1、 中考数学 （浙江专用） 9.4 操作探究型问题 1.(2018黑龙江齐齐哈尔,23)综合与实践 折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过折纸,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,折纸活 动也伴随着我们初中数学的学习. 在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等,进一步发展空间观念,在经历借 助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩形纸片开始,今天,就让我们带着数学 的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论. 实践操作 如图1,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使点B落在矩形ABCD所在平面内,BC和AD相交于点E,连接BD. 解
2、决问题 (1)在图1中, BD和AC的位置关系为 ; 将AEC剪下后展开,得到的图形是 ; (2)若图1中的矩形变为平行四边形时(ABBC),如图2所示,结论和结论是否成立,若成立,请挑选其 中的一个结论加以证明,若不成立,请说明理由; (3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片,发现所得图形是轴对称图形,沿对称轴再次折叠后,得到的仍是轴对 称图形,则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 ; 拓展应用 (4)在图2中,若B=30,AB=4,当ABD恰好为直角三角形时,BC的长度为 . 3 解析解析 解决问题 (1)BDAC(互相平行). 菱形. (2)结论仍成立. DAC=BCA,BCA=ACB, ACB=
3、DAC,AE=CE. BC=AD,AE=CE, BE=DE, CBD=ADB. AEC=BED,ACB=CAD, ADB=DAC, BDAC. 如图所示,设展开后点E的对应点为F(由题意知F在BC上). 四边形ABCD是平行四边形, CFAE,DAC=ACF, 由折叠可得,ACE=ACF,CE=CF, DAC=ACE,AE=CE, AE=CF,四边形AECF是菱形. (3)11或1(答对一个得1分,写成“1或”也正常给分) 详解:如图,沿对角线AC折叠时,当AB在射线AD上时,可得BAC=DAC=45,AB=AD,四边形ABCD是正 方形,矩形长宽之比为11; 如图,沿对角线AC折叠时,当AB
4、不在射线AD上时,依题意得DAC=FAE=30,设EF=ED=a,则AF=AB= a,AE=2a,所以AD=AE+ED=3a,矩形长宽之比为1. 33 33 拓展应用拓展应用 (4)4或6或8或12(答对一个得1分). 详解:如图,当BAD=90时,B=ABE=ADC=30,AB=AB=CD, 在BAE和CDE中, ABE=EDC,BEA=DEC, DCE=BAE=90, AE=ABtan 30=4,ED=8, BC=AD=AE+ED=12. 图 cos30 CD AE=ED=CD=, BC=AD=4. 图 如图,当ADB=90时,BDAC,DAC+ADB=180,DAC=90,ADC=B=3
5、0, BC=AD=CD cos 30=6. 1 2 1 3 4 3 3 tan30 AE 图 如图,当ABD=90时,BDAC,BAC+ABD=180,BAC=90,ABE=B=30, BC=BC=8. cos30 AB 图 综上所述,BC的长度为4或6或8或12. 2.(2017湖南岳阳,23,10分)问题背景:已知EDF的顶点D在ABC的边AB上(不与A,B重合).DE交AC所 在直线于点M,DF交BC所在直线于点N.记ADM的面积为S1,BND的面积为S2. (1)初步尝试:如图,当ABC是等边三角形,AB=6,EDF=A,且DEBC,AD=2时,S1 S2= ; (2)类比探究:在(1
6、)的条件下,先将点D沿AB平移,使AD=4,再将EDF绕点D旋转至如图所示位置,求S1 S2的值; (3)延伸拓展:当ABC为等腰三角形时,设B=A=EDF=. (i)如图,当点D在线段AB上运动时,设AD=a,BD=b,求S1 S2的表达式(用a,b和 的三角函数表示); (ii)如图,当点D在BA的延长线上运动时,设AD=a,BD=b,直接写出S1 S2的表达式,不必写出解答过程. 解析解析 (1)12. 详解:ABC是等边三角形, AB=CB=AC=6,A=B=60, DEBC,EDF=60, BND=EDF=60, BDN=ADM=60, ADM,BDN都是等边三角形, S1=22=,
7、S2=42=4, S1 S2=12. (2)过M,N分别作MGAB,NHAB,垂足为G,H. ADM+MDN+NDB=180, ADM+A+DMA=180,EDF=A, NDB=DMA,又A=B, 3 4 3 3 4 3 NDBDMA,=. AB=6,AD=4,BD=2, BN AM=AD BD=8. 在RtAMG中,MG=AM sin A=AM,S1=AD MG=AM.同理,S2=BN,S1 S2=AM BN=12. (3)(i)过M,N分别作MGAB,NHAB,垂足为G,H. 由(2)可知,=,BN AM=ab, MG=AM sin ,S1=AD MG=a AM sin . 同理,S2=b
8、 BN sin , S1 S2=a2b2 sin2. AD BN AM BD 3 2 1 2 3 3 2 3 2 AD BN AM BD 1 2 1 2 1 2 1 4 (ii)S1 S2=a2b2 sin2. 1 4 3.(2020江西,23,12分)某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后,针对图1中所示的“由直角三角形三 边向外侧作多边形,它们的面积S1,S2,S3之间的关系问题”进行了以下探究: 类比探究 (1)如图2,在RtABC中,BC为斜边,分别以AB,AC,BC为斜边向外侧作RtABD,RtACE,RtBCF,若1 =2=3,则面积S1,S2,S3之间的关系式为 ; 推广验证 (
9、2)如图3,在RtABC中,BC为斜边,分别以AB,AC,BC为边向外侧作任意ABD,ACE,BCF,满足1= 2=3,D=E=F,则(1)中所得关系式是否仍然成立?若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明理 由; 拓展应用 (3)如图4,在五边形ABCDE中,A=E=C=105,ABC=90,AB=2,DE=2,点P在AE上,ABP=30, PE=,求五边形ABCDE的面积. 图4 3 2 解析解析 (1)S1+S2=S3. 详解:ABC是直角三角形, AB2+AC2=BC2. ABD、ACE、BCF均为直角三角形,且1=2=3, RtABDRtACERtBCF, =,=, +=+=1. S
10、1+S2=S3. (2)成立.证明如下: 1=2=3,D=E=F, ABDCAEBCF. =,=. 1 3 S S 2 2 AB BC 2 3 S S 2 2 AC BC 1 3 S S 2 3 S S 12 3 SS S 2 2 AB BC 2 2 AC BC 22 2 ABAC BC 2 2 BC BC 1 3 S S 2 2 AB BC 2 3 S S 2 2 AC BC =. ABC为直角三角形, AB2+AC2=BC2. =1. S1+S2=S3. (3)过点A作AHBP于点H. ABH=30,AB=2, 12 3 SS S 22 2 ABAC BC 12 3 SS S 3 AH=,
11、BH=3,BAH=60. BAP=105, HAP=45. PH=AH=. AP=,BP=BH+PH=3+. SABP=. 连接PD. PE=,ED=2, =,=. =. 又E=BAP=105, 3 3 63 2 BP AH(33)3 2 3 33 2 2 PE AP 2 6 3 3 ED AB 2 2 3 3 3 PE AP ED AB ABPEDP. EPD=APB=45,=. BPD=90,PD=1+. SPED=SABP=. 连接BD. SPBD=2+3. tanPBD=,PBD=30. ABC=90,ABP=30, DBC=30. C=105, PD BP PE AP 3 3 3 2
12、 3 3 3 33 2 1 3 31 2 2 PB PD( 33)(13) 2 3 PD BP 3 3 ABPEDPCBD. SBCD=SABP+SEDP=+=2+2. S五边形ABCDE=SABP+SEDP+SBCD+SBPD =+(2+2)+(2+3) =6+7. 3 33 2 31 2 3 3 33 2 31 2 33 3 4.(2020贵州贵阳,25,12分)如图,四边形ABCD是正方形,点O为对角线AC的中点. (1)问题解决:如图,连接BO,分别取CB,BO的中点P,Q,连接PQ,则PQ与BO的数量关系是 ,位置 关系是 ; (2)问题探究:如图,AOE是将图中的AOB绕点A按顺时
13、针方向旋转45得到的三角形,连接CE,点 P,Q分别为CE,BO的中点,连接PQ,PB,判断PQB的形状,并证明你的结论; (3)拓展延伸:如图,AOE是将图中的AOB绕点A按逆时针方向旋转45得到的三角形,连接BO,点 P,Q分别为CE,BO的中点,连接PQ,PB.若正方形ABCD的边长为1,求PQB的面积. 图 图 图 解析解析 (1)PQ=BO;PQBO. (2)PQB的形状是等腰直角三角形.理由如下: 连接OP并延长交BC于点F,由正方形的性质及旋转可得 AB=BC,ABC=90,AOE是等腰直角三角形,OEBC,OE=OA. OEP=FCP,POE=PFC. 又点P是CE的中点,CP
14、=EP. OPEFPC(AAS). OE=FC=OA,OP=FP. AB-OA=CB-FC,BO=BF. 1 2 OBF为等腰直角三角形. BPOF,OP=BP. BPO也为等腰直角三角形. 又点Q为OB的中点, PQOB,且PQ=BQ. PQB是等腰直角三角形. (3)延长OE交BC边于点G,连接PG,OP. 四边形ABCD是正方形,AC是对角线, ECG=45. 由旋转得,四边形OABG是矩形, OG=AB=BC,EGC=90. EGC为等腰直角三角形. 点P是CE的中点, PC=PG=PE,CPG=90,EGP=45. OGPBCP(SAS). OPG=BPC,OP=BP. OPG-GP
15、B=BPC-GPB=90. OPB=90. OPB为等腰直角三角形. Q是OB的中点, PQ=OB=BQ,PQOB. AB=1,OA=, 1 2 2 2 OB=, BQ=. SPQB=BQ PQ=. 2 2 2 1 2 6 2 6 4 1 2 1 2 6 4 6 4 3 16 思路分析思路分析 (1)由正方形的性质得出BOAC,BO=CO,由中位线定理得出PQOC,PQ=OC,则可得出结论. (2)连接OP并延长交BC于点F,由旋转的性质得出AOE是等腰直角三角形,OEBC,OE=OA,得OEP= FCP,POE=PFC,从而OPEFPC(AAS),则OE=FC=OA,OP=FP,证得OBF为等腰直 角三角形.同理BPO也为等腰直角三角形,则可得出结论. (3)延长OE交BC边于点G,连接PG,OP.证明OGPBCP(SAS),得出OPG=BPC,OP=BP,得出 OPB=90,则OPB为等腰直角三角形,由勾股定理求出OA和OB的长,求出BQ的长,由三角形面积公式 即可得出答案. 1 2
