1、 中考数学 （浙江专用） 10.2 二次项系数不确定型 1.(2020宁波,9,4分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的 对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是( ) A.abc0 C.c-a0 D.当x=-n2-2(n为实数)时,yc 答案答案 D 由图象开口向上,可知a0, 与y轴的交点在x轴的上方,可知c0, 又对称轴方程为x=-1,所以-0, abc0,故A错误; 一次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于A,B两点, b2-4ac0, 4ac-b20,故B错误; -=-1, b=2a, 当x=-1时,y=a-
2、b+c0, a-2a+c0, c-a0,n20,n2+20, y=an2(n2+2)+cc,故D正确, 故选D. 2.(2020江西,22,9分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下 表: x -2 -1 0 1 2 y m 0 -3 n -3 (1)根据以上信息,可知抛物线开口向 ,对称轴为 ; (2)求抛物线的表达式及m,n的值; (3)请在图中画出所求的抛物线.设点P为抛物线上的动点,OP的中点为P,描出相应的点P,再把相应的点 P用平滑的曲线连接起来,猜想该曲线是哪种曲线; (4)设直线y=m(m-2)与抛物线及(3)中的点P所在
3、曲线都有两个交点,交点从左到右依次为A1,A2,A3,A4,请 根据图象直接写出线段A1A2,A3A4之间的数量关系: . 解析解析 (1)上;直线x=1. 详解:由x=-1,y=0;x=0,y=-3;x=2,y=-3,可知抛物线开口向上. 由题表可知:x=0,y=-3;x=2,y=-3,根据二次函数图象的对称性可知抛物线的对称轴为直线x=1. (2)由题表可知抛物线过点(0,-3). y=ax2+bx-3. 将点(-1,0),(2,-3)代入, 得 解得 y=x2-2x-3. 当x=-2时,m=(-2)2-2(-2)-3=5; 当x=1时,n=12-21-3=-4. (3)如图1所示,点P所
4、在曲线是抛物线. 02 2 30, 4233. ab ab 1, 2. a b 详解:设P(x,y),P(x,y),P是OP的中点,x=2x,y=2y,代入点P所在图象的表达式可得2y=(2x)2-22x-3,即 y=2x2-2x-,为点P所在曲线的表达式,点P所在曲线是抛物线. (4)A3A4-A1A2=1. 详解:如图2.设点A1,A2,A3,A4对应的横坐标分别为x1,x2,x3,x4,A1A2=x2-x1,A3A4=x4-x3,A3A4-A1A2=x4-x3-(x2-x1) =x4+x1-(x3+x2),令y=x2-2x-3=m,可得x2-2x-3-m=0,它对应的两个根应为x1,x4
5、,x1+x4=2,令y=2x2-2x-=m,可得 2x2-2x-m=0,它对应的两个根应为x2,x3,x2+x3=1,A3A4-A1A2=2-1=1. 3 2 3 2 3 2 3.(2018杭州,22,12分)设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a0). (1)判断该二次函数图象与x轴的交点的个数,说明理由; (2)若该二次函数图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式; (3)若a+b0)在该二次函数图象上,求证:a0. 解析解析 (1)该二次函数图象与x轴的交点有两个或一个.理由如下: 由题意得=b2-4 a-(a+b)
6、=b2+4ab+4a2=(2a+b)20, 该二次函数图象与x轴的交点有两个或一个. (2)当x=1时,y=a+b-(a+b)=0, 该函数图象不经过点C. 把点A(-1,4),B(0,-1)分别代入二次函数的表达式得 解得 该二次函数的表达式为y=3x2-2x-1. (3)证明:当x=2时,m=4a+2b-(a+b)=3a+b0, a+b0, 相加得2a0,a0. 4(), 1(), abab ab 3, 2, a b 思路分析思路分析 (1)利用判别式进行判断. (2)当x=1时,y=0,所以函数图象不过点C,故图象过点A、B,将A、B两点坐标分别代入函数表达式,解方程 组即可. (3)用
7、a、b表示m,由m的范围结合a+b0. 解后反思解后反思 本题考查了二次函数图象的性质及数形结合思想.解答时,注意将相关的点的坐标代入表达式. 4.(2020宁波,20,10分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4x-3图象的顶点是A,与x轴相交于B,C两 点,与y轴交于点D.点B的坐标是(1,0). (1)求A,C两点的坐标,并根据图象直接写出当y0时x的取值范围; (2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式. 解析解析 (1)把B(1,0)代入y=ax2+4x-3,得0=a+4-3, 解得a=-1, y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1, 点A的坐标为(2,1),(3分) 抛物线的对称轴为直线x=2,且点C与点B关于对称轴对称, 点C(3,0),(4分) 当y0时,x的取值范围是1x0时x的取值范围; (2)先由点D和点A的坐标求出抛物线的平移方式,再根据抛物线的平移规律:上加下减,左加右减解答即可.
