1、Page 1LOGO 美国人美国人W.R.Evans所从事的是飞机导航和所从事的是飞机导航和控制工作，其中涉及许多动态系统的稳定问题，控制工作，其中涉及许多动态系统的稳定问题，这使其又回到了这使其又回到了70多年前多年前Maxwell和和Routh曾做曾做过的特征方程的研究工作中。但过的特征方程的研究工作中。但Evans用系统用系统参数变化时特征方程的根变化轨迹来研究，开参数变化时特征方程的根变化轨迹来研究，开创了新的思维和研究方法，这就是在工程上获创了新的思维和研究方法，这就是在工程上获得较广泛应用的根轨迹法。得较广泛应用的根轨迹法。Page 2LOGO 因此，因此，W.R.Evans是根轨
2、迹法的鼻祖。是根轨迹法的鼻祖。他的两篇论文：他的两篇论文：Graphical Analysis of Control System,AIEE Trans.Part II,67(1948),pp.547-551.Control System Synthesis by Root Locus Method,AIEE Trans.Part II,69(1950),pp.66-69基本上建立起根轨迹法的完整理论。基本上建立起根轨迹法的完整理论。Page 3LOGO4.1 4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念4.2 4.2 根轨迹的幅值条件与相角条件根轨迹的幅值条件与相角条件4.4 4.4 控制系统的
3、根轨迹绘制与分析举例控制系统的根轨迹绘制与分析举例4.3 4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则第四章第四章 控制系统的根轨迹法控制系统的根轨迹法4.5 4.5 参数根轨迹参数根轨迹4.6 4.6 基于基于MATLABMATLAB的根轨迹分析的根轨迹分析Page 4LOGO4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念 开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环开环系统传递函数的某一个参数变化时，闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。Page 5LOGO22()22bKGsssKKs2112,1例例开环传递函数：开环传递函数：()(0.51)kKG
4、sss闭环传递函数：闭环传递函数：有有2 2个开环极点个开环极点0,-20,-2；没有开环零点。没有开环零点。闭环特征方程：闭环特征方程：闭环特征根：闭环特征根：2220ssK闭环特征根是闭环特征根是K的函数，的函数，K由由0-，形成根轨迹，形成根轨迹4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念Page 6LOGOK 取不同值：取不同值：Ks2112,1K=0，s1=0，s2=-2；K=0.5，s1=-1，s2=-1；K=1，s1=-1+j，s2=-1-j；K=，s1=-1+j ，s2=-1-j ；根轨迹直观表达了根轨迹直观表达了K变化变化时闭环特征根所发生的变化。时闭环特征根所发生的变化。4.1
5、 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念Page 7LOGO系统分析：系统分析：Ks2112,1 K大于零时，系统稳定；大于零时，系统稳定；0 K 0.5时，系统欠阻尼时，系统欠阻尼，有超调；，有超调；(0.51)Kss4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念Page 8LOGO系统分析：系统分析：Ks2112,1 因为系统有一个位于坐标原因为系统有一个位于坐标原点的极点，所以系统为点的极点，所以系统为I型系型系统，阶跃作用下的稳态误差为统，阶跃作用下的稳态误差为0，静态误差系数可从根轨迹，静态误差系数可从根轨迹对应的对应的K值求到。值求到。(0.51)Kss4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念
6、Page 9LOGO总结：总结：Ks2112,1(0.51)Kss 2阶系统，阶系统，2个闭环极点，个闭环极点，2条根轨迹；条根轨迹；以开环极点为出发点；以开环极点为出发点；根轨迹上的点与根轨迹上的点与K值一一对应，是值一一对应，是连续的；连续的；通过选择开环增益通过选择开环增益K，可使闭，可使闭环极点落在根轨迹的任何位置上环极点落在根轨迹的任何位置上；如果根轨迹上某一点满足动态特性要如果根轨迹上某一点满足动态特性要求，可计算该点的求，可计算该点的K值实现设计要求。值实现设计要求。4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念Page 10LOGO4.2 4.2 根轨迹幅值条件与相角条件根轨迹幅值条
7、件与相角条件 1bGsGsGs Hs1+G(s)H(s)=0 或写作或写作 G(s)H(s)=-1 相角条件：相角条件：幅值条件：幅值条件：,2,1,012180kksHsG传递函数：传递函数：1sHsG特征方程（根轨迹方程）：特征方程（根轨迹方程）：*1212mnKszszszG s H sspspspLL 12121111KssG s H ssT sT sLLPage 11LOGO其中：其中：,(),1,2,ziiziiAszszim 因此相角条件、幅值条件又可表示为：因此相角条件、幅值条件又可表示为：111118021,0,1,2,1mnzipjijmziinpjjkkAKA 11*12
8、12*11zmzppnmnjjzzmjjppnKszszszGsHsspspspKAeAeAeAeLLLL,(),1,2,pjipjiAspspjn 4.2 4.2 根轨迹幅值条件与相角条件根轨迹幅值条件与相角条件Page 12LOGO相角条件相角条件：Ks2112,1(0.51)Kss（0，+）；（-2,0）；）；（-，-2）；用幅值条件可以计用幅值条件可以计算出各根轨迹点上的开环算出各根轨迹点上的开环根轨迹增益根轨迹增益K*。(2)180210,1,2,G s H ssskk 实轴以外实轴以外；4.2 4.2 根轨迹幅值条件与相角条件根轨迹幅值条件与相角条件Page 13LOGO1.1.根
9、轨迹的分支数、连续性和对称性根轨迹的分支数、连续性和对称性 这是因为这是因为n阶特征方程对应阶特征方程对应n个特征根，当开环增个特征根，当开环增益益K由零变到无穷大时，这由零变到无穷大时，这n个特征根随个特征根随K变化必然变化必然会出现会出现n条根轨迹。条根轨迹。分支数：分支数：根轨迹根轨迹s平面上的分支数等于闭环特征平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数方程的阶数n，也就是分支数与闭环极点的数目相同。，也就是分支数与闭环极点的数目相同。4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 14LOGO 对称性：对称性：因为开环极点，零点或闭环极点都因为开环极点，零点或闭环极点都是实数或者为
10、成对的共轭复数，它们在是实数或者为成对的共轭复数，它们在s s平面上的分平面上的分布对称于实轴，所以根轨迹也对称于实轴。布对称于实轴，所以根轨迹也对称于实轴。连续性：连续性：当根轨迹的增益当根轨迹的增益 由由0 0变化变化时是连续的，系统闭环特征方程的根也应该是连续变时是连续的，系统闭环特征方程的根也应该是连续变化的，即化的，即s s平面上的根轨迹是连续的。平面上的根轨迹是连续的。*K4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 15LOGO2.根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，如果开环零点数果开环零
11、点数m小于开环极点数小于开环极点数n,则有（则有（n-m）条根）条根轨迹终止于无穷远处。轨迹终止于无穷远处。Kpszsnjjmii111当当nm时，当时，当 时，时，s01mns120nspspspL根轨迹起点根轨迹起点：根轨迹终点根轨迹终点：120mszszszL4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 16LOGO3.实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 由于成对的共轭复根在实轴上产生的相角之和由于成对的共轭复根在实轴上产生的相角之和总是等于总是等于360，不会影响实轴上根轨迹的位置，故，不会影响实轴上根轨迹的位置，故上述结论由相角条件很容易得出。上述结论由相角条件很容易得出。实轴
12、上根轨迹区段的右侧，开环零极点数目之实轴上根轨迹区段的右侧，开环零极点数目之和应为奇数。和应为奇数。4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 17LOGO mnasKsHsG4.4.根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线 nmpspspszszszsKsHsG2121如果开环零点数如果开环零点数m m小于开环极点数小于开环极点数n n，则当则当 时，趋向无穷远处的根轨迹共有时，趋向无穷远处的根轨迹共有(n-m)n-m)条，这条，这(n-m(n-m）条根轨迹趋向于无穷远处的方位可由渐近线决定。条根轨迹趋向于无穷远处的方位可由渐近线决定。设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 K 有有(n
13、-m)n-m)条渐近线。当条渐近线。当s s很大时，上式可近似为很大时，上式可近似为 （nmnm）4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 18LOGO由上两式中项由上两式中项 系数相等，得渐近线与实轴交点的坐系数相等，得渐近线与实轴交点的坐标为标为1mnamnmnasmnss1112121mnnimjjimnmnszpszszszspspsps11nmijijapznm21aknm1mns 即其分子是极点之和减去零点之和。渐近线与实轴即其分子是极点之和减去零点之和。渐近线与实轴正方向的夹角为正方向的夹角为式中式中k k依次取依次取0 0，1 1，2 2，,一直到获得（一直到获
14、得（n-mn-m）个个倾角为止。倾角为止。4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 19LOGO (1)(2)KG s H ss ss试绘制其渐近线。试绘制其渐近线。解：解：例例 已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为3 3个极点；没有零点；个极点；没有零点；3 3条渐条渐近线，与实轴坐标为：近线，与实轴坐标为：110 1 20130nmijijapznm (21)(21)3akknm0,;1,;31,.3aaakkk 4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 20LOGO 几条根轨迹在几条根轨迹在s s平面上相遇后又分开（或分开后又平面上相遇后又分开（或
15、分开后又相遇）的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。相遇）的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。sDsNKsHsG 0sDsNK 0sDsNK5.5.分离点的坐标分离点的坐标 方法方法1 1 因分离点（或会合点）是特征方程的重根，因此因分离点（或会合点）是特征方程的重根，因此可用求重根的方法确定它们的位置。可用求重根的方法确定它们的位置。设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为分离点（或会合点）为重根，必然同时满足方程分离点（或会合点）为重根，必然同时满足方程4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 21LOGO由上两式可得由上两式可得 0-
16、sNsDsNsD 0dssHsGd 46sssKsHsG 0241202ssdssHsGd即46.9,54.221ss9.14,07.121KK即即根据该式，即可确定分离点（或会合点）的参数。根据该式，即可确定分离点（或会合点）的参数。例例2 2 某系统开环传递函数为某系统开环传递函数为解之，得解之，得相应的增益为相应的增益为4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 22LOGO 方法方法2 2设系统开环传递函数为设系统开环传递函数为 nmpspspszszszsKsHsG2121mnzszszspspspsK21210dsdK由系统闭环特征方程，得由系统闭环特征方程，得求极值
17、求极值4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 23LOGO即可确定分离点（或会合点）的参数。即可确定分离点（或会合点）的参数。仍以例仍以例2 2为例为例 64642ssssssK0241202ssdsdK即46.9,54.221ss9.14,07.121KK解之，得解之，得相应的增益为相应的增益为4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 24LOGO4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 25LOGO 方法方法3 3分离点（或会合点）的坐标可由方程分离点（或会合点）的坐标可由方程 解出，其中解出，其中pjpj为开环极点，为开环极点，zizi为
18、开环零点。为开环零点。例例3 3 已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为 njmiijzdpd1111 25.3312sssKsHsG jsjssKsHsG5.15.11115.115.11djdjd试求系统闭环根轨迹的分离点坐标。试求系统闭环根轨迹的分离点坐标。解：解：得得4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 26LOGO解此方程得解此方程得 d1=-2.12d1=-2.12，d2=0.12d2=0.12d1d1在根轨迹上，是所求的分离点。在根轨迹上，是所求的分离点。d2d2不在根轨迹上，不在根轨迹上，则舍弃。则舍弃。根轨迹如图所示。根轨迹如图所示。4.3 绘制根轨
19、迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 27LOGO 根轨迹离开分离点时，轨迹切线的倾角称分离根轨迹离开分离点时，轨迹切线的倾角称分离角。由相角条件可推出，当根轨迹从实轴二重极点角。由相角条件可推出，当根轨迹从实轴二重极点上分离时，其右边为偶数个零极点，因此该二重极上分离时，其右边为偶数个零极点，因此该二重极点相角之和为士点相角之和为士(2n+1)180，即实轴上分离点的，即实轴上分离点的分离角恒为士分离角恒为士90。同理，实轴上会合点的会合角也恒为士同理，实轴上会合点的会合角也恒为士90。4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 28LOGO6.根轨迹的起始角与终止角根轨迹
20、的起始角与终止角 起始角为起始角为:najjmiijk1112180(),()jjaiiappzp 其中其中:起始角起始角为为 根轨迹起点处根轨迹起点处的切线与水平线正方向间的的切线与水平线正方向间的夹角。夹角。4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 29LOGO6.根轨迹的起始角与终止角根轨迹的起始角与终止角 njmbiiijk1112180(),()jjbiibpzzz 终止角为终止角为：其中其中:终止角终止角为为 根轨迹终点处根轨迹终点处的切线与水平线正方向间的的切线与水平线正方向间的夹角。夹角。4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 30LOGO 根
21、轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有极点位于根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有极点位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根 ，系统处于临，系统处于临界稳定状态。界稳定状态。j 01jHjGj 01Im1RejHjGjHjG 01Im01RejHjGjHjGK7.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则方法方法1 1将将s=s=代入特征方程中得代入特征方程中得 或或令令则可解出值及对应的临界开环增益则可解出值及对应的临界开环增益 及及K K来。来。Page 31LOGO例例 已知系统开环传递函数已知系统开环传递函数求根轨迹与虚轴
22、的交点。求根轨迹与虚轴的交点。21sssKsG 0232123KsssKssssDj02323KjjjjD020332K36414.103,21KK解解:系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为 令令s=s=，代入上式得代入上式得即即联立得联立得4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 32LOGOKsKsKss0123363210036KK6K4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 33LOGO 以上七条规则是绘制根轨迹图必须遵循的基本规以上七条规则是绘制根轨迹图必须遵循的基本规则。应用这些规则，可以方便快捷地绘制出根轨迹的则。应用这些规则，可以方便快捷地绘制出
23、根轨迹的大致形状。借助于大致形状。借助于MATLAB软件，可以得到精确图形。软件，可以得到精确图形。必须指出，根轨迹最重要的部分不在实轴上，也必须指出，根轨迹最重要的部分不在实轴上，也不在无限远处，而是在靠近虚轴和坐标原点的区域。不在无限远处，而是在靠近虚轴和坐标原点的区域。对于这个区域中根轨迹的绘制一般没有什么规则可循，对于这个区域中根轨迹的绘制一般没有什么规则可循，只能按相角条件画出。只能按相角条件画出。Page 34LOGO 此外，绘制一幅完整的根轨迹图尚需注意以下几此外，绘制一幅完整的根轨迹图尚需注意以下几点：点：(1)根轨迹的起点用符号根轨迹的起点用符号“”表示；终点用表示；终点用“
24、”表示；表示；(2)根轨迹由起点到终点是随系统的根轨迹由起点到终点是随系统的K*值的增加而运值的增加而运动的，要用箭头表示根轨迹运动的方向；动的，要用箭头表示根轨迹运动的方向；(3)为便于系统的分析与综合，通常对于一些特殊点的为便于系统的分析与综合，通常对于一些特殊点的K*，图中应予以标出。，图中应予以标出。4.3 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则Page 35LOGO (1)(2)(3)KsG s H ss ss试绘制该系统的根轨迹图。试绘制该系统的根轨迹图。例例1 已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为4.4 控制系统的根轨迹绘制与分析举例控制系统的根轨迹绘制与分析举例023
25、 122a(21)90aknm o (1)11023KsG s H ss ss 解：解：根据根据法则法则1：分支数为：分支数为max(3,1)=3；法则法则2：起点为：起点为0，-2，-3；终点为；终点为-1，无穷远；，无穷远；法则法则3：实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹-1，0和和-3，-2；法则法则4：渐近线：渐近线n-m=2条；条；法则法则5：分离点在：分离点在-3，-2内；内；因为因为 Page 36LOGO23(1)s ssKs 32(28106)0dKsssds 或或将上式对将上式对s求导，并令其为零，得求导，并令其为零，得解得解得s1=-2.47（分离点），（分离点），s2，3=（
26、舍去）。（舍去）。根据以上规则绘制出该系统的完整根轨迹图如图所示。根据以上规则绘制出该系统的完整根轨迹图如图所示。Page 37LOGO (1)(2)KG s H ss ss试绘制该系统的根轨迹图。试绘制该系统的根轨迹图。例例2 已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为解：解：根据根据法则法则1：分支数为：分支数为max(3,0)=3；法则法则2：起点为：起点为0，-1，-2；终点为无穷远；终点为无穷远；法则法则3：实轴上的根轨迹（：实轴上的根轨迹（-，-2和和-1，0；法则法则4：渐近线：渐近线n-m=3条；条；法则法则5：分离点：分离点:1213a 1,2(21)60aknm o318
27、0ao3110jjdp解得解得d1=-0.42（分离点），（分离点），d2=-1.58（舍去）。（舍去）。法则法则6：无起始角和终止角；：无起始角和终止角；Page 38LOGO法则法则7：根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴的交点令令sj则则32*320jjK实部为实部为*230K虚部为虚部为320得得2c*6cK，根据以上规则绘制出该系统的完整根轨迹图根据以上规则绘制出该系统的完整根轨迹图Page 39LOGO 2(2)22KsG s H sss试绘制该系统的根轨迹图。试绘制该系统的根轨迹图。例例3 已知系统开环传递函数为已知系统开环传递函数为解：解：根据根据法则法则1：分支数为：分支数为ma
28、x(1,2)=2；法则法则2：起点为：起点为-1j；终点为；终点为-2和无穷远；和无穷远；法则法则3：实轴上的根迹（：实轴上的根迹（-，-2；法则法则4：渐近线：渐近线n-m=1条；条；法则法则5：分离点：分离点:2a 1180ao2110jjdp解得解得d1=-3.414（分离点），（分离点），d2=-0.586（舍去）。（舍去）。Page 40LOGO 根据以上规则绘制出该系统的完整根轨迹图根据以上规则绘制出该系统的完整根轨迹图11112180()()1804590135ppzpp2135p 法则法则6：起始角：起始角Page 41LOGO4.4.2 根轨迹分析举例根轨迹分析举例 绘制系统
29、根轨迹是为系统分析、设计服务。在绘制系统根轨迹是为系统分析、设计服务。在时域分析法中，一般是通过系统的单位阶跃响应来时域分析法中，一般是通过系统的单位阶跃响应来分析系统的性能；而根轨迹法分析系统，则是由系分析系统的性能；而根轨迹法分析系统，则是由系统的零、极点分布，分析闭环极点随系统参数变化统的零、极点分布，分析闭环极点随系统参数变化而改变其在复平面上的分布位置，来估算系统的性而改变其在复平面上的分布位置，来估算系统的性能指标。能指标。对控制系统的基本要求是稳、准、快。要满足对控制系统的基本要求是稳、准、快。要满足这些要求，闭环的零极点应如何分布呢？这些要求，闭环的零极点应如何分布呢？(1)(
30、1)为保证系统稳定，则闭环极点都必须在为保证系统稳定，则闭环极点都必须在s的左半的左半平面上。平面上。Page 42LOGO4.4.2 根轨迹分析举例根轨迹分析举例(2)若闭环极点远离虚轴，则阶跃响应的每个对应的分量都若闭环极点远离虚轴，则阶跃响应的每个对应的分量都衰减得快，系统的快速性就好。衰减得快，系统的快速性就好。2()1()(0.671)(0.010.161)oIXsXssss试利用根轨迹计算系统的动态性能指标。试利用根轨迹计算系统的动态性能指标。例例1 某系统闭环传递函数为某系统闭环传递函数为解：解：12,31.5,86ssj (4)距虚轴最近的闭环极点为主导极点；工程上当极点距虚轴
31、最近的闭环极点为主导极点；工程上当极点 A 距距离虚轴大于离虚轴大于 5 倍极点倍极点 B距离虚轴的距离时，分析系统时可距离虚轴的距离时，分析系统时可忽略极点忽略极点 A。此时，高阶系统近似看做为一、二阶系统，。此时，高阶系统近似看做为一、二阶系统，可直接利用时域分析章节中时域响应公式计算性能指标。可直接利用时域分析章节中时域响应公式计算性能指标。Page 43LOGO4.4.2 根轨迹分析举例根轨迹分析举例一阶系统，故系统无超调；一阶系统，故系统无超调；调整时间调整时间3 0.672()sts2()1()(0.671)(0.010.161)oIXsXssss()1()0.671oIX sX
32、ssPage 44LOGO2()0.621()(0.671)(0.010.081)oIX ssX ssss试利用根轨迹计算系统的动态性能指标。试利用根轨迹计算系统的动态性能指标。例例2 某系统闭环传递函数为某系统闭环传递函数为解：解：12,311.5,49.2,1.6ppjz 4.4.2 根轨迹分析举例根轨迹分析举例 工程上认为某极点与对应的零点之间的间距小于它工程上认为某极点与对应的零点之间的间距小于它们本身到原点距离的十分之一时，即可认为是偶极子。们本身到原点距离的十分之一时，即可认为是偶极子。系统传递函数中，如果分子分母具有负实部的零、系统传递函数中，如果分子分母具有负实部的零、极点数值
33、上相近，则可将该零点和极点一起消掉，称之极点数值上相近，则可将该零点和极点一起消掉，称之为偶极子相消。为偶极子相消。2()1()0.010.081oIXsXsssPage 45LOGO故：故：0.4,10/nwrad s25%30.75psnMtsw4.4.2 根轨迹分析举例根轨迹分析举例(5)利用偶极子相消原理，可有意识地在系统中加入适当利用偶极子相消原理，可有意识地在系统中加入适当的零点，以抵消对动态过程影响较大的不利极点，使动态的零点，以抵消对动态过程影响较大的不利极点，使动态过程尽快消失，系统的动态特性获得改善。过程尽快消失，系统的动态特性获得改善。Page 46LOGO试画出试画出例
34、例3 已知系统结构图如图已知系统结构图如图解：解：1210,2,4ppz *K由由0 时的闭时的闭闭环根轨迹，并分析其对系统动态过程的影响。闭环根轨迹，并分析其对系统动态过程的影响。零极点零极点分离点分离点121.172,6.83dd 4.4.2 根轨迹分析举例根轨迹分析举例Page 47LOGO当当K在在00.686范围内时，其阶跃响应没有振荡趋势。范围内时，其阶跃响应没有振荡趋势。当当K在在0.68623.4时，其阶跃响应为振荡衰减。时，其阶跃响应为振荡衰减。当当K在在23.4时，其阶跃响应为单调上升趋势。时，其阶跃响应为单调上升趋势。1d对应的对应的 ：*1K*111120.3434dd
35、Kd*1120.686KK同理：同理：223.4K*211.7K根轨迹全部位于根轨迹全部位于s平面左半平面，因此，当平面左半平面，因此，当K由由0变化时，系统都是稳定的。变化时，系统都是稳定的。4.4.2 根轨迹分析举例根轨迹分析举例Page 48LOGO4.4.2 根轨迹分析举例根轨迹分析举例 注意：注意：过原点与根轨迹相切的直线和负实轴的过原点与根轨迹相切的直线和负实轴的夹角为夹角为45，两个切点为，两个切点为s1,2=-2j 2，其对应的开，其对应的开环根轨迹增益为环根轨迹增益为*2 2222 2K4K 此时，系统的阻尼比为此时，系统的阻尼比为=cos45=0.707 因此时系统的因此时
36、系统的阶跃响应具有较好的平稳性和快速阶跃响应具有较好的平稳性和快速性性，在满足允许误差的前提下，系统具有较宽的频带，在满足允许误差的前提下，系统具有较宽的频带（频带宽则系统重现信号能力强，响应快），故工程（频带宽则系统重现信号能力强，响应快），故工程上称此时的阻尼比为上称此时的阻尼比为最佳阻尼比最佳阻尼比。Page 49LOGO4.4.2 根轨迹分析举例根轨迹分析举例（3 3）若共轭复数极点处于若共轭复数极点处于s平面中与负实轴成平面中与负实轴成45 的直线附近，则系统的响应比较平稳。因为由二阶的直线附近，则系统的响应比较平稳。因为由二阶系统的分析可知，共轭复数极点位于系统的分析可知，共轭复数
37、极点位于45 线上时，线上时，其对应的阻尼比其对应的阻尼比 =cos45 =0.707为最佳阻尼比。为最佳阻尼比。这时系统的平稳性与快速性均比较理想。超过这时系统的平稳性与快速性均比较理想。超过45 线，线，则阻尼比减小，振荡加剧。则阻尼比减小，振荡加剧。Page 50LOGO4.4.2 根轨迹分析举例根轨迹分析举例例例4 已知一负反馈控制系统的开环传递函数为已知一负反馈控制系统的开环传递函数为 2()(0)KG s H sassa试用根轨迹法分析该系统的稳定性，如果使系统试用根轨迹法分析该系统的稳定性，如果使系统增加一个开环零点，试分析附加开环零点对根轨增加一个开环零点，试分析附加开环零点对
38、根轨迹的影响。迹的影响。解：解：（1）系统的根轨迹如图所系统的根轨迹如图所示。由于根轨迹位于示。由于根轨迹位于s平面平面右半部，所以无论右半部，所以无论 取何取何值，该系统都是不稳定的。值，该系统都是不稳定的。KPage 51LOGO4.4.2 根轨迹分析举例根轨迹分析举例(2)如果给该系统增加一个负开环实数零点如果给该系统增加一个负开环实数零点z=-b（b0），则开环传递函数为），则开环传递函数为 2()KsbG s H sssa当当ba时，根轨迹的渐近线与实轴的交点为时，根轨迹的渐近线与实轴的交点为02ba它们与实轴正方向的夹角分别为它们与实轴正方向的夹角分别为90 和和-90，三条根轨迹
39、均在，三条根轨迹均在s平平面的左半部，如图所示。这时，面的左半部，如图所示。这时，无论无论 取何值，取何值，系统始终是稳系统始终是稳定的。定的。KPage 52LOGO4.4.2 根轨迹分析举例根轨迹分析举例当当ba时，根轨迹的渐近线与实轴的交点为时，根轨迹的渐近线与实轴的交点为02ba根轨迹根轨迹如图所示。与原系统相比，如图所示。与原系统相比，虽然根轨迹的形状发生了变化，虽然根轨迹的形状发生了变化，但仍有两条根轨迹位于但仍有两条根轨迹位于s平面的平面的的右半部，系统仍不稳定。的右半部，系统仍不稳定。由该例可知，选择合适的开环零点，由该例可知，选择合适的开环零点，可使原来不稳定的系统变为稳定。
40、可使原来不稳定的系统变为稳定。否则便达不到预期的设计意图。否则便达不到预期的设计意图。Page 53LOGO4.5 参数根轨迹参数根轨迹 以上所述根轨迹都是以开环增益以上所述根轨迹都是以开环增益K作为可变作为可变参数，这在实际工程系统中最为常见。但实际应参数，这在实际工程系统中最为常见。但实际应用中可变参量可以选择任意参数，如开环零、极用中可变参量可以选择任意参数，如开环零、极点，时间常数和反馈系数等，这种以开环增益点，时间常数和反馈系数等，这种以开环增益K之之外的系统其他参数绘制的根轨迹，称为外的系统其他参数绘制的根轨迹，称为参数根轨参数根轨迹迹或或广义根轨迹广义根轨迹。Page 54LOG
41、O4.5 参数根轨迹参数根轨迹 在选择系统其他参数为可变参数时，不妨借在选择系统其他参数为可变参数时，不妨借用等效传递函数的概念，即作一个变换，使得此可用等效传递函数的概念，即作一个变换，使得此可变参数在等效传递函数中相当于开环增益变参数在等效传递函数中相当于开环增益K的位置，的位置，则前面所介绍的相角、幅值条件和绘制根轨迹的基则前面所介绍的相角、幅值条件和绘制根轨迹的基本规则仍然有效。本规则仍然有效。系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 10(1)()2asG s H ss s系统的特征方程为系统的特征方程为210(1)0s sasPage 55LOGO4.5 参数根轨迹参数根轨迹2(210)ss除以方程两边得除以方程两边得21010210asss其等效开环传递函数为其等效开环传递函数为 2()210(13)(13)KsKsG s H ssssjsj 式中式中10KaPage 56LOGO4.5 参数根轨迹参数根轨迹 可以利用前述的规则和方法来绘制根轨迹图，可以利用前述的规则和方法来绘制根轨迹图，其结果如图所示。其结果如图所示。Page 57LOGO谢谢谢谢！
