1、 中考数学 （山东专用） 第六章 空间与图形 6.3 解直角三角形 A组 20162020年山东中考题组 考点一 锐角三角函数及解直角三角形 1.(2020聊城,7,3分)如图,在45的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,ABC的顶点都在这些小正方 形的顶点上,那么sinACB的值为( ) A. B. C. D. 3 5 5 17 5 3 5 4 5 答案答案 D 如图,过点A作AHBC于H. 在RtACH中,AH=4,CH=3, AC=5, sinACH=.故选D. 22 AHCH 22 43 AH AC 4 5 思路分析思路分析 过点A作AHBC于H,利用勾股定理求出AC的长即可解决问
2、题. 2.(2018日照,10,3分)如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的O的圆心O在格点上,则BED的 正切值等于 ( ) A. B. C.2 D. 5 5 2 5 5 1 2 答案答案 D 如图,在RtABC中,AB=2,BC=1, tanBAC=.BED=BAD, tanBED=. BC AB 1 2 1 2 3.(2018枣庄,11,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AEBD,垂足为F,则tanBDE的值为( ) A. B. C. D. 2 4 1 4 1 3 2 3 答案答案 A 四边形ABCD是矩形,ADBC,AD=BC,ADFEBF,=.点E是边BC
3、的中点,AD=BC,=2.设EF=x(x0),则AF=2x,易证ABFBEF, =,BF2=AF EF=2x2,BF=x.=2,DF=2x.在RtDEF中,tanBDE=. 故选A. AD EB AF EF DF BF AD EB AF EF DF BF AF BF BF EF 2 DF BF 2 EF DF2 2 x x 2 4 4.(2020菏泽,11,3分)如图,在ABC中,ACB=90,点D为AB边的中点,连接CD,若BC=4,CD=3,则cosDCB 的值为 . 答案答案 2 3 解析解析 过点D作DEBC,垂足为E, ACB=90,DEBC, DEAC, 又点D为AB边的中点, B
4、E=EC=BC=2, 在RtDCE中,cosDCB=. 1 2 EC CD 2 3 5.(2018泰安,14,3分)如图,O是ABC的外接圆,A=45,BC=4,则O的直径为 . 答案答案 4 2 解析解析 如图,连接OB,OC,A=45,O=2A=245=90,在RtOBC中,OC=BC sin 45=4= 2,O的直径为4. 2 2 22 考点二 解直角三角形的应用 1.(2020济宁,5,3分)一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向正北航行,2小时后到达海岛B处.灯塔C在海 岛A的北偏西42方向上,在海岛B的北偏西84方向上.则海岛B到灯塔C的距离是( ) A.15海里 B.20海里
5、 C.30海里 D.60海里 答案答案 C 如图,CBD=84,CAB=42,C=CBD-CAB=42=CAB,BC=AB, AB=152=30海里,BC=30海里, 即海岛B到灯塔C的距离是30海里.故选C. 2.(2019济南,11,4分)某数学社团开展实践性研究,在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37方向,继续向北 走105 m后到达游船码头B,测得历下亭C在游船码头B的北偏东53方向.请计算一下南门A与历下亭C之间 的距离约为 ( ) A.225 m B.275 m C.300 m D.315 m 答案答案 C 如图,作CEAB于E.设EC=x m,BE=y m. 在RtECB中,ta
6、n 53=,即, 在RtAEC中,tan 37=,即, 解得x=180,y=135, AC=300(m). EC EB 4 3 x y EC AE 3 4105 x y 22 ECAE 22 180240 3.(2020枣庄,16,4分)人字梯为现代家庭常用的工具(如图).若AB,AC的长都为2 m,当=50时,人字梯顶端离 地面的高度AD是 m.(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 500.77,cos 500.64,tan 501.19) 答案答案 1.5 解析解析 AB=AC=2 m,ADBC, ADC=90, 在RtACD中,AD=AC sin 5020.771.5(m). 4.(
7、2020济宁,14,3分)如图,小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15,B处的俯角为60.若斜面坡度为 1,则斜坡AB的长是 米. 3 答案答案 20 3 解析解析 过点A作AFBC于点F, 斜面坡度为1,ABF=30, BPD=60,APD=15, HBP=60,BPA=BPD-APD=45, PBA=90,BAP=45, PB=AB. 在RtPBH中,PH=30米,sin 60=, PB=20米,故AB=20米. 3 PH PB 30 PB 3 2 33 思路分析思路分析 过点A作AFBC于点F,根据三角函数的定义得到ABF=30,根据已知条件得到HBP=60, APB=45,即得
8、PBA=90,BAP=45,所以PB=AB,解直角三角形即可得到结论. 5.(2019德州,15,4分)如图,一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时测得ABO=70,如果梯子 的底端B外移到D,则梯子顶端A下移到C,这时又测得CDO=50,那么AC的长度约为 米.(sin 70 0.94,sin 500.77,cos 700.34,cos 500.64) 答案答案 1.02 解析解析 在RtABO中,ABO=70,AB=6 米, sin 70=0.94, 解得AO=5.64(米), 在RtCOD中,CDO=50,DC=6米, sin 50=0.77,解得CO=4.62(米), 则A
9、C=5.64-4.62=1.02(米). 即AC的长度约为1.02米. AO AB6 AO 6 CO 思路分析思路分析 先在直角三角形ABO中求出OA,再在直角三角形OCD中求出OC,最后求出AC的长度. 6.(2020临沂,22,7分)如图,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角要满足 6075,现有一架长5.5 m的梯子. (1)使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙(结果保留小数点后一位)? (2)当梯子底端距离墙面2.2 m时,等于多少度(结果保留小数点后一位)?此时人是否能够安全使用这架梯 子? (参考数据:sin 750.97,cos 750.26,tan 7
10、53.73,sin 23.60.40,cos 66.40.40,tan 21.80.40) 解析解析 (1)由题意得,当=75时,这架梯子可以安全攀上最高的墙, 在RtABC中,sin =, AC=AB sin 5.50.975.3 m. 答:使用这架梯子最高可以安全攀上5.3 m的墙. (2)在RtABC中,cos =0.4, 则66.4. 6066.475,此时人能够安全使用这架梯子. AC AB BC AB 2.2 5.5 7.(2020菏泽,18,6分)某兴趣小组为了测量大楼CD的高度,先沿着斜坡AB走了52米到达坡顶点B处,然后在 点B处测得大楼顶点C的仰角为53,已知斜坡AB的坡度
11、i=12.4,点A到大楼的距离AD为72米,求大楼的高 度CD. 参考数据:sin 53,cos 53,tan 53 4 5 3 5 4 3 解析解析 如图,过点B作BEAD于点D,BFCD于点F, CDAD, 四边形BEDF是矩形, FD=BE,FB=DE, 在RtABE中,BEAE=12.4=512, 设BE=5x,AE=12x, 根据勾股定理,得AB=13x, 13x=52,解得x=4, BE=FD=5x=20,AE=12x=48, DE=FB=AD-AE=72-48=24, 在RtCBF中,CF=FB tanCBF24=32, CD=FD+CF=20+32=52(米). 答:大楼的高度
12、CD为52米. 4 3 思路分析思路分析 过点B作BEAD于点D,BFCD于点F,可得四边形BEDF是矩形,根据斜坡AB的坡度i=12.4, 设BE=5x,AE=12x,利用勾股定理可得x的值,再根据锐角三角函数即可求大楼的高度CD. 8.(2020德州,21,10分)如图,无人机在离地面60米的C处,观测楼房顶部B的俯角为30,观测楼房底部A的俯角 为60,求楼房的高度. 解析解析 过B作BECD交CD于E, 由题意得,CBE=30,CAD=60, 在RtACD中,tanCAD=tan 60=, AD=20米, BE=AD=20米, 在RtBCE中,tanCBE=tan 30=, CE=20
13、=20米, ED=CD-CE=60-20=40米, AB=ED=40米. CD AD 3 60 3 3 3 CE BE 3 3 3 3 3 答:楼房的高度为40米. 9.(2019潍坊,20,6分)自开展“全民健身运动”以来,喜欢户外步行健身的人越来越多,为方便群众步行健 身,某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示,改造前的斜坡AB=200米,坡度为1;将 斜坡AB的高度AE降低AC=20米后,斜坡AB改造为斜坡CD,其坡度为14.求斜坡CD的长.(结果保留根号) 3 解析解析 在RtABE中,tanABE=1, ABE=30.(1分) AB=200米,AE=100米.(2分)
14、 AC=20米,CE=100-20=80米.(3分) 在RtCDE中,tan D=14, sin D=,(4分) =,(5分) CD=80米. 答:斜坡CD的长是80 米.(6分) 3 17 17 CE CD 17 17 17 17 方法技巧方法技巧 解决坡度、坡角问题时要注意理解坡度和坡角的实际意义,从图中确定出要解的直角三角形, 充分使用坡度和坡角的相关数据,正确选择关系式. 10.(2019临沂,22,7分)鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山.如图,施工方计划沿AC方向开挖隧道, 为了加快施工速度,要在小山的另一侧D(A、C、D共线)处同时施工.测得CAB=30,AB=4 km,A
15、BD= 105,求BD的长. 解析解析 作BEAD于点E, CAB=30,AB=4 km, ABE=60,BE=2 km, ABD=105, EBD=45, EDB=45,BE=DE=2 km, BD=2 km, 即BD的长是2 km. 22 222 2 思路分析思路分析 作BEAD于E,根据CAB=30,AB=4 km,可以求得BE的长和ABE的度数,进而求得EBD的 度数,然后利用勾股定理即可求得BD的长. 11.(2019威海,22,9分)如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图.已知 汽车货厢高度BG=2米,货厢底面距地面的高度BH=0.6米,坡面与地面的夹角
16、BAH=,木箱的长(FC)为2 米,高(EF)和宽都是1.6米.通过计算判断:当sin =,木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时,木箱上部顶点E 会不会触碰到汽车货厢顶部. 3 5 解析解析 在RtABH中,BH=0.6米,sin =, AB=1米, AH=0.8米. AF=FC=2米,BF=1米, 作FQBG于点Q,作EPFQ于点P, FB=AB=1米,FQB=AHB=90,FBQ=ABH, FBQABH, FQ=AH,BQ=BH, EPF=FQB=EFB=90, 3 5 sin BH 0.6 3 5 EFP+FEP=90,EFP+PFB=90, FEP=PFB, cosFEP=cosBFQ=
17、0.8=, EP=1.60.8=1.28米, BQ+EP=0.6+1.28=1.88米2米, 木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部. 1.6 EP 思路分析思路分析 解决本题关键是比较点E到BM的距离和GB的长度,可作FQBG于点Q,作EPFQ于点P,利用 锐角三角函数、三角形全等求出点E到BM的距离,比较即可解答. B组 20162020年全国中考题组 考点一 锐角三角函数及解直角三角形 1.(2020浙江杭州,4,3分)如图,在ABC中,C=90,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则( ) A.c=bsin B B.b=csin B C.a=btan B D.b=ctan B 答案答案
18、 B RtABC中,C=90,A、B、C所对的边分别为a、b、c,sin B=,即b=csin B,故A选 项不成立,B选项成立;tan B=,即b=atan B,故C选项不成立,D选项不成立.故选B. b c b a 2.(2020云南昆明,9,4分)某款国产手机上有科学计算器,依次按键:4sin(60)=,显示的结果在哪两个相邻整数 之间( ) A.23 B.34 C.45 D.56 答案答案 B 4sin 60=4=23.464,所以选B. 3 2 3 3.(2020安徽,8,4分)如图,RtABC中,C=90,点D在AC上,DBC=A.若AC=4,cos A=,则BD的长度为 ( )
19、A. B. C. D.4 4 5 9 4 12 5 15 4 答案答案 C 在RtABC中,C=90,AC=4,cos A=,AB=5,BC=3,DBC=A, cosDBC=,BD=,故选C. AC AB 4 5 22 -AB AC BC BD 4 5 15 4 思路分析思路分析 先利用cos A的值和勾股定理求出BC的长,再利用cosDBC=cos A=求出BD的长. 4 5 4.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交AD 于点E,则AE的长为( ) A.2 B.3 C. D. 22 4 3 2 8 3 2 答案答案
20、 D AC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin 45=4,过点E作EFAB于点F.BE是ABC的平分 线,DE=EF.ABC=60,ADBC,BAE=30. 在RtAEF中,EF=AE,又AD=4,DE=EF,AE=AD= ,故选D. 2 1 2 2 2 3 8 3 2 思路分析思路分析 首先利用AC的长及C的正弦求出AD的长,然后通过角平分线的性质及直角三角形中30度角 的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长. 5.(2019广西柳州,17,3分)如图,在ABC中,sin B=,tan C=,AB=3,则AC的长为 . 1 3 2 2 答案答案 3 解析解析 过A作ADBC于
21、D. 在RtABD中,=sin B, AD=AB sin B=3=1. 在RtADC中,tan C=, DC=AD=, AC=. AD AB 1 3 AD DC 2 2 22 22 DCAD213 6.(2019江苏宿迁,17,3分)如图,MAN=60,若ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C在射线AN上运动,当 ABC是锐角三角形时,BC长的取值范围是 . 答案答案 BC2 3 3 解析解析 如图,过点B作BC1AN,垂足为C1,BC2AM,交AN于点C2. 在RtABC1中,AB=2,A=60, ABC1=30, AC1=AB=1,由勾股定理得BC1=, 在RtABC2中,AB=2,
22、A=60, AC2B=30, AC2=4,由勾股定理得BC2=2. 故当ABC是锐角三角形时,点C在C1C2(不包括点C1,C2)上移动,此时BC0. 在RtACF中,AC=13x=26, x=2,CF=10米,AF=24米. AE=6米,EF=EA+AF=6+24=30米. 在RtEDF中,tanAED=tan 48=, DF=EF tan 48301.11=33.3米, CD=DF-CF=33.3-10=23.3米,故选C. CF AF 1 2.4 5 12 22 CFAF DF EF 思路分析思路分析 延长DC交EA于点F.由题意可得=,则设CF=5x米,AF=12x米,且x0.在RtA
23、CF中,由勾股 定理得AC=13x=26,求得CF=10米,AF=24米,从而可得EF=30米.在RtDEF中,由tanAED= ,可求出DF的长,从而求出DC的长. CF AF 5 12 22 CFAF DF EF 2.(2019日照,8,3分)如图,甲、乙两楼相距30米,乙楼高度为36米,自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处的仰角为30, 则甲楼高度为( ) A.11米 B.(36-15)米 C.15米 D.(36-10)米 3 33 答案答案 D 过点A作AEBD,交BD于点E, 在RtABE中,AE=30米,BAE=30, BE=30tan 30=10(米), AC=ED=BD-BE=(36-
24、10)米. 甲楼高度为(36-10)米. 3 3 3 3.(2019辽宁大连,15,3分)如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距10 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为 53,观测旗杆底部B的仰角为45,则旗杆AB的高度约为 m.(结果取整数.参考数据:sin 530.80, cos 530.60,tan 531.33) 答案答案 3 解析解析 连接BC,BDC=45,BCD=90, DBC=180-BCD-BDC =180-90-45 =45, BDC=DBC, BC=DC=10 m. 在RtADC中, tanADC=, tan 53=, AC CD 10 AC AC=10tan 5310
25、1.33=13.3 m. AB=AC-BC=13.3-10=3.33 m. 思路分析思路分析 因为BDC=45,BCD=90,所以可得BC=DC=10 m,解直角三角形可求出AC13.3 m,进一步 可求出AB的高度. 4.(2020泰安,15,4分)如图,某校教学楼后面紧邻着一个山坡,坡上面是一块平地,BCAD,BEAD,斜坡AB 长26 m,斜坡AB的坡比为125.为了减缓坡面,防止山体滑坡,学校决定对该斜坡进行改造.经地质人员勘 测,当坡角不超过50时,可确保山体不滑坡.如果改造时保持坡脚A不动,则坡顶B沿BC至少向右移 m时,才能确保山体不滑坡.(取tan 50=1.2) 答案答案 1
26、0 解析解析 在BC上取点F,使FAE=50,过点F作FHAD于H, BFEH,BEAD,FHAD, 四边形BEHF为矩形, BF=EH,BE=FH, 斜坡AB的坡比为125,=, 设BE=12x,则AE=5x, 由勾股定理得,AE2+BE2=AB2,即(5x)2+(12x)2=262, 解得x=2,AE=10,BE=24,FH=BE=24, BE AE 12 5 在RtFAH中,tanFAH=, AH=20, BF=EH=AH-AE=10 m, 坡顶B沿BC至少向右移10 m时,才能确保山体不滑坡. FH AH tan50? FH 5.(2020安徽,18,8分)如图,山顶上有一个信号塔AC
27、,已知信号塔高AC=15米,在山脚下点B处测得塔底C的仰 角CBD=36.9,塔顶A的仰角ABD=42.0,求山高CD(点A,C,D在同一条竖直线上). (参考数据:tan 36.90.75, sin 36.90.60,tan 42.00.90) 解析解析 由题意,在RtABD与RtCBD中, AD=BDtanABD0.9BD,CD=BDtanCBD0.75BD. 于是AC=AD-CD=0.15BD. 因为AC=15米,所以BD=100米. 所以山高CD=0.75BD=75米.(8分) 解题关键解题关键 根据图形建立等式关系AC=AD-CD是解答本题的关键. 6.(2020青岛,18,6分)如
28、图,在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B,D,某海岛上的观测塔A距离海岸 5海里,在A处测得B位于南偏西22方向,一艘渔船从D出发,沿正北方向航行至C处,此时在A处测得C位于南 偏东67方向,求此时观测塔A与渔船C之间的距离(结果精确到0.1海里). 参考数据:sin 22,cos 22,tan 22,sin 67,cos 67,tan 67 3 8 15 16 2 5 12 13 5 13 12 5 解析解析 如图所示,作AEBD于E,CFAE于F. 根据题意知AE=5,BD=6,BAE=22,CAF=67,AED=AEB=CFA=CFE=CDE=90. 四边形CDEF是矩形,CF=D
29、E=BD-BE=6-BE. 在RtABE中,tanBAE=,BE=tan 2255=2. CF=6-BE=6-2=4. BE AE 2 5 在RtACF中,sinCAE=,AC=4.3. 答:此时观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里. CF ACsin CF CAE 13 3 思路分析思路分析 过点A作AEBD于点E,过点C作CFAE于点F,得矩形CDEF,再在RtABE和RtACF中根据 锐角三角函数的定义即可求出观测塔A与渔船C之间的距离. 7.(2020威海,21,8分)居家学习期间,小晴同学运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度.如图,她利用自 制的测角仪测得该大楼顶部C的仰角为4
30、5,底部D的俯角为38,又用绳子测得测角仪距地面的高度AB为 31.6 m.求该大楼的高度(结果精确到0.1 m). (参考数据:sin 380.62,cos 380.79,tan 380.78) 解析解析 如图,作AHCD于H,则四边形ABDH是矩形, HD=AB=31.6 m, 在RtADH中,HAD=38,tanHAD=, AH=40.51(m), 在RtACH中,CAH=45, CH=AH=40.51 m, CD=CH+HD=40.51+31.672.1(m). 答:该大楼的高度约为72.1 m. HD AH tan HD HAD 31.6 0.78 8.(2020聊城,22,8分)如
31、图,小莹在数学综合实践活动中,利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进 行测量,先测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35 m,再站在M点处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45, 居民楼AB的顶端B的仰角为55,已知居民楼CD的高度为16.6 m,观测点N距地面1.6 m.求居民楼AB的高度 (结果精确到1 m).(参考数据:sin 550.82,cos 550.57,tan 551.43) 解析解析 过点N作EFAC交AB于点E,交CD于点F, 则AE=MN=CF=1.6 m,EF=AC=35 m, DF=DC-CF=16.6-1.6=15 m, 易知BEN=DFN=90, 在RtDFN中
32、,DNF=45, NF=DF=15 m, EN=EF-NF=35-15=20 m, 在RtBEN中,tanBNE=, BE=EN tanBNE=20tan 55201.43=28.6 m, AB=BE+AE=28.6+1.630 m. 答:居民楼AB的高度约为30米. BE EN 9.(2019青岛,19,6分)如图,某旅游景区为方便游客,修建了一条东西走向的木栈道AB,栈道AB与景区道路 CD平行,在C处测得栈道一端A位于北偏西42方向,在D处测得栈道另一端B位于北偏西32方向.已知CD= 120 m,BD=80 m,求木栈道AB的长度(结果保留整数). 参考数据:sin 32,cos 32
33、,tan 32,sin 42,cos 42,tan 42 17 32 17 20 5 8 27 40 3 4 9 10 解析解析 过C作CEAB于E,过D作DFAB交AB的延长线于F, 则CEDF,ABCD,CEF=F=90, 四边形CDFE是矩形, EF=CD=120 m,DF=CE. 在RtBDF中, BDF=32,BD=80 m, DF=BD cos 3280=68 m, BF=BD sin 3280= m, BE=EF-BF= m. 在RtACE中,ACE=42,CE=DF=68 m, AE=CE tan 4268= m. 17 20 17 32 85 2 155 2 9 10 306
34、 5 AB=AE+BE=+139 m. 答:木栈道AB的长度约为139 m. 306 5 155 2 思路分析思路分析 过C作CEAB于E,过D作DFAB交AB的延长线于F,构造两个直角三角形的同时,得到矩形 CDFE,易知EF=CD=120 m,DF=CE,分别解两个直角三角形求得BE,AE的长,即可得AB的长. 10.(2020辽宁营口,22,12分)如图,海中有一个小岛A,它周围10海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由东向西航行, 在B点测得小岛A在北偏西60方向上,航行12海里到达C点,这时测得小岛A在北偏西30方向上,如果渔船 不改变方向继续向西航行,有没有触礁的危险?并说明理由.(参考数据
35、:1.73) 3 解析解析 没有触礁的危险.(1分) 理由:过点A作ANBC交BC延长线于点N.(2分) 由题意得ABE=60,ACD=30. ACN=60,ABN=30. ANBC,ANC=90.(4分) 设AN=x海里, 在RtACN中,tanACN=, AN CN CN=x.(6分) 在RtABN中, tanABN=, tan AN ACN 3 3 AN BN BN=x.(8分) BC=BN-CN=x-x=x. BC=12, x=12,(9分) x=6,(10分) AN=661.73=10.38(海里).(11分) 10.3810, 没有触礁的危险.(12分) tan AN ABNtan
36、30? AN 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 A组 20182020年模拟基础题组 时间:35分钟 分值:50分 一、选择题(每小题3分,共12分) 1.(2020滨州一模,6)如图,在RtABC中,C=90,sin A=,BC=4,则AC的长为( ) A.6 B.5 C.2 D. 2 3 55 答案答案 C 在RtABC中,sin A=,BC=4,则sin A=.所以AB=6. 由勾股定理知,AC=2. 2 3 BC AB 4 AB 2 3 22 -AB BC 22 6 -45 2.(2020滨州惠民一模,9)如图,在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30、45,热气球
37、C距地面的 高度CD为100米,点A、D、B在同一条直线上,则A,B两点间的距离是( ) A.200米 B.200米 C.220米 D.100(+1)米 3 33 答案答案 D 根据在热气球C处测得地面B点的俯角为45,地面A点的俯角为30, 得BD=CD=100米,AC=2100=200米, AD=100米, AB=AD+BD=100+100=100(+1)米. 22 200 -1003 33 思路分析思路分析 分别在RtACD和RtBCD中求出AD,BD的长,据此即可求出AB的长. 3.(2019滨州中考样题,4)如图,在RtABC中,C=90,AB=13,BC=12,则下列三角函数表示正
38、确的是( ) A.sin A= B.cos A= C.tan A= D.tan B= 5 13 12 13 12 5 12 5 答案答案 C ACB=90,AB=13,BC=12,AC=5,sin A=,cos A=,tan A=,tan B=,故选项C正确,A,B,D错误.故选C. 22 -AB BC 22 13 -12 BC AB 12 13 AC AB 5 13 BC AC 12 5 AC BC 5 12 思路分析思路分析 由勾股定理求出AC的长,根据三角函数的定义依次求值验证各选项的正确性. 4.(2019济南外国语学校阶段测试,9)如图,在66的正方形网格中,ABC的顶点都在小正方形
39、的顶点上,则 tanBAC的值是( ) A. B. C. D. 4 5 4 3 3 4 3 5 答案答案 C 如图,过点B作BDAC,交AC的延长线于点D, 则tanBAC=, 故选C. BD AD 3 4 思路分析思路分析 过点B作BDAC,交AC延长线于点D,利用正切函数的定义求解可得. 二、填空题(每小题3分,共6分) 5.(2020菏泽东明模拟,12)如图,在44的正方形网格图中,小正方形的顶点称为格点,ABC的顶点都在格点 上,则BAC的正弦值是 . 答案答案 5 5 解析解析 AB2=32+42=25,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,AC2+BC2=AB2, AB
40、C为直角三角形,且ACB=90, 则sinBAC=. BC AB 5 5 思路分析思路分析 先判断出ABC的形状(一般是直角三角形,如果不是,则需构造直角三角形),再由锐角三角函 数的定义求解. 6.(2020聊城莘县一模,15)如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB,tanBCD=,AC=12,则BC= . 3 4 答案答案 9 解析解析 在RtABC中,ACB=90,CDAB, ACD+BCD=90,ACD+A=90, BCD=A, tanBCD=tan A=, 在RtABC中,AC=12,tan A=, 则BC=9. 3 4 BC AC12 BC3 4 思路分析思路分析 根据题意,
41、利用同角的余角相等得到BCD=A,进而得到tanBCD=tan A,利用锐角三角函数 的定义即可求出BC的长. 三、解答题(共32分) 7.(2020淄博周村一模,19)如图,在ABC中,A=30,B=45,AC=2,求AB的长. 3 解析解析 过C作CDAB于D,则ADC=BDC=90, B=45, BCD=B=45,CD=BD, A=30,AC=2, CD=AC=,BD=CD=, 在RtACD中,由勾股定理得AD=3, AB=AD+BD=3+. 3 1 2 33 22 -AC CD 22 (2 3) -( 3) 3 8.(2019淄博博山二模,21)如图,已知ABC中,AB=BC=5,ta
42、nABC=. (1)求边AC的长; (2)设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D,求的值. 3 4 AD DB 解析解析 (1)如图,过A作AEBC,垂足为E. 在RtABE中,tanABC=,AB=5, AE=3,BE=4,CE=BC-BE=5-4=1, 在RtAEC中,根据勾股定理得AC=. (2)作线段BC的垂直平分线DF,连接CD, AE BE 3 4 22 3110 DF垂直平分BC,BD=CD,BF=CF=, tanDBF=,DF=, 在RtBFD中,根据勾股定理得BD=,AD=AB-BD=5-=,则=. 5 2 3 4 15 8 22 515 28 25 8 25 8 15 8
43、AD BD 3 5 9.(2020临沂平邑一模,22)从一幢建筑大楼的两个观察点A,B观察地面的花坛(点C),测得俯角分别为15和 60,如图,直线AB与地面垂直,AB=50米,试求出观察点B到花坛(点C)的距离.(结果保留根号) 解析解析 作ADBC于点D, MBC=60,ABC=30, ABAN,BAN=90,BAC=105,则ACB=45, 在RtADB中,AB=50米, 则AD=25米,BD=25米, 在RtADC中,AD=CD=25米,则BC=(25+25)米. 3 3 答:观察点B到花坛的距离为(25+25)米. 3 10.(2020菏泽东明一模,19)在某海域,一艘海监船在P处检
44、测到南偏西45方向的B处有一艘不明船只,正沿 正西方向航行,海监船立即沿南偏西60方向以40海里/小时的速度去截获不明船只,经过1.5小时,刚好在A 处截获不明船只,求不明船只的航行速度(1.41,1.73,结果保留一位小数). 23 解析解析 作PQ垂直AB交AB的延长线于点Q, 由题意得BPQ=45,APQ=60,AP=1.540=60海里, 在RtAPQ中,AQ=AP sin 60=30海里,PQ=AP cos 60=30海里, 在RtBQP中,BPQ=45, PQ=BQ=30海里, AB=AQ-BQ=30-3021.9海里, =14.6海里/小时. 答:不明船只的航行速度是14.6海里
45、/小时. 3 3 1.5 AB B组 20182020年模拟提升题组 时间:25分钟 分值:35分 一、选择题(每小题3分,共6分) 1.(2019菏泽曹县一模,7)如图,点E是矩形ABCD的对角线AC上一点,正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上, AB=3,BC=4,则tanGAF的值为( ) A. B. C. D. 3 7 4 7 3 4 3 3 答案答案 A AHE=ABC=90,HAE=BCA, AHECBA, =,设HE=3a(a0),则AH=4a. AG=7a,GF=3a. tanGAF=. HE AH BA BC 3 4 GF AG 3 7 思路分析思路分析 先证明AHECBA
46、,得到HE与AH的数量关系,则可知GF与AG的数量关系,从而求解tan GAF的值. 2.(2018济南高新区二模,10)解放路上一座人行天桥如图所示,坡面BC的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度 的比称为坡度)为12,为了方便市民推车过天桥,有关部门决定在保持天桥高度的前提下,降低坡度,使新 坡面AC的坡度为13,AB=6 m,则CD为( ) A.6 m B.6 m C.7 m D.8 m 3 答案答案 A 根据题意,得=,所以BD=2CD. 同理可得,=,所以AB+BD=3CD. 所以AB=CD. 因为AB=6 m,所以CD=6 m. CD BD 1 2 CD ABBD 1 3 二、填空题 (每小题3分,共6分) 3.(2020德州平原模拟四,13)在ABC中,若+=0,则C的度数为 . 1 cos - 2 A 2 3 -tan 3 B 答案答案 90 解析解析 +=0, =0,=0, cos A-=0,-tan B=0, cos A=,tan B=, A=60,B=30, C=90. 1 cos - 2 A 2 3 -tan 3 B 1 cos - 2 A 2 3 -tan 3 B 1 2 3 3 1 2 3 3 4.(2019临沂莒南期末,19)规定:sin(-x)=-sin x,cos(-x)=c
