1、学习目标学习目标11.3 11.3 多边形及其内角和多边形及其内角和第十一章第十一章 三角形三角形感悟新知感悟新知1.多边形的定义：在平面内，由一些线段多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接首尾顺次相接组组成成的的封闭封闭图形叫做多边形图形叫做多边形.如果一个多边形由如果一个多边形由n 条线段组条线段组成，成，那么那么这个多边形就叫做这个多边形就叫做n 边形边形.知识点知识点多边形及其相关概念多边形及其相关概念1知知1 1讲讲感悟新知感悟新知2.多边形的相关概念多边形的相关概念概念概念定义定义图形图形边边组成多边形的各条线段组成多边形的各条线段顶点顶点相邻两条边的公共端点相邻两条边的公
2、共端点内角内角多边形相邻两边组成的角多边形相邻两边组成的角外角外角多边形的边与它的邻边的多边形的边与它的邻边的延长线组成的角延长线组成的角对角线对角线连接多边形不相邻的两个连接多边形不相邻的两个顶点的线段顶点的线段知知1 1讲讲感悟新知感悟新知3.凸多边形与凸多边形与凹多边形凹多边形(本本节只讨论节只讨论凸多边形凸多边形)画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形形都在都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如形，如图图11.3-1 所示；所示；否则否则就是就是凹多边形，如凹多边形，如图图11.
3、3-1 所示所示.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知4.正多边形：正多边形：各个角都相等各个角都相等，各条边都相等各条边都相等的多边形的多边形叫做叫做正多边形正多边形.例如正三角形、正方形例如正三角形、正方形等等(如如图图11.3-2).知知1 1讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读多边形的三个必要条件：多边形的三个必要条件：1.线段在线段在“同一平面内同一平面内”；2.线段线段“不在同一不在同一直线上直线上”且条数不少于且条数不少于3；3.首尾顺次相接首尾顺次相接.正多边形必备的两正多边形必备的两个条件个条件：1.各个角都相等各个角都相等；2.各条边都相等各条边都相等.说明说明:若一个若一个多边
4、形多边形的各个角都相等或的各个角都相等或各条各条边都相边都相等，则它等，则它不一定不一定是正多边形是正多边形.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知特别提醒特别提醒1.三角形是最简单的多边形三角形是最简单的多边形.2.多边形用表示它的多边形用表示它的各个各个顶点的顶点的字母表示时字母表示时，字母，字母必须按必须按顺时顺时针针或或逆时针逆时针的方向排列的方向排列.知知1 1讲讲感悟新知感悟新知下列说法中，正确的下列说法中，正确的有有()三角形是边数最少的多边形；三角形是边数最少的多边形；等边三角形和长方形都是正多边形；等边三角形和长方形都是正多边形；n 边形有边形有n 条边、条边、n 个顶点、个顶点、n
5、 个内角和个内角和n 个外角；个外角；六边形从一个顶点出发可以画六边形从一个顶点出发可以画3 条对角线，所有的条对角线，所有的对角线共有对角线共有9 条条.A.1 个个 B.2 个个 C.3 个个 D.4 个个例1知知1 1练练感悟新知感悟新知解题秘方解题秘方：利用利用多边形的有关概念进行辨析多边形的有关概念进行辨析.解：解：三角形是边数最少的多边形，正确；三角形是边数最少的多边形，正确；等边三角形是正多边形，但长方形不是正多边形，等边三角形是正多边形，但长方形不是正多边形，错误错误；n 边形有边形有n 条边、条边、n 个顶点、个顶点、n 个内角和个内角和2n 个外角，错误个外角，错误；根据对
6、角线的定义画出六边根据对角线的定义画出六边形的对角线可知，从一个形的对角线可知，从一个顶点顶点出发可以画出发可以画3 条对角条对角线，所有的对角线共有线，所有的对角线共有9 条，正确条，正确.答案：答案：B知知1 1练练感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知1-1.下列说法错误下列说法错误的是的是()A 五边形有五边形有5 条边条边，5 个内角，个内角，5 个顶点个顶点B 四边形有四边形有2 条对角线条对角线C.连接对角线，可以连接对角线，可以把多边形把多边形分成三角形分成三角形D.六边形的六个角六边形的六个角都相等都相等D知知1 1练练感悟新知感悟新知1-2.从一个多边形的从一个多边
7、形的一个一个顶点可引顶点可引2 024 条条对角线对角线，则这个，则这个多边形多边形的边的边数数是是()A.2 024 B.2 025 C.2 026 D.2 027D知知1 1练练感悟新知感悟新知1.定理：定理：n 边形内角和边形内角和等于等于(n 2)18 0(n 3).知识点知识点多边形的内角和多边形的内角和2知知2 2讲讲感悟新知感悟新知2.公式的证明公式的证明证明方法证明方法图形图形证证法法1从从n 边形的一个顶点出发可以作边形的一个顶点出发可以作(n3)条对角线，将这个条对角线，将这个n 边形分成边形分成(n2)个三角形，这个三角形，这(n2)个三角个三角形的内角和恰好是这个形的内
8、角和恰好是这个n 边形的内边形的内角和，角和，为为(n2)180知知2 2讲讲感悟新知感悟新知证明方法证明方法图形图形证证法法2在在n 边形内任取一点，并把这边形内任取一点，并把这点与点与n 边形的各个顶点连接起边形的各个顶点连接起来，共构成来，共构成n 个三角形，这个三角形，这n 个三角形的内角和为个三角形的内角和为n180，再减去一个周角，即可得到再减去一个周角，即可得到n 边形的内角和为边形的内角和为(n2)180知知2 2讲讲感悟新知感悟新知证明方法证明方法图形图形证证法法3在在n 边形的一边上任取一点，并边形的一边上任取一点，并把这点与把这点与n 边形的各个顶点连接边形的各个顶点连接
9、起来，共构成起来，共构成(n1)个三角形，个三角形，这这(n1)个三角形的内角和为个三角形的内角和为(n1)180，再减去这点处的，再减去这点处的一个平角，即可得到一个平角，即可得到n 边形的内边形的内角和为角和为(n2)180知知2 2讲讲感悟新知感悟新知证明方法证明方法图形图形证证法法3在在n 边形外任取一点边形外任取一点O，并把，并把这点与这点与n边形的各个顶点连接边形的各个顶点连接起来，得到以起来，得到以n 边形的边为一边形的边为一边，顶点为边，顶点为O的三角形有的三角形有n 个，个，这这n 个三角形的内角和为个三角形的内角和为n180，再减去两个三角形，再减去两个三角形的内角和，即可
10、得到的内角和，即可得到n边形的边形的内角和为内角和为(n2)180知知2 2讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读1.由由n边形的内角和公式边形的内角和公式(n2)180可知可知n边形的内角和边形的内角和一定是一定是180的整数倍的整数倍.2.多边形的内角和随多边形的内角和随边数边数的变化而变化，的变化而变化，边边数数每增加每增加1，内角和，内角和就增加就增加180.3.多边形内角和问题多边形内角和问题常通过常通过添加辅助线将添加辅助线将其其转化转化为三角形的为三角形的内角和内角和问题问题.知知2 2讲讲感悟新知感悟新知知知2 2讲讲感悟新知感悟新知如图如图11.3-3，正五边形，正五边形ABC
11、DE 中，对角线中，对角线AC 与与边边DE 平行，求平行，求 BCA 的度数的度数例2解题秘方解题秘方：紧扣多边形的内角和公式紧扣多边形的内角和公式及平行线的性质求及平行线的性质求出相关出相关角的度数角的度数.知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知2-1.如图，已知如图，已知六边形六边形ABCDEF 的每个的每个内角内角都相等，连接都相等，连接AD若若 1=48，求，求 2 的度数的度数知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知根据下列条件求多边形的边数：根据下列条件求多边形的边数：(1)多边形多边形的内角和是的内角和是1 620；(2)正多边形正多边
12、形的每个内角均为的每个内角均为135例3解题秘方解题秘方：根据多边形内角和公式列出方程求解根据多边形内角和公式列出方程求解.知知2 2练练感悟新知感悟新知解：设多边形的边数为解：设多边形的边数为n，根据题意得：，根据题意得：(1)(n2)180=1620，解得，解得n=11.故多边形的边数为故多边形的边数为11.(2)(n2)180=135n，解得，解得n=8.故正多边形的边数为故正多边形的边数为8.知知2 2练练感悟新知感悟新知教你一招教你一招：1.已知多边形的内角和求边数已知多边形的内角和求边数n 的的方法方法根据根据多边形内角和公式列方程多边形内角和公式列方程：(n2)180=内内角和角
13、和，解，解方程求出方程求出n，即得多边形的边数，即得多边形的边数.2.已知正多边形每个内角的度数已知正多边形每个内角的度数k 求边数求边数n 的的方法方法根据根据多边形内角和公式列方程多边形内角和公式列方程：(n2)18 0=kn，解方程解方程求出求出n，即得正多边形的边数，即得正多边形的边数.知知2 2练练感悟新知感悟新知3-1.已知已知n 边形的边形的内角和内角和=(n2)180.(1)甲甲同学说，同学说，能能取取360；而乙同学说，；而乙同学说，也也能取能取630.甲、乙甲、乙的说法的说法对吗？若对，求对吗？若对，求出边出边数数n；若不对，请；若不对，请说明说明理由理由.知知2 2练练感
14、悟新知感悟新知解解：甲：甲的说法对，乙的说法不对的说法对，乙的说法不对n边形的内角和为边形的内角和为180的正整数倍，的正整数倍，3601802，6301803.5，甲的说法对，乙的说法不对甲的说法对，乙的说法不对3601802224，甲同学说的边数甲同学说的边数n是是4.知知2 2练练感悟新知感悟新知(2)若若n 边形变边形变为为(nx)边边形，发现形，发现内角和内角和增加了增加了360，用，用列列方程方程的方法求出的方法求出x 的值的值.解：解：依依题意有题意有(nx2)180(n2)180360，解得解得x2.知知2 2练练感悟新知感悟新知1.定理：多边形的外角和等于定理：多边形的外角和
15、等于360.多边形的外角和是由多边形内、外角的关系多边形的外角和是由多边形内、外角的关系推导出的推导出的，n 边形的外角和等于边形的外角和等于n180(n2)180=360.知识点知识点多边形的外角和多边形的外角和3知知3 3讲讲感悟新知感悟新知知知3 3讲讲感悟新知感悟新知特别解读特别解读1.多边形的外角和是指每个顶点处取一个多边形的外角和是指每个顶点处取一个外角的和外角的和.2.多边形的外角和多边形的外角和恒等于恒等于360，与边数，与边数无关无关.知知3 3讲讲感悟新知感悟新知根据下列条件解决问题：根据下列条件解决问题：(1)一一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为个多边形的各内角
16、都相等，已知其中一个外角为72，求，求该多边形的边数；该多边形的边数；(2)已知已知一个正多边形的每一个外角都等于一个正多边形的每一个外角都等于30，求这，求这个个正多边形正多边形的边数的边数.解题秘方解题秘方：根据多边形的外角和定理计算根据多边形的外角和定理计算.例4知知3 3练练感悟新知感悟新知(1)一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为一个多边形的各内角都相等，已知其中一个外角为72，求该多边形的边数；求该多边形的边数；解解：设：设该多边形的边数为该多边形的边数为n.根据多边形的外角和为根据多边形的外角和为360，得，得n72=360，解得解得n=5该多边形的边数为该多边形的边数为
17、5.知知3 3练练感悟新知感悟新知(2)已知一个正多边形的每一个外角都等于已知一个正多边形的每一个外角都等于30，求这个正，求这个正多边形的边数多边形的边数.解：解：多边形的外角和为多边形的外角和为3 60，360 30=12.这个正多边形的边数为这个正多边形的边数为12.知知3 3练练感悟新知感悟新知4-1.如图是由射线如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA 组成的平面图形组成的平面图形，若，若 1 3 5=150，则，则 2 4 6=_.210知知3 3练练感悟新知感悟新知如果一个多边形的内角和是外角和的如果一个多边形的内角和是外角和的4 倍，那么这个倍，那么这个多边形的边数多边形
18、的边数是是()A.8 B.9 C.10 D.11例5解题秘方解题秘方：已知已知多边形的内角和与外角和的关系时，多边形的内角和与外角和的关系时，可以可以利用利用多边形内角和公式与多边形的外角和等于多边形内角和公式与多边形的外角和等于3 6 0 建立建立方程求解方程求解.知知3 3练练感悟新知感悟新知解解：设设这个多边形的边数是这个多边形的边数是n.根据题意，根据题意，得得(n2)180=4360，解得解得n=10.故这个多边形的边数是故这个多边形的边数是10.答案：答案：C知知3 3练练感悟新知感悟新知5-1.若一个若一个多边形的多边形的内角和与外角和内角和与外角和共共1 260，则这个，则这个多多边形的边形的边数边数是是_.7知知3 3练练课堂小结课堂小结多边形多边形多多边边形形内角内角内角和内角和对角线对角线外角外角外角和外角和定义定义正多边形正多边形
