1、第2章 连续信号的频域分析 第1章节讨论了信号与系统的基本知识和信号的时域分析，本章将研究信号的频域（包括s域）分析及其应用。傅里叶分析傅里叶分析为时域信号提供了一个频域描述，频域分析将时间变为时域信号提供了一个频域描述，频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系。其频率特性之间的密切关系。对连续周期信号的傅里叶级数展开对连续周期信号的傅里叶级数展开，就是连续周期信号的频域分连续周期信号的频域分析析。连续周期信号的频谱是指连续周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系。周期信
2、号的频谱是离散的复频谱，表示的是每个谐波分量（单一频率）的复振幅。对连续非周期信号的傅里叶变换（拉普拉斯变换），就是连续非对连续非周期信号的傅里叶变换（拉普拉斯变换），就是连续非周期信号的复频域分析周期信号的复频域分析（s域分析域分析）。而非周期信号的频谱是连续的频谱，表示的是每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，不再具有离散性和谐波性。2.1 傅里叶级数与频谱函数 连续周期信号的频谱是指连续周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系。2.1.1 频谱的概念频谱的概念 对周期信号的时域分析表明，一个周期信号只要满足狄里赫利条件，就可以利用正弦型信号或复指数信号进行描述。周期信号x(t)可以分
3、解为不同频率虚指数信号之和：（2.1.1）周期信号可以分解为不同频率虚指数信号之和，不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数cn不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称为“频谱函数”，用X(nW)表示。根据上式有：2/2/0)()(1)()(ToTotjnnntjnntjnnnXdtetxTcenXectxWWWWWWW2/2/)(1)(TTtjndtetxTnX)()()(WWWnjenXnX 其模 称为幅度频谱，幅角 称为相位频谱。在MATLAB中分别用abs(X)和angle(X)表示幅频特性和相频特性。可
4、直接画出信号各次谐波对应的线状分布图形，即振幅频谱和相位频谱图形。从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。由此可见，任意波形的周期信号完全可以用反映信号频率特性的复系数来描述。它与傅立叶级数（CTFS）表示式之间存在着一一对应的关系，即 上式双向箭头表示对应关系，即已知x(t)，可以求得相应的X(nW)，反之亦然。用频率函数来描述或表征任意周期信号的方法，称为周期信号的频率分析。由于信号的频谱完全代表了信号，研究它的频谱就等于研究信号本身。因此，这种表示信号的方法称为频域表示法。)(WnX)(Wn)()(WnXtxCTFS 2.1.2周期
5、信号周期信号波形的对称性与谐波特性波形的对称性与谐波特性 在时域分析中我们知道，设周期信号x(t)，其周期为T，角频率W=2p/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数，称为x(t)的傅里叶级数。WW110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatxW22d)cos()(2TTnttntfTa系数an，bn称为傅里叶系数：W22d)sin()(2TTnttntfTb可见，an 是n的偶函数，bn是n的奇函数。将上式同频率项合并，可写为W10)cos(2)(nnntnAAtx 其中：22nnnbaAnnnabarctan（2.1.5）式中，A0=a0，可见1
6、.An是n的偶函数，jn是n的奇函数。an=Ancosjn，bn=Ansin jn，n=1，2，3，4上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量（谐波），这是周期信号的谐波特性。其中，l A0/2为直流分量；l n=1，A1cos(Wt+j1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；l n=2，A2cos(2Wt+j2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；l 一般而言，Ancos(nWt+jn)称为n次谐波。2.x(t)的对称性质决定了展开的结果（1）若）若x(t)为偶函数，则为偶函数，则x(t)对称纵坐标。对称纵坐标。bn=0，展开为余弦级数。，展开为余弦级数。计算计算an时时只需
7、在半个周期内积分再乘以只需在半个周期内积分再乘以2，即，即W20d)cos()(4TnttntfTa（2）若）若x(t)为奇函数，则为奇函数，则x(t)对称于原点。对称于原点。an=0，展开为正弦级数。，展开为正弦级数。计算计算bn时时只需在半个周期内积分再乘以只需在半个周期内积分再乘以2，即，即W20d)sin()(4TnttntfTb实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，即 f(t)=fod(t)+fev(t)利用上述奇偶函数的积分特点，可以简化傅里叶系数的计算。2.1.32.1.3傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式式（2.1.5）表示的是三角形式的傅里叶级数，含义
8、比较明确，但运算起来常感不便，因而经常采用（2.1.1）式表示的指数形式的傅里叶级数。根据尤拉公式可知，三角函数与复指数函数有着密切的关系，可利用从三角形式推导出傅里叶级数的指数形式。根据尤拉公式可知，三角函数与复指数函数有着密切的关系，可利用从三角形式推导出傅里叶级数的指数形式。将尤拉公式cosx=(ejx+ejx)/2，sinx=(ejx-ejx)/2j 代入（2.1.5）式得)sin()cos(2)(10WWnnntnbtnaatxWWWWW2/2/0)()(1)()(TTtjnnntjnntjnnnXdtetxTcenXectx 可见，三角函数形式与复指数函数形式描述的是同一个信号，只
9、是数学表示形式不同而已。其中两种形式的傅里叶系数关系如下：为正整数为正整数njbacnjbacacnnnnnn)(21)(21-00可以看出傅里叶级数的指数形式中的傅里叶系数不再是实数，而是复数。由此可知，周期函数x（t）包含的直流分量为：基波分量的振幅为：基波分量的初相位为：其它谐波分量的振幅为：其它谐波分量的初相位为：这样，周期信号x(t)的振幅频谱函数可表示为W其它值0,.3,2,1,|)(|20)(00nnXXnnaXX实际上，如果考虑信号的双边频谱，用傅里叶级数的指数形式更方便。在双边频域（，）内，周期信号的频谱函数就是傅里叶系数，即,.3,2,1,0)(1)()(2/2/WWndt
10、etxTnXcXTTtjnn其数学含义就是说，一般周期信号可以分解为无穷多个离散频率分量的叠加，各分量的频率是基频的整数倍，振幅是傅里叶系数cn 的复模，初相位是傅里叶系数cn 的幅角。注意：l 当n=0 时傅里叶系数c0 为大于或等于0 的实数，其代表的成分就是周期信号的直流分量；l 当n=1 时所代表的双边频率成分就是周期信号的基波分量；l 而其余各对双边频率成分就是周期信号的各个高次谐波分量。可见采用指数形式的傅里叶级数，分析周期信号的频谱更为直截了当。例例2-1-1 已知如图2-1-1所示幅值为2的连续周期矩形脉冲信号，求其指数函数形式的傅里叶级数展开式和三角函数形式的傅里叶级数展开式
11、。图2-1-1连续周期矩形脉冲信号解：(1)求指数函数形式的傅里叶级数展开式由式（2.1.11）得)2()2sin(2)(12221)(f1)(F2/2/222/2/2/2/WWWWWWWWWWnnTeejnTjneTdteTdtetTnjnjntjntjnTTtjnTT由此可得指数函数形式的傅里叶级数展开式为tjnntjnntjnnenSaTennTentWWWWWWW)2(2)2()2sin(2)(F)(f(2)求三角函数形式的傅里叶级数展开式为偶函数，所以bn=0，即三角函数形式的傅里叶级数展开式)cos()2(4)cos()(f)2(411tnnSaTtnatnSaTannnnWWWW
12、2.2 典型连续周期信号的傅里叶级数 2.2.1 连续周期矩形方波信号连续周期矩形方波信号 如图2-2-1所示的周期矩形方波信号，设脉冲宽度为，脉冲幅度为A，重复周期为T，主周期为T0。将展成指数形式的傅里叶级数：（2.2.1）其中：可见周期矩形脉冲信号x(t)的频谱图是采样函数Sa。)()2()2sin()(1)(1)()()(2/2/2/2/TnSaTAnnTAeejnTAdtetxTnXenXtxjnjntjnTTntjnpWWWWWWWWWTfTf1,22Wpp)(WnX例2-2-1 周期矩形脉冲信号的频谱连续周期矩形脉冲信号如图2-2-2所示，用MATLAB求出该信号的频谱图。解：由
13、图可知，该信号脉宽为1，周期为8，幅度设A=4。在主周期内的解析式可表示如下：使用符号运算，根据傅里叶级数的定义，其程序代码如下：syms t k;T=8;A=4;tao=1;x=A;w=2*pi/T;fe=x*exp(-j*k*w*t);X=int(fe,t,0,tao)./T;X=simple(X);k=-20:-1,eps,1:20;X=subs(X,k,k);subplot(3,1,1);stem(k,X,.);title(频谱图);line(-20,20,0,0);xlabel(k);ylabel(X(k);subplot(3,1,2);stem(k,abs(X),.);title(
14、幅度谱);xlabel(k);ylabel(|X(k)|);subplot(3,1,3);stem(k,angle(X),.);title(相位谱);xlabel(k);ylabel(angle(X(k);程序运行后生成连续时间信号周期性矩形脉冲信号的频谱图，如图所示。Tt0t0A)t(x2.2.2 连续周期三角波信号连续周期三角波信号如图2-2-5所示的三角波信号，展开为傅里叶级数的系数。图2-2-5三角波信号 该三角波在时域中表达式为由于是偶函数，由（2.1.6）式可得00/200/200211()22TTaf t dtTAATT,.6,4,20,.5,3,142sin4d)cos()2(
15、4d)cos()(222222201002210000kkkAkkAttktTAATttktfTaTTTkppp例例2-2-2 绘制出周期三角波信号的频谱图。绘制出周期三角波信号的频谱图。周期三角波信号如图2-2-6所示，傅里叶级数展开得：解：绘制三角波信号频谱的MATLAB程序如下：N=8;n1=-N:-1;%计算n=-N到-1的Fourier系数 c1=-4*j*sin(n1*pi/2)/pi2./n1.2;c0=0;%计算n=0时的Fourier系数 n2=1:N;%计算n=1到N的Fourier系数 c2=-4*j*sin(n2*pi/2)/pi2./n2.2;cn=c1 c0 c2;
16、n=-N:N;subplot(2,1,1);stem(n,abs(cn);title(Cn的幅度);axis(-N,N,-0.2,0.5);subplot(2,1,2);stem(n,angle(cn);title(Cn的相位);xlabel(omega/omega0);程序运行结果如图所示。000)2sin()(42nnnnjCnpp2.3 连续周期信号的频谱2.3.1 连续周期信号频谱的特点连续周期信号频谱的特点1.连续周期信号频谱的特点连续周期信号频谱的特点 上述周期矩形信号频谱的特点，实际上也是所有周期信号频谱的普遍性质，这就是：（1）离散性。）离散性。指频谱由频率离散而不连续的谱线组
17、成，这种频谱称为离散频谱或线谱。谱线的间隔为：。（2）谐波性。）谐波性。指各次谐波分量的频率都是基波频率 W的整数倍：nW，而且相邻谐波的频率间隔是均匀的，即谱线只在频率轴上 W的整数倍位置出现。（3）收敛性。）收敛性。指谱线幅度随 而衰减到零，因此这种频谱具有收敛性或衰减性。若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。2.2.周期的影响周期的影响 信号周期T越大，就越小，则谱线越密。T越小，W0越大，谱线则越疏。T/20pW nT/20pW .3,2,1 n例例2-3-1 脉宽和周期对周期矩形脉冲信号频谱的
18、影响脉宽和周期对周期矩形脉冲信号频谱的影响仍然以例2-2-1 的图2-2-2连续周期矩形脉冲信号为例，计算脉宽和周期对周期矩形脉冲信号频谱的影响，程序如下：T=8;A=4;tao=1;k=-80:80/T;X=A*tao/T*sinc(k*pi*tao/T);X1=A*tao/(T/2)*sinc(k*pi*tao/(T/2);X2=A*(tao/2)/T*sinc(k*pi*(tao/2)/T);subplot(3,1,1);stem(k,X,.);title(a)tao=1 T=8);axis(-11,11,-0.3,1.2);line(-12,12,0,0,Color,b,Marker,
19、MarkerSize,10,MarkerFaceColor,b);line(0,0,-0.4,1.1,Color,b,Marker,MarkerSize,10,MarkerFaceColor,b);subplot(3,1,2);stem(k,X1,.);title(b)tao=1 T=8/2);axis(-11,11,-0.3,1.2);line(-12,12,0,0,Color,b,Marker,MarkerSize,10,MarkerFaceColor,b);line(0,0,-0.4,1.1,Color,b,Marker,MarkerSize,10,MarkerFaceColor,b);
20、subplot(3,1,3);stem(k,X2,.);title(c)tao=1/2 T=8);axis(-11,11,-0.3,1.2);line(-12,12,0,0,Color,b,Marker,MarkerSize,10,MarkerFaceColor,b);line(0,0,-0.4,1.1,Color,b,Marker,MarkerSize,10,MarkerFaceColor,b);脉宽和周期都会对周期矩形脉冲信号频谱有影响，当脉宽tao和周期T改变后的频谱图，如图2-3-1所示。可见脉宽tao和周期T的改变对频谱线密度和幅度都有影响。如图2-3-1（b）所示，tao一定，T减
21、小，间隔增大，频谱变稀疏，幅度增大。反之，T增大，间隔减小，频谱变密，幅度减小。如图2-3-1（c）所示，T一定，tao变小，此时谱线间隔不变。两零点之间的谱线数目增多。如果周期T无限增长（趋向于无穷大时，这时就成为非周期信号），那么谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱，各频率分量的幅度也趋近于无穷小。图2-3-1 脉宽和周期对周期矩形脉冲信号频谱的影响 2.3.2 单边谱、双边谱和复频谱 周期信号的频谱图，有单边频谱图和双边频谱图。用三角函数级数展开的周期信号，为单边频谱图，即频谱线只出现在频率的正半轴，如图所示。周期信号采用指数形式展开后的频谱，因Xn一般为复
22、数，称为复数频谱。周期信号复数频谱图的特点如下：（1）用指数函数展开的周期信号，为双边频谱图，即频谱线左右对称于0频率（即直流分量），出现在频率的正负半轴。其双边频谱图，如图 所示。（2）引入了负频率变量X-n，它没有物理意义，只是数学推导，负半轴上的谱线是复数共轭部分，与正半轴对应的谱线共同合成实际的频率。只有把正、负频率项成对地合并起来，才是实际的频谱函数。每个分量的幅度一分为二，在正、负频率相对应的位置上各为一半，即每个分量的幅度是正、负频率之和。（3）Cn 是实函数，Xn一般是复函数，当 Xn是实函数时，可用Xn 的正负表示0和相位，幅度谱和相位谱合一。2.2.3.3.3 3 脉宽与有
23、效带宽脉宽与有效带宽 在0 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度，即：。信号的有效带宽与信号时域的持续时间（脉宽）成反比。即 越大，其WB越小；反之，越小，其B 越大，而且幅度也越小，如图所示为脉宽tao=0.5，周期为T=8的频谱图。有效带宽的物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。2B22.4 连续非周期信号的频域分析2.4.1 从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换 1.傅里叶变换的定义傅
24、里叶变换的定义 周期信号通过傅里叶级数可以用正弦型或复指数型信号来表示。由（2.1.2）式可知，周期矩形脉冲信号离散频谱函数为 各谱线之间的间隔为 ：对持续时间有限的非周期信号，我们可以把它看作周期为无穷大的周期信号。当周期趋于无穷的极限情况，各谱线之间的间隔趋于零，则：，n，记为d；而 同时原为离散的频谱变成连续频谱，这时频谱的变化规律仍按包络线Sa()函数在变化，函数的展开式中求和变为求积分。（2.4.1）把连续时间函数变换为频率的连续函数，称这为信号x(t)的傅里叶变换。由于它在频域反映了信号的基本特征，因而是非周期信号进行频域分析的理论依据和最基本的公式。2)2sin()(2)(pWW
25、WnnTATnSaTAnXT/20pW T00W)()(21)()()()(1pjXFdejXtxtxFdtetxjXtjtjpp221dTW周期信号通过傅里叶级数可以用正弦型或复指数型信号来表示。由（2.2.1）式可知，周期矩形脉冲信号离散频谱函数为：（2.4.2）各谱线之间的间隔为：对持续时间有限的非周期信号，我们可以把它看作周期为无穷大的周期信号。当周期趋于无穷的极限情况 ，各谱线之间的间隔趋于零，即：可见，这时的频谱函数具有以下特点：l 原为离散的频谱变成连续频谱连续频谱；l 频谱的变化规律仍按包络线包络线Sa()函数函数在变化；函数的展开式中求和变为求积分求和变为求积分。2.4.2傅
26、里叶变换对与“频谱密度函数”上面的（2.4.1）式构成一对傅里叶变换，式中符号“F”代表傅里叶变换（CTFT：Continuous-Time Fourier Transform），“F-1”代表傅里叶反变换（ICTFT）。为了简便也可以采用下列符号表示傅里叶变换对，通常可记为：它与周期信号类似，通过傅里叶积分把信号分解成由无穷多的复指数或正弦信号的线性组合，以在时间域对信号进行分析。但在频率域它们却有明显的不同，这主要表现在周期信号的频谱是离散的复频谱周期信号的频谱是离散的复频谱，表示的是每个谐波分量（单一频率）的复振幅，而非周期信号的频谱是连续的频谱，非周期信号的频谱是连续的频谱，表示的是每
27、单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，不再具有离散性和谐波性。不再具有离散性和谐波性。因此非周期信号进行频域分析的理论依据和最基本的公式是式（2.4.1）所表示的傅里叶变换（CTFT）与傅里叶反变换（ICTFT）构成的傅里叶变换对。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。F(j)一般是复函数，写为 （2.4.4）。)()(jXtxF)()(|)(|)()(jXRejFjFjj 其模|F(j)|称为幅度频谱，或“频谱密度函数”，简称频谱，幅角()称为相位频谱。但应注意它与周期信号的离散频谱X(nW)在内涵上有所差异。2.4.3非周期信号频谱的计算非周期信号频谱的计算在MATLAB中使用下
28、列方法计算连续非周期信号的频谱：使用数值积分近似计算非周期信号频谱。在符号运算中，使用MATLAB函数傅立叶变换对fourier()、ifourier()，计算非周期信号频谱的解析式。在使用计算机处理信号时，实际使用FFT计算连续周期或非周期信号1.使用数值积分方法计算非周期信号频谱使用数值积分方法计算非周期信号频谱数值函数积分quadl（以前版本为quad8）可用来进行傅里叶变换，计算非周期信号的频谱，语法如下：y=quadl(F,a,b)其中：F 是一个字符串，它表示被积函数的文件名。a、b分别表示定积分的下限和上限。quadl返回的是用自适应Simpson算法得出的积分值。例2-4-1计
29、算三角波信号的频谱 如图2-4-1所示的三角波，用数值方法和符号运算近似计算出该三角波信号的频谱。解：（1）用数值积分近似计算三角波信号频谱该信号可以表示为：（2.4.5）根据（2.4.5）式，定义一个三角波信号的积分函数如下：function sf=xs(t,w)xt=(t=-1&t syms t w;f=sym(t+1)*heaviside(t+1)-2*t*heaviside(t)+(t-1)*heaviside(t-1);y=fourier(f);Y=simplify(y)Y=(4*sin(w/2)2)/w2即三角波信号频谱的理论值为：下列程序绘制三角波信号及频谱 subplot(21
30、1);ezplot(f)subplot(212);ezplot(sinc(w/2)2)(2)1(1)1(1)()1(1)()1(1)(tttttttttttttttf)2()2(sin4)(222SajY 2.5傅里叶变换的性质 傅氏变换揭示了信号时间特性与频率特性之间的联系。信号可以在时域中用时间函数表示，亦可以在频域中用频谱密度函数表示；只要其中一个确定，另一个随之确定，两者是一一对应的。1.线性线性设a、b为常数，则 （2.5.1）利用傅氏变换的线性特性，可以将待求信号分解为若干基本信号之和。2.时移（时延）时移（时延）时延（移）性说明波形在时间轴上的时延。设 t0为实常数，则 时移性质
31、表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份的幅度大小不发生改变，即不改变频谱函数的形状；但相位发生了变化：使信号增加了.t0的线性相位，即频谱函数的位置出现了.t0的变化。3.频移特性（调制特性）频移特性（调制特性）设0为实常数，则 （2.5.2）频移（调制）性质用来进行频谱搬移，该特性表明信号在时域中与复因子 相乘，则在频域中将使整个频谱搬移0，这一技术在通信系统得到了广泛应用。u 调制：通信技术中的调制是将频谱在=0附近的低频信号乘以 ，使其频谱搬移到=0 附近。u 解调：反之，频谱在=0附近的高频信号乘以 ，其频谱被搬移到=0附近，这就是解调。u 变频：是将频谱在=c 附近的信号乘以 ，
32、使其频谱搬移到=c-0 附近。实际的调制解调和变频的载波信号是正（余）弦信号，这些都是频移特性的应用。)()(tytx、)()()()(tyFYtxFX、设两个信号为，其傅立叶变换CTFT均存在，且为)()()()()()(bYaXtybFtxaFtbytaxF)()(00XettxFtj)()(001txeXFtjtj0etj0etj0etj0e 4.尺度变换尺度变换 设a为非0实常数，傅里叶变换的尺度变换特性（也称为相似性质）表示为：（2.5.3）尺度特性说明，信号在时域中压缩（a1），频域中就扩展；反之，信号在时域中扩展（a syms t a;x=dirac(t);fourier(x)a
33、ns=1可见，单位冲激信号的频谱函数是一个常数1。由（由（2.6.1）式可知，时域冲激函数）式可知，时域冲激函数(t)频谱的所有频谱的所有频率分量均匀分布（为常数频率分量均匀分布（为常数1），这样的频谱也称），这样的频谱也称白色谱。白色谱。冲激函数冲激函数(t)和频谱函数如图和频谱函数如图2-6-1所示。所示。2.频域冲激函数频域冲激函数()的变换的变换频域冲激()的原函数亦可由定义得到 即 （2.6.2）2.6.1 单位冲激信号与单位直流信号单位冲激信号与单位直流信号1)()()()(dettFttj图2-6-1 时域冲激函数及其频谱pp21)(21)(dettj图2-6-2 频域冲激函数(
34、)及其原函数)(21p频域冲激函数()的原函数如图2-6-2所示。有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如常数1等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解，一般用广义傅里叶变换定义来求解，但比较繁琐。也可以用下列简单方法直接得到：由（2.6.2）式可知频域冲激()的反变换是常数（直流分量），由此得 （2.6.3）2.6.2 单位直流信号单位直流信号)(21p在MATLAB中，对单位直流信号1进行傅里叶变换：fourier(sym(1),w)ans=2*pi*dirac(w)直流信号的频谱函数，如图2-6-3所示。图2-6-3 直流信号及其频谱函数2.6.3 单边指数信号单边指数信号1.单边因
35、果指数信号：单边因果指数信号：单边指数衰减函数的表达式为00()e0ttf tt 0)()(E1tEetftftjEdteEdteteEjFjatjat1)()(0)(1当E=1时，单位单边因果指数函数的f(t)、振幅谱、相位谱，如图2-6-4所示。（2.6.4）图 2-6-4 单边因果指数函数的f(t),振幅谱、相位谱2.单边非因果指数信号：单边非因果指数信号：0)(2tEetftjEdteEdteteEjFjatjat1)()(0)(2当E=1时，单位单边非因果指数函数的f(t)、振幅谱、相位谱，如图2-6-5所示。图 2-6-5 单边非因果指数函数的f(t),振幅谱、相位谱（2.6.5）
36、双边指数函数可以看成是上述两个单边指数信号的叠加。0003tEetEetftt根据线性性质的叠加性有：2232)(EjjEjEF（2.6.6）当E=1时，单位奇双边指数函数的f(t)、振幅谱，如图2-6-6所示。3.奇双边指数信号奇双边指数信号图2-6-6 单位奇双边指数函数的f(t)、振幅谱4.偶双边指数信号偶双边指数信号根据线性性质的叠加性有：0004tEetEetftt2242)(aEjEjEF当E=1时，单位偶双边指数函数的f(t)、振幅谱，如图2-6-7所示。（2.6.7）图2-6-7 单位偶双边指数函数的f(t)、振幅谱例2-6-1单边指数信号的频谱单边指数信号：求其频谱函数。解：
37、syms t w x;x=3*exp(-2*t)*sym(heaviside(t);X=fourier(x);subplot(211);ezplot(x);subplot(212);ezplot(abs(X);ezplot(abs(X);X 结果为：X=3/(2+w*i)即单边指数信号x(t)的频谱函数为：，绘制出单边指数信号的频谱函数，如图2-6-8所示。)(32tetxtiX23)(图2-6-8单边指数信号2.6.4 符号函数 符号函数也称正负函数，记为sgn(t)，表示式为 显然，这个函数不满足绝对可积条件，不能直接来求积分。我们可用以下极限形式表示sgn（t）函数。在奇双边指数信号中，
38、a趋向于0时：符号函数的波形f(t)、振幅谱|F(j)|、相位谱()如图2-6-9所示。（2.6.8）（2.6.9）图2-6-9符号函数2.6.5 单位阶跃信号单位阶跃信号 阶跃函数虽不满足绝对可积条件，但可以看作是符号函数上移一个单位（与单位直流信号叠加），幅度除以2，即 （2.6.10）图2-6-10 单位阶跃信号及其频谱可见，单位阶跃信号的幅频特性在=0有个冲激，说明主要成分为直流。由于t=0有突跳，所以在0还存在其它频率成分，随着频率的增加而较快衰减。如图2-6-10所示。在MATLAB中，对单位阶跃信号进行傅里叶变换：syms t;x=heaviside(t);X=fourier(x
39、)X=pi*dirac(-w)-i/w上述结果可整理为常见的形式：pi1)()(XpitF1)()(（2.6.11）单位矩形脉冲信号g(t)是宽度为，幅度为1的偶函数，常常也被称为门函数、门函数、门信号门信号，2.6.6 单位矩形脉冲信号单位矩形脉冲信号)2()2()(tttg)2(2)2sin(2sin2)()(22SadtedtetgGtjtj它可以用两个单位阶跃信号表示。（2.6.12）例例2-6-3 单位矩形脉冲信号单位矩形脉冲信号单位矩形脉冲信号可以用两个单位阶跃信号表示。如图为=1的单位矩形脉冲信号，频域分析程序如下：syms t;x=heaviside(t+1/2)-heavis
40、ide(t-1/2);X=fourier(x)X=simple(X);Xsubplot(211);ezplot(x,-2,2);subplot(212);ezplot(abs(X),-20,20);结果为：X=(2*sin(/2)/，如图2-6-11所示。即单位矩形脉冲信号的频谱函数为：图2-6-11 单位矩形脉冲信号频谱函数例例2-6-5 求如求如图图2-6-13所示所示凸形凸形信号的傅里叶变换。信号的傅里叶变换。图2-6-13 凸形信号解：可将f(t)看作是宽度为2的门函数与宽度为6的门函数的叠加。即26()()()f tg tg t由式（2.6.12）可得2()2Sa()gt6()6Sa(3)gt利用傅里叶变换的线性性质，可得(j)2Sa()6Sa(3)F 一般来说，对于复杂的时域信号，可在时域内将其分解为若干个常用函数的线性组合，利用常用函数的“傅里叶变换对”直接写出它们的傅里叶变换，再利用傅里叶变换的线性性质得到复杂的时域信号的傅里叶变换。
