1、13.3等腰三角形等腰三角形13.3.1.1等腰三角形的性质等腰三角形的性质学习目标学习目标1.1.通过剪纸、折纸等活动，进一步认识等腰三角形，通过剪纸、折纸等活动，进一步认识等腰三角形，了解等腰三角形是了解等腰三角形是轴对称图形轴对称图形，培养学生的动手能力，培养学生的动手能力.2.2.通过学生自主通过学生自主探究、探索、猜想、验证等腰三角形的性质探究、探索、猜想、验证等腰三角形的性质，并，并学会应学会应用等腰三角形的性质用等腰三角形的性质，提高学生分析问题、解决问题的能力，提高学生分析问题、解决问题的能力.3.3.结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题结合等腰三角形性
2、质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用，掌握转化和分类讨论的数学思想，发展学生的推理能力中的作用，掌握转化和分类讨论的数学思想，发展学生的推理能力.重难点旧知回顾同学们，大家还记得什么是等腰三角形吗？等腰三角形中都有哪同学们，大家还记得什么是等腰三角形吗？等腰三角形中都有哪些元素呢些元素呢？（有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等等腰三角形中，相等的两边叫做腰，第三边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底的两边叫做腰，第三边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角）边的夹角叫做底角）新知导入新知导入请同学们准备一张长方
3、形纸片，并将这个纸片按下面的方式折叠请同学们准备一张长方形纸片，并将这个纸片按下面的方式折叠.折叠方法：如图所示，沿长方形折叠方法：如图所示，沿长方形ABCD的对角线的对角线BD翻折翻折ABD得到得到ABD，AD交交BC于点于点F.得到的得到的DBF是什么三角形呢？这样的三角形有什么性质呢？是什么三角形呢？这样的三角形有什么性质呢？你从这几张图片中看到什么共同的几何图形？你从这几张图片中看到什么共同的几何图形？这些图形有哪些性质呢？这些图形有哪些性质呢？在我们学过的三角形中，有哪些轴对称图形呢在我们学过的三角形中，有哪些轴对称图形呢？请你在纸上画出一个等腰三角形，你能找出它的对称轴吗请你在纸上
4、画出一个等腰三角形，你能找出它的对称轴吗？这个三角形有什么特殊这个三角形有什么特殊性性呢呢？自主探究自主探究1.请同学们阅读课本请同学们阅读课本 75 页上方的探究，按要求动手操作，观察页上方的探究，按要求动手操作，观察你得到的三角形，它有什么特点？你得到的三角形，它有什么特点？2.和同桌的比一比，你们得到的三角形都符合上述特点吗？和同桌的比一比，你们得到的三角形都符合上述特点吗？（它是等腰三角形）（它是等腰三角形）（都符合）（都符合）3.3.请同学们阅读课本请同学们阅读课本7575页下方的探究，动手操作并回答相应的页下方的探究，动手操作并回答相应的问题问题.（能（能.猜想：等腰三角形的两个底
5、角相等；等腰三角形的顶猜想：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.仍然成立）仍然成立）4.4.你能通过严格的逻辑推理证明猜想吗？你能通过严格的逻辑推理证明猜想吗？（1 1）请你写出已知、求证，画出图形）请你写出已知、求证，画出图形.（2 2）结合你所画的图形，你认为证明）结合你所画的图形，你认为证明等腰三角形等腰三角形两个底角相等的思两个底角相等的思路是什么？路是什么？（3 3）如何在等腰三角形中构造出两个全等三角形呢？）如何在等腰三角形中构造出两个全等三角形呢？已知：在已知：在ABC中，中，ABAC.求证
6、：求证：BC.如图：如图：（构造出两个全等三角形，利用全等三角形的性质得到对应角相等构造出两个全等三角形，利用全等三角形的性质得到对应角相等）（作出底边上的中线或顶角平分线或底边上的高）（作出底边上的中线或顶角平分线或底边上的高）（4 4）请你完成证明过程）请你完成证明过程.5.我们证明了我们证明了“等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等”，简写为，简写为“等边对等等边对等角角”，请你用符号语言表示出来，请你用符号语言表示出来.在在ABC中，中，ABAC，BC)小组讨论小组讨论1.和小组同学交流一下你证明性质的方法和小组同学交流一下你证明性质的方法.2.请同学们讨论如何证明猜想呢？分
7、三种情况讨论，说明已请同学们讨论如何证明猜想呢？分三种情况讨论，说明已知、求证及证明过程，并用符号语言表示知、求证及证明过程，并用符号语言表示3.通过证明得到等腰三角形的两个性质，请同学们分析一下：通过证明得到等腰三角形的两个性质，请同学们分析一下：等腰三角形这两个性质定理成立的最根本原因是什么？等腰三角形这两个性质定理成立的最根本原因是什么？（等腰三角形是一个轴对称图形等腰三角形是一个轴对称图形）知识讲解知识讲解1.1.文字语言：文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简写成等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角等边对等角”）符号语言符号语言：在在ABC中，中，ABAC(已知已知)，BC(
8、等边对等角等边对等角)知识点等腰三角形的性质（重难点知识点等腰三角形的性质（重难点）2.文字语言：文字语言：等腰三角形的等腰三角形的顶角平分线顶角平分线、底边上的中线底边上的中线、底边上的高底边上的高相互重合（简写成相互重合（简写成“三线合一三线合一”）.符号语言符号语言：(1)ABAC，12(已知已知)，BDCD，ADBC(三线合一三线合一)(2)ABAC，BDCD(已知已知)，12，ADBC(三线合一三线合一)(3)ABAC，ADBC(已知已知)，12，BDCD(三线合一三线合一)注：注：1.在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶角平分线这四个元素中，和中
9、的任意一个元素作角平分线这四个元素中，和中的任意一个元素作为条件，就可以得到另外两个元素作为结论为条件，就可以得到另外两个元素作为结论2等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线(或底或底边上的高或底边上的中线边上的高或底边上的中线)所在的直线所在的直线典例精讲典例精讲【题型一】等边对等角【题型一】等边对等角 例例1：已知等腰三角形的底角为顶角的已知等腰三角形的底角为顶角的2倍，则这个等腰三角形的顶角的度数为倍，则这个等腰三角形的顶角的度数为_.例例2：如图，在：如图，在ABC中，中，D，E为为AC上两点，连接上两点，连接BD，BE，若，若BED50，
10、BDE70，ADBD，BECE，则，则ABC_36120 点拨：点拨：ADBD，AABD.BDEAABD70，A35.BECE，CCBE.BEDCCBE50，C25，ABC180AC120.例例3：如图，已知：如图，已知ABAC，DBDC，E是是AD上一点，连接上一点，连接BE，CE.求证：求证：ABEACE.证明：如图，连接证明：如图，连接BC，ABAC，DBDC，点点A，D在线段在线段BC的垂直平分线上的垂直平分线上AD是线段是线段BC的垂直平分线的垂直平分线EBEC.EBCECB.ABAC，ABCACB.ABCEBCACBECB，即，即ABEACE.【题型二】三线合一【题型二】三线合一
11、例例4：为了让枕木垂直于铁轨，工程人员的操作方法是：如图，：为了让枕木垂直于铁轨，工程人员的操作方法是：如图，从枕木从枕木DE上一点上一点A往铁轨拉两条长度相等的固定绳往铁轨拉两条长度相等的固定绳AB与与AC，当固定点当固定点B，C到点到点E的距离相等，且的距离相等，且B，E，C在同一条直线在同一条直线上时，枕木上时，枕木DE就垂直于就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据，工程人员这种操作方法的依据是是_三线合一三线合一例例5：如图，在：如图，在ABC中，中，ABAC，BAC的平分线交的平分线交BC于于点点D，ABC的平分线交的平分线交AD于点于点E，作，作EFAB于点于点F，若，若EF3，
12、则，则ED的长为的长为_3例例6：如图，在：如图，在ABC中，中，ABAC，ADBC，垂足为，垂足为D，ABC的周长为的周长为36，且，且AB：AD：BD13：12：5.求求ABC的面积的面积课堂小结课堂小结请同学们回顾本节课所学的内容，你有哪些收获？请同学们回顾本节课所学的内容，你有哪些收获？（1.1.等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一.2.2.等腰三角形常用辅助线作法：作底边上的高、作底等腰三角形常用辅助线作法：作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线边上的中线、作顶角的平分线)课堂小结课堂小结【教材习题教材习题】完成课本完成课本81-82页习题页习题1,3,4题题.【作业本作业作业本作业】完成相应练习完成相应练习.【实践性作业实践性作业】搜集日常生活中应用等腰搜集日常生活中应用等腰三角形的实例，并思考这些实例运用了等三角形的实例，并思考这些实例运用了等腰三角形的哪些性质腰三角形的哪些性质.
