1、 中考数学 4.4 多边形与平行四边形 考点一 多边形 1.(2019云南,9,4分)一个十二边形的内角和等于( ) A.2 160 B.2 080 C.1 980 D.1 800 答案答案 D 根据多边形的内角和公式(n-2) 180,可得十二边形的内角和等于(12-2)180=1 800.故选D. 2.(2020海南,14,4分)正六边形的一个外角等于 度. 答案答案 60 解析解析 因为多边形的外角和是360,正六边形的每个外角相等,所以正六边形的一个外角=60. 360? 6 3.(2020陕西,12,3分)如图,在正五边形ABCDE中,DM是边CD的延长线,连接BD,则BDM的度数是
2、 . 答案答案 144 解析解析 在正五边形ABCDE中,C=108,BC=CD, CDB=36, BDM=180-CDB=180-36=144. 180?- 2 C 4.(2019陕西,12,3分)若正六边形的边长为3,则其较长的一条对角线长为 . 答案答案 6 解析解析 连接正六边形的中心和各个顶点,可得6个小正三角形,显然正六边形较长的一条对角线长为小正 三角形边长的2倍,即较长的一条对角线长为6. 5.(2018山西,12,3分)图1是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消 融,形状无一定规则,代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段
3、组成的图形, 则1+2+3+4+5= 度. 图1 图2 答案答案 360 解析解析 任意n(n3,n为整数)边形的外角和为360,图中五条线段组成五边形,1+2+3+4+5=3 60. 考点二 平行四边形 1.(2020海南,11,3分)如图,在ABCD中,AB=10,AD=15,BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于 点F,BGAE于点G,若BG=8,则CEF的周长为( ) A.16 B.17 C.24 D.25 答案答案 A AE平分BAD,DAE=BAE, 又ADBC,BEA=DAE,BEA=BAE, AB=BE=10, BGAE,AE=2AG. 在RtABG中,AGB=90,AB
4、=10,BG=8,AG=6,AE=2AG=12,ABE的周长为10+10 +12=32. BE=10,BC=AD=15,CE=BC-BE=15-10=5, BECE=105=21. ABFC,ABEFCE, ABE的周长CEF的周长=BECE=21, CEF的周长=16,故选A. 22 -AB BG 思路分析思路分析 首先依据AE平分BAD,ADBC,可得ABE是等腰三角形,然后根据等腰三角形“三线合 一”的性质得出AE=2AG,利用勾股定理求得AG的长,即可求得AE的长;最后利用ABEFCE,根据 周长比等于相似比即可得到答案. 2.(2020陕西,8,3分)如图,在ABCD中,AB=5,B
5、C=8.E是边BC的中点,F是ABCD内一点,且BFC=90.连 接AF并延长,交CD于点G.若EFAB,则DG的长为( ) A. B. C.3 D.2 5 2 3 2 答案答案 D 延长EF交AD于H.EFAB,ABCD,EHCD,AHF=D,AH=HD.DAG=HAF, AFHAGD.=. BFC=90,E为BC的中点,EF=BE=EC=BC=4.由题意易得四边形ABEH为平行四边形,AB=EH= 5,AH=BE=BC,HF=EH-EF=5-4=1.又AH=HD,AH=AD,DG=2FH=2.故选D. AH AD FH DG 1 2 1 2 1 2 解后反思解后反思 已知直角+斜边中点,联
6、想到斜边上的中线等于斜边的一半.由两直线平行可知角之间 的关系,联想到相似三角形. 3.(2018内蒙古呼和浩特,8,3分)顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形,从ABCD;BC= AD;A=C;B=D四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结 论的情况共有( ) A.5种 B.4种 C.3种 D.1种 答案答案 C 能够得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有、,共三种.故选 C. 4.(2020湖北武汉,14,3分)在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中,有下面的问题:如图,AC是 ABCD的对角线,点E在AC上,AD=AE=BE,D=102,
7、则BAC的大小是 . 答案答案 26 解析解析 D=102,四边形ABCD是平行四边形,DAB=180-D=78,AD=BC,DAC=ACB,AD =BE,BC=BE,CEB=ACB,AE=BE,EAB=EBA,EAB=DAC,EAB=DAB=26. 1 2 1 3 解题关键解题关键 根据四边形ABCD是平行四边形及AD =BE判断CEB是等腰三角形是解答本题的关键. 5.(2019云南,6,3分)在平行四边形ABCD中,A=30,AD=4,BD=4,则平行四边形ABCD的面积等于 . 3 答案答案 16或8 33 解析解析 当ABD为锐角时,过D点作DEAB于点E.如图1. 在RtADE中,
8、A=30,AD=4, DE=AD=4=2, AE=AD=4=6. 在RtBDE中,由勾股定理得BE=2, AB=AE+BE=6+2=8, SABCD=AB DE=82=16. 3 1 2 1 2 33 3 2 3 2 3 22 -BD DE 22 4 -(2 3) 33 图1 当ABD为钝角时,如图2,同理可得DE=2,AE=6,BE=2, AB=AE-BE=6-2=4, SABCD=AB DE=42=8. 综上所述,平行四边形ABCD的面积为16或8. 3 33 33 图2 方法点拨方法点拨 本题的难点在于平行四边形形状的不确定性.根据平行四边形的面积公式,需要知道平行四 边形的一边长及该边
9、上的高,高线可能在平行四边形的内部,也可能在外部,进而画出图形,其他问题便迎 刃而解了. 6.(2020宁夏,21,6分)如图,在ABCD中,点E是边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F.求证:AF =AB. 证明证明 四边形ABCD是平行四边形,ABCD,AB=CD.F=ECD,FAE=D.(2分) 又E是AD的中点,AE=DE,AEFDEC.(4分) AF=CD,又AB=CD,AF=AB.(6分) 7.(2020广西北部湾经济区,21,8分)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF. (1)求证:ABCDEF; (2)连接AD,求证:四边形ABED是
10、平行四边形. 证明证明 (1)BE=CF,BE+EC=CF+EC,即BC=EF, 在ABC和DEF中, ABCDEF(SSS). (2)由(1)可知ABCDEF,B=DEF, ABDE,又AB=DE, 四边形ABED是平行四边形. , , , ABDE ACDF BCEF 思路分析思路分析 (1)先证明BC=EF,再利用SSS证明ABCDEF; (2)根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABED是平行四边形即可. 考点一 多边形 教师专用题组 1.(2019北京,3,2分)正十边形的外角和为( ) A.180 B.360 C.720 D.1 440 答案答案 B 任何凸多边
11、形的外角和都为360.故选B. 2.(2019河北,1,3分)下列图形为正多边形的是( ) 答案答案 D 正多边形的各边相等,各角相等,故选D. 3.(2018北京,5,2分)若正多边形的一个外角是60,则该正多边形的内角和为( ) A.360 B.540 C.720 D.900 答案答案 C 由多边形外角和为360,可知这个正多边形的边数为36060=6,由多边形内角和公式可知内 角和为180(6-2)=720.故选C. 4.(2020福建,15,4分)如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则ABC等于 度. 答案答案 30 解析解析 六边形花环由六个全等的直角三角形构成,故为
12、正六边形,所以每个内角为=120. 所以ABC=120-90=30. (6-2) 180? 6 5.(2020江苏南京,14,2分)如图,在边长为2 cm的正六边形ABCDEF中,点P在BC上,则PEF的面积为 cm2. 答案答案 2 3 解析解析 连接BF,BE,过点A作ATBF于T, 六边形ABCDEF是正六边形, CBEF,AB=AF,BAF=120, SPEF=SBEF. ATBF,AB=AF, BT=FT,BAT=FAT=60, BT=FT=AB sin 60=(cm), BF=2BT=2(cm), 3 3 AFE=120,AFB=ABF=30, BFE=90, SPEF=SBEF=
13、EF BF=22=2(cm2). 1 2 1 2 33 解后反思解后反思 本题考查正多边形中三角形面积的求解,解题的方法是运用正六边形对边平行的性质、等 积法,把要求的三角形面积转化为直角三角形面积,再根据锐角三角函数求得边长即可. 考点二 平行四边形 1.(2019广东广州,7,3分)如图,ABCD中,AB=2,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,且E,F,G,H分别是AO,BO, CO,DO的中点.则下列说法正确的是( ) A.EH=HG B.四边形EFGH是平行四边形 C.ACBD D.ABO的面积是EFO的面积的2倍 答案答案 B 点E,H,G分别为OA,OD,OC的中点,EH,HG
14、分别是OAD,OCD的中位线,EH=AD, HG=CD,AD=4,CD=AB=2,EH=2,HG=1,EHHG,A选项错误; E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点,EF,FG,GH,HE分别是OAB,OBC,OCD,OAD的中位 线,EF=AB,FG=BC,GH=CD,HE=AD,四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,AD=BC,EF= GH,HE=FG,四边形EFGH是平行四边形,B选项正确;无法根据已知判断出ACBD,C选项错误; E,F分别是OA,OB的中点,EF是ABO的中位线,EF=AB,EFAB,EFOABO,= =,ABO的面积是EFO的面积的4倍,D选项错误.故选
15、B. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 EFO ABO S S 2 EF AB 2 1 2 1 4 解题关键解题关键 本题主要考查了平行四边形的性质和判定,三角形中位线定理以及相似三角形的判定和性 质,解题关键是熟悉相关知识,利用数形结合思想解答. 2.(2018安徽,9,4分)ABCD中,E,F是对角线BD上不同的两点.下列条件中,得出四边形AECF一定为 平行四边形的是( ) A.BE=DF B.AE=CF C.AFCE D.BAE=DCF 不能 答案答案 B 当BE=DF时,如图1, 易证AFDCEB,ABECDF, 从而AF=CE,AE=CF, 所以四边形AECF
16、一定是平行四边形,故A不符合题意; 如图1,当AFCE时,AFE=CEF,从而AFD=CEB, 又因为ADF=CBE,AD=BC, 所以AFDCEB,则AF=CE, 所以四边形AECF一定是平行四边形,故C不符合题意; 如图1,当BAE=DCF时,易证ABECDF, 可得AEB=CFD,AE=CF, 所以AEF=CFE,所以AECF, 则四边形AECF一定是平行四边形,故D不符合题意; 如图2,其中AE=CF, 但显然四边形AECF不是平行四边形.故B符合题意. 思路分析思路分析 依据平行四边形的定义或判定定理进行判断. 图1 图2 3.(2020天津,17,3分)如图,ABCD的顶点C在等边
17、BEF的边BF上,点E在AB的延长线上,G为DE的中点, 连接CG.若AD=3,AB=CF=2,则CG的长为 . 答案答案 3 2 解析解析 延长CG交AE于H,过C作CMBE于M,如图所示, 四边形ABCD是平行四边形, ABCD,BC=AD=3,AB=CD=2,1=2, G为DE的中点,DG=EG, 在DCG和EHG中, 12, , 34, DGEG DCGEHG(ASA),CG=HG,HE=CD=2, CG=CH, BEF为等边三角形, BE=BF=BC+CF=3+2=5,FBE=60, HE=CF=2,BH=BC,BCH为等边三角形, CH=BC=3.CG=CH=3=. 1 2 1 2
18、 1 2 3 2 4.(2020内蒙古包头,18,3分)如图,在ABCD中,AB=2,ABC的平分线与BCD的平分线交于点E,若点E 恰好在边AD上,则BE2+CE2的值为 . 答案答案 16 解析解析 四边形ABCD为平行四边形,CD=AB=2,BC=AD,ABCD,ADBC, ABC+BCD=180,AEB=EBC,DEC=BCE, BE,CE分别平分ABC,BCD, ABE=EBC,BCE=DCE, ABE=AEB,DEC=DCE,BEC=90, AE=AB=2,DE=CD=2, BC=AD=AE+DE=4, 在RtBEC中,BE2+CE2=BC2=42=16. 5.(2020陕西,18
19、,5分)如图,在四边形ABCD中,ADBC,B=C.E是边BC上一点,且DE=DC.求证:AD=BE. 证明证明 DE=DC,DEC=C.(1分) B=C,DEC=B.ABDE.(3分) ADBC, 四边形ABED为平行四边形.(4分) AD=BE.(5分) 方法总结方法总结 本题可通过证明四边形ABED是平行四边形来证明AD=BE.平行四边形的判定方法:1.定义: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;3.两组对边 分别相等的四边形是平行四边形;4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形;5.对角线互相平分的四 边形是平行四边形. 6.(2020重庆
20、A卷,21,10分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AEBD, CFBD,垂足分别为E,F.AC平分DAE. (1)若AOE=50,求ACB的度数; (2)求证:AE=CF. 解析解析 (1)AEBD,AEO=90, AOE=50,EAO=40. 又AC平分DAE,OAD=EAO=40. 四边形ABCD是平行四边形,ADBC. ACB=OAD=40.(5分) (2)证明:四边形ABCD是平行四边形, AO=CO. AEBD,CFBD,AEO=CFO=90. 在AEO和CFO中, AEOCFO. AE=CF.(10分) , , , AEOCFO EOAF
21、OC AOCO 7.(2019安徽,20,10分)如图,点E在ABCD内部,AFBE,DFCE. (1)求证:BCEADF; (2)设ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求的值. S T 解析解析 (1)证明:如图1,延长FA与CB的延长线交于点M, ADBC,FAD=M. 又AFBE,M=EBC,FAD=EBC. 同理得FDA=ECB. 在BCE和ADF中,EBC=FAD, BC=AD,ECB=FDA,BCEADF.(5分) (2)解法一:如图1,连接EF,由(1)知BCEADF, AF=BE.又AFBE, 图1 四边形ABEF为平行四边形, SAEF=SAEB. 同理SDEF=S
22、DEC,T=SAEB+SDEC. 又T=SAED+SADF=SAED+SBCE, S=SAEB+SDEC+SAED+SBCE=2T.=2.(10分) 解法二:BCEADF,T=SAED+SBCE. S T 如图2,过点E作HGBC交BC于G,交AD于H,则EGBC,EHAD.于是,T=SAED+SBCE=BC (EG+EH)= BC GH=S,即=2.(10分) 图2 方法总结方法总结 求不规则四边形的面积常将不规则四边形分割成三角形,求三角形的面积和或转化成求熟 悉易求的图形面积. 1 2 1 2 1 2 S T 8.(2017新疆乌鲁木齐,19,10分)如图,四边形ABCD是平行四边形,E
23、、F是对角线BD上的两点,且BF=ED, 求证:AECF. 证明证明 四边形ABCD是平行四边形, ADBC,且AD=BC,(3分) ADE=CBF. 又ED=BF, AEDCFB,(6分) AED=CFB,(8分) AECF.(10分) A组 20182020年模拟基础题组 时间:30分钟 分值:45分 一、选择题一、选择题(每小题3分,共12分) 1.(2020云南红河州开远模拟,9)一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,则它是( ) A.八边形 B.七边形 C.六边形 D.九边形 答案答案 A 设这个多边形是n边形,根据题意,得(n-2) 180=3603,解得n=8,即它是八边形.故
24、选A. 2.(2020浙江杭州萧山一模,6)如图,ABCD的周长为22 cm,对角线AC、BD交于点O,过点O与AC垂直的 直线交边AD于点E,则CDE的周长为( ) A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm 答案答案 D 四边形ABCD是平行四边形,对角线交点为O, AB=CD,AD=BC,AO=CO, 又EOAC,AE=CE. ABCD的周长为22 cm, 2(AD+CD)=22 cm.AD+CD=11 cm. CDE的周长=CE+DE+CD=AE+DE+CD=AD+CD=11 cm.故选D. 3.(2019天津和平一模,9)如图,将ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在B
25、处,若1=2=44,则B为( ) A.66 B.104 C.114 D.124 答案答案 C 四边形ABCD是平行四边形, ABCD,ACD=BAC. 由折叠的性质得BAC=BAC, BAC=ACD=BAC=1=22, B=180-2-BAC=180-44-22=114. 故选C. 1 2 4.(2018新疆昌吉州阜康二模,6)如图,在ABCD中,AEBC于点E,AFCD于点F,若AE=20,CE=15,CF=7, AF=24,则BE的长为( ) A.10 B. C.15 D. 25 4 25 2 答案答案 C AEBC,AFCD,SABCD=AE BC=AF CD.AE=20,AF=24,B
26、CCD=AFAE=2420= 65.设BC=6x,则AD=6x,AB=CD=5x,BE=6x-15,DF=5x-7.在RtAEB中,AB2=AE2+BE2,即(5x)2=202+(6x-15)2 ,在RtADF中,AD2=AF2+DF2,即(6x)2=242+(5x-7)2,由-解得x=5,则BE=6x-15=30-15=15.故选C. 二、填空题二、填空题(每小题3分,共9分) 5.(2020吉林长春一模,12)如图,一束平行太阳光线照射到正五边形上,则1= . 答案答案 30 解析解析 如图,过正五边形一个顶点A作光线的平行线, 则2=42,1=3, 五边形是正五边形, 它的一个内角是10
27、8, 3=180-42-108=30, 1=3=30. 6.(2020湖北武汉青山备考,14)如图,在四边形ABCD中,AD=12,对角线AC,BD交于点O,ADB=90,OD= OB=5,AC=26,则四边形ABCD的面积为 . 答案答案 120 解析解析 ADB=90,AD=12,OD=5, AO=13. 又AC=26, CO=AC-AO=13=AO,又DO=BO, 四边形ABCD是平行四边形, 平行四边形ABCD的面积=4SADO=4125=120. 22 ADOD14425 1 2 7.(2019内蒙古巴彦淖尔模拟,20)若在ABCD中,A=30,AB=9,AD=8,则SABCD= .
28、 答案答案 36 解析解析 如图,过点D作DEAB于点E. A=30,DEAB,AD=8,DE=AD=4. SABCD=BA DE=94=36. 1 2 三、解答题三、解答题(共24分) 8.(2020江西南昌二模,14)如图,在平行四边形AFCE中,D,B分别是EC,AF的中点.求证:BC=AD. 证明证明 四边形AFCE是平行四边形, ABCD,AF=CE, 又D,B分别是EC,AF的中点, AB=AF,CD=EC, AB=CD, 四边形ABCD是平行四边形, 1 2 1 2 BC=AD. 9.(2020甘肃兰州一诊,20)如图,在ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且AE=CF,BE
29、=6,求DF的长度. 解析解析 四边形ABCD是平行四边形, ABCD,AB=CD, BAE=DCF. 在ABE和CDF中, ABECDF(SAS), DF=BE=6. , , , ABCD BAEDCF AECF 10.(2019云南昆明模拟,16)如图,在ABCD中,=,连接AE并延长交BC的延长线于点F. (1)求证:ADEFCE; (2)若AB=2FC,F=38,求B的度数. DE DC 1 2 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, ADBC, D=ECF. =, DE=CE. 又AED=FEC, ADEFCE(ASA). (2)由(1)中结论可得AD=FC. AD=BC
30、,AB=2FC, AB=FB, BAF=F=38, B=180-238=104. DE DC 1 2 B组 20182020年模拟提升题组 时间:30分钟 分值:45分 一、选择题一、选择题(每小题3分,共9分) 1.(2019天津滨海新区一模,8)一个圆的内接正六边形的边长为4,则该圆的内接正方形的边长为( ) A.2 B.4 C.4 D.8 223 答案答案 B 圆内接正六边形的边长是4, 圆的半径为4.圆的直径为8. 圆的内接正方形的对角线长为圆的直径,等于8. 圆的内接正方形的边长是4. 故选B. 2 2.(2020云南师大附中一模,13)如图,若干全等正五边形排成环状.图中所示的是前
31、3个正五边形,要完成这 一圆环还需多少个正五边形( ) A.6个 B.7个 C.8个 D.9个 答案答案 B 因为五边形的内角和为(5-2)180=540, 所以正五边形的每一个内角为5405=108, 如图,延长正五边形的两边相交于点O,则1=360-1083=360-324=36,36036=10, 已经有3个正五边形, 完成这一圆环还需10-3=7个正五边形. 故选B. 3.(2019上海长宁二模,6)已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,下列条件中,不能判定四边形 ABCD是平行四边形的是( ) A.ADB=CBD,ABCD B.ADB=CBD,DAB=BCD C.DAB=B
32、CD,AB=CD D.ABD=CDB,OA=OC 答案答案 C ADB=CBD,ADBC,又ABCD,四边形ABCD是平行四边形,故A选项不符合题 意; ADB=CBD,ADBC,BAD+ABC=ADC+BCD=180,DAB=BCD,ABC= ADC,四边形ABCD是平行四边形,故B选项不符合题意; 由DAB=BCD,AB=CD不能判定四边形ABCD是平行四边形,故C选项符合题意; ABD=CDB,AOB=COD,OA=OC,AOBCOD(AAS),OB=OD,又OA=OC,四边形 ABCD为平行四边形,故D选项不符合题意.故选C. 二、填空题二、填空题(每小题3分,共12分) 4.(202
33、0四川巴中5月模拟,17)如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,BC=5,BCD的平分线交AD于点F,交BA 的延长线于点E,则AE的长为 . 答案答案 3 解析解析 在平行四边形ABCD中,AB=2,BC=5, CD=AB=2,AD=BC=5,ADBC, DFC=FCB. CE平分DCB,DCF=BCF, DFC=DCF,DC=DF=2, AF=AD-DF=5-2=3. ABCD,E=DCF, 又EFA=DFC,DFC=DCF, AEF=EFA,AE=AF=3. 5.(2020陕西西安西北工大附中二模,12)已知正六边形的周长为12,则这个正六边形的边心距是 . 答案答案 3 解析解析 如
34、图,连接OA、OB,过点O作OGAB于点G. 在RtAOG中,易知OA=AB=2,AOG=30, OG=OA cos 30=2=. 故这个正六边形的边心距为. 3 2 3 3 6.(2019上海嘉定二模,16)如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点O的线段EF与AD、BC 分别交于点E、F,如果AB=4,BC=5,OE=,那么四边形EFCD的周长为 . 3 2 答案答案 12 解析解析 四边形ABCD为平行四边形, AB=CD=4,AD=BC=5,AO=OC,OAD=OCF,又AOE=COF,OAEOCF, OF=OE=1.5,CF=AE, 四边形EFCD的周长=ED+CD+
35、CF+OF+OE =ED+AE+CD+OE+OF =AD+CD+OE+OF =12. 7.(2019上海长宁一模,18)点P在平行四边形ABCD的边BC上,将ABP沿直线AP翻折,点B的对应点B恰 好落在边AD的垂直平分线上,如果AB=5,AD=8,tan B=,那么BP的长为 . 4 3 答案答案 或7 25 7 解析解析 如图1,过A作AHBC于H,连接DB, 设BB与AP交于E,AD的垂直平分线交AD于M,交BC于N. tan B=, 设AH=4x,BH=3x(x0), AB=5x=5, x=1, AH=4,BH=3. 将ABP沿直线AP翻折,点B的对应点B恰好落在边AD的垂直平分线MN
36、上, AB=AB=5,AM=DM=AD=4,AMN=HNM=90. 又AH=4, 四边形AHNM是正方形,HN=MN=4, BN=7,MB=3, AH BH 4 3 22 AHBH 1 2 22 -ABAM 则BN=1,BB=5, BE=BB=. BEP=BNB=90,PBE=BBN, BPEBBN, =,即=,BP=. 22 BNBN 2 1 2 5 2 2 PB BB BE BN5 2 PB 5 2 2 7 25 7 如图2,由知,MN=4,MB=3,BN=7, NB=NB,点N在BB的垂直平分线上. 将ABP沿直线AP翻折,点B的对应点B恰好落在边AD的垂直平分线上,点P也在BB的垂直平
37、分线 上,点P与N重合,BP=BN=7. 综上所述,BP的长为或7. 25 7 三、解答题三、解答题(共24分) 8.(2019上海虹口二模,23)如图,在ABCD中,AC与BD相交于点O,过点B作BEAC,连接OE交BC于点F, 点F为BC的中点. (1)求证:四边形AOEB是平行四边形; (2)如果OBC=E,求证:BO OC=AB FC. 证明证明 (1)BEAC,=. 点F为BC的中点,CF=BF,OC=BE. 四边形ABCD是平行四边形,AO=CO,AO=BE. BEAC,四边形AOEB是平行四边形. (2)四边形AOEB是平行四边形,BAO=E. OBC=E,BAO=OBC. AC
38、B=BCO,CBACOB,=. 四边形ABCD是平行四边形,AC=2OC. 点F为BC的中点,BC=2FC, =,即BO OC=AB FC. AB BO AC BC AB BO OC FC OC BE CF BF 9.(2020上海奉贤二模,22)如图1,由于四边形具有不稳定性,因此在同一平面推矩形框架的边可以改变它 的形状(推移过程中边的长度保持不变).已知矩形ABCD,AB=4 cm,AD=3 cm,固定边AB,推边AD,使得点D 落在点E处,点C落在点F处. (1)如图2,如果DAE=30,求点E到边AB的距离; (2)如图3,如果点A、E、C在同一条直线上,求四边形ABFE的面积. 图
39、1 图2 图3 解析解析 (1)如图,过点E作EHAB,垂足为H, 四边形ABCD是矩形,DAB=90, ADEH,DAE=AEH. DAE=30,AEH=30. 在RtAEH中,AHE=90,AE=3 cm, EH=AE cosAEH=3=(cm), 即点E到边AB的距离是 cm. 3 2 3 3 2 3 3 2 图 图 (2)如图,过点E作EHAB,垂足为H. 四边形ABCD是矩形,AD=BC, AD=3 cm,BC=3 cm. 在RtABC中,ABC=90,AB=4 cm, AC=5 cm. 22 ABBC 由作图及已知得EHBC,=, AE=AD=3 cm,=,EH= cm. 推移过程中边的长度保持不变, AD=AE=BF,AB=DC=EF, 四边形ABFE是平行四边形, S平行四边形ABFE=AB EH=4=(cm2). AE AC EH BC 3 53 EH9 5 9 5 36 5
