1、15.3 15.3 分式方程分式方程第十五第十五章章 分式分式感悟新知感悟新知知识点知识点分式方程的概念分式方程的概念知知1 1讲讲11.分式方程分式方程分母中含有未知数分母中含有未知数的方程叫做分式方程的方程叫做分式方程.分母中是否分母中是否含有未知数含有未知数是区分是区分分式方程分式方程和整式方程的依据和整式方程的依据.感悟新知感悟新知知知1 1讲讲2.判断一个方程是分式方程的条件判断一个方程是分式方程的条件(1)是是方程；方程；(2)含有含有分母；分母；(3)分母分母中含有未知数中含有未知数.以上三者缺一不可以上三者缺一不可.特别提醒特别提醒1.识别分式方程时，识别分式方程时，不能对方不
2、能对方程进程进行约分或行约分或通分通分变形，更不能用变形，更不能用等等式的式的性质变形性质变形.2.分母中有字母，但分母中有字母，但字母字母不是未知不是未知数的数的方程也方程也不是分式方程不是分式方程.感悟新知感悟新知知知1 1练练例 1解题秘方解题秘方：利用判别分式方程的依据利用判别分式方程的依据分母中含有分母中含有未知数未知数进行识别进行识别.感悟新知感悟新知知知1 1练练解：解：(1)不是不是分式方程，因为分母中不含有未知数分式方程，因为分母中不含有未知数.(2)是是分式方程，因为分母中含有未知数分式方程，因为分母中含有未知数.(3)是是分式方程，因为分母中含有未知数分式方程，因为分母中
3、含有未知数.(4)是是分式方程，因为分母中含有未知数分式方程，因为分母中含有未知数.(5)不是不是分式方程，因为分母中虽然含有字母分式方程，因为分母中虽然含有字母a，但，但a为为非零常数，不是未知数非零常数，不是未知数.感悟新知感悟新知知知1 1练练C感悟新知感悟新知知知1 1练练感悟新知感悟新知知知2 2讲讲知识点知识点分式方程的解法分式方程的解法21.解解分式方程的基本分式方程的基本思路：去思路：去分母，把分式方程转化为分母，把分式方程转化为整整式方程式方程.2.解分式方程的一般步骤解分式方程的一般步骤感悟新知感悟新知知知2 2讲讲3.检验分式方程解的方法检验分式方程解的方法(1)直接直接
4、检验法检验法：将整式方程的解代入原分式方程，这：将整式方程的解代入原分式方程，这种种方法方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验能检验所得所得的解是否正确的解是否正确.(2)公分母公分母检验法检验法：将整式方程的解代入最简公分母，：将整式方程的解代入最简公分母，若若最简最简公分母的值不为公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式，则整式方程的解是原分式方程方程的解的解；否则，这个解不是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.方法比较简单，计算量方法比较简单，计算量小，因此被广泛运用小，因此被广泛运用感悟新知感悟新知知知2 2讲讲4.增增根根
5、在在分式方程化为整式方程的过程中，若整式分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的方程的解使解使最简公分母的值为最简公分母的值为0,则这个解叫做原分则这个解叫做原分式方程的增根式方程的增根.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲特别解读特别解读1.解分式方程的关键是解分式方程的关键是去分母去分母.去分母时去分母时不要不要漏乘漏乘不含分母的不含分母的项项，当分子当分子是多项式时要是多项式时要用括号用括号括起来括起来.2.解分式方程一定要解分式方程一定要检验检验，对于增根必须舍去，对于增根必须舍去.3.对增根的理解：对增根的理解：(1)增根一定是增根一定是分式方程分式方程化为的整式化为的整式方程的方程的解
6、；解；(2)若若分式方程有分式方程有增根增根，则必是使，则必是使最简最简公分母公分母为为0 时时未知数未知数的的值值.感悟新知感悟新知知知2 2讲讲4.一般情况下，解关于一般情况下，解关于哪个哪个字母的分式方程字母的分式方程，则，则哪个字母表示哪个字母表示未知数未知数，其余字母都，其余字母都作为常数作为常数存在存在.感悟新知感悟新知知知2 2练练例 2解题秘方：解题秘方：将分式方程转化为整式方程，通过求整式将分式方程转化为整式方程，通过求整式方程方程的的解并检验，从而得到分式方程的解解并检验，从而得到分式方程的解.感悟新知感悟新知知知2 2练练解解：方程：方程两边两边乘乘(x4)(x6)，得得
7、x(x6)(x2)(x4).解得解得x2.检验：当检验：当x2 时时，(x4)(x6)0.原分式方程的解为原分式方程的解为x2.感悟新知感悟新知知知2 2练练解：方程两边解：方程两边乘乘(x3)，得得2x12(x3).解得解得x3.检验：当检验：当x3 时，时，x30，因此因此 x3不是不是原分式方程的解原分式方程的解.所以原所以原分式方程无解分式方程无解.感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练感悟新知感悟新知知知2 2练练A感悟新知感悟新知知知2 2练练3感悟新知感悟新知知知2 2练练解：方程两边乘解：方程两边乘x2，得，得2x53x33(x2)，解得解得x4.检验：当
8、检验：当x4时，时，x20.所以原分式方程的解为所以原分式方程的解为x4.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲知识点知识点分式方程的应用分式方程的应用31.列列分式方程常用的等量关系分式方程常用的等量关系(1)行程行程问题：速度问题：速度 时间路程时间路程.(2)利润利润问题：问题：利润利润 售价进售价进价；价；利润率利润利润率利润进进价价100%.(3)工程工程问题：问题：工作量工作时间工作量工作时间 工作效率；总工作效率；总工作工作量各个量各个分工作量之和分工作量之和.(4)储蓄储蓄问题：本息和问题：本息和=本金本金+利息利息.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲2.列列分式方程解应用题的一般步骤分式
9、方程解应用题的一般步骤(1)审审：即审题：即审题,根据题意找出已知量和未知量，并根据题意找出已知量和未知量，并找出等量找出等量关系关系.(2)设设：即设未知数，设未知数的方法有：即设未知数，设未知数的方法有直接直接设和设和间接间接设设，注意，注意单位要统一单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数未知数的式子表示相关量的式子表示相关量.(3)列列：即列方程，根据等量关系列出分式方程：即列方程，根据等量关系列出分式方程.(4)解解：即解所列的分式方程，求出未知数的值：即解所列的分式方程，求出未知数的值.(5)验验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否
10、适合：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程分式方程，还要检验此解是否符合实际意义还要检验此解是否符合实际意义.(6)答答：即写出答案，注意单位和答案要完整：即写出答案，注意单位和答案要完整.感悟新知感悟新知知知3 3讲讲特别解读特别解读1.审题时审题时，先寻找题目中，先寻找题目中的关键词的关键词，然后借助列表，然后借助列表、画图、画图等方等方法准确找出法准确找出等量等量关系关系.当题目中包含当题目中包含多个多个等量关系时，要选择等量关系时，要选择一个一个能够体现全部能够体现全部(或或大部分大部分)数量的等量数量的等量关系列关系列方程方程.2.设未知数时设未知数时，一般题，一般题中问
11、中问什么就设什么，即设什么就设什么，即设直接直接未知数；未知数；若设直接若设直接未知数未知数难以列方程，则可设难以列方程，则可设另一另一个相关量为未知数，个相关量为未知数，即设即设间接未知数；有时设间接未知数；有时设一个一个未知数无法表示出未知数无法表示出等量关系等量关系，可设多个未知数可设多个未知数，即，即设辅助未知数设辅助未知数.3.应用题中解应用题中解分式方程同样分式方程同样要验根要验根.感悟新知感悟新知知知3 3练练母母题中考题中考 威海教材威海教材P154练习练习T1某某校组织学生去郭校组织学生去郭永怀纪念馆进行永怀纪念馆进行研学研学活动纪念馆距学校活动纪念馆距学校72 km，一，一
12、部分学生乘坐大型客车先行部分学生乘坐大型客车先行，出发，出发12 min 后，另一后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达到达已知已知小型客车的速度是大型客车速度的小型客车的速度是大型客车速度的1.2 倍，求倍，求大型客大型客车的车的速度速度.例 3感悟新知感悟新知知知3 3练练思路引导：思路引导：感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练B感悟新知感悟新知知知3 3练练中考中考随州随州 某市区一条主要街道的改造工程有甲、某市区一条主要街道的改造工程有甲、乙两乙两个工程队投标经测算：若由两个工程队合作，个工程队投标经测算：若由两个工程队
13、合作，12 天恰好完成天恰好完成；若；若两个队合作两个队合作9 天后，剩下的由甲天后，剩下的由甲队单独完成，还需队单独完成，还需5 天时间天时间，现，现需从这两个工程队中需从这两个工程队中选出一个队单独完成，从缩短工期角度选出一个队单独完成，从缩短工期角度考虑考虑，你认，你认为应该选择哪个队？为什么？为应该选择哪个队？为什么？例 4感悟新知感悟新知知知3 3练练思路引导思路引导：工作效率工作效率工作时间工作时间/天天 工作总量工作总量甲乙合作甲乙合作9甲甲5等量关系等量关系系甲乙合作系甲乙合作9 天的工程量天的工程量 甲单独甲单独工作工作5 天的工程量天的工程量=1感悟新知感悟新知知知3 3练
14、练感悟新知感悟新知知知3 3练练4-1.“畅通交通，畅通交通，扮靓扮靓城市城市”，某市在某市在道路道路提升改造中，提升改造中，将将一座一座长度为长度为36 m 的的桥梁进行桥梁进行重新改造重新改造 为了尽快为了尽快通车，通车，某某施工队在施工队在实际施工时，实际施工时，每天工作效率每天工作效率比原计比原计划划提高提高了了50%，结果提前，结果提前2天天成功地完成了成功地完成了大桥的大桥的改造改造任务，任务，那么那么该施工队该施工队原计划每天原计划每天改造改造多少米？多少米？感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练情境情境题题 校园校园文化文化为了为了进一步丰富校园文体活动，
15、某进一步丰富校园文体活动，某中学准备中学准备一次性购买若干个足球和排球，用一次性购买若干个足球和排球，用480 元购元购买足球的数量买足球的数量和用和用390 元购买排球的数量相同，已知元购买排球的数量相同，已知足球的单价比排球的单价足球的单价比排球的单价多多15 元元例 5感悟新知感悟新知知知3 3练练思路导引：思路导引：(1)足球足球和排球的单价各是多少元？和排球的单价各是多少元？感悟新知感悟新知知知3 3练练感悟新知感悟新知知知3 3练练思路导引：思路导引：(2)根据根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100 个个，但但要求其总费用不超过要求其
16、总费用不超过7 550 元，那么学校最多可以购元，那么学校最多可以购买多少买多少个足球个足球？感悟新知感悟新知知知3 3练练解：设学校可以购买解：设学校可以购买m 个足球个足球，则则可以可以购买购买(100 m)个排球个排球.根据题意，得根据题意，得80m65(100 m)755 0，解解得得m 70.又又 m 为正整数，为正整数，m 可以取的最大值为可以取的最大值为70答：学校最多可以购买答：学校最多可以购买70 个足球个足球感悟新知感悟新知知知3 3练练5-1.中考中考 永州永州 某水果某水果店搞促销活动店搞促销活动，对，对某种水果打某种水果打8 折折出售出售，若用，若用60 元钱买元钱买
17、这种这种水果，水果，可以比可以比打折前打折前多买多买3 千克千克.设该设该种水果种水果打折前的单价为打折前的单价为x元元，根据题意可列根据题意可列方程方程为为 _.感悟新知感悟新知知知3 3练练5-2.某校篮球社团某校篮球社团人数人数迅增，急需购进迅增，急需购进A，B 两种品牌篮两种品牌篮球，球，已知已知A 品牌篮球的品牌篮球的单价比单价比B 品牌篮球单价品牌篮球单价的的2 倍倍少少48 元，采购元，采购相同相同数量的数量的A，B 两种两种品牌品牌篮球分别需篮球分别需要要花费花费9 600 元和元和7 200 元元.A，B 两种品牌篮球两种品牌篮球的单价的单价分别是多少元？分别是多少元？感悟新知感悟新知知知3 3练练课堂小结课堂小结分式方程分式方程分分式式方方程程分式方程分式方程的应用的应用列列解法解法增根增根产产生生
