1、试卷第 1 页，共 10 页 专题专题 3232 概率统计解答题（第一部分）概率统计解答题（第一部分）一、解答题一、解答题 1 为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成,A B两组，每组 100 只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到 P C的估计值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留
2、百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.2某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 （1）求 X 的分布列；试卷第 2 页，共 1
3、0 页（2）若要求()0.5P Xn，确定 n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n 与20n 之中选其一，应选用哪个？3我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0,0.5,0.5,1,.,4,4.5分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中a的值；（2）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用
4、水量不低于 3 吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.4下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,17L）建立模型：30.4 13.5yt；根据 2010 年至2016 年的数据（时间变量t的值依次为1,2,7L）建立模型：99 17.5yt 试卷第 3 页，共 10 页 （1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环
5、境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 5下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y与 t的关系，请用相关系数加以说明；（）建立 y关于 t的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：719.32iiy，7140.17iiit y，721()0.55iiyy，72.646.参考公式：相关系数12211()()()()niiinniiiittyyrttyy，回归方程$yabt$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121(
6、)()()niiiniittyybtt$，.=a ybt 6某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费ix和年销售量iy（i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.试卷第 4 页，共 10 页 x y w 821()iixx 821()iiww 81()()iiixxyy 81()()iiiww yy 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中iiwx，w=1881iiw（）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+dx哪一个
7、适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（）的结果回答下列问题：（）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v,22(,)u v，(,)nnu v,其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：7某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行 10 次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其
8、中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为ix，1,2,10iy i 试验结果如下：试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 试卷第 5 页，共 10 页 伸缩率ix 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率iy 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记1,2,10iiizxy i，记1210,z zz的样本平均数为z，样本方差为2s(1)求z，2s；(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是
9、否有显著提高（如果2210sz，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）8某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m）和材积量（单位：3m），得到如下数据：样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积ix 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量iy 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.
10、42 0.40 3.9 并计算得10101022iiiii=1i=1i=10.038,1.6158,0.2474xyx y(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01）；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值 附：相关系数iii=122iii=1i=1(,1.8961.377)()()()nnnxxyyrxxyy 9某厂研制了一种生产高精产品的设备，为
11、检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：试卷第 6 页，共 10 页 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为21s和22s（1）求x，y，21s，22s；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210ssyx，则认为新设备生产产品的该项指标的
12、均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）10某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，20)，其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160iix，2011200iiy，2021)80iixx（，2021)9000iiyy（，201)800iiixyxy（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生
13、动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，20)的相关系数（精确到 0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数 r=12211)niiiiinniixyxxyyyx（，1.414.11甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最
14、终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12，试卷第 7 页，共 10 页（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.12 11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10 平后，甲先发球，两人又打了 X个球该局比赛结束.（1）求 P（X=2）；（2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率.13为了治疗某种疾
15、病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为 和，一轮试验中甲药的得分记为 X（1）求X的分布列；
16、（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，(0,1,8)ip i L表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p，81p，11iiiipapbpcp(1,2,7)i L，其中(1)aP X，(0)bP X，(1)cP X假设0.5，0.8(i)证明：1iipp(0,1,2,7)i L为等比数列；(ii)求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性 14 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不
17、合格品的概率都为(01)pp，且各件产品是否为不合格品相互独立（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p,求()f p的最大值点0p；试卷第 8 页，共 10 页（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p作为p的值 已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？15为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取
18、 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2,N.（1）假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(3,3)uu之外的零件数，求(1)P X 及 X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)uu之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9
19、.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得16119.9716iixx，16162221111160.2121616iiiisxxxx，其中 xi为抽取的第 i个零件的尺寸，1,2,16i L.用样本平均数x作为 的估计值，用样本标准差 s 作为 的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(3,3)之外的数据，用剩下的数据估计 和（精确到 0.01）.附：若随机变量 Z服从正态分布2,N，则330.9974PZ，160.99740.9592，0.0080.09.16某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续
20、保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：试卷第 9 页，共 10 页 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.17 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三
21、种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个（1）求三种粽子各取到1个的概率（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望 18某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A、B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 95 81 74 56 54 76 65 79 （）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度的平均值及分散程度（不要求算出具体值，给出结论即可）：试卷第 10 页，共 10 页（）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件 C：“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求 C 的概率
