1、24.3 24.3 锐角三角函数锐角三角函数知识点知识点锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义11.定义定义 如如图图24.3-1，在，在ABC中中，C90，2.锐角三角函数的表示法锐角三角函数的表示法(1)在在sin A，cos A，tan A中中，三角函数的符号一定要小，三角函数的符号一定要小写写，不能，不能大写大写.(2)当当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表表示示时，它的三角函数习惯上省略角的符号，如时，它的三角函数习惯上省略角的符号，如sin A，cos，tan B等等；当锐角是用三个大写英文字母；当锐角是用三个大写英文字母或数字或数
2、字表示表示时，它的三角函数不能省略角的符号，时，它的三角函数不能省略角的符号，如如 sin ABC，sin 1等等.(3)“sin A”“cos A”“tan A”是整体符号，不能理解是整体符号，不能理解为为“sinA”“cosA”“tanA”.(4)sin2A表示表示sin Asin A(sin A)2，不能写成，不能写成sin A2；cos2A表示表示cos Acos A(cos A)2，不能写成，不能写成cos A2；tan2A表示表示tan Atan A(tan A)2，不能写成，不能写成tan A2.特别提醒特别提醒1.正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切都是一都是一个比值，是没有个比值
3、，是没有单位单位的数值，的数值，它们只它们只与锐角与锐角的大小有关，的大小有关，而与而与三角形的边的三角形的边的长短无关长短无关.2.由于直角三角形由于直角三角形的斜边的斜边大于直角边，大于直角边，且各且各边的边长均为边的边长均为正数正数，所以锐角，所以锐角三角函数三角函数值都是正实数，值都是正实数，且且0sin A1，0cos A 1.3.正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切符号符号后面可以直接写后面可以直接写锐角锐角的度数，如的度数，如sin28，cos8，tan18等等.4.sin x，cos x和和tan x都是都是以以x为自变量的为自变量的函数函数，一旦，一旦x的的度度数数确定确定，它们
4、的值就，它们的值就唯一确定唯一确定，即锐角，即锐角三角函数三角函数值随角值随角度的变化度的变化而变化而变化.例 1在在RtABC中中，C90，A，B，C的的对边对边分别为分别为a，b，c.已知已知a6，b8，求出，求出A的三角函的三角函数数值值.解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“锐角三角函数的定义锐角三角函数的定义”求解求解.例 2解题秘方解题秘方：当三角形出现边与边的比时，可引入当三角形出现边与边的比时，可引入参数，用参数，用这个这个参数表示出三角形的三边长，再用参数表示出三角形的三边长，再用定义求解定义求解.答案：答案：B例 3如图如图24.3-2，在等腰三角形，在等腰三角形ABC中中，ABAC
5、，如果，如果2AB3BC，求，求B的的三个三角函数值三个三角函数值.解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“锐角三角函数的锐角三角函数的定义的前提是在定义的前提是在直角三角形直角三角形中中”这这一特征，用一特征，用“构造直角三角形法构造直角三角形法”求解求解.3-1.将一副将一副三角尺三角尺(RtABC与与RtBDC)按按如图所示的方如图所示的方式式摆放在摆放在一起，连结一起，连结AD，试，试求求ADB的的正切值正切值.如图如图24.3-3，在四边形，在四边形ABCD中中，AABC90，DB平分平分ADC.若若AD1，CD3，则则sin ABD_.例 4解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“角相等则其三角函数值也相
6、等角相等则其三角函数值也相等”这一特征这一特征，用，用“等角转换法等角转换法”将所要求的角的三将所要求的角的三角函数值转化为角函数值转化为直角三角形直角三角形中与该角相等的角的中与该角相等的角的三角函数值三角函数值.解：解：如图如图24.3-3，过点，过点D作作BC的的垂线交垂线交BC于于点点E，DECDEB90.AABC90，四边形四边形ABED为为矩形，矩形，DEAB，ADBE，BEAD1，ABDBDE.DB平分平分ADC，ADBCDB.C知识点知识点锐角三角函数之间的关系锐角三角函数之间的关系2深度理解深度理解锐角三角函数锐角三角函数之间之间的关系都可用的关系都可用定义推理定义推理得出得
7、出.解题秘方解题秘方：紧扣紧扣“同一锐角三角函数间的关系同一锐角三角函数间的关系”求解求解.例 5计算：计算：sin21sin22sin288sin289.例 6解题秘方解题秘方：紧扣紧扣sin cos(90)将将原式变形，原式变形，再再根据根据sin2cos21求解求解.知知3 3讲讲知识点知识点特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值330，45，60角的三角函数值角的三角函数值三角函数值三角函数值304560sin cos tan 1知知3 3讲讲特别提醒特别提醒由左表可以由左表可以计算特殊计算特殊锐角的锐角的三角函数值三角函数值，也可，也可由特殊角由特殊角的三角函数的三角函数值求出值求出相
8、应的相应的锐角锐角.知知3 3练练例 7解题秘方解题秘方：紧扣特殊角的三角函数值进行计算紧扣特殊角的三角函数值进行计算.知知3 3练练知知3 3练练知知3 3练练B知知3 3练练知知3 3练练知知3 3练练例 8解题秘方解题秘方：先先根据特殊角的三角函数值求出两个根据特殊角的三角函数值求出两个内角的内角的度数度数，再判断三角形的形状，再判断三角形的形状.知知3 3练练知知3 3练练C60知知4 4讲讲知识点知识点任一锐角的三角函数值任一锐角的三角函数值41.利用计算器求锐角三角函数值利用计算器求锐角三角函数值(1)将将角度单位状态设定为角度单位状态设定为“度度”：SHIFT 菜单菜单 (设置设
9、置)2 (角度单位角度单位)1 (度度)，屏幕屏幕显示显示 D.(2)在在角度单位状态为角度单位状态为“度度”的情况下，的情况下，按按 sin 或或 cos 或或tan 键直接键直接求出一个角的正弦值、余弦值或正切值求出一个角的正弦值、余弦值或正切值.知知4 4讲讲2.已知锐角三角函数值求锐角的度数已知锐角三角函数值求锐角的度数一般的计算器中都一般的计算器中都有有 sin(sin1)，cos(cos1)，tan(tan1)键键，这些是由正弦值、余弦值或正切值求，这些是由正弦值、余弦值或正切值求锐角度数锐角度数的功能键，已知一个锐角的正弦值、余弦值或正切值的功能键，已知一个锐角的正弦值、余弦值或
10、正切值求锐求锐角角时，要用时，要用到到 SHIFT sin(sin1)，SHIFT cos(cos1)或或 SHIFT tan(tan1)键键.知知4 4讲讲特别提醒特别提醒不同计算器的不同计算器的按键按键顺序不同，大体顺序不同，大体分两种分两种情形：先按情形：先按三角函数三角函数键，再按数字键，再按数字键或键或先输入数字，再先输入数字，再按三角函数按三角函数键键.知知4 4练练用计算器求用计算器求sin 16，cos 42，tan 85，sin 723825的值的值.例 9解题秘方解题秘方：按计算器的使用说明求值按计算器的使用说明求值.知知4 4练练解：先将角度单位状态设定为解：先将角度单位
11、状态设定为“度度”：SHIFT 菜单菜单(设设置置)2(角度单位角度单位)1(度度)，屏幕屏幕显示显示 D，然后再如表求值，然后再如表求值.按键顺序按键顺序显示结果显示结果sin 160.275 637 355cos 420.743 144 825tan 8511.430 052 3sin 7238250.954 450 312知知4 4练练9-1.用计算器求用计算器求下列各式下列各式的的值值(结果结果精确精确到到0.000 1).(1)sin 235cos 6655；(2)sin27.8cos 6537tan 4956.解解：原式：原式0.392 070.392 070.784 1.原式原式
12、0.135 7220.412 841.188 940.018 420.412 841.188 940.794 5.知知4 4练练已知下列锐角三角函数值，用已知下列锐角三角函数值，用计算器求计算器求其相应的锐角：其相应的锐角：(1)sin A0.516 8(结果结果精确到精确到0.01)；(2)cos A0.675 3(结果结果精确到精确到1).例10解题秘方解题秘方：按计算器的使用说明依次按键按计算器的使用说明依次按键.解：解：(1)依次依次按键：按键：，显示结果为显示结果为31.117 845 56，即，即A 31.12.(2)依次按键：依次按键：，显示结果为显示结果为473121.18，即，即A 473121.知知4 4练练知知4 4练练10-1.为了方便行人为了方便行人推车推车过某天桥，市政府过某天桥，市政府在在10 m 高的天桥一高的天桥一侧侧修建了修建了一条一条40 m 长的长的斜道斜道(如如图所图所示示)，我们我们可以可以借助计借助计算器求这条算器求这条斜道倾斜角斜道倾斜角A的的度数度数，具体，具体按键顺序按键顺序是是()A.B.C.D.A锐角三角函数锐角三角函数锐角锐角三角三角函数函数计算计算特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值任一锐角的三角函数值任一锐角的三角函数值锐角的度数锐角的度数正弦正弦余弦余弦正切正切
