1、信号与系统分析信号与系统分析第2-1页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作1第二章第二章 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析2.1 2.1 常用信号及信号的基常用信号及信号的基本运算本运算 一、常用信号一、常用信号 二、信号的基本运算二、信号的基本运算2.2 2.2 阶跃信号和冲激信号阶跃信号和冲激信号 一、阶跃信号一、阶跃信号 二、冲激信号二、冲激信号2.32.3零输入响应零输入响应2.4 2.4 阶跃响应和冲激响应阶跃响应和冲激响应 一、阶跃响应和冲激响应一、阶跃响应和冲激响应 二、冲激响应的求解二、冲激响应的求解2.5 2.5 卷积
2、积分卷积积分 一、信号时域分解与卷积一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解二、卷积的图解 三、三、卷积积分的性质卷积积分的性质 (一一)卷积代数卷积代数 (二二)奇异函数的卷积特性奇异函数的卷积特性 (三三)卷积的微积分性质卷积的微积分性质 (四四)卷积的时移特性卷积的时移特性2.6 2.6 连续系统的时域分析连续系统的时域分析点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节信号与系统分析信号与系统分析第2-2页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作22.1 常用信号及信号的基本运算常用信号及信号的基本运算 一、常用信号一、常用信号1、实指数信号 f(t)=Kea
3、t,a为实数2、复指数信号 f(t)=Kest,其中 s=+j3、正弦（余弦）信号 f(t)=Asin(t+)4、抽样函数 sintSa tt2.1 2.1 常用信号及信号的基本运算常用信号及信号的基本运算信号与系统分析信号与系统分析第2-3页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作32.1 常用信号及信号的基本运算常用信号及信号的基本运算（一）、信号的、（一）、信号的、运算运算 两信号两信号f1()和和f2()的相的相+、指同一时刻两指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘信号之值对应相加、减、乘。如。如12,13,0()6,10,nnf nnn 其他23,02,1
4、()4,20,nnfnn其他122,16,0()()8,14,20,nnf nfnnn 其他129,0()()12,10,nf nfnn其他二、信号的时域基本运算二、信号的时域基本运算信号与系统分析信号与系统分析第2-4页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作42.1 常用信号及信号的基本运算常用信号及信号的基本运算（二）信号的时间变换运算（二）信号的时间变换运算 1.1.翻转翻转 将将 f(t)f(t)，f(n)f(n)称为对信号称为对信号f()的的翻转翻转或或反折反折。从图形上看是将。从图形上看是将f()以纵坐标为轴翻以纵坐标为轴翻转转180o。如。如f(t
5、)to11翻转翻转 t t -tf(-t)-11to信号与系统分析信号与系统分析第2-5页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作52.1 常用信号及信号的基本运算常用信号及信号的基本运算 2.2.平移平移 将将 f(t)f(t t0)，f(n)f(n n0)称为对信号称为对信号f()的的平移平移或或移位移位。若。若t0(或或n0)0，则将，则将f()右移；否则左右移；否则左移。移。如如f(t)to11右移右移t t 1f(t-1-1)to211左移左移t t+1f(t+1+1)to1-1信号与系统分析信号与系统分析第2-6页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂
6、林电子科技大学信息工程教研室制作62.1 常用信号及信号的基本运算常用信号及信号的基本运算平移与翻转相结合平移与翻转相结合f(t)to11法一：法一：先平移先平移f(t)f(t+2)再翻转再翻转 f(t+2)f(t+2)法二：法二：先翻转先翻转 f(t)f(t)画出画出 f(2 t)。f(-t)-11to再平移再平移 f(t)f(t+2)=f (t 2)f(t)to112to11 1f(-t+2+2)-1to1 1-2f(t+2+2)左移左移右移右移注意：是对注意：是对t 的变换！的变换！信号与系统分析信号与系统分析第2-7页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制
7、作72.1 常用信号及信号的基本运算常用信号及信号的基本运算 3.3.尺度变换（横坐标展缩）尺度变换（横坐标展缩）将将 f(t)f(a t)，称为对信号称为对信号f(t)的的尺度变换尺度变换。若若a 1，则波形沿横坐标压缩；若，则波形沿横坐标压缩；若0 a 0,左移b0,右移f(t+b)fa tb展、缩:展:缩1a 1a 翻转若a0时退化为齐次方程，因此时退化为齐次方程，因此h(t)与其次解形式相同；与其次解形式相同；最后，在最后，在t=0处，若处，若mn，那么，那么h(t)应含有冲激应含有冲激函数及其导数方能使两边奇异函数平衡。故函数及其导数方能使两边奇异函数平衡。故h(t)的的最终形式为：
8、最终形式为：10knm nktkkkkh tc eU tAt(特征根为单根的情形特征根为单根的情形)上式中，如果上式中，如果nm，则第二项为零。特征根有重，则第二项为零。特征根有重根时，第一项做相应修改即可。根时，第一项做相应修改即可。2、系数、系数ck和和Ak的确定：的确定：信号与系统分析信号与系统分析第2-21页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作212.4 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 111010.nnmmnmmhtahta h tbtbtbt将将h(t)的表达式代入以下方程，比较两边冲激及其的表达式代入以下方程，比较两边冲激及其导数的系数，即
9、可确定导数的系数，即可确定ck和和Ak-冲激平衡法。冲激平衡法。例例2.4.1 某因果系统的微分方程为某因果系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。解解：(1)特征方程和特征根：特征方程和特征根：2560122,3 2312tth tc ec eU t特征根为单根，且左边最高求导次数特征根为单根，且左边最高求导次数右边右边最高求导次数最高求导次数信号与系统分析信号与系统分析第2-22页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作222.4 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应(2)系数计算：将系数计算：将h(t)
10、代入方程：代入方程：56hth th tt 121232cctcctt得121122013211cccccc 所以 23tth teeU t三、阶跃响应三、阶跃响应 由单位阶跃信号由单位阶跃信号U(t)所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位单位阶跃响应阶跃响应，简称阶跃响应，记为，简称阶跃响应，记为g(t)。g(t)与与h(t)的关系：的关系：tdg th tg thddt信号与系统分析信号与系统分析第2-23页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作232.5 卷积积分卷积积分()()()nf tf np tn 2.5 2.5 卷积积分卷积积分一、信号
11、的时域分解与卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1.信号的时域分解信号的时域分解22f(t)t023-1 0 1 2)(tff(0)(f)(f0()()()()dlimf tf tft 从图中可以看出，折线信号可表示为：其中：22p tU tU t所以：信号与系统分析信号与系统分析第2-24页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作242.5 卷积积分卷积积分2.任意任意信号作用下的零状态响应信号作用下的零状态响应LTI系统LTI系统零状态零状态yf(t)f(t)根据根据h(t)的定义：的定义：(t)h(t)由时不变性：由时不变性：(t-)h(t-)f()(t-)
12、由齐次性：由齐次性：f()h(t-)由叠加性：由叠加性：d)()(tfd)()(thff(t)yf(t)d)()()(thftyf-卷积积分卷积积分故：故：信号与系统分析信号与系统分析第2-25页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作252.5 卷积积分卷积积分3.卷积积分的定义卷积积分的定义已知定义在区间（已知定义在区间（，）上的两个函数）上的两个函数f1(t)和和f2(t)，则定义积分则定义积分 dtfftf)()()(21为为f1(t)与与f2(t)的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积；记为；记为 f(t)=f1(t)*f2(t)注意：卷积结果是注意：
13、卷积结果是t的函数！的函数！)(*)(d)()()(thtfthftyf由此得出结论：系统的零状态响应等于输入信号与系由此得出结论：系统的零状态响应等于输入信号与系统冲激响应的卷积，即：统冲激响应的卷积，即：信号与系统分析信号与系统分析第2-26页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作262.5 卷积积分卷积积分二、卷积的图解法二、卷积的图解法dtfftftf)()()(*)(2121卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元换元：t换为换为得得 f1()，f2()（2）反转平移反转平移：由：由f2()反转反转 f2()右移右移t f2(t-)（3）乘
14、积乘积：f1()f2(t-)（4）积分积分：从从 到到对乘积项积分。对乘积项积分。注意：注意：t为参变量。为参变量。下面举例说明。下面举例说明。信号与系统分析信号与系统分析第2-27页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作272.5 卷积积分卷积积分例2.5.1 求yf(t)=h(t)*f(t)。解 采用图形卷积。f(t-)f()反折反折f(-)平移平移t t 0时时,f(t-)向左移向左移f(t-)h()=0，故故 yf(t)=0 0t 1 时时,f(t-)向右移向右移2041d21)(ttytf 1t 2时时4121d21)(1ttyttf 3t 时时f(t
15、-)h()=0，故故 yf(t)=0f(t )t0211th(t )22h(t)函数形式复杂函数形式复杂 换元为换元为h()。f(t)换元换元 f()f(-)f(t-)t-1 tt-1 t t-1 ttyf(t)20134143tt-1 tt-1 2t 3 时时432141d21)(221tttytf0h()f(t-)2013信号与系统分析信号与系统分析第2-28页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作282.5 卷积积分卷积积分图解法图解法一般比较繁琐，但一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。还是比较方便的。确定积确定积分
16、的上下限是关键。分的上下限是关键。例例2.5.2：f1(t)、f2(t)如图所示，如图所示，已知已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求，求f(2)=？tf 2(t )-1131-1f 1(t )t2-22f1(-)f1(2-)f 1(2-)f 2()22-2解解：d)2()()2(12fff（1）换元）换元（2）f1()得得f1()（3）f1()右移右移2得得f1(2)（4）f1(2)乘乘f2()（5）积分，得）积分，得f(2)=0（面积为（面积为0）信号与系统分析信号与系统分析第2-29页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作292.5 卷积积分卷积积分二、
17、卷积的性质二、卷积的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。(一）卷积的代数律一）卷积的代数律满足乘法的三律：满足乘法的三律：1.交换律交换律：f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2.分配律分配律：f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)3.结合律结合律：f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(
18、t)信号与系统分析信号与系统分析第2-30页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作302.5 卷积积分卷积积分与分配律和结合律有关的两个推论：与分配律和结合律有关的两个推论：推论推论1：两系统并联，总的冲激响应等于两两系统并联，总的冲激响应等于两系统冲激响应之和。即：系统冲激响应之和。即：推论推论2：两系统级联，总的冲激响应等于两两系统级联，总的冲激响应等于两系统冲激响应之卷积。即：系统冲激响应之卷积。即：h1(t)h2(t)+h(t)=h1(t)+h2(t)h2(t)h1(t)h(t)=h1(t)*h2(t)信号与系统分析信号与系统分析第2-31页 桂林电子科
19、技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作312.5 卷积积分卷积积分（二）奇异函数的卷积特性（二）奇异函数的卷积特性1.f(t)*(t)=(t)*f(t)=f(t)证：证：)(d)()()(*)(tftftftf(t)*(t t0)=f(t t0)2.f(t)*(t)=f(t)证：证：)(d)()()(*)(tftftftf(t)*(n)(t)=f(n)(t)3.f(t)*U(t)()()d()dtfU tfU(t)*U(t)=tU(t)信号与系统分析信号与系统分析第2-32页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作322.5 卷积积分卷积积分（
20、三）卷积的微积分性质（三）卷积的微积分性质1.nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121证：上式证：上式=(n)(t)*f1(t)*f2(t)=(n)(t)*f1(t)*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.d)(*)()(*d)(d)(*)(212121tttftftffff证：上式证：上式=U(t)*f1(t)*f2(t)=U(t)*f1(t)*f2(t)=f1(1)(t)*f2(t)3.在在f1()=0或或f2(1)()=0的前提下，的前提下，f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)信号与系统分析信号与系统分析第2-
21、33页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作332.5 卷积积分卷积积分例例2.5.3：f1(t)=1，f2(t)=etU(t)，求求f1(t)*f2(t)解解：通常复杂函数放前面，代入定义式得：通常复杂函数放前面，代入定义式得00e()de de1U 注意：若套用注意：若套用 f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)=0*f2(1)(t)=0 显然是错误的显然是错误的。例例2.5.4：f1(t)如图如图,f2(t)=etU(t)，求，求f1(t)*f2(t)(1)200()e()de d()e()(1 e)()ttttftUU tU tU t f
22、1(t)t201解法一解法一：f1(t)*f2(t)=f1(t)*f2(1)(t)f1(t)=(t)(t 2)f1(t)*f2(t)=(1-et)U(t)1-e(t-2)U(t-2)f2(t)*f1(t)=信号与系统分析信号与系统分析第2-34页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作342.5 卷积积分卷积积分解解：f1(t)=U(t)U(t 2)f1(t)*f2(t)=U(t)*f2(t)U(t 2)*f2(t)U(t)*f2(t)=f2(-1)(t)=（1-e-t)U(t)（四）卷积的时移特性（四）卷积的时移特性若若 f(t)=f1(t)*f2(t)，则则
23、f1(t t1)*f2(t t2)=f1(t t1 t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t t1 t2)=f(t t1 t2)前例前例：f1(t)如图如图,f2(t)=etU(t)，求，求f1(t)*f2(t)f 1(t)t201利用时移特性，有利用时移特性，有U(t 2)*f2(t)=f2(-1)(t 2)f1(t)*f2(t)=(1-et)U(t)1-e(t-2)U(t-2)信号与系统分析信号与系统分析第2-35页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作352.5 卷积积分卷积积分例例2.5.5：f1(t),f2(t)如图，求如图，求f1(t)*f2(t)t
24、11-1f 1(t)t102f 2(t)0解解：f1(t)=2U(t)2U(t 1)f2(t)=U(t+1)U(t 1)f1(t)*f2(t)=2 U(t)*U(t+1)2 U(t)*U(t 1)2U(t 1)*U(t+1)+2U(t 1)*U(t 1)由于由于U(t)*U(t)=tU(t)据时移特性，有据时移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)U(t+1)-2(t 1)U(t 1)2 tU(t)+2(t 2)U(t 2)信号与系统分析信号与系统分析第2-36页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作362.5 卷积积分卷积积分（五）卷积的范围的确定（五）
25、卷积的范围的确定设设f1(t)的定义域为的定义域为t1,t2,f2(t)的定义域为的定义域为t3,t4，则，则f1(t)*f2(t)的范围为的范围为t1+t3,t2+t4。至此，求解至此，求解卷积的时域方法卷积的时域方法可归纳为：可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的。对于容易求积分的 函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质利用性质。比较灵活。比较灵活。三者常常结合起来使用。三者常常结合起来使用。此外可利用变换域
26、方法求计算卷积，将在后面介绍此外可利用变换域方法求计算卷积，将在后面介绍推论：俩因果信号的卷积仍是因果信号。推论：俩因果信号的卷积仍是因果信号。信号与系统分析信号与系统分析第2-37页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作372.6连续系统的时域分析连续系统的时域分析一、时域分析的思路和步骤一、时域分析的思路和步骤2.6 连续系统的时域分析连续系统的时域分析 时域分析即在时间域上进行的一种分析方法，时域分析即在时间域上进行的一种分析方法，其优点是概念清楚，过程简单明了，缺点是计算往其优点是概念清楚，过程简单明了，缺点是计算往往比较繁琐。往比较繁琐。1)求零输入响
27、应求零输入响应y yx x(t):(t):代入初始条件代入初始条件 yx(0+),yx(0+),yx(n-1)(0+)=y(0-),y(0-),y(n-1)(0-)形式形式：1kntxkkytc e(t0)（特征单根的情形）（特征单根的情形）特征方程和特征根特征方程和特征根齐次解齐次解信号与系统分析信号与系统分析第2-38页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作382.6连续系统的时域分析连续系统的时域分析 10knm nktkkkkh tc eU tAt2)2)求冲激响应求冲激响应h(t):h(t):（特征单根的情形）（特征单根的情形）其中系数其中系数c ck
28、 k和和A Ak k用冲激平衡法求出。用冲激平衡法求出。3)3)求零状态响应求零状态响应y yf f(t):(t):*fytf th t4)4)求全响应求全响应y(t):y(t)=yy(t):y(t)=yx x(t)+y(t)+yf f(t)(t)二、时域分析法举例二、时域分析法举例即计算输入与冲激响应的卷积信号与系统分析信号与系统分析第2-39页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作392.6连续系统的时域分析连续系统的时域分析 324yty ty tftf t 2,00,01tf teU tyy例2.6.1：已知某因果系统的微分方程为：特征方程为：求系统的全
29、响应。解：易得特征根为：1=-1，2=-22320 212ttxytC eC e000,001xxyyyy1）求yx(t):由特征根知 t0代入yx（t）中，得在零输入条件下，有信号与系统分析信号与系统分析第2-40页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作402.6连续系统的时域分析连续系统的时域分析121122C0C1211CCCC 2ttxyteeU t所以，2）求h（t）：根据特征根，可设 212tth tAeA eU t令f（t）=（t），并将h（t）代入微分方程，得 212121222121212243224ttttttAAtAAtAeA eU tAAtAeA eU tAeA eU ttt 12112122132342AAAAAAAA 232tth teeU t比较两边冲激函数的系数，可得故信号与系统分析信号与系统分析第2-41页 桂林电子科技大学信息工程教研室制作桂林电子科技大学信息工程教研室制作412.6连续系统的时域分析连续系统的时域分析 222220022220*32*3232332tttfttttttttttytf th teeU teU teedU teedU teeteU teeteU t最后的得全响应为 22652tttxfy tytyteeteU t3）求yf(t):
