第28章　锐角三角函数单元素养测评（原卷板+答案版）2024-2025-人教版数学九年级下册.zip

第二十八章锐角三角函数第二十八章锐角三角函数 单元素养测评单元素养测评 时间：120 分钟满分：150 分班级：姓名：一、选择题(每小题 4 分，共 40 分)1如图，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 cos ABC 的值为()A23 B22 C43 D2 232若 cos A32，则A 的大小是()A30 B45 C60 D903如图，在ABC 中，C90，设A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则()Acb sin B Bbc sin B Cab tan B Dbc tan B4如图，在O 中，弦 AB 的长是 12 3 cm，弦 AB 的弦心距为 6 cm，E 是O 优弧 AEB 上一点，则AEB 的度数为()A60 B45 C30 D805如图，在ABC 中，点 O 是角平分线 AD，BE 的交点，若 ABAC10，BC12，则 tan OBD 的值是()A12 B2 C63 D646如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点 A，变幅索的底端记为点 B，AD 垂直地面，垂足为点 D，BCAD，垂足为点 C.设ABC，下列关系式正确的是()AsinABBC BsinBCAB CsinABAC DsinACAB7 一辆汽车沿 A 地北偏东 50方向行驶 5 千米到达 B 地，再沿 B 地南偏东10方向行驶 5 千米到达 C 地，则此时 A，C 两地相距千米()A10 B5 3 C5 2 D58某限高曲臂道路闸口如图所示，AB 垂直地面 l1于点 A，BE 与水平线 l2的夹角为(090)，EFl1l2，若 AB1.4 米，BE2 米，车辆的高度为 h(单位：米)，不考虑闸口与车辆的宽度：当 90时，h 小于 3.3 米的车辆均可以通过该闸口；当45时，h 等于 2.9 米的车辆不可以通过该闸口；当 60时，h 等于 3.1 米的车辆不可以通过该闸口则上述说法正确的个数为()A0 个 B1 个 C2 个 D3 个9如图，在建筑物 AB 左侧距楼底 B 点水平距离 150 米的 C 处有一山坡，斜坡 CD 的坡度(或坡比)为 i12.4，坡顶 D 到 BC 的垂直距离 DE50 米(点A，B，C，D，E 在同一平面内)，在点 D 处测得建筑物顶点 A 的仰角为 50，则建筑物 AB 的高度约为()(参考数据：sin500.77；cos500.64；tan501.19)A69.2 米 B73.1 米 C80.0 米 D85.7 米10如图，坡角为 的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树 AB，当太阳光线与水平线成 45角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影 BC 长为 m，则大树 AB 的高为()Am(cos sin)Bm(sin cos)Cm(cos tan)Dmsin mcos 二、填空题(每小题 5 分，共 30 分)11如图，ABC 的顶点 B，C 的坐标分别是(1，0)，(0，3)，且ABC90，A30，则顶点 A 的坐标是 12如图，B 为地面上一点，测得 B 到树底部 C 的距离为 10 m，在 B 处放置 1 m 高 的 测 角 仪 BD，测 得 树 顶 A 的 仰 角 为 60 ，则 树 高 AC 为 m(结果保留根号).13如图，点 A，C，D，B 在O 上，ACBC，ACB90.若 CDa，tan CBD13，则 AD 的长是 14定义一种运算：sin()sin cos cos sin，sin()sin cos cos sin.例如：当 45，30时，sin(4530)223222126 24，则 sin 15的值为 15已知，在ABC 中，A45，AB4 2，BC5，则ABC 的面积为 16在ABC 中，C90，a，b，c 分别为A，B，C 的对边，若b2ac，则 sin A 的值为 三、解答题(共 80 分)17(8 分)计算：2cos245（tan602）2(sin601)0(12)2.18(8 分)如图，在 RtABC 中，C90，BC6，tan A12.求 AB 的长和 sin B 的值19(8 分)如图 1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图 2.梯子与地面所成的角 为 75，梯子 AB 长 3 m，求梯子顶部离地竖直高度 BC.(结果精确到0.1 m参考数据：sin750.97，cos750.26，tan753.73)20(8 分)如图，B 港口在 A 港口的南偏西 25方向上，距离 A 港口 100 海里处一艘货轮航行到 C 处，发现 A 港口在货轮的北偏西 25方向，B 港口在货轮的北偏西 70方向求此时货轮与 A 港口的距离(结果取整数参考数据：sin500.766，cos500.643，tan501.192，21.414)21(10 分)小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图 1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图 2.已知 ADBE10 cm，CDCE5 cm，ADCD，BECE，DCE40.(1)连接 DE，求线段 DE 的长；(2)求点 A，B 之间的距离(结果精确到0.1 cm.参考数据：sin200.34，cos200.94，tan200.36，sin400.64，cos400.77，tan400.84)22(12 分)如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度 AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长 CD15 m，斜坡的倾斜角为，cos 45.小文在 C 点处测得楼顶端 A 的仰角为 60，在 D 点处测得楼顶端 A的仰角为 30(点 A，B，C，D 在同一平面内).(1)求 C，D 两点的高度差；(2)求居民楼的高度 AB.(结果精确到 1 m参考数据：31.7)23(12 分)阅读下列材料：在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，求证：asin Absin B.证明：如图 1，过点 C 作 CDAB 于点 D，则：在 RtBCD 中，CDa sin B在 RtACD 中，CDb sin Aa sin Bb sin Aasin Absin B根据上面的材料解决下列问题：(1)如图 2，在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，求证：bsin Bcsin C；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知A67，B53，AC80 m，求这片区域的面积(结果保留根号参考数据：sin530.8，sin670.9)24(14 分)如图，某水渠的横断面是以 AB 为直径的半圆 O，其中水面截线MNAB.嘉琪在 A 处测得垂直站立于 B 处的爸爸头顶 C 的仰角为 14，点 M的俯角为 7.已知爸爸的身高为 1.7 m.(1)求C 的大小及 AB 的长；(2)请在图中画出线段 DH，用其长度表示最大水深(不说理由)，并求最大水深约为多少(结果保留小数点后一位参考数据：tan 76取 4，17取 4.1)第二十八章锐角三角函数第二十八章锐角三角函数 单元素养测评单元素养测评 时间：120 分钟满分：150 分班级：_姓名：_一、选择题(每小题 4 分，共 40 分)1如图，ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 cos ABC 的值为(B)A23 B22 C43 D2 232若 cos A32，则A 的大小是(A)A30 B45 C60 D903如图，在ABC 中，C90，设A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则(B)Acb sin B Bbc sin B Cab tan B Dbc tan B4如图，在O 中，弦 AB 的长是 12 3 cm，弦 AB 的弦心距为 6 cm，E 是O 优弧 AEB 上一点，则AEB 的度数为(A)A60 B45 C30 D805如图，在ABC 中，点 O 是角平分线 AD，BE 的交点，若 ABAC10，BC12，则 tan OBD 的值是(A)A12 B2 C63 D646如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点 A，变幅索的底端记为点 B，AD 垂直地面，垂足为点 D，BCAD，垂足为点 C.设ABC，下列关系式正确的是(D)AsinABBC BsinBCAB CsinABAC DsinACAB7 一辆汽车沿 A 地北偏东 50方向行驶 5 千米到达 B 地，再沿 B 地南偏东10方向行驶 5 千米到达 C 地，则此时 A，C 两地相距_千米(D)A10 B5 3 C5 2 D58某限高曲臂道路闸口如图所示，AB 垂直地面 l1于点 A，BE 与水平线 l2的夹角为(090)，EFl1l2，若 AB1.4 米，BE2 米，车辆的高度为 h(单位：米)，不考虑闸口与车辆的宽度：当 90时，h 小于 3.3 米的车辆均可以通过该闸口；当45时，h 等于 2.9 米的车辆不可以通过该闸口；当 60时，h 等于 3.1 米的车辆不可以通过该闸口则上述说法正确的个数为(C)A0 个 B1 个 C2 个 D3 个9如图，在建筑物 AB 左侧距楼底 B 点水平距离 150 米的 C 处有一山坡，斜坡 CD 的坡度(或坡比)为 i12.4，坡顶 D 到 BC 的垂直距离 DE50 米(点A，B，C，D，E 在同一平面内)，在点 D 处测得建筑物顶点 A 的仰角为 50，则建筑物 AB 的高度约为(D)(参考数据：sin500.77；cos500.64；tan501.19)A69.2 米 B73.1 米 C80.0 米 D85.7 米10如图，坡角为 的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树 AB，当太阳光线与水平线成 45角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影 BC 长为 m，则大树 AB 的高为(A)Am(cos sin)Bm(sin cos)Cm(cos tan)Dmsin mcos 二、填空题(每小题 5 分，共 30 分)11如图，ABC 的顶点 B，C 的坐标分别是(1，0)，(0，3)，且ABC90，A30，则顶点 A 的坐标是_(4，3)_12如图，B 为地面上一点，测得 B 到树底部 C 的距离为 10 m，在 B 处放置 1 m 高的测角仪 BD，测得树顶 A 的仰角为 60，则树高 AC 为_(110 3)_m(结果保留根号).13如图，点 A，C，D，B 在O 上，ACBC，ACB90.若 CDa，tan CBD13，则 AD 的长是_2 2a_14定义一种运算：sin()sin cos cos sin，sin()sin cos cos sin.例如：当 45，30时，sin(4530)223222126 24，则 sin 15的值为_6 24_15已知，在ABC 中，A45，AB4 2，BC5，则ABC 的面积为_2 或 14_16在ABC 中，C90，a，b，c 分别为A，B，C 的对边，若b2ac，则 sin A 的值为_512_三、解答题(共 80 分)17(8 分)计算：2cos245（tan602）2(sin601)0(12)2.解：原式2(22)2|32|141(2 3)14 32.18(8 分)如图，在 RtABC 中，C90，BC6，tan A12.求 AB 的长和 sin B 的值解：在 RtABC 中，C90，BC6，tan ABCAC12，AC12，AB AC2BC2 621226 5，sin BACAB126 52 55.19(8 分)如图 1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图 2.梯子与地面所成的角 为 75，梯子 AB 长 3 m，求梯子顶部离地竖直高度 BC.(结果精确到0.1 m参考数据：sin750.97，cos750.26，tan753.73)解：在 RtABC 中，AB3 m，BAC75，sin BACsin 75BCABBC30.97，解得 BC2.9.答：梯子顶部离地竖直高度 BC 约为 2.9 m20(8 分)如图，B 港口在 A 港口的南偏西 25方向上，距离 A 港口 100 海里处一艘货轮航行到 C 处，发现 A 港口在货轮的北偏西 25方向，B 港口在货轮的北偏西 70方向求此时货轮与 A 港口的距离(结果取整数参考数据：sin500.766，cos500.643，tan501.192，21.414)解：过点 B 作 BDAC，垂足为 D，由题意，得BAC252550，BCA702545，在 RtABD 中，AB100 海里，ADABcos 501000.64364.3(海里)，BDABsin 501000.76676.6(海里)，在 RtBDC 中，CDBDtan 4576.6(海里)，ACADCD64.376.6141(海里)，此时货轮与 A 港口的距离约为 141 海里21(10 分)小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图 1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图 2.已知 ADBE10 cm，CDCE5 cm，ADCD，BECE，DCE40.(1)连接 DE，求线段 DE 的长；(2)求点 A，B 之间的距离(结果精确到 0.1 cm.参考数据：sin200.34，cos200.94，tan200.36，sin400.64，cos400.77，tan400.84)解：(1)如图，过点 C 作 CFDE 于点 F，CDCE5 cm，DCE40.DCF20，DFCDsin 2050.341.7(cm)，DE2DF3.4 cm，线段 DE 的长约为 3.4 cm；(2)横截面是一个轴对称图形，延长 CF 交 AD，BE 的延长线于点 G，连接 AB，DEAB，AGDE.ADCD，BECE，GDFFDC90，DCFFDC90，GDFDCF20，A20，DGDFcos 201.70.941.8(cm)，AGADDG101.811.8(cm)，AB2AGcos 20211.80.9422.2(cm).点 A，B 之间的距离为 22.2 cm.22(12 分)如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度 AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长 CD15 m，斜坡的倾斜角为，cos 45.小文在 C 点处测得楼顶端 A 的仰角为 60，在 D 点处测得楼顶端 A的仰角为 30(点 A，B，C，D 在同一平面内).(1)求 C，D 两点的高度差；(2)求居民楼的高度 AB.(结果精确到 1 m参考数据：31.7)解：(1)过点 D 作 DEBC，交 BC 的延长线于点 E，在 RtDCE 中，cos 45，CD15 m，CECDcos 154512(m).DE CD2CE21521229(m).答：C，D 两点的高度差为 9 m.(2)过点 D 作 DFAB 于 F，由题意可得 BFDE，DFBE.设 AFx m，在 RtADF 中，tan ADFtan 30AFDFxDF33，解得 DF 3x，在 RtABC中，ABAFFBAFDE(x9)m，BCBECEDFCE(3x12)m，tan 60ABBCx93x12 3，解得 x6 392.经检验，x6 392是原方程的解且符合题意，AB6 392924(m).答：居民楼的高度 AB 约为 24 m.23(12 分)阅读下列材料：在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，求证：asin Absin B.证明：如图 1，过点 C 作 CDAB 于点 D，则：在 RtBCD 中，CDa sin B在 RtACD 中，CDb sin Aa sin Bb sin Aasin Absin B根据上面的材料解决下列问题：(1)如图 2，在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，求证：bsin Bcsin C；(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知A67，B53，AC80 m，求这片区域的面积(结果保留根号参考数据：sin530.8，sin670.9)(1)证明：如图 2，过点 A 作 ADBC 于点 D，在 RtABD 中，ADc sin B，在 RtACD 中，ADb sin C，c sin Bb sin C，bsin Bcsin C；(2)解：如图 3，过点 A 作 AEBC 于点 E，BAC67，B53，C60.在 RtACE 中，AEACsin 60803240 3(m)，又ACsin BBCsin BAC，即800.8BC0.9，BC90(m)，SABC129040 31800 3(m2).24(14 分)如图，某水渠的横断面是以 AB 为直径的半圆 O，其中水面截线MNAB.嘉琪在 A 处测得垂直站立于 B 处的爸爸头顶 C 的仰角为 14，点 M的俯角为 7.已知爸爸的身高为 1.7 m.(1)求C 的大小及 AB 的长；(2)请在图中画出线段 DH，用其长度表示最大水深(不说理由)，并求最大水深约为多少(结果保留小数点后一位参考数据：tan 76取 4，17取 4.1)解：(1)嘉琪在 A 处测得垂直站立于 B 处的爸爸头顶 C 的仰角为 14，CAB14，CBA90，C180CABCBA76，tan CABBC，BC1.7 m，tan 76AB1.7，AB1.7tan 766.8(m)，答：C76，AB 的长为 6.8 m；(2)在图中画出线段 DH，如图OAOM，BAM7，OMAOAM7，ABMN，AMDBAM7，OMD14，MOD76.在 RtMOD 中，tan MODM DOD，tan 76M DOD，MD4OD.设 ODx m，则 MD4x m，在 RtMOD 中，OMOA12AB3.4 m，x2(4x)23.42，x0，x1750.82，OD0.82 m，DHOHODOAOD3.40.822.582.6(m)，答：最大水深约为 2.6 m.