1、第 1页（共 9页） 高二数学期中模拟试卷高二数学期中模拟试卷 3 3 一、选择题（共一、选择题（共 1212 小题；共小题；共 6060 分）分） 1. 若空间三条直线 ， ， 满足 ， ，则直线 与 ( ) A. 一定平行 B. 一定垂直 C. 一定是异面直线 D. 一定相交 2. 已知椭圆 ： 的一个焦点为 ( )，则 的离心率为 ( ) A. B. C. D. 3. 已知双曲线 ( ) 的离心率为 ，则 的渐近线方程为 ( ) A. B. C. D. 4. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 5. 已知椭圆 的焦点为 ( )， ( )
2、，过 的直线与 交于 ， 两点若 ， ，则 的方程为 ( ) A. B. C. D. 6. 已知直线 与圆 ( ) 相交于 ， 两点， 若 ，则圆 的标准方程为 ( ) A. ( ) ( ) B. ( ) ( ) C. ( ) ( ) D. ( ) ( ) 7. 设 ， 分别为椭圆 ( ) 与双曲线 的公共左、右焦点，它们在第一象 限内的交点为 ， 是以线段 为底边的等腰三角形，且 若椭圆 的离心 率 * +，则双曲线 的离心率的取值范围是 ( ) A. * + B. * ) C. ( D. * + 8. 以椭圆 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ( ) A. B. C. D. 9. 连
3、续投两次骰子，则两次点数均为 的概率是 ( ) A. B. C. D. 10. 已知双曲线 ( ) 的左顶点与抛物线 ( ) 的焦点的距离为 ，且 双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 ( )，则双曲线的焦距为 ( ) A. B. C. D. 第 2页（共 9页） 11. 已知椭圆 ( ) 的离心率为 双曲线 的渐近线与椭圆 有四个 交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 ，则椭圆 的方程为 ( ) A. B. C. D. 12. 设平面区域 是由双曲线 的两条渐近线和抛物线 的准线所围成的三角形 区域（含边界），若点 ( ) ，则 的取值范围是 ( ) A. * + B. C. *
4、 + D. * + 二、填空题（共二、填空题（共 4 4 小题；共小题；共 2020 分）分） 13. 设抛物线 的焦点为 ，准线为 则以 为圆心，且与 相切的圆的方程为 . 14. 函数 ( ) ( ) 的最小值为 15. 以下四个关于圆锥曲线的命题中 设 ， 为两个定点， 为非零常数， ，则动点 的轨迹为椭圆； 设定圆 上一定点 作圆的动弦 ， 为坐标原点，若 ( )，则动点 的轨 迹为圆； 方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 双曲线 与椭圆 有相同的焦点 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 16. 已知抛物线 的准线为 ， 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点，则
5、 线段 的长度为 三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题；共小题；共 7070 分）分） 17. 一圆经过点 ( )，且和直线 相切，圆心在直线 上 （1）求该圆的标准方程； （2）若直线 过点 ( )，且被圆截得的弦长最短，求直线 的方程 第 3页（共 9页） 18. 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 已知 ， ， （1）求 的值； （2）求 的面积 19. 如图是某地区 年至 年环境基础设施投资额 （单位：亿元）的折线图为了预测该 地区 年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型根据 年至 年的数据（时间变量 的值依次为 ， ， ， ）建立模型： ； 根据 年
6、至 年的数据（时间变量 的值依次为 ， ， ， ）建立模型： （1）分别利用这两个模型，求该地区 年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由 20. 如图，四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ，点 ， ， 分别为 ， ， 的中 点 （1）求证： ； （2）求证： 平面 ； （3）求二面角 的余弦值 第 4页（共 9页） 21. 已知抛物线 经过点 ( )，其焦点为 ， 为抛物线上除了原点外的任一点，过 的直线 与 轴， 轴分别交于 ， （1）求抛物线 的方程以及焦点坐标； （2）若 与 的面积相等，求证：直线 是抛物线 的切线 22. 已知椭圆
7、( ) 的左焦点为 ( )，离心率为 ，点 在椭圆上且位于第一 象限，直线 被圆 截得的线段的长为 ， （1）求直线 的斜率； （2）求椭圆的方程； （3）设椭圆上动点 在 轴上方，若直线 的斜率大于 ，求直线 （ 为原点）的斜率 的取值范围 第 5页（共 9页） 答案答案 第一部分第一部分 1. B 2. C 3. C 【解析】由双曲线的离心率 可知 ，而双曲线 ( ) 的渐近 线方程为 4. A 5. B 6. B 【解析】化圆 ( ) 为 ( ) ( ) ， 可得圆心坐标为 ( )，半径为 ， 由圆心 ( ) 到直线 的距离 ( ) ，且 ， 得 ， 所以圆 的标准方程为 ( ) ( )
8、 7. D 【解析】由题意知， ， 因为 ， 所以 设双曲线 的方程为 ( )，则 由 可得， ， 所以双曲线 的离心率 ， 又椭圆 的离心率 * +， 所以 ， 所以 * + 8. B 【解析】设双曲线为 ，由椭圆 得焦点为 ( )，顶点为 ( ) 所以双曲线的顶点为 ( )，焦点为 ( )，所以 ， ， 所以 ，所以双曲线为 9. D 10. A 【解析】由题意可知 ，所以 ，抛物线方程 因为双曲线的左顶点与抛物线的焦点距离为 ，所以 ，所以 又 ( ) 在双曲线上的渐近线上，所以 ， ， ，所以焦距为 11. D 【解析】因为椭圆的离心率为 ，所以 ， ，所以 ，即 .双曲线的渐近线方程
9、为 ，代入椭圆方程得 ，即 ，所以 ， ， ， ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆 的交点坐标为 第 6页（共 9页） ( )，所以四边形的面积为 ，所以 ，所以椭圆方程为 12. B 【解析】已知双曲线的渐近线方程为 ，抛物线的准线方程为 ，所以平面区域 如图所示： ( ) ，其中 可以看作点 ( ) 与点 ( ) 之间的斜率，由图可 知：其最大值为 ，最小值为 ，所以 的取值范围是 . 第二部分第二部分 13. ( ) 14. 15. 【解析】根据题意，依次分析 个命题： 对于、若动点 的轨迹为椭圆则需满足 ，故错误； 对于、若 ( )，则 是 中点，即 ，所以 的轨迹是以 为直径的圆，
10、故正确； 对于、方程 的两根分别为 或 ，而 ， ，故正确； 对于、双曲线焦点在 轴上，椭圆的焦点在 轴上；故不正确 16. 第三部分第三部分 17. （1） 设圆的圆心为 ( )，半径为 ( )， 由题意得 ( ) ( ) 解得 所以圆的方程为 ( ) ( ) （2） 由（ ）得圆心为 ( )，易得当 时， 被圆截得的弦长最短 因为 ，所以 ， 此时 的方程为 ( )，即为 18. （1） 因为 ， 第 7页（共 9页） 所以 ， 因为 所以 ( ) ， 由正弦定理知 ， 所以 （2） 因为 ， 所以 ， ( ) ( ) ( ) 所以 19. （1） 利用模型，该地区 年的环境基础设施投资额
11、的预测值为 （亿元） 利用模型，该地区 年的环境基础设施投资额的预测值为 （亿元） （2） 利用模型得到的预测值更可靠理由如下： （i）从折线图可以看出， 年至 年的数据对应的点没有随机散布在直线 上下， 这说明利用 年至 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋 势 年相对 年的环境基础设施投资额有明显增加， 年至 年的数据对应的点位于一条 直线的附近， 这说明从 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 年至 年的数 据建立的线性模型 可以较好地描述 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因 此利用模型得到的预测值更可靠 （ii）从计算结果看，相对于 年
12、的环境基础设施投资额 亿元， 由模型得到的预测值 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说 明利用模型得到的预测值更可靠 20. （1） 因为 平面 ， 为正方形， 平面 ， 平面 ， 所以 ， ， ， 如图，以 为坐标原点， ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系， 第 8页（共 9页） 则 ( )， ( )， ( )， ( )， ( )， ( )， ( ) ( )， ( )， 所以 ( ) ( ) ， 所以 ， 所以 （2） 设平面 一个法向量为 ( )， ( )， 所以 所以 ( ) ( ) 所以 取 ，则 ( )， 因为 ( ) ( ) ， 所以 ， 因为 平面
13、， 所以 平面 （3） 设平面 一个法向量为 ( )， 设平面 一个法向量为 ( )， 所以 所以 ( ) ( ) 所以 取 ， ( )， 所以 所以 ( ) ( ) 第 9页（共 9页） 所以 取 ， ( )， 因此 ， 因为二面角 为钝二面角， 所以二面角 的余弦值为 21. （1） 因为抛物线 经过点 ( )， 所以 ， 所以抛物线 的方程为 ，焦点 点坐标为 ( ) （2） 因为 与 的面积相等， 所以 ，所以 为 的中点 设 ( )( )，则 ( ) 所以直线 的方程为， ( ) 与抛物线 联立得： ， ， 所以直线 是抛物线 的切线 22. （1） 设 ( )， 到直线 的距离为 因为直线 被圆 截得的线段的长为 ，所以 ( ) ， 又 ， ， ， ，解得 （2） 设 ( )， ， ，则 ，又因为 ( )，且 ( ) ，解得 ， （舍） 所以椭圆的方程为 （3） 设点 的坐标为 ( )，由题意， ，平方得 ( ) ，又 在椭圆上， 所以 ，消去 ，整理得 且 ， 所以 或 ， 又 ， 所以 ， 所以 设直线 的斜率为 ，得 ， 所以 ，消去 整理得 ，由 ， 得 ，而 ， ， 即 ， 所以 ( )综上，直线 的斜率的取值范围是 ( )
