ，满足直线与椭圆有两个交点，所以符合条件 椭圆方程为 2 2 1 4 x y 例 3：已知直线:1lykx，椭圆 22 2 :10 9 x
9、y Em m ， （1）若无论为何值，直线与椭圆E均有公共点，试求m的取值范围及椭圆离心率关于m的 函数关系式 （2）当 10 3 k 时，直线与椭圆E相交于,A B两点，与y轴交于点M，若2AMMB， 求椭圆E的方程 解： （1）由:1lykx可知直线过定点0,1 l与E恒有公共点 0,1在椭圆上或椭圆内 2 2 01 11 9 m m 2 93mm m的范围为1,33,m 若 2 913mm ，则 222 9,abm 222 9cabm 2 9 3 cm e a 若 2 93mm，则 222 ,9am b 222 9cabm 2 9 3 cm e a 综上所述： 2 2 9 ,3 3 9
10、,13 3 m m e m m （2）由已知可得： 10 1 3 yx，0,1M 设 1122 ,A x yB x y 1122 ,1,1AMxyMBxy 2AMMB 12 12 2 121 xx yy 联立直线与椭圆方程可得： 22 2 10 1 3 1 9 yx xy m ，消去y可得： 2 222 10 919 3 m xxm ，整理后可得： 222 106 109 10mxxm 2 1212 22 9 1 6 10 , 1010 m xxx x mm 12 2xx 122 2 2 2 122 2 6 1 0 10 9 1 2 10 xxx m m x xx m 2 可得： 2 2 2
11、22 2 6 10 10 1720 91 2109 1 10 m m mm m 22 11080mm，即 42 9900mm，解得： 2 6m 或 2 15m （舍） 椭圆方程为 22 1 96 xy 例 4： 过点4,0A ， 向椭圆 22 22 10 xy ab ab 引两条切线， 切点分别为,B C， 且ABC 为正三角形，则ab最大时椭圆的方程为（ ） A. 22 4 1 43 xy B. 22 8 1 83 xy C. 22 3 1 44 xy D. 22 3 1 88 xy 思路：由题意可知本题确定, a b值的关键在于ab达到最大值时，, a b的取值，那么需要得到 关于, a
12、b的关系（等式或不等式） ，作出图形可知，若ABC为正三角形，则,AB AC的斜率 为 3 3 ，进而能够得到,AB AC的方程。以AB为例： 3 4 3 yx，与椭圆方程联立并 消元可得到： 2222222 381630abxa xaa b，所以 22 0316ab ，则考 虑利用均值不等式得到 8 3 0 3 ab，等号成立条件为 22 3ab，再结合 22 316ab即可 求出, a b的值，从而确定椭圆方程 解：依图可知：, 6 OAB 3 3 AB k AB的方程为： 3 4 3 yx ，联立方程： 222222 3 4 3 yx b xa ya b ，消去y： 2 22222 1
13、4 3 b xaxa b，整理后可得： 2222222 381630abxa xaa b AB与椭圆相切 2 222222 8431630aabaa b 44422224 646412192360aaa ba ba b即 422224 12192360a ba ba b 22 316ab 由均值不等式可得： 2222 32 32 3aba bab 8 3 2 316 3 abab （等号成立条件为： 22 3ab） ab的最大值为 8 3 3 ，此时 2 22 222 8 3 8 316 3 a ab bab 椭圆方程为： 22 3 1 88 xy 答案：D 例 5：已知点F是椭圆C的右焦点，
14、,A B是椭圆短轴的两个端点，且ABF是正三角形 （1）求椭圆C的离心率 （2） 直线与以AB为直径的圆O相切， 并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2 3， 求椭圆C 的标准方程 解： （1）设椭圆标准方程为 22 22 10 xy ab ab ，焦距为2c，由ABF是正三角形 可得：2ab，因为 222 abc 解得：: :2:1: 3a b c 3 2 c e a （2）由（1）可得椭圆的方程为： 222 44xyb， 设与椭圆C的交点为 1122 ,M x yN x y 若斜率不存在，可得弦长3MNb 若斜率存在，设: l ykxm，联立方程： 2222 222 41840 44 ykxm
15、 kxkmxmb xyb 22 1212 22 4 8 , 1414 mb km xxx x kk 222 22 12121 2 114MNkxxkxxx x ，整理可得： 22222 2 2 2 16 14 14 kbmk b MN k l与圆 222 xyb相切 222 2 1 1 m dbmbk k ， 代入到上式可得： 2 22 22 2 22 22 22 31 31 2 16164 1414 kk kk MNbb kk （等号成立条件： 22 2 31 2 kkk ） max 2MNb 2233bb 2 3a 椭圆方程为： 22 1 123 xy 例 6：设椭圆E的方程为 22 22
16、 10 xy ab ab ，点O为坐标原点，点A的坐标为,0a， 点B的坐标为0,b，点M在线段AB上，满足2BMMA，直线OM的斜率为 5 10 （1）求E的离心率 （2）设点C的坐标为0, b，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标 为 7 2 ，求E的方程 解（1）由M在线段AB上和2BMMA可得：2BMMA ,0 ,0,A aBb 1221 , 3333 OMOBOAab 5ab : :5:1:2a b c 22 5 55 c e a （2）由（1）中: :5:1:2a b c ，可设:155 5 xy ABxyb bb 由,0 ,0,A aCb可得： 51 , 22 N
17、bb ，设N的对称点 0 7 , 2 Nx 依题意可得： 0 0 517 222 55 22 71 22 5 5 2 b xb b xb 可解得：3b 3 5a 椭圆方程为 22 1 459 xy 1 5 3 2 210 3 OM b b k a a 例 7：已知椭圆 22 22 :10 xy Eab ab 的半焦距为，原点O到经过两点 ,0 , 0,cb的 直线的距离为 1 2 c （1）求椭圆的离心率 （2） 如图，AB是圆 225 :21 2 Mxy的一条直径， 若椭圆E 经过,A B两点，求椭圆E的方程 解 ：（ 1 ） 过 , 0,0 ,cb的 直 线 的 方 程 为 ： 10 xy
18、 bxcybc cb 22 1 2 O l bcbc dc a bc 11 22 b ba a ，由 222 abc可得： 2 2 22 2 3 24 ac ac a 3 2 c e a （2）由（1）可得：:2:1:3a b c 椭圆方程为： 22 222 22 144 4 xy xyb bb 由圆方程 225 21 2 xy可得： 10 2,1 , 2 Mr 设 1122 ,A x yB x y 12 12 42 2 10 210 xx xx AB ABr 设:21AB yk x，联立方程： 222 21 44 yk x xyb 消去y可得： 2 22 4214xk xb ，整理后可得：
19、2 222 148124 1240kxkk xkb 2 2 1212 22 8124 124 , 1414 kkkb xxx x kk 2 8121 4 142 kk k k 2 12 82x xb 22 2 121212 11 114 22 ABxxxxx x 2 102b 10AB 22 213bb 椭圆方程为： 22 1 123 xy 例 8：已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的两个焦点为 12 ,F F，其中一条渐近线方程为 2 b yx bN，P为双曲线上一点，且满足5OP ，若 1122 ,PFFFPF成等比数列， 则双曲线C的方程为_ 解： 1122 ,PFFF
20、PF成等比数列 2 2 121212 4FFPFPFcPFPF 由渐近线方程 2 b yx bN 可知：2a ，不妨设P在右支上 12 24PFPFa 2 22 121212 =216PFPFPFPFPFPF 即 22 2 12 816PFPFc 由中线定理可知： 2222 122 2PFPFOFOP 2 22 1682ccOP 即 2 2222 8383203OPcabb 5OP 22 5 20325 3 bb 由bN 可知 2 1b 双曲线方程为： 2 2 1 4 x y 答案： 2 2 1 4 x y 小炼有话说： 中线定理：已知AD为ABC中底边BC的中线，则有 2222 2ABACA
21、DBD，证明如下：在ADB中，由 余弦定理可知： 222 2cosABADBDADBDADB 同理，在ADC中，有： 222 2cosACADCDADCDADC ADBADC 且由D是BC中点可知：BDCD 可得： 22222 2ABACADBDCD，即 2222 2ABACADBD 例 9：（2014， 福建） 已知双曲线 22 22 :10,0 xy Eab ab 的两条渐近线分别为 1: 2lyx， 2: 2lyx （1）求双曲线E的离心率 （2） 如图，O为坐标原点， 动直线分别交直线 12 ,l l于,A B两点 （,A B分别在第一、 四象限） ， 且OAB的面积恒为 8，试探究：
22、是否存在总与直线有且只有一个公 共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在请说明理 由 解：（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为 b yx a 22 b ba a 2222 5caba D A B C 5 c e a （2）若直线不与轴垂直，设 1122 :,l ymxt A x yB x y 联立方程： 1 1 12 22 12 t x xmyt m yxt y m ，同理可得 1 1 12 22 12 t x xmyt m yxt y m 设直线与轴交于,0C t 12 1 2 OAB SOCyy即 22 122 8414 21212 tt ttm mm 由直线与渐近线的交点,A
23、 B分别在第一、四象限可知： 111 2 22 m m 2 140m 22 4 14tm 由（1）可得双曲线方程为： 22 22 1 4 xy aa 联立与双曲线方程： 2222 222 41840 44 xmyt mymtyta xya 因为与双曲线相切 2 222 816410mttam 整理可得： 222222 44 1401440m amama 所以 2 4a 双曲线方程为： 22 1 416 xy 存在一个总与相切的双曲线E，其方程为 22 1 416 xy 例 10：已知,A B分别为曲线 2 2 2 :10 x Cya a 与轴的左，右两个交点，直线过点B且与 轴垂直，P为上异于
24、点B的点，且P在第一象限，连结AP与曲线C交于点M （1）若曲线C为圆，且 2 3 3 BP ，求弦AM的长 （2）设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，若,O N P三点共线，求曲线C的方程 解：（1）若曲线C为圆，则可知1a 22 :1C xy 2 3 1,0 ,1,0 ,1, 3 ABP 2 3 3 3 113 AP k AP的方程： 3 1310 3 yxxy 2 2 11 2 13 OAP d 22 23 O AP AMrd （2）由已知可得：,0 ,0AaB a，设直线:AP yk xa ,2 yk xa P aak xa 联立直线与椭圆方程可得： 2 2 2 222 2 1 x
25、 y xkxaaa yk xa ，整理后可得： 22232422 120a kxa k xa ka 可知该方程的两根为：, AM xa x ，由韦达定理可得： 422 22 1 AM a ka x x a k 32 22 1 M aa k x a k 22 2 1 MM ak yk xa a k ，即 32 2222 2 , 11 aa kak M a ka k ,O N P共线，且BP为圆的直径 OPBM 0OP BM 32 2222 22 ,2, 11 a kak OPaakBM a ka k 32 2222 22 20 11 a kak OP BMaak a ka k 4222 22 24 0 1 a ka k a k ，即 4222 240a ka k解得：2a 曲线C的方程： 2 2 1 2 x y
