1、 中考数学 （湖南专用） 8.6 动态问题型 1.(2020湖南长沙,16,3分)如图,点P在以MN为直径的半圆上运动(点P不与M,N重合),PQMN,NE平分 MNP,交PM于点E,交PQ于点F. (1)+= ; (2)若PN2=PM MN,则= . PF PQ PE PM MQ NQ 答案答案 (1)1 (2) 5-1 2 解析解析 (1)作EHMN,NE平分MNP,NPM=90,PE=EH,PEF=HEF,又PQMN,EHPQ, PEF=HEF=QFN=PFE,PE=EH=PF.由EHPQ,得=,+=+=1. (2)由相似得PN2=QN MN, 又PN2=PM MN,QN=PM, 设PM
2、=QN=a,MQ=x,易得PM2=MQ MN, a2=x(x+a),x=或x=(舍), ME PM EH PQ PF PQ PF PQ PE PM ME PM PE PM ( 5-1) 2 a(-1- 5) 2 a =. MQ QN x a 5-1 2 2.(2020湖南岳阳,16,4分)如图,AB为半圆O的直径,M,C是半圆上的三等分点,AB=8,BD与半圆O相切于点 B,点P为上一动点(不与点A,M重合),直线PC交BD于点D,BEOC于点E,延长BE交PC于点F,则下列 结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号) PB=PD;的长为;DBE=45;BCFPFB;CF CP为定值. AM
3、BC 4 3 答案答案 解析解析 如图,连接OP, BD与半圆O相切于点B, ABD=90. C是半圆O上靠近B的三等分点, COB=180=60. OB=OC, 1 3 BOC是等边三角形. 由圆周角定理得BPC=COB=30. 假设PB=PD,则PBD=D=(180-BPC)=75, ABP=ABD-PBD=15, AOP=2ABP=30. 又点P为上一动点, AOP不是一个定值,与AOP=30相矛盾, 即PB与PD不一定相等,结论错误. AB=8, OB=OC=AB=4, 则的长为=,结论正确. 1 2 1 2 AM 1 2 BC 604 180 4 3 BOC是等边三角形,BEOC,
4、OBE=CBE=OBC=60=30, DBE=ABD-OBE=90-30=60,结论错误. PFB=BCF+CBFBCF,即PFB与BCF不相等, BCF与PFB不相似,结论错误. 在BCF和PCB中, BCFPCB, =,即CF CP=CB2. 又BOC是等边三角形,OB=4, CB=OB=4, CF CP=42=16,即CF CP为定值,结论正确. 结论正确的是. 1 2 1 2 CF CB CB CP 3.(2019湖南郴州,26,12分)已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点 C. (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标; (2)点F是
5、线段AD上的一个动点. 如图1,设k=,当k为何值时,CF=AD? 如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与ABC相似?若相似,求出点F的坐标;若不相似,请说明理由. AF AD 1 2 解析解析 (1)抛物线y=ax2+bx+3过点A(-3,0),B(1,0), 解得 抛物线的表达式为y=-x2-2x+3. y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, 顶点D的坐标为(-1,4). (2)在RtAOC中,OA=3,OC=3, AC2=OA2+OC2=18, D(-1,4),C(0,3),A(-3,0), CD2=12+12=2,AD2=22+42=20, AC2+CD2=AD2, ACD为直角
6、三角形,且ACD=90. CF=AD, F为AD的中点, 9 -330, 30, a b ab -1, -2. a b 1 2 =, k=. 相似. 在RtACD中,tanCAD=, 在RtOBC中,tanOCB=, CAD=OCB, OA=OC, OAC=OCA=45, FAO=ACB, 若以A,F,O为顶点的三角形与ABC相似,则可分两种情况考虑: 当AOF=ABC时,AOFCBA, AF AD 1 2 1 2 DC AC 2 3 2 1 3 OB OC 1 3 OFBC, 设直线BC的解析式为y=kx+b(k0), 解得 直线BC的解析式为y=-3x+3, 直线OF的解析式为y=-3x,
7、 设直线AD的解析式为y=mx+n(m0), 解得 直线AD的解析式为y=2x+6, 由得 0, 3, kb b -3, 3, k b -4, -30, mn mn 2, 6, m n 26, -3 , yx yx 6 -, 5 18 , 5 x y F. 当AOF=CAB=45时,AOFCAB, CAB=45, OFAC, 直线OF的解析式为y=-x, 由解得 F(-2,2). 综上,F点的坐标为或(-2,2). 6 18 -, 5 5 - , 26, yx yx -2, 2, x y 6 18 -, 5 5 4.(2019湖南张家界,23,10分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)过点
8、A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,OC=3. (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标; (2)过点A作AMBC,垂足为M,求证:四边形ADBM为正方形; (3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一个动点,当PBC面积最大时,求点P的坐标; (4)若点Q为线段OC上的一动点,问:AQ+QC是否存在最小值?若存在,求岀这个最小值;若不存在,请说 明理由. 1 2 解析解析 (1)抛物线过点A(1,0),B(3,0),设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-3)=a(x2-4x+3)(a0), 抛物线与y轴交于点C,且OC=3, C(0,3),代入抛物线解析式中, 解得a=1, 故抛物线
9、的解析式为y=x2-4x+3. y=x2-4x+3=(x-2)2-1,则顶点D的坐标为(2,-1). (2)证明:OB=OC=3,OBC=OCB=45, AM=MB=ABsin 45=AD=BD, 则四边形ADBM为菱形,又AMB=90, 四边形ADBM为正方形. (3)设直线BC的函数表达式为y=kx+b(k0), 将B(3,0),C(0,3)代入得 2 30, 3, kb b 解得直线BC的表达式为y=-x+3. 过点P作y轴的平行线交BC于点H, 设点P(x,x2-4x+3),则点H(x,-x+3), 则SPBC=PHOB=(-x+3-x2+4x-3)=(-x2+3x)=-+, -0,故
10、SPBC有最大值,此时x=, 点P的坐标为. -1, 3, k b 1 2 3 2 3 2 3 2 2 3 - 2 x 27 8 3 2 3 2 33 ,- 24 (4)存在.理由: 如图,过点C作与y轴夹角为30的直线CN,过点A作ANCN,垂足为N, 则NQ=CQ, 所以AQ+QC=AQ+NQ=AN, 易知直线NC的表达式为y=x+3, 直线AN的表达式为y=-x+, 1 2 1 2 3 3 3 3 3 由 得 故点N,又点A(1,0), 故AN=, 即AQ+QC的最小值为. 33, 33 -, 33 yx yx 1-3 3 , 4 33 . 4 x y 1-3 3 33 , 44 33
11、2 1 2 33 2 5.(2017湖北黄冈,24,14分)已知:如图所示,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是矩形,OA=4,OC=3.动 点P从点C出发,沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动;同时,动点Q从点O出发,沿x轴正半轴方向 以每秒1个单位长度的速度运动.设点P、点Q的运动时间为t(s). (1)当t=1 s时,求经过点O,P,A三点的抛物线的解析式; (2)当t=2 s时,求tanQPA的值; (3)当线段PQ与线段AB相交于点M,且BM=2AM时,求t(s)的值; (4)连接CQ,在点P,Q运动的过程中,记CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式
12、. 解析解析 (1)解法一:依题意得A(4,0),B(4,3). 当t=1 s时,CP=2, P点的坐标为(2,3).(1分) 设经过O,P,A三点的抛物线的解析式为y=ax(x-4)(a0), 将P(2,3)代入解析式中,得2(2-4)a=3. a=-,y=-x(x-4)=-x2+3x.(4分) 解法二:依题意得A(4,0),B(4,3). 当t=1 s时,CP=2, P(2,3).(1分) 设经过O,P,A三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0), 将O(0,0),P(2,3),A(4,0)代入解析式中, 3 4 3 4 3 4 得解得 抛物线的解析式为y=-x2+3x.(4分)
13、 (2)当t=2 s时,CP=4,OQ=2, AQ=OA-OQ=4-2=2,点P与点B重合,(5分) 0, 423, 1640, c abc abc 3 -, 4 3, 0. a b c 3 4 在RtQPA中,tanQPA=.(7分) (3)如图所示, 依题意有CP=2t,OQ=t, BP=2t-4,AQ=4-t. CBOA, BMPAMQ.(8分) QA AB 2 3 =,即=, 又BM=2AM,2t-4=2(4-t),t=3.(10分) (4)当0t2时, S=SCPQ= 2t 3=3t;(11分) 当24时,设线段AB与线段CQ相交于点M,过点Q作QNCP于点N, 则CBMCNQ, =. 3(2 -4)t t 1 2 1 2 3(2 -4)t t 2 -324 -24tt t 24 t CB CN BM NQ 又CB=OA=4,CN=OQ=t,NQ=3, =, BM=. S=SCBM= BC BM=4=. S=(14分) 4 t3 BM 12 t 1 2 1 2 12 t 24 t 3 (02), 24 -324-(24), 24 (4). tt tt t t t
