1、11.1 11.1 与三角形有关的线段与三角形有关的线段 第第2 2课时课时 三角形的高、中三角形的高、中 线与角平分线线与角平分线 第十一章第十一章 三角形三角形 1 课堂讲解课堂讲解 三角形的高三角形的高 三角形的中线三角形的中线 三角形的角平分线三角形的角平分线 2 课时流程课时流程 逐点逐点 导讲练导讲练 课堂课堂 小结小结 作业作业 提升提升 回顾旧知回顾旧知 垂线的定义：垂线的定义： 线段中点的定义：线段中点的定义： 当两条直线相交所当两条直线相交所 成的四个角巾，有一个成的四个角巾，有一个 角是直角时，就说这两角是直角时，就说这两 条直线互相垂直，条直线互相垂直， 其其 中一条直
2、线叫做另一条中一条直线叫做另一条 直线的垂线直线的垂线. . 把一条线段分成两条把一条线段分成两条 相等的线段的点相等的线段的点. . 角平分线的定义：角平分线的定义： 一条射线把一个角分一条射线把一个角分 成两个相等的角，这条射成两个相等的角，这条射 线叫做这个角的平分线线叫做这个角的平分线. . 知知1 1导导 1 知识点知识点 三角形的高三角形的高 你能过三角形的一个顶点，你能画出它的你能过三角形的一个顶点，你能画出它的 对边的垂线吗对边的垂线吗? B A C 你还记得你还记得 “过一点画已知直线的垂线”“过一点画已知直线的垂线” 吗吗? 归归 纳纳 从三角形的一个顶点向它从三角形的一个
3、顶点向它 的对边所在直线作垂线的对边所在直线作垂线，顶点顶点 和垂足之间的线段叫做三角形和垂足之间的线段叫做三角形 这边上的高，简称三角形的高这边上的高，简称三角形的高. . 如图所示如图所示. . A B C D 知知1 1导导 如图如图, 线段线段AD是是BC边上的高边上的高. A B C 注意：注意：标明垂直的记号和垂足标明垂直的记号和垂足 的字母的字母. D 知知1 1讲讲 锐角三角形的三条高锐角三角形的三条高 每人每人画一个锐角三角形画一个锐角三角形. (1) 你能画出这你能画出这个三角形的三条高吗个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？这三条高之间有怎样的位置关
4、系？ 将你的结果与同伴进行交流将你的结果与同伴进行交流. O 锐角三角形的三条高是锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部在三角形的内部还是外部? A B C D E F 锐角三角形的三条高交于同一点锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 知知1 1讲讲 知知1 1讲讲 直角三角形的三条高直角三角形的三条高 在纸上画出一个直角三角形在纸上画出一个直角三角形. 将你的结果与同伴进行交流将你的结果与同伴进行交流. A B C (1)画出画出直角三角形的三条高直角三角形的三条高. 直角边直角边BC边上的高是边上的高是_; AB 直角
5、边直角边AB边上的高是边上的高是_; CB (2)它们有怎样的位置关系？它们有怎样的位置关系？ D 斜边斜边AC边上的高是边上的高是_. BD 直角三角形的三条高交于直角顶点直角三角形的三条高交于直角顶点. A B C D E F 钝角三角形的三条高钝角三角形的三条高 (1) 钝角三角形的三条高交于钝角三角形的三条高交于 一点吗？一点吗？ (2)它们所在的直线交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？ 将你的结果与同伴进行交流将你的结果与同伴进行交流. O 钝角三角形的三条高不相交于钝角三角形的三条高不相交于 一点一点. 钝角三角形的三条高所在直线钝角三角形的三条高所在直线 交于一点交于一点. 知
6、知1 1讲讲 归归 纳纳 叫做三角形这边上的高叫做三角形这边上的高. . 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段顶点和垂足之间的线段 知知1 1讲讲 三角形的三条高的特性：三角形的三条高的特性： 高所在的直线是否相交高所在的直线是否相交 高之间是否相交高之间是否相交 高在三角形内部的数量高在三角形内部的数量 钝角三角形钝角三角形 直角三角形直角三角形 锐角三角形锐角三角形 3 1 1 相交相交 相交相交 不相交不相交 相交相交 相交相交 相交相交 三条高所在直线的交点的位置三条高所在直线的交点的位置 三角形内部三角形内部
7、直角顶点直角顶点 三角形外部三角形外部 知知1 1讲讲 如图，如图，(1) (2)和和(3)中的三个中的三个B有什么不同？有什么不同？ 这三条这三条ABC的边的边BC上的高上的高AD在各自三角在各自三角 形的什么位置？你能说出其中的规律吗？形的什么位置？你能说出其中的规律吗？ 知知1 1练练 （来自（来自教材教材） 1 (1)中的中的B是锐角，高是锐角，高AD在在ABC内部内部 (2)中的中的B是直角，高是直角，高AD与边与边AB重合重合 (3)中的中的B是钝角，高是钝角，高AD的垂足在的垂足在CB的延长线上，的延长线上， 即高即高AD在在ABC的外部的外部 当当C是锐角时，如果是锐角时，如果
8、B是锐角，高是锐角，高AD在在ABC 的内部；如果的内部；如果B是直角，高是直角，高AD与边与边AB重合；如重合；如 果果B是钝角，高是钝角，高AD的垂足在的垂足在CB的延长线上，即的延长线上，即 高高AD在在ABC的外部的外部 解：解： 知知1 1练练 规律：规律： 知知1 1练练 在直角三角形中，有两条高是它的在直角三角形中，有两条高是它的_， 另一条高在这个三角形的另一条高在这个三角形的_锐角三角形锐角三角形 的三条高的交点在的三条高的交点在_，直角三角形，直角三角形 的三条高的交点在的三条高的交点在_， 钝角三角形的三条高所在直线的交点在钝角三角形的三条高所在直线的交点在 _ 2 直角
9、边直角边 内部内部 三角形的内部三角形的内部 三角形的外部三角形的外部 两直角边的交点处两直角边的交点处 知知2 2导导 2 知识点知识点 三角形的中线三角形的中线 如图如图 (1)，连接，连接ABC的顶点的顶点A和和 它所对的边它所对的边BC的中点的中点D， 所得线段所得线段AD叫做叫做 ABC的边的边BC上的中线上的中线. 用同样方法，用同样方法， 你能画出你能画出ABC 的另两条边上的中的另两条边上的中 线吗？线吗？ 归归 纳纳 知知2 2导导 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段， 叫做这个三角形这边上的中线叫做这个三角形这边上的中线.
10、 如图如图 (2),三角形的三条中线相交于三角形的三条中线相交于一一点点.三角形三三角形三 条中线的交点叫做三角形的重心条中线的交点叫做三角形的重心. 取一块质地均匀的取一块质地均匀的 三角形木板，顶住三条三角形木板，顶住三条 中线的中线的 交点，木板会保交点，木板会保 持平衡，这个平衡点就持平衡，这个平衡点就 是这块三是这块三 角形木板的角形木板的 重心重心. 知知2 2讲讲 在在ABC中，中，ABAC，AC边上的中线边上的中线BD把把 ABC的周长分为的周长分为12 cm和和15 cm两部分，求两部分，求 ABC的各边长的各边长 知知2 2讲讲 例例1 因为中线因为中线BD将将ABC的周长
11、分成两部分：的周长分成两部分：(BC CD)和和(ADAB)，无法确定谁为，无法确定谁为12 cm，谁为，谁为15 cm，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多， 因因 此可建立方程的模型，利用设未知数来求解此可建立方程的模型，利用设未知数来求解 导引：导引： 设设ABx cm，则，则ADCD x cm. (1)如图如图，若，若ABAD12 cm，则，则x x12.解得解得x8， 即即ABAC8 cm，则，则CD4 cm.故故BC15411(cm) 此时此时ABACBC，三角形存在，三角形存在， 所以三边长分别为所以三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm.
12、(2)如图如图，若，若ABAD15 cm，则，则x x15. 解得解得x10，即，即ABAC10 cm，则，则CD5 cm. 故故BC1257(cm) 显然此时三角形存在，所以三边长分别为显然此时三角形存在，所以三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm. 综上所述，综上所述，ABC的三边长分别为的三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm或或10 cm， 10 cm，7 cm. 解：解： 1 2 1 2 知知2 2讲讲 1 2 知知2 2练练 填空：填空： 如图如图(1)，AD，BE，CF是是ABC的三条的三条 中线，则中线，则AB= 2 _, BD=_, AE= _. （来自（来自教材教
13、材） 1 1 2 AD或或BF CD AC 知知2 2练练 三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个( ) A形状相同的三角形形状相同的三角形 B面积相等的三角形面积相等的三角形 C直角三角形直角三角形 D周长相等的三角形周长相等的三角形 2 B 知知2 2练练 如图，已知如图，已知BD是是ABC的中线，的中线，AB5，BC3， ABD和和BCD的周长的差是的周长的差是( ) A2 B3 C6 D不能确定不能确定 3 A 知知3 3导导 3 知识点知识点 三角形的角平分线三角形的角平分线 如果现在你手上有一张画着一个三角形的薄纸，如果现在你手上有一张画着
14、一个三角形的薄纸， 你能想几种办法画出它的一个内角的平分线？你能想几种办法画出它的一个内角的平分线？ 叫做三角形的角平分线叫做三角形的角平分线. A B C D 因为因为AD是是ABC的角平分线，的角平分线， 任意画一个三角形任意画一个三角形,然后利用然后利用 量角器画出这个三角形三个角量角器画出这个三角形三个角 的角平分线的角平分线,你发现了什么你发现了什么? 在三角形中，在三角形中， 一个一个内角的角平分线与它的对边相交，内角的角平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段这个角的顶点与交点之间的线段, 1 2 三角形的三条角平分线相交于一点三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三
15、角形的交点在三角形的 内部内部. 所以所以BAD =CAD = BAC. 1 2 知知3 3讲讲 知知3 3讲讲 A C B F E D O 因为因为BE是是ABC的角平分线，的角平分线， 所以所以_=_= _. 所以所以ACB=2_ =2_. ABE CBE ABC ACF 因为因为CF是是ABC的角平分线，的角平分线， BCF 1 2 总总 结结 知知3 3讲讲 1.三角形的角平分线与角的平分线的区别是：三角形的角平分线与角的平分线的区别是： 三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线；三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线； 它们的联系是都是平分角。它们的联系是都是平分角。
16、2.三角形的角平分线判别的三角形的角平分线判别的“两种方法两种方法” (1)看该线段是否分三角形的内角为相等的两部分看该线段是否分三角形的内角为相等的两部分. (2)看线段的两个端点看线段的两个端点，其中一个端点是三角形的顶其中一个端点是三角形的顶 点点，另一个端点要落在对边上另一个端点要落在对边上. 如下页图（如下页图（2)，AD, BE, CF是是 ABC的的 三条角平分线，则三条角平分线，则1=_, 3= _, ACB= 2_. （来自（来自教材教材） 1 知知3 3练练 1 2 2 ABC 4 今天我们学了什么呢？今天我们学了什么呢？ 1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念及它们三角形的高、中线、角平分线等有关概念及它们 的画法的画法. 2.三角形的高、中线、角平分线几何表达及简单应三角形的高、中线、角平分线几何表达及简单应 用用. 请同学们完成请同学们完成高分突破高分突破的相关习题的相关习题.
