1、1 湖北省武汉市 2021 届高三起点考数学试卷 20209 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1设集合 A 2 20 x xx，B03xx，则 AB A(1，2) B(0，2) C(1，3) D(0，3) 2若 i 32i a 为纯虚数，则实数 a 的值为 A 2 3 B 2 3 C 3 2 D 3 2 3已知命题 p：所有的三角函数都是周期函数，则p 为 A所有的周期函数都不是三角函数 B所有的三角函数都不是周期函数 C有些周期函数不是三角函数 D有些三角函数不是周期函
2、数 4平面向量a(2，1)，b2，4a b ，则向量a，b夹角的余弦值为 A 2 5 5 B 4 5 C 5 5 D 1 5 5 某学校组织三个年级的学生到博物馆参观， 该博物馆设有青铜器， 瓷器， 书画三个场馆 学 校将活动时间分为三个时间段， 每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同， 并且 每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有 A6 种 B9 种 C12 种 D18 种 6过抛物线 E：y22x 焦点的直线交 E 于 A，B 两点，线段 AB 中点 M 到 y 轴距离为 1， 则AB A2 B 5 2 C3 D4 7如图，点 A，B，C，M，N 为正方体的
3、顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直 线 MN平面 ABC 的是 2 8我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元 素构成，历史文献尚书洪范提出了五行的说法，到 战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出这五种物质 属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随 机选取三种，则取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一 个相生关系和两个相克关系的概率为 A 3 5 B 1 2 C 2 5 D 1 3 第 8 题 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9无穷数列
4、 n a的前 n 项和 2 n Sanbnc，其中 a，b，c 为实数，则 A n a可能为等差数列 B n a可能为等比数列 C n a中一定存在连续三项构成等差数列 D n a中一定存在连续三项构成等比数列 10今年 7 月，有关部门出台在疫情防控常态化条件下推进电影院恢复开放的通知，规定低 风险地区在电影院各项防控措施有效落实到位的前提下， 可有序恢复开放营业 一批影 院恢复开放后，统计某连续 14 天的相关数据得到如下的统计表其中，编号 1 的日期 是周一，票房指影院票销售金额，观影人次相当于门票销售数量 3 由统计表可以看出，这连续 14 天内 A周末日均的票房和观影人次高于非周末
5、B影院票房，第二周相对于第一周同期趋于上升 C观影人次，在第一周的统计中逐日增长量大致相同 D每天的平均单场门票价格都高于 20 元 11若0abc，且1abc，则 A224 ab Blglg0ab C 2 2ac D 2 2ac 12已知函数( )sin(sin )cos(cos )f xxx，下列关于该函数结论正确的是 A( )f x的图象关于直线 x 2 对称 B( )f x的一个周期是 2 C( )f x的最大值为 2 D( )f x是区间(0， 2 )上的增函数 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13某圆锥母线长为 4
6、，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为 14 6 1 ()(1)xx x 展开式中含 4 x项的系数为 15设函数 1 sin ( )ln 2cos x f x x 在区间 4 ， 4 上的最小值和最大值分别为 m 和 M，则 m M 16双曲线 E： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的左焦点为 F，过 F 作 x 轴垂线交 E 于点 A，过 F 作与 E 的一条渐近线平行的直线交 E 于点 B，且 A，B 在 x 轴同侧，若FAB30 ， 则 E 的离心率为 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 4 17
7、 （本小题满分 10 分） 在 712 21 127 SSS ， 1 22 36 7 1112 3aaaaaa ， 2222 2345 aaaa 22 67 48aa 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的数列存在，求数列 n a的通项公式；若问题中的数列不存在，请说明理由 问题：是否存在等差数列 n a，它的前 n 项和为 n S，公差 d0， 1 3a ， ? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18 （本小题满分 12 分） 在ABC 中，BAC 的角平分线交 BC 于点 D，ACAD1，AB3 （1）求 cosBAD； （2）求ABC 的面积 19 （本小题满分
8、 12 分） 如图， 三棱柱 ABCA1B1C1中， A1B1平面 ACC1A1， CAA160， ABAA11， AC2 （1）证明：AA1B1C； （2）求二面角 AB1CB 的余弦值 20 （本小题满分 12 分） 有编号为 1，2，3 的三只小球和编号为 1，2，3，4 的四个盒子，将三只小球逐个随机 地放人四个盒子中，每只球的放置相互独立 （1）求三只小球恰在同一个盒子中的概率； （2）求三只小球在三个不同盒子且每只球编号与所在盒子编号不同的概率； （3）记录所有至少有一只球的盒子，以 X 表示这些盒子编号的最小值，求 EX 21 （本小题满分 12 分） 5 椭圆 E： 22 22
9、 1 xy ab (ab0)的离心率为 1 2 ，长轴端点和短轴端点的距离为7 （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）点 P 是圆 x2y2r2(r0)上异于点 A(r，0)和 B(r，0)的任一点，直线 AP 与椭 圆 E 交于点 M， N， 直线 BP 与椭圆 E 交于点 S， T 设 O 为坐标原点， 直线 OM， ON， OS， OT 的斜率分别为 OM k， ON k， OS k， OT k 问： 是否存在常数 r， 使得 OM k ON k OS k OT k 恒成立?若存在，求 r 的值；若不存在，请说明理由 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( )lng xxx （1）求
10、曲线( )yg x在点(e，(e)g)处的切线方程； （2） 设 2 1 ( ) ( ) x f x g x ， 证明( )f x恰有两个极值点 1 x和 2 x， 并求 12 ( )()f xf x的值 湖北省武汉市 2021 届高三起点考数学试卷 20209 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1设集合 A 2 20 x xx，B03xx，则 AB A(1，2) B(0，2) C(1，3) D(0，3) 答案：B 解析：集合 A 2 2012x xxxx ，B03xx，
11、AB(0，2)，故选 B 2若 i 32i a 为纯虚数，则实数 a 的值为 A 2 3 B 2 3 C 3 2 D 3 2 答案：A 6 解析： i(23)i32 32i13 aaa ，故 a 2 3 ，选 A 3已知命题 p：所有的三角函数都是周期函数，则p 为 A所有的周期函数都不是三角函数 B所有的三角函数都不是周期函数 C有些周期函数不是三角函数 D有些三角函数不是周期函数 答案：D 解析：全称量词要变为存在量词，同时要否定结论，故选 D 4平面向量a(2，1)，b2，4a b ，则向量a，b夹角的余弦值为 A 2 5 5 B 4 5 C 5 5 D 1 5 答案：A 解析：向量a(
12、2，1)，5a ， cos 42 5 552 a b a b ，故选 A 5 某学校组织三个年级的学生到博物馆参观， 该博物馆设有青铜器， 瓷器， 书画三个场馆 学 校将活动时间分为三个时间段， 每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同， 并且 每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有 A6 种 B9 种 C12 种 D18 种 答案：C 解析：第一步，第一个时间段内，三个年级参观三个场馆有 3 3 A种； 第二步，第二个时间段内，三个年级参观三个场馆，由于每个年级的学生在三个时间 段内参观的场馆不重复， 故在第一个时间段确定某种情况下， 第二个时间段有 2 种情
13、况； 第三步，在前两个时间段的确定某种情况下，第三个时间段有 1 种情况 故共有 3 3 A2112 种情况，故选 C 6过抛物线 E：y22x 焦点的直线交 E 于 A，B 两点，线段 AB 中点 M 到 y 轴距离为 1， 则AB A2 B 5 2 C3 D4 答案：C 7 解析：设 A、B 两点的横坐标分别为 1 x， 2 x，故 AB 12 2 13xxp ，故选 C 7如图，点 A，B，C，M，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直 线 MN平面 ABC 的是 答案：D 解析：选项 D 中，MN平面 ABC，故选 D 8我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五
14、种元 素构成，历史文献尚书洪范提出了五行的说法，到 战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出这五种物质 属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随 机选取三种，则取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一 个相生关系和两个相克关系的概率为 A 3 5 B 1 2 C 2 5 D 1 3 第 8 题 答案：B 解析：从 5 个里面选 3 个共有 10 种情况，其中恰好有一个相生关系和两个相克关系的有 5 种情况，所以概率为 1 2 ，故选 B 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相
15、应位置上） 9无穷数列 n a的前 n 项和 2 n Sanbnc，其中 a，b，c 为实数，则 A n a可能为等差数列 B n a可能为等比数列 C n a中一定存在连续三项构成等差数列 D n a中一定存在连续三项构成等比数列 答案：ABC 8 解析：当 c0 时， n a为等差数列，当 c0 时，且 n2 时， n a为等差数列，故 AC 正 确，当 ac0，b0 时， n a是公比为 1 的等比数列，故 B 正确，至于 D 则是假 命题，故选 ABC 10今年 7 月，有关部门出台在疫情防控常态化条件下推进电影院恢复开放的通知，规定低 风险地区在电影院各项防控措施有效落实到位的前提下
16、， 可有序恢复开放营业 一批影 院恢复开放后，统计某连续 14 天的相关数据得到如下的统计表其中，编号 1 的日期 是周一，票房指影院票销售金额，观影人次相当于门票销售数量 由统计表可以看出，这连续 14 天内 A周末日均的票房和观影人次高于非周末 B影院票房，第二周相对于第一周同期趋于上升 C观影人次，在第一周的统计中逐日增长量大致相同 D每天的平均单场门票价格都高于 20 元 答案：AB 解析：选项 C，第一周前四天观影人次增长量大致相同，但是第 5 天开始增长量与前四天增 长量不同；第 4 天的单场门票价格低于 20 元，故 D 错误；故选 AB 11若0abc，且1abc，则 A224
17、 ab Blglg0ab C 2 2ac D 2 2ac 答案：BC 解析：当 a 2 3 ，b1，c 3 2 ，可得 A、D 均不正确 根据0abc，且1abc，可得 a1，c1，ab1，bc1， 故lglglg0abab， 222 2 11 2accc bcc ，故选 BC 12已知函数( )sin(sin )cos(cos )f xxx，下列关于该函数结论正确的是 A( )f x的图象关于直线 x 2 对称 B( )f x的一个周期是 2 9 C( )f x的最大值为 2 D( )f x是区间(0， 2 )上的增函数 答案：ABD 解析：()sin(sin()cos(cos()sin(s
18、in )cos( cos )fxxxxx sin(sin )cos(cos )( )xxf x，故 A 正确， (2 )sin(sin(2 )cos(cos(2 )sin(sin )cos(cos )( )f xxxxxf x， 故 B 正确， 由于sin(sin )1x ，cos(cos )1x ， 故( ) s i n ( s i n ) c o s ( c o s ) 2f xxx， C 错误， 当x(0， 2 )时，sinUx(0，1)且单调递增，故sin(sin )yx是区间(0， 2 ) 上的增函数，同理可判断，cos(cos )yx是区间(0， 2 )上的增函数，故( )f x是
19、区 间(0， 2 )上的增函数，D 正确 综上所述，本题选 ABD 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13某圆锥母线长为 4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为 答案： 8 3 3 解析：该圆锥母线为 4，底面半径为 2，高为2 3， 2 18 3 22 3 33 V 14 6 1 ()(1)xx x 展开式中含 4 x项的系数为 答案：26 解析： 16 ( 1)r rr r TC x ， 333 46 20TC xx ， 555 66 6TC xx ，故含 4 x项的系数为 26 15设函数 1 sin ( )ln 2co
20、s x f x x 在区间 4 ， 4 上的最小值和最大值分别为 m 和 M，则 m M 答案：ln4 10 解析： 2 2 1 sin1 sin()1 sin ( )()lnlnlnln4 2cos2cos()4cos xxx f xfx xxx ，故 mM ln4 16双曲线 E： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的左焦点为 F，过 F 作 x 轴垂线交 E 于点 A，过 F 作与 E 的一条渐近线平行的直线交 E 于点 B，且 A，B 在 x 轴同侧，若FAB30 ， 则 E 的离心率为 答案： 2 3 3 解析：A，B 在 x 轴同侧，不妨取 x 轴上方，求得 A(c， 2
21、b a )，B( 22 2 ac c ， 3 2 b ac )， FAB30 ， 2322 3() 22 bbac c aacc ，化简得23cab，两边平方 并化简得， 22 34 340caca，求得 2 3 3 c e a 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 在 712 21 127 SSS ， 1 22 36 7 1112 3aaaaaa ， 2222 2345 aaaa 22 67 48aa 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的数列存在，求数列 n a的通项公
22、式；若问题中的数列不存在，请说明理由 问题：是否存在等差数列 n a，它的前 n 项和为 n S，公差 d0， 1 3a ， ? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解：方案一：选条件 ， 构成公差为 2 d 的等差数列 又， 11 因此，选条件时问题中的数列存在，此时47 n an 方案二：选条件 即 代入得，则 ，此时不符合条件 因此，选条件时问题中的数列不存在， 方案三：选条件， 由 代入得 d2 或 d 8 7 （舍） ， 因此，选条件时问题中的数列存在，此时25 n an 18 （本小题满分 12 分） 在ABC 中，BAC 的角平分线交 BC 于点 D，ACAD1，AB
23、3 （1）求 cosBAD； （2）求ABC 的面积 解： （1）设BADCAD， 则ABC 面积， ， 即 又 cosBAD 2 3 （2） 2 cos 3 ， 5 sin 3 ， 4 5 sin22sincos 9 ， 12 5 sin2 23 SAB AC 12 19 （本小题满分 12 分） 如图， 三棱柱 ABCA1B1C1中， A1B1平面 ACC1A1， CAA160， ABAA11， AC2 （1）证明：AA1B1C； （2）求二面角 AB1CB 的余弦值 解： （1）证明：连接 A1C，在A1AC 中，A1C2AA12AC22AA1ACcosA1AC 即 A1C2122221
24、2cos603，于是 A1C2AA12AC2 AA1A1C， 又 A1B1平面 ACC1A1，AA1平面 ACC1A1，A1B1AA1， 而 A1B1A1CA1，AA1平面 A1B1C，而 B1C平面 A1B1C， AA1B1C （2）解：如图，以 A1为原点，的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 A1xyz 设为平面 AB1C 的法向量，为平面 BB1C 的法向量， 则 A1(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，3，0)，B1(0，0，1)，B(1，0，1)， 由得，令则， 由得，令，则， ， 二面角 AB1CB 的平面角的余弦值为 2 7 7 2
25、0 （本小题满分 12 分） 有编号为 1，2，3 的三只小球和编号为 1，2，3，4 的四个盒子，将三只小球逐个随机 地放人四个盒子中，每只球的放置相互独立 （1）求三只小球恰在同一个盒子中的概率； 13 （2）求三只小球在三个不同盒子且每只球编号与所在盒子编号不同的概率； （3）记录所有至少有一只球的盒子，以 X 表示这些盒子编号的最小值，求 EX 解： （1）记“三只小球恰在同一个盒子”为事件 A， 则 P(A) 3 41 416 ； （2）记“三只小球在三个不同盒子且每只球编号与所在盒子编号不同”为事件 B 其中，三个盒子中不含 4 号盒子为事件 B1，含 4 号盒子为事件 B2， 则
26、 P(B1) 3 2 12 = 464 ，P(B2) 2 3 3 (1 2 1)9 464 C 事件 B1，B2互斥， P(B)P(B1B2)P(B1)P(B2) 11 64 ， （3）X 可能取值为 1，2，3，4 P(X1) 33 3 4337 464 ， P(X2) 33 3 3219 464 ， P(X3) 33 3 217 464 ， P(X4) 3 11 464 ， E(X) 37197125 1234 6464646416 21 （本小题满分 12 分） 椭圆 E： 22 22 1 xy ab (ab0)的离心率为 1 2 ，长轴端点和短轴端点的距离为7 （1）求椭圆 E 的标准
27、方程； （2）点 P 是圆 x2y2r2(r0)上异于点 A(r，0)和 B(r，0)的任一点，直线 AP 与椭 圆 E 交于点 M， N， 直线 BP 与椭圆 E 交于点 S， T 设 O 为坐标原点， 直线 OM， ON， OS， OT 的斜率分别为 OM k， ON k， OS k， OT k 问： 是否存在常数 r， 使得 OM k ON k OS k OT k 恒成立?若存在，求 r 的值；若不存在，请说明理由 解： （1）设椭圆焦距为 2c(c0)， 14 由，解得 椭圆 E 的标准方程为 22 1 43 xy ， （2）由题意直线 AP，BP 斜率存在且均不为 0，设直线 AP
28、方程为 由得， 所以 又 从而代入得 又 APBP，以替代 k，以r 替代 r， 同理可得 对恒成立，解得或（舍） ， 经检验，此时， 因此存在 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( )lng xxx （1）求曲线( )yg x在点(e，(e)g)处的切线方程； （2） 设 2 1 ( ) ( ) x f x g x ， 证明( )f x恰有两个极值点 1 x和 2 x， 并求 12 ( )()f xf x的值 解： （1），则， 切线方程为，整理得：， （2）， 15 令，即 由和在(0，1)和(1，)上单调递增， 在(0，1)和(1，)上单调递增 又， 存在唯一，使， 当时，单调递增 当时，单调递减 又， 存在唯一，使， 同理，当时，单调递减 当时，单调递增， 恰有两个极值点和 当时，则， 又且，
