1、电气测试技术第第2 2章章 测量误差及数据测量误差及数据处理处理主讲：王秀华电气测试技术第2章 测量误差及数据处理 研究测量误差的目的是要在认识和掌握误差规律的基础上指导设计、制造和使用测量仪表。要解决一项测量任务，必须分析被测对象和被测量的特性，选用适当的测量仪表和测量方法，组成合理的测量系统，然后对测量结果进行数据处理和作出恰当的评价。所有这些都离不开误差理论的指导。电气测试技术第2章 测量误差及数据处理2.1 误差来源及分类2.2 误差的表示方法2.3 随机误差的估算2.4 系统误差及其减小方法2.5 粗大误差的判断准则2.6 测量数据的处理2.7 误差的合成与分配电气测试技术2.1 误
2、差的来源及分类1.误差的来源：（1）仪器、仪表误差：仪器仪表本身及其附件引起的误差称。（2）影响误差 由于各种环境因素与仪器仪表所要求的使用条件不一致而造成的误差。（3）方法误差 由于测量方法不合理所造成的误差。电气测试技术2.1 误差的来源及分类（4）理论误差 由于仪器仪表所依据的理论或公式本身不完善或者是近似的所引起的误差。例如，用均值表测量非正弦信号电压，须进行波形换 算，其定度系数为：（5）人身误差 由于测量者的分辨力、视觉疲劳、习惯或缺乏责任心等因素引起的误差。人身误差是由于人为因素造成的，欲减小人身误差必须加强责任心。11.122K电气测试技术2.1 误差的来源及分类2.误差的分类
3、（根据误差的性质及其产生的原因）（1）系统误差（简称系差）a）在相同条件下多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者改变测量条件时，按一定规律变化的误差。前述仪器仪表误差、方法误差和理论误差均属于系统误差。b）系统误差是有规律性的误差。通过仔细分析和研究，产生系统误差的规律是可以掌握的。因此，可设法减小或消除系统误差。c）系统误差表征了测量结果的准确度，系统误差愈小，准确度愈高，反之亦然。电气测试技术2.1 误差的来源及分类（2）随机误差 a）在相同条件下多次重复测量同一被测量，其误差的大小和符号均是无规律变化的误差。b）产生随机误差的原因是由于许多复杂的因素微小变化的总和引起的。例
4、如，仪表内部某些元件的热噪声和散粒噪声、机械部件的间隙和摩擦、电源电压、频率和环境因素的频繁而无规律的变化等引起的误差均属随机误差。c）随机误差表征了测量结果的精密度，随机误差小，精密度高，反之，精密度低。电气测试技术2.1 误差的来源及分类服从正态分布规律的随机误差 单峰性 有界性 对称性 抵偿性电气测试技术2.1 误差的来源及分类（3）粗大误差（简称粗差）a)在相同 条件下多次测量同一被测量时，可能有某些测量值明显偏离了被测量的真正值所形成的误差。b)前述的人身误差是产生粗差的原因之一。此外，由于测量条件的突然变化，例如电源电压突变、雷电、机械冲击等是造成粗差的客观原因。c)凡是被确认含有
5、粗差的测量结果称为坏值。在测量数据处理时，所有坏值都必须剔除。电气测试技术2.2 误差表示方法1.测量误差的表示方法（1）实际值绝对误差 定义：由测量所得的被测量的值x与被测量实际值A之差称为实际值绝对误差，记为例2-1 一个被测电压的实际值为100V，用一只电压表测量，其指示值 =101V，则其实际值绝对误差为：=(101-100)V=+1V 此为正误差，表示仪表示值比被测量实际值大1V。AxxxUUUUx电气测试技术2.2 误差表示方法电气测试技术2.2 误差表示方法 修正值a)定义：与绝对误差的数值相等而符号相反的量值称为修正值，用C来表示，则 b)修正值C是通过检定（或校准）由上一级标
6、准（或基准）以表格、曲线、公式或数字等形式给出的。因此 例2-2 一台晶体管毫伏表的l0mV档，测量时示值为8mV，在检定该表时8mV刻度处的修正值为（-0.03mV)，则被测电压的实际值为 =8+(-0.03)mV=7.97mV xAxccxAcxU电气测试技术2.2 误差表示方法c)可见，用修正值可以减小测量误差，得到更接近于被测量真值的实际值。d)因此，测量仪表应定期送计量部门检定，以便获得准确的修正值。e)应该指出，使用修正值必须在仪表检定的有效期内。修正值本身也有误差。电气测试技术2.2 误差表示方法 绝对误差虽然可以说明仪表示值偏离被测量实际值的程度，但不能说明测量的精确度。例2-
7、3 测量两个电压，实际值 =100V，=5V，仪表的示值分别为 =101V，=6V，其绝对误差分别为 =(101-100)V=+1V =(6-5)V=+1V 很显然，虽然两者的绝对误差相同，但是两者测量的精确度却相差甚远，因此有必要引入相对误差的概念。1U2U1xU2xU111UUUx222UUUx电气测试技术2.2 误差表示方法 （2）实际值相对误差 定义：实际值绝对误差与被测量实际值之比的百分数称为实际值相对误差，即 例2-4 利用例2-3的数据，测量两电压的相对误差分别为 可见，两者绝对误差相同，但相对误差差别很大，测量 的精确度比 的高得多。%100AAx%1%1001001%1001
8、1A1UU%20%10051%10022A2UU1U2U电气测试技术2.2 误差表示方法 在误差较小、要求不太严格的场合，可以用仪表的示值x代替实际值A，此时的相对误差称为示值相对误差，即 式中，由所用仪表的精度等级给出。由于x含有误差，故 只适用于近似测量或工程测量。%100 xxxxx电气测试技术2.2 误差表示方法2.仪器仪表误差的表示方法 误差是仪器仪表的重要质量指标。按有关规定，可用两种方法来表征仪表的性能：（1）工作误差、固有误差、影响误差和稳定误差；（2）基本误差和附加误差。基本误差它是仪器仪表在标准条件下使用时所具有的误差。附加误差当仪表在使用中偏离了标准工作条件，除了基本误差
9、外，还会产生 附加误差。电气测试技术2.2 误差表示方法（1）基本误差 是仪器仪表在标准条件下使用时所具有的误差。标准条件一般是指仪器仪表在标定刻度时所保持的工作条件。对于相同的绝对误差，相对误差随被测量x的增大而减小，相反，随x的减小而增大，在整个测量范围内相对误差不是一个定值。因此，相对误差不能用于评价仪器仪表的精确度，也不便于用来划分仪器仪表的精度等级。因此，在确定仪表的精度等级时，采用最大满度引用误差（也称为最大满度相对误差）的概念。电气测试技术2.2 误差表示方法 最大满度引用误差是最大绝对误差与仪器仪表量程满度值 之比的百分数，即 是仪器仪表在标准条件下使用不应超过的误差。由于在仪
10、表的刻度线上各处均可能出现 ，所以从最大误差出发，在没有修正值的情况下，测量者应当认为在整个测量范围内各处示值的最大误差 是个常数。%100mmomxxmxommxmx电气测试技术2.2 误差表示方法电气测试技术2.2 误差表示方法 例2-5 检定一台Am=5A，s=1.5的电流表，在 =2.0A处，其 =0.1A，问此电流表精度是否合格？解：由 得 因为 2.0%1.5%所以该表不合格。可作2.5级表使用。仪器仪表的基本误差也经常遇到同时应用相对误差和绝对误差来表示的情况。例如电位差计的基本误差经常表示成 。xAmA%100mmomxx%0.2%10051.0omV101024xU电气测试技
11、术2.2 误差表示方法电气测试技术2.2 误差表示方法结论：工艺要求的允许误差仪表的允许误差 校验所得到的最多满度 引用误差例：某被测温度信号在7080范围内变化，工艺要求测量误差不超过1，现有两台温度测量仪表，精度等级均为0.5级，其中一台仪表的测量范围是0100，另一台仪表的测量范围是0200，试问这两台仪表能否满足上述测量要求。电气测试技术2.2 误差表示方法解：根据公式 可得 被测温度的允许最大绝对误差为：|max|8010.8 测量范围为0100的仪表的最大允许绝对误差为：|max|11000.50.5 测量范围为0200的仪表的最大允许绝对误差为：|max|22000.51.0 根
12、据上述计算，虽然两台仪表的精度等级均为0.5级，但只有测量范围是0100的温度测量仪表才满足本题的测量要求。%100mmomxx电气测试技术2.2 误差表示方法 （2）附加误差 当仪表在使用中偏离了标准工作条件，除了基本误差外，还会产生附加误差。附加误差也用百分数表示。例如，仪表使用时温度超出(205)，则会产生温度附加误差；使用时电源电压超出(2205%)V，则会产生电压附加误差。此外，还有频率附加误差，湿度附加误差，振动附加误差等等。在使用仪表时，附加误差和基本误差要合理综合，再估计出测量的总误差。电气测试技术2.2 误差表示方法 （2）数字仪表误差的表示方法 数字仪表的基本误差用下列两种
13、方式表示：几个字 是用示值相对误差表示的，它与读数成正比，称为读数误差。它与仪表各单元电路的不稳定性有关。不随读数变化，一定时，它是个固定值，称为满度误差。它包括量化误差和零点误差等。满度误差与所取量程有关，故常常用正负几个字来表示。m%xbxaxxax%xa%m%xbmx电气测试技术2.2 误差表示方法 例2-6 有五位数字电压表一台，基本量程5V档的基本误差为0.006%Ux0.004%Um，求满度误差相当于几个字。解：0.004%=0.004%5V=0.0002V 由于该表可显示5位数字，故0.0002V，恰好相当于末位正负2个字。因此该表5V量程的基本误差也可以用上式中的第二种方式表示
14、为：U=0.006%Ux2个字 由此可见，两种表示方式是完全一致的。电气测试技术2.2 误差表示方法3.单次直接测量时最大误差的估计 设只有基本误差的情况下，仪器仪表的最大绝对误差为由 得 与示值x之比，即为最大示值相对误差 可见，不仅与仪器仪表的精度s有关，而且与满度值 和示值x之比值有关。示值x大时，相对误差 小。当 时，。可见，仪器仪表给出的精度 是相对误差的最小值。x离开满度值 愈远，愈大。%mmomsxx100mm%xsxmxxxsxxxmmm%100mxmxmxmxx%msx%smxmx电气测试技术2.2 误差表示方法 因此，当仪器仪表的精度等级已知时，示值x愈接近满度值 ，测量示
15、值的精度愈高。在使用正向刻度的模拟式仪表时，应尽量使指示值x靠近满度值 ，至少应在 x2/3 左右。反之，在选择仪表量程时，应该使其满度值 尽量接近被测量的数值，至少不应比被测量值大得太多。mxmxmxmx电气测试技术2.2 误差表示方法 例2-7 测量一个约80V的电压。现有两块电压表，一块量程为300V，0.5级；另一块量程100V，1.0级，应该选择哪块电压表测量该电压？解：根据式 ，求其最大相对误差。1）使用300V，0.5级电压表时 2）使用100V，1.0级电压表时 可见，用100V，1.0级电压表测量该电压时，精度比较高。故选用100V，1.0级电压表较好。xxsxxxmmmm%
16、100%88.180300%5.01x%25.180100%0.12x电气测试技术2.2 误差表示方法 例2-8 被测电压约10V。现有：150V，0.5级和15V，2.5级电压表两块，则电压表的示值范围分别是多少？解：用表时：其示值范围为10V0.75V。用表时：其示值范围为10V 0.375V。可见，选择2.5级的表比选择0.5级的表测量误差小。V75.0V150%5.0%mmUsUV375.0V15%5.2%mmUsU电气测试技术2.2 误差表示方法 例2-9 用一台4位的数字电压表的5V量程分别测量5V和0.1V电压，已知该仪表的基本误差为0.01%1个字，求由于该表的基本误差引起的测
17、量误差。解：测量5V电压时的绝对误差：因为该表是4位的，用5V量程时，1个字相当于0.001 V，所以绝对误差为 =(0.00050.001)V=0.0015V因此其示值相对误差为 xU个字1V5%01.01U%03.0%10050015.0%100111UU电气测试技术2.2 误差表示方法 测量0.1V电压时的绝对误差：=(0.000010.001)V=0.00101V其示值相对误差为 可见，当不接近满量程时，误差是很大的。同时还可看出，“1个字”的误差对测量结果的影响也是比较大的，不可忽视。个字1V5%01.01U%1%1001.000101.0%100222UU电气测试技术2.3 随机误
18、差的估算1.测量值的算术平均值与数学期望 由同一测量者用同一仪器和方法，以同样的精细程度在短时间内对同一被测量进行多次重复测量，称为等精密度测量。设对被测量x进行n次等精密度测量，得测量值数列为：为随机变量，测量值的算术平均值为：当测量次数 时，样本平均值 的极限称为测量值的数学期望 为：nxxxx，321niixnx11ix样本平均值fnxxE)1(lim1niinxxnE总体平均值f电气测试技术2.3 随机误差的估算 由上述可知，随机误差是精密度的反映，表征了各次测量值的分散程度，故随机误差 为：即 而系统误差是准确度的反映，则系统误差 为：即真值绝对误差 是测量示值 与真值之差为：由上式
19、可见，绝对误差等于随机误差与系统误差的代数和。若系统误差和粗差等于零()，则ixiiEx xiiEx0AExxEA0ixixixxiiiEEAxx)()(00AEx0Axii电气测试技术2.3 随机误差的估算随机误差的算术平均值 为 当 时，则 由此可见，当 时，随机误差的算术平均值为零。对于有限次等精密度测量，当n足够大时，可近似认为 。则 由此可见，若仅存在随机误差，可用多次测量的算术平均值 作为最后的测量结果。（常在实验里用到）niniiniiniiAnxnAxnn10101111)(11n0Ax xEx 00AExn00Ax x电气测试技术2.3 随机误差的估算 各次测量值 与算术平均
20、值 之差称为剩余误差（简称残差）。对残差求代数和 即当n足够大时，剩余误差的代数和等于零。利用这一性质可以检验所计算的算术平均值是否正确。xixxxviixnxnnxxxxvniininiiniinii111111)(0 xnxn电气测试技术2.3 随机误差的估算2.随机误差的估算过程 （1）标准差 测量值的算术平均值是被测量的最可信赖值。但是仅知道测量值的算术平均值仍无法知道测量值的分散程度。被测量的分散程度可以用测量值数列的标准差来表示。其定义为：当 时，随机误差 的平方的算术平均值再开平方后，只取正值，即 标准差 是表征精密度的重要参数。越小表示测量值集中；越大表示测量值越分散。nini
21、in121电气测试技术2.3 随机误差的估算 (2)随机误差的正态分布 由概率论中的讨论可知，测量中随机误差 的分布和在 影响下的测量数据的分布大多数是服从正态分布的。服从正态分布的随机误差，其概率密度函数 为：与 的曲线如图，可见，标准差 一经确定，就是 的单值函数。ii()22221)(e)()(电气测试技术2.3 随机误差的估算 下图示出了3个不同的 对应的3条正态分布曲线。可见，愈小，曲线愈高愈陡，小误差出现的概率愈大，表示测量值集中，精密度高；反之，愈大，曲线愈平坦，测量值分散，精密度低。)(电气测试技术2.3 随机误差的估算 (3)贝塞尔公式 上述的标准差 是在 的条件下推导出的。
22、在实际测量中，测量次数n不可能无穷大。当测量次数n为有限次时，可用剩余误差 来计算标准差 ，同时用标准差的估计值 代替 。在有限次测量中，标准差估计值 可用贝塞尔公式计算，即：式中，(n-1)称为自由度，常用K表示，K=n-1。niin1211in电气测试技术2.3 随机误差的估算 （4）算术平均值标准差 在有限次等精密度测量中，以测量值的算术平均值作为测量结果。如果在相同条件下对同一量值作m组，每一组作n次测量，通过计算可得到m个算术平均值。由于随机误差的存在，这m个算术平均值并不相同，而围绕着真值A 有一定的分散性，这说明了算术平均值还存在着误差。当需要更精密考虑时，可用算术平均值的标准差
23、 来评定测量结果的分散程度。电气测试技术2.3 随机误差的估算 算术平均值标准差与标准差估计值的关系为：可见，随n的增大而减小，测量次数愈多，测量结果的精密度愈高。但由于 与 成反比，精密度的提高随n的增大而越来越慢。一般取n=1020次即可。不能单靠增加n来减小 ，而应该在增大n的同时，设法减小 ，这就意味着要改善测量方法，采用精确度等级较高的仪器仪表，才能进一步提高测量的精密度。nxxxnx电气测试技术2.4 系统误差及其减小方法 如前所述绝对误差是系统误差和随机误差的代数和，即 此式说明测量结果的精确度不仅取决于随机误差，也取决于系统误差。由于系差不具有抵偿性，不能用求算术平均值的方法加
24、以消除。但是，系差是有规律性的误差，经过仔细的分析和研究，其产生的规律是可以掌握的，因此可以采取一些技术措施削弱或消除其对测量结果的精确度的影响。iix电气测试技术2.4 系统误差及其减小方法1.系统误差的分类（1）恒值系统误差 （2）变值系统误差 线性系统误差 周期性变化的系统误差 复杂变化的系统误差 （通常是由几个影响因素同时变化引起的。）电气测试技术2.4 系统误差及其减小方法2.系统误差的判断 实验对比法：改变测量条件、测量仪器仪表或测量方法进行重复测量，然后将测量结果进行对比，从而发现系差。剩余误差观察法：用仪器仪表对某一被测量进行一系列等精密度测量，得示值 ，然后求算术平均值 ，并
25、求出各示值的剩余误差 ，最后将剩余误差数列按测量先后制成表格或画成曲线进行观察，从而判断是否存在系差。nxxx,21xn,21电气测试技术2.4 系统误差及其减小方法 马利科夫判据 该判据用于判断是否存在线性系差。当n为偶数时，当n为奇数时，如果满足：，则认为不存在线性系差。如果满足：，则认为存在线性系差。nniinii1221nniinii232110|im电气测试技术2.4 系统误差及其减小方法 阿卑赫梅特判据 该判据用于判断是否存在周期性系差。首先按测量数据的测量先后求剩余误差列 。然后用 下式判断：若上式成立，则认为存在周期性系差，否则不存在周期性系差。n,21211132211|nn
26、iiinn对于存在变值系差的测量数据，原则上应舍去不用。但是，若明显小于测量允许的误差范围或者仪器仪表的基本误差，也可以考虑使用。电气测试技术2.4 系统误差及其减小方法3.减小系统误差的方法 从产生系差的原因采取措施 定期校正减小缓变系差 用加修正值方法减小系差 零位测量法 微差法 替代法电气测试技术2.4 系统误差及其减小方法 从产生系差的原因采取措施 接受一项测量任务后，首先要研究被测对象的特性，选择适当的测量方法和测量仪表、所用仪表的精度等级和量程上限；测量工作环境是否符合仪表的标准工作条件。必要时可采用稳压、稳频、恒温、散热、防振和屏蔽接地措施。测量者应提高测量技术水平，增强责任心，
27、克服主观原因所造成的误差。为避免读数或记录出错，可用数字仪表代替指针式仪表，用自动打印代替人工抄写等。总之，在测量工作开始前，尽量消除产生误差的根源，从而减小系差的影响。电气测试技术2.4 系统误差及其减小方法 定期校正减小缓变系差 缓变系差的特点是随时间平稳变化。例如，仪表的零点和灵敏度过一段时间后可能会发生变化，如图。显然仪表的零点和灵敏度（或满度值）已发生变化、产生了系差。应调整仪表的零点和满度值机构使直线2回复至直线1，恢复仪表原来的输入输出特性，从而减小系差。为了不断消除仪表的缓变（或线性变化）的误差，应定期对仪表进行校正，校正周期愈短，缓变误差愈小。电气测试技术2.4 系统误差及其
28、减小方法 用加修正值方法减小系差 零位测量法 微差法 设标准量为N，被测量为x，微差为 ，则微差法的绝对误差 为：相对误差为：因为 ，故 ，并令 ，得：xNxxNxxNNxxNxxNx NxNx/电气测试技术2.4 系统误差及其减小方法式中，为标准量的相对误差，即为标准量的精度等级；为测量微差 的示值相对误差。由于标准量的精度等级很高，故上式第一项误差很小；第二项是两个小于1的数之乘积也很小。所以用微差法可以减小系差。NxNNxxNNx电气测试技术2.4 系统误差及其减小方法 例2-10 设标准电压UN=25V，s=0.1级，已知微差 ，用Um=1.0V，s=1.5级电压表测量 。求测量 的相
29、对误差。解：根据公式 得，测量 的相对误差为：再根据公式 得，测量 的相对误差为：V5.0UxUUNxNNxxUxUxxsxxxmmm%100%0.35.01%5.1%UUsm%16.0255.0%)0.3(%1.0NNNxUUUU电气测试技术2.4 系统误差及其减小方法电气测试技术2.4 系统误差及其减小方法解：由公式 可得：即：再根据公式 得：所以，即：取 s=2.5，故应该选用2.5级精度的电压表。NxNNxx%4.091%1.0 x%7.2xxsxmm%7.211%s%7.2%s7.2s电气测试技术2.4 系统误差及其减小方法 替代法 替代法是在测量过程中将被测量以等值的标准量来替换。
30、替换时，要使仪器的工作状态前后不变，这样就能消除由仪器产生的恒值系差。如图是利用等量替代法在平衡电桥上测量电阻 的电路。测量时，首先将S接到 ，调节电阻R使电桥平衡，则得：xRxRRRRRx21电气测试技术2.4 系统误差及其减小方法 式中 的误差与电桥参数有关。为消除这一误差，可用标准电阻 代替 。保持 和R不变，将S接于 ，调节 使电桥重新平衡，则得：比较上两式可得：可见，测量 的误差与桥路参数的精度无关，仅取决于标准电阻 的精度，因此可减小系差。xRNRxR21/RRNRNRRRRR21NNRRxxRNR电气测试技术2.5 粗大误差的判断准则1d21222e电气测试技术2.5 粗大误差的
31、判断准则)(2)d21(2)(022ttePttd22d21)(0222222eeP/tdtd电气测试技术2.5 粗大误差的判断准则表2-1 正态分布下的置信概率数值表t)(tt)(tt)(t电气测试技术2.5 粗大误差的判断准则t|)(21ta电气测试技术2.5 粗大误差的判断准则表2-2 正态分布的置信系数 反而言之，不超出 的概率为P，则 tt|)(t)(21taan/1|)(2)(21 11ttaP电气测试技术2.5 粗大误差的判断准则%26.683413.02)(2tP%44.954772.02)(2tP%73.9949865.02)(2tP电气测试技术2.5 粗大误差的判断准则 显
32、然，对于同一测量结果，所取置信区间愈宽，置信概率愈大，反之亦然。置信概率与置信区间的关系如图所示。电气测试技术2.5 粗大误差的判断准则2.有限次测量的置信度 上图所示的置信概率与置信区间的关系，是在测量次数n足够多，误差服从正态分布，以标准差为条件得出的结论。若测量次数n较小（），随机误差的分布曲线与正态分布曲线差别较大，而服从t分布（也称学生分布），如图所示。20n电气测试技术2.5 粗大误差的判断准则电气测试技术2.5 粗大误差的判断准则PK PK电气测试技术2.5 粗大误差的判断准则33电气测试技术2.5 粗大误差的判断准则33|i20n20n电气测试技术2.5 粗大误差的判断准则|G
33、i3atG电气测试技术2.5 粗大误差的判断准则 表2-4 格拉布斯系数表 pn95%99%pn95%99%pn95%99%31.151.16122.292.55212.582.9141.461.49132.332.61222.602.9451.671.75142.372.66232.622.9661.821.94152.412.70242.642.9971.942.10162.442.75252.663.0182.032.22172.472.78302.743.1092.112.32182.502.82352.813.18102.182.41192.532.85402.873.24112.2
34、32.48202.562.88502.963.34电气测试技术2.6 测量数据的处理 测量数据的处理是指从原始的测量数据中经过加工、整理求出被测量的最佳估计值，并计算其精确度。1.测量数据的有效位数 （1）的舍入法则 由于测量数据是由0，1，2，3，9十个数组成的近似数，因此在进行数据处理时会遇到数据的舍入问题。通常的“四舍五入”规则中，对5只入不舍是不合理的，它也应当有舍有入。所以在测量技术中规定：“小于5舍，大于5入，等于5时采取偶数法则”。电气测试技术2.6 测量数据的处理例2-11 将下列数字保留三位：12.3412.3（45）12.3512.4（因第三位是3为奇数，5入）12.451
35、2.4（因第三位是4为偶数，5舍）当舍入足够多时，舍和入的概率相同，从而舍入误差基本抵消，又考虑到末位是偶数容易被除尽，减小计算误差。由此可见，每个数据经舍入后，末位是欠准数字，末位以前的数字是准确数字。其舍入误差不会大于末位单位的一半，这是最大舍入误差，故称该舍入法则为“0.5”误差法则。电气测试技术2.6 测量数据的处理 （2）有效数字的位数 所谓有效数字的位数，是指在一个数值中，从第一个非零的数算起，到最末一位数为止，都叫有效数字的位数。例如，0.27是两位有效数字；10.30和2.102都是四位有效数字。可见，数字“0”在一个数值中，可能是有效数字，也可能不是有效数字。如数值0.270
36、是3位有效数字，开头的“0”不是有效数字，因为它与测量精度无关，而只与采用的单位有关。而最后一个“0”是有效数字，因为它与测量精度有关。电气测试技术2.6 测量数据的处理 又例如0.0208V，前面两个零不是有效数字，中间一个“0”是有效数字。当转换毫伏为单位时，前面的“0”就消失了，写成20.8mV。数字尾部的“0”是很重要的，不能多写也不能少写。例如20.80mV，表示精确到百分位，是4位有效数字，不能写成20.8mV，这是精确到十分位，是3位有效数字。再例如1000mA，是4位有效数字，精确到mA级，不能写成1A，这是一位有效数字，但可写成1.000A，这是4位有效数字。电气测试技术2.
37、6 测量数据的处理 （3）有效数字的运算规则 在数据处理中，常需要对一些精度不相等的数进行四则运算。为了使计算简单准确，可首先将参加运算的各个数，以精度最差的一个为基准进行舍入处理（也可多保留一位欠准数字），计算结果也按精度最差的那个数为基准作舍入处理（也可以多保留一位或两位欠准数字）。这样使计算简便准确。电气测试技术2.6 测量数据的处理 （4）有效数字位数的确定 确定有效数字位数的标准是误差。并非写得越多越好，多写位数，就夸大了测量的精确度，少写位数就会带来附加误差。测量结果有效数字处理原则是：由测量精确度来确定有效数据的位数，但允许多保留一位欠准数字，与误差的大小相对应，再根据舍入法则将
38、有效位以后的数字舍去。电气测试技术2.6 测量数据的处理例2-12 用一块 =100V，s0.5级电压表进行测量，其示值为85.35V，试确定有效数字位数。解：该量程的最大误差为：可见示值范围为84.85 85.85V，因为误差是0.5V，根据“0.5”误差法则，此数据的末位应是整数，所以测量结果应写成两位有效数字，根据舍入法则，示值末尾的0.350.5，因此，不标注误差的报告应写成85V。由上可见，测量结果的有效数字反映了测量的精确度。mU0.5V100V0.5%mmUsU电气测试技术2.6 测量数据的处理 例如123V，末位是个位，表明其绝对误差在 0.5V以内；若1.23V，末位是百分位
39、，表明其绝对误差在 0.005V以内。有效数字的位数与小数点的位置和所用单位都无关，而只由误差的大小所决定，这是应该十分明确的。电气测试技术2.6 测量数据的处理2.等精密度测量结果的处理步骤 对某一被测量进行等精密度测量时，其测量值可能同时含有随机误差、系统误差和粗大误差。为了合理估算其测量结果，写出正确的测量报告，必须对测量数据进行分析和处理。数据处理的基本步骤如下：（1）用修正值等方法，减小恒值系统误差的影响。（2）求算术平均值 式中，是指可能含有粗差在内的平均值。niixnx11x电气测试技术2.6 测量数据的处理xxiiniin1211电气测试技术2.6 测量数据的处理3Gt|ix
40、i电气测试技术2.6 测量数据的处理nniinii1221nniinii23211|im电气测试技术2.6 测量数据的处理2111|niniinx电气测试技术2.6 测量数据的处理xaxtxxGxx3xxxA电气测试技术2.6 测量数据的处理 必须指出，上述计算所用数据和计算所得各个值均是在无坏值情况下的计算结果。在上述计算过程中，也应当考虑有效数字的位数，可先化整然后再计算，使计算简化。为避免累积误差，在化整和结果中可保留两位欠准数字。但最后结果要与误差相对应。电气测试技术2.6 测量数据的处理例2-13 对某一电压进行16次等精密度测量。测量数据中已计入修正值，具体数值见表（单位为V）。要
41、求给出包括误差（即不确定度）在内的测量结果表达式。niUiiniUii电气测试技术2.6 测量数据的处理V30.205161161iiUUUUii0161ii43.0116112nii电气测试技术2.6 测量数据的处理05.143.044.2GUiV21.205116116641iiiiUUUi电气测试技术2.6 测量数据的处理 计算标准差估计值 ，再查表2.4，得G=2.41，算出 再判断坏值。查表知 ，说明所剩数据中没有坏值。6）判断有无变值系差。马利科夫判据判断是否有线性系差：查表知 ，可见 ，不存在线性系统误差。24.0 15n58.024.041.2G0.580.51|im-0.06
42、0.07-0.13161086,41iiii51.010im|10电气测试技术2.6 测量数据的处理 利用阿卑赫梅特判据判断有无周期性系差：而可见 ，故不存在周期性系统误差。7）利用 计算算术平均值标准差的估计值。193.0|166,411iii216.024.0115)(122n21111|ninii06.01524.0nx电气测试技术2.6 测量数据的处理15 n141 nK1.013.006.014.2xaxtV)1.02.205(xUUx205.2VU电气测试技术2.7 误差的合成与分配1.概述测量方法分为：直接测量、间接测量和组合测量；前面课程涉及的误差计算都是在直接测量的基础上讨论
43、的。对间接测量的误差又应该如何计算？电气测试技术2.7 误差的合成与分配12S110米跨栏米跨栏12秒秒88S1 S2刘翔刘翔已知已知 ，如何求如何求?RlS电气测试技术2.7 误差的合成与分配（1）误差的合成 已知被测量与各个参数的函数关系以及各个参数测量值的分项误差，求被测量的总误差称为误差的合成。（2）误差的分配 已知总误差及其与各测量值之间的函数关系，将总误差合理地分配给各测量值称为误差分配。电气测试技术2.7 误差的合成与分配),.,(21nxxxfy nxxx，21iniixxfy1绝对误差传递公式 电气测试技术2.7 误差的合成与分配iniiyxxfyyr1ln电气测试技术2.7
44、 误差的合成与分配1.常用函数的合成误差 （1）积函数的合成误差 设 ，为积函数，对y求全微分得其绝对误差为：若要求其相对误差，可对y取对数再求全微分，即从最大误差出发，总误差应等于各分项误差之绝对值和。即 21xxy 2112dxxdxxdy21lnlnlnxxy212211xxyrrxdxxdxydyr|)|(|21xxymrrr电气测试技术2.7 误差的合成与分配例：已知电阻上的电压和电流的误差分别为2.0%和1.5%，求电阻耗散功率的相对误差。解：电阻耗散功率P=UI，此为积函数。根据上式得：如果已知电阻和电流的误差为2.0%和1.5%，则3.5%1.5%)(2.0%|)|(|IUpm
45、rrrRIP2RIIP5.0%1.5%)2(2.0%|)|2|(|IRpmrrr电气测试技术2.7 误差的合成与分配（2）商函数的合成误差 已知为商函数 。对y求全微分可得其绝对误差为：对y取对数得 ，然后微分y的相对误差为：可见，商函数的合成相对误差是各分项相对误差之差。从最大误差出发，仍取各分项误差的绝对值相加，即：21/xxy 222121122221/)(xdxxxdxxxdxxdxdy21lnlnlnxxy212211xxyrrxdxxdxr|)|(|21xxymrrr与积函数一样电气测试技术2.7 误差的合成与分配3.5%2.0%)(1.5%|)|(|RUcmrrr电气测试技术2.
46、7 误差的合成与分配（3）幂函数的合成误差 设 ，k=常数，可见y是幂函数。对y取对数得：然后微分，得y的合成误差 式中，n，m，p为影响系数。pmnxxkxy321321lnlnlnlnlnxPxmxnky332211xdxPxdxmxdxnry321xxxPrmrnr电气测试技术2.7 误差的合成与分配%0.2Ir%0.1Rr%5.0tr|)|2|(tRIQmrrrr%)5.0%0.1%0.22(%5.5电气测试技术2.7 误差的合成与分配（4）和差函数的合成误差 设 ，左式求全微分得绝对误差若各分项误差的符号不能预先确定时，从最大误差出发，仍取绝对值相加，即相对误差21xxy21dxdx
47、dy|)|(|21dxdxdy2121xxdxdxydyry电气测试技术2.7 误差的合成与分配21xxy22212112112121xdxxxxxdxxxxxxdxdxry21xxy22121211xxrxxxrxxx22121211xxyrxxxrxxxr电气测试技术2.7 误差的合成与分配321PPPPPPPPrrPPrPPrPPr321电气测试技术2.7 误差的合成与分配%0.12020%0.1%hmhffsr%0.21020%0.1%LmLffsrMHz10MHz)1020(LhBfff电气测试技术2.7 误差的合成与分配)|(|LLhLhLhhfrfffrfffr%0.4%)0.2
48、1010%0.11020(2121RRRRR电气测试技术2.7 误差的合成与分配2.系统误差的合成 （1）已定系统误差的合成 对于已定系差，由于误差的大小、符号和函数关系均为已知，故可直接由误差传递公式进行合成。因为 ，如果 ，则可对各分项误差采用代数和法进行合成。即：而相对误差为：iiix0iiniiyxf1iniiyyxfyr1ln电气测试技术2.7 误差的合成与分配500054321RRRRRR3)12231(51iiiRRR%06.0%10050003RrRR电气测试技术2.7 误差的合成与分配（2）系统不确定度的合成 对于未定系统误差，由于往往只知道其误差极限而不知道其确切的大小和符
49、号，因此对它的合成方法视具体情况而定。通常可用下列两种方法。绝对值和法 各分项误差取绝对值，然后求和。用式子表示为：绝对系统不确定度 相对系统不确定度niiiymxf1niiiymxfr1电气测试技术2.7 误差的合成与分配|)|(|n21rrrrymW3240W)17851445(21PPPW5.9W)5380%5.0(%21UIs电气测试技术2.7 误差的合成与分配%6.0%100324019PmPmPrW19)5.95.9(|)|(|21Pm电气测试技术2.7 误差的合成与分配解：仪表的基本误差为相对系统不确定度为：当各分项误差较少时，采用绝对值和法是比较保险的，因为在这种情况下，各分项
50、误差在相同方向相叠加的机会较大。但是，当各分项误差较多时，绝对值和法过于保守，因为各分项误差由于符号相反而抵消一部分的可能性较大。因此，各分项误差较多时，应采用方和根合成法比较合理。%0.65.13%0.3%xmmUUsr%0.9%)0.3%0.6(|)|(|fmymr电气测试技术2.7 误差的合成与分配 方和根合成法 这种方法将各分项误差平方，再求平方后之和，最后开平方，并在其前面冠以“”号。即：绝对系统不确定度 相对系统不确定度 一般情况下niiiymxf12)(niiiymxfr12)ln(niinymrrrrr1222221电气测试技术2.7 误差的合成与分配例2-17 仍用例2-16
