1、第7章 阵列信号处理第7章 阵列信号处理7.1 阵列信号模型7.2 空间匹配滤波7.3 最优波束形成7.4 自适应波束形成7.5 MUSIC法测向7.6 最大似然法与子空间拟合方法测向7.7 旋转不变子空间算法测向第7章 阵列信号处理7.1 阵列信号模型阵列信号模型在讨论阵列信号处理之前，首先对阵列信号处理的信号模型做一简单介绍。我们认为模型满足下列假设条件:(1)阵列的各个阵元均为各向同性的阵元，阵元位置坐标已知；各阵元及通道幅相特性一致。阵元间隔不大于最高频率信号半波长，即阵列要满足空间采样定理。(2)信号满足远场条件，信源数小于阵元数。(3)各阵元和通道噪声均为零均值高斯白噪声，互不相关
2、，且与信号独立。第7章 阵列信号处理1.阵列信号模型阵列信号模型设在空间有M个阵元组成的阵列，阵元编号为1到M。不失一般性，以阵元1作为参考阵元，令各阵元相对参考阵元的位置向量为di(i=1，2，M)。阵元1接收到的信号为s(t)=u(t)expj2f0t+j(t)，其中u(t)是信号包络，j(t)是相位，f0为载波频率，则各阵元接收到的信号相对参考阵元有一个延迟。各阵元接收到的信号表示为),()(exp)()(iiiittftutsj0j2i=1,2,M (7.1.1)一般阵列信号处理中使用的都是窄带信号，若信号带宽为B，中心频率为f0，则阵列处理中的窄带信号的定义如下:第7章 阵列信号处理
3、定义1:Bf0，一般有B/f00.1。定义2:max0设i是矩阵R的第i个特征值，vi是与i相对应的特征向量，则有 Rvi=ivi(7.5.4)下面我们来讨论噪声子空间的性质。设i(i=N+1，N+2，M)是R的MN最小特征值，有Rvi=2vi，i=N+1，N+2，M，(7.5.5)将R=ARSAH+2I代入上式得2vi=(ARSAH+2I)vi(7.5.6)将上式右边展开与左边比较，可得:第7章 阵列信号处理 ARSAHvi=0，i=N+1，N+2，M(7.5.7)因为AHA是NN维的满秩矩阵，所以(AHA)1存在，而(RS)1也存在，则上式两边同乘(RS)1(AHA)1AH以后变成 (RS
4、)1(AHA)1AHARSAHvi=0，i=N+1，N+2，M (7.5.8)于是有AHvi=0，i=N+1，N+2，M (7.5.9)用各噪声特征向量构造一个噪声矩阵UN如下UN=vN+1，vN+2，vM(7.5.10)定义空间谱(7.5.11)2HHHMUSIC)(1)()(1)(aUaUUaNNNP第7章 阵列信号处理2.MUSIC算法的实现算法的实现第1步，根据L个接收信号向量得到下面的协方差矩阵的估计值:(7.5.12)LkkkL1H)()(1XXR并对上面得到的协方差矩阵进行特征值分解R=ARSAH+2I。第2步，按特征值的大小顺序，把与信号个数N相等的特征值和对应的特征向量看做信
5、号部分空间，把剩下的MN个特征值和特征向量看做噪声部分空间，得到噪声矩阵UN:UN=vN+1，vN+2，vM (7.5.13)第7章 阵列信号处理第3步，使变化，按照式来计算谱函数，通过寻求峰值来得到波达方向的估计值。)()(1)(HHMUSICaUUaNNP例例 7.3 阵列的结构同例7.1，两个远场信号分别位于0和10处，信噪比为0 dB，快拍数为200。用MUSIC法构成的空间谱和常规波束形成器构成的空间谱如图 7.6所示，图中(a)为常规波束形成的空间谱，(b)为MUSIC法构成的空间谱。从图中可以看出，MUSIC法能够准确地分辨出两个信号，而常规波束形成器由于主瓣宽度的限制，即使信噪
6、比较高，也无法分辨出两个距离较近的目标。第7章 阵列信号处理图 7.6 MUSIC法和常规波束形成法的空间谱第7章 阵列信号处理7.6 最大似然法与子空间拟合方法测向最大似然法与子空间拟合方法测向这里所考虑的仍是如何从阵列的输出测量中提取有关目标信息的问题。将阵列的接收信号重写如下x(n)=A()s(n)+n(n)(7.6.1)在前面的讨论中我们知道，阵列接收信号的自相关矩阵经特征值分解后，可以得到信号子空间US，它和阵列流形A张成同一个子空间，所以必然存在一个非奇异矩阵T，使得US=AT(7.6.2)当US已知时，求解上式的一种很自然的方法就是求信号子空间和模型子空间的最小平方拟合，即(7.
7、6.3)2sT,|)(|min arg,FTAUT第7章 阵列信号处理在L个等间隔的时刻上对阵列的输出进行齐次采样，可以构成一个ML维的数据矩阵XL。给定这L次测量输出XL，基本的子空间拟合问题可以定义为将A()张成的子空间与测量输出XL拟合的确定性最大似然准则。这一问题可用数学方法表示为(7.6.4)2,arg min|()|FA TA TPAT可以证明，式(7.6.4)中的求最小值问题可以对两个参变量A和T分开进行。首先固定A()，只对T求最小值，可以得到伪逆解:T=A+P(7.6.5)第7章 阵列信号处理式中，A+=(AHA)1AH是A的伪逆矩阵。将式(7.6.5)代入到式(7.6.4)
8、，可以得到22|min arg|min argFAAFAPQPAAPA(7.6.6)式中QA=IAA+。利用求逆算子的性质，有(7.6.7)Harg minTrAAAQ PP根据QA=AA+=IQA，可以得到式(7.6.7)的等价表示式 (7.6.8)PPQAHTrmax argAA利用式(7.6.6)式(7.6.8)中任一式求出阵列流形的估计(目标方位向量的估计)，即可相应地估计得到目标的方位。第7章 阵列信号处理在简单的一维算法中，对目标方位的估计是通过在观测空间做一维搜索实现的，也就是通过在一维空间谱上寻找峰值点来确定的。此时式(7.6.4)中的A()对应一个扫描矢量a()。若将与测量数
9、据有关的矩阵P用信号子空间的估计值US来代替，则式(7.6.8)可以写成如下形式(7.6.9)()()()(max arg|max arg Trmax argHHSSH2SHSSaaaUUaUQUUQAaFaaaa第7章 阵列信号处理当PPH=R，并且在一维空间做搜索，即QA=Qa时，式(7.6.8)可以写成(7.6.10)()arg maxTraNaaQ U而此时的投影矩阵，所以有aaaaQaHH(7.6.11)aaaUaUQHHTrNNa当搜索从N个方位同时进行时，式(7.6.8)即为(7.6.12)N()arg maxTrAAAQ U第7章 阵列信号处理7.7 旋转不变子空间算法测向旋转
10、不变子空间算法测向1.ESPRIT算法原理算法原理ESPRIT算法要求有两个结构相同的子阵。为了讨论方便又不失一般性，假设阵列为均匀线阵，阵元标号从1到M。将阵列分为两个子阵，阵元1到M1为子阵1，阵元2到M为子阵2，这是最简单的两个结构相同、平移不变的阵列。空间N个不相关信号入射，且NM1。由阵列模型可以看到，对于两个子阵1和2，阵列接收数据有X1=A1(M1)S+N1(7.7.1)X2=A2MS+N2(7.7.2)第7章 阵列信号处理将两个子阵接收数据写作X1=A1S+N1(7.7.3)X2=A1S+N2(7.7.4)如果令(7.7.5)NASNSAAXXX1121其协方差矩阵为(7.7.
11、6)NSERAARXXRHH可以看出它与单个阵列的模型相似。对其作特征分解也可同样得到大特征值对应的信号子空间和小特征值对应的噪声子空间，写作(7.7.7)HNNNHSSSUUUUR第7章 阵列信号处理由前述可知，信号子空间与方向向量张成的子空间相同，这意味着存在一个唯一的非奇异矩阵T，使得US=AT (7.7.8)即(7.7.9)TATAUU112S1S矩阵T反映了US和A的对应关系。由于阵列的不变性结构，所以US1、US2与A1张成的子空间相同。由上式则可知US2=US1T1T=US1(7.7.10)上式说明，反映了子阵1和子阵2接收数据的信号子空间的旋转不变性。如果A列满秩，则有第7章
12、阵列信号处理=T1T (7.7.11)由于US1和US2对应的特征值是噪声和信号之和，故US1和US2中存在噪声。因此可以用总体最小二乘法(TLS)来求得式(7.7.10)的最优解。因为US1和US2共享一个列空间，所以US12=US1US2的秩为N，这意味着唯一存在一个秩为N的矩阵FC2NN，满足(7.7.12)0TFATFAFUFUFUU211122S11S2S1S即US1F1+US1F2=0 (7.7.13)所以=F1F21 (7.7.14)第7章 阵列信号处理对于矩阵US12，注意到其秩为信源数N，做共轭乘积UHS12US12，则对于2N2N维矩阵UHS12US12，有N个0特征值。这
13、些0特征值对应的特征向量与US1及US2正交。故对其作特征分解UHS12US12=EEH (7.7.15)其中，E为特征向量，为特征值对角矩阵。仿照信号子空间和噪声子空间，E可以写作(7.7.16)2211FEFEE其中，F=F1F2T为0特征值对应的特征向量，则有 US12F=0(7.7.17)第7章 阵列信号处理2.ESPRIT算法的实现算法的实现TLS解ESPRIT算法流程如下:第1步，由两个子阵的接收数据X1和X2，通过式(7.7.6)得到数据协方差矩阵R；第2步，对R的特征分解。根据最小特征值的重数确定信源个数N，再根据特征向量构造信号子空间US；第3步，将US分解为子阵列矩阵US1
14、2。对UHS12US12进行特征分解后得到2211FEFEE第7章 阵列信号处理第4步，对进行特征分解，得到的特征值的相位即对应信号的角度。例 7.4 阵列的结构同例7.1，两个远场信号分别位于0和10处，信噪比为0 dB，快拍数为200。分别使用自空间拟合法和ESPRIT法对其进行100次蒙特卡罗仿真实验，其方位估计结果如表7.1所示。结果说明两种方法均能有效地提取目标的方位信息。第7章 阵列信号处理表表7.1 子空间拟合法和子空间拟合法和ESPRIT法的法的DOA估计结果估计结果方法子空间拟合法ESPRIT法方位角/（）010010均值/（）0.010110.00030.022910.0460方差/（）0.12950.15880.17820.2244
