1、 中考数学 （湖南专用） 第六章 空间与图形 6.1 图形的轴对称、平移与旋转 A组 20162020年湖南中考题组 考点一 图形的轴对称 1.(2020湖南长沙,2,3分)下列图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) 答案答案 B 根据轴对称图形和中心对称图形的概念知,选项A既不是轴对称图形也不是中心对称图形;选 项B是轴对称图形但不是中心对称图形;选项C既不是轴对称图形也不是中心对称图形;选项D是中心对 称图形但不是轴对称图形,故选B. 2.(2019湖南衡阳,4,3分)下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) 答案答案 D A.是轴对称图形,但不是中心对称图形,故此选项
2、错误; B.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项错误; C.是轴对称图形,但不是中心对称图形,故此选项错误; D.既是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项正确. 故选D. 解题关键解题关键 判定一个图形是轴对称图形的关键是寻找对称轴,使对称轴两边图形折叠后可完全重合,判 定一个图形是中心对称图形的关键是寻找对称中心,使图形绕对称中心旋转180后与原图形重合. 3.(2018湖南永州,2,4分)誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”,摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文, 其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值,如图四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是 ( ) 答案答案 C 根据轴对
3、称图形的概念知选项C明显不是轴对称图形,故选C. 思路分析思路分析 区分轴对称图形与中心对称图形的含义.平行四边形、矩形、菱形和正方形都是中心对称 图形,但只有平行四边形不一定是轴对称图形. 4.(2019湖南邵阳,9,3分)如图,在RtABC中,BAC=90,B=36,AD是斜边BC上的中线,将ACD沿AD 对折,使点C落在点F处,线段DF与AB相交于点E,则BED等于( ) A.120 B.108 C.72 D.36 答案答案 B 在RtABC中,BAC=90,B=36, C=90-B=54, AD是斜边BC上的中线,AD=BD=CD, BAD=B=36,DAC=C=54, ADC=180
4、-DAC-C=72. 将ACD沿AD对折,使点C落在点F处, ADF=ADC=72, BED=BAD+ADF=36+72=108. 故选B. 考点二 平移与旋转 1.(2020湖南郴州,3,3分)下列图形是中心对称图形的是( ) 答案答案 D A.不是中心对称图形,故A选项不合题意;B.不是中心对称图形,故B选项不合题意;C.不是中心 对称图形,故C选项不合题意;D.是中心对称图形,故D选项符合题意.故选D. 2.(2018湖南衡阳,3,3分)下列生态环保标志中,是中心对称图形的是( ) 答案答案 B A、C、D是轴对称图形,不是中心对称图形,B是中心对称图形,旋转180后与本身重合. 3.(
5、2020湖南张家界,13,3分)如图,正方形ABCD的边长为1,将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到 CEFG位置,使得点B落在对角线CF上,则阴影部分的面积是 . 答案答案 -1 2 解析解析 过E点作MNBC交AB、CD于M、N点,设AB与EF交于点P,连接CP,如图所示, B在对角线CF上,DCE=ECF=45,EC=1, ENC为等腰直角三角形, MB=CN=EC=. 又PC=PC,EC=BC, RtPECRtPBC(HL), PB=PE, 2 2 2 2 又PFB=45,FPB=45=MPE, MPE为等腰直角三角形. 设MP=x,则EP=BP=x, MP+BP=MB, x+x=,
6、解得x=, BP=x=-1, 阴影部分的面积=2SPBC=2BCBP=-1. 2 2 2 2 2- 2 2 22 1 2 2 解题关键解题关键 本题考查了正方形的性质及旋转的性质,本题关键是能想到过E点作BC的平行线,再证明 ENC、MPE为等腰直角三角形,进而求解线段长. 4.(2019湖南益阳,15,4分)在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中,ABC的顶点都在格点上,将 ABC绕点O按顺时针方向旋转得到ABC,使各顶点仍在格点上,则其旋转角的度数是 . 答案答案 90 解析解析 根据旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角,可知BOB是旋转角,且BOB=90,故旋转角的度 数是90. 思
7、路分析思路分析 根据旋转角的概念找到BOB是旋转角,从图中可求出其度数. 解题关键解题关键 本题主要考查了旋转角的概念,解题的关键是根据旋转角的概念找到旋转角. 5.(2019湖南常德,14,3分)如图,已知ABC是等腰三角形,AB=AC,BAC=45,点D在AC边上,将ABD绕 点A逆时针旋转45得到ACD,且点D、D、B三点在同一条直线上,则ABD的度数是 . 答案答案 22.5 解析解析 将ABD绕点A逆时针旋转45得到ACD, BAC=CAD=45,AD=AD, ADD=67.5,DAB=90, ABD=90-67.5=22.5. 故答案为22.5. 6.(2019湖南邵阳,18,3分
8、)如图,将等边AOB放在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点B在第一象限, 将等边AOB绕点O顺时针旋转180得到AOB,则点B的坐标是 . 答案答案 (-2,-2) 3 解析解析 作BHy轴于H,如图, OAB为等边三角形, OH=AH=2,BOA=60,BH=OH=2, B点的坐标为(2,2), 等边AOB绕点O顺时针旋转180得到AOB, 点B的坐标是(-2,-2). 33 3 3 故答案为(-2,-2). 3 思路分析思路分析 作BHy轴于H,利用等边三角形的性质得到OH=AH=2,BOA=60,再计算BH,从而得到B点 坐标,然后根据关于原点对称的点的坐标特征求出点B的坐标.
9、 7.(2018湖南株洲,17,3分)如图,O为坐标原点,OAB是等腰直角三角形,OAB=90,点B的坐标为(0,2 ), 将该三角形沿x轴向右平移得到RtOAB,此时点B的坐标为(2,2),则线段OA在平移过程中扫过部 分的图形面积为 . 2 22 答案答案 4 解析解析 点B的坐标为(0,2),将OAB沿x轴向右平移得到RtOAB,此时点B的坐标为(2,2), AA=BB=2, OAB是等腰直角三角形,A(,),线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为2=4. 故答案为4. 222 2 2222 解题关键解题关键 此题主要考查了平移变换、等腰直角三角形的性质以及平行四边形面积的求法,利用平
10、移 规律得出平移距离是解题关键. 8.(2018湖南益阳,25,10分)如图1,在矩形ABCD中,E是AD的中点,以点E为直角顶点的直角三角形EFG的 两边EF,EG分别过点B,C,F=30. (1)求证:BE=CE; (2)将EFG绕点E按顺时针方向旋转,当旋转到EF与AD重合时停止转动,若EF,EG分别与AB,BC相交于 点M,N(如图2). 求证:BEMCEN; 若AB=2,求BMN面积的最大值; 当旋转停止时,点B恰好在FG上(如图3),求sinEBG的值. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是矩形, AB=DC,A=D=90, E是AD的中点,AE=DE, BAECDE,BE=CE
11、. (2)证明:由(1)可知,EBC是等腰直角三角形, EBC=ECB=45, ABC=BCD=90,EBM=ECN=45, MEN=BEC=90, BEM=CEN, EB=EC,BEMCEN. BEMCEN, BM=CN,设BM=CN=x,则BN=4-x, SBMN=x(4-x)=-(x-2)2+2, 1 2 1 2 -0,x=2时,BMN的面积最大,最大值为2. 如图,作EHBG于H,设NG=m,则BG=2m,BN=EN=m,EB=m. EG=m+m=(1+)m, SBEG= EG BN= BG EH, EH=m, 1 2 36 33 1 2 1 2 3(13) 2 mm m 33 2 在
12、RtEBH中,sinEBH=. EH EB 33 2 6 m m 62 4 评析评析 本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、 锐角三角函数等知识,学会添加常用辅助线,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题. B组 20162020年全国中考题组 考点一 图形的轴对称 1.(2020山东潍坊,1,3分)下列图形,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) 答案答案 C 选项A只是中心对称图形,选项B和D只是轴对称图形,只有选项C既是中心对称图形又是轴对 称图形. 2.(2019北京,2,2分)下列倡导节约的图案中,是轴对称图形的是( ) 答案答案 C 选项
13、A、B、D不是轴对称图形,选项C是轴对称图形.故选C. 3.(2019辽宁大连,6,3分)下列所述图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.菱形 D.平行四边形 答案答案 C 根据轴对称图形的定义可得等腰三角形、等边三角形、菱形是轴对称图形,根据中心对称图 形的定义可得菱形、平行四边形是中心对称图形,所以既是轴对称图形又是中心对称图形的只有菱形. 故选C. 4.(2019内蒙古呼和浩特,2,3分)甲骨文是我国的一种古代文字,下面是“北”“比”“鼎”“射”四个 字的甲骨文,其中不是轴对称图形的是( ) 答案答案 B 根据四个字的甲骨文的特点,“比”字的
14、甲骨文不是轴对称图形,故选B. 5.(2018河北,3,3分)图中由“”和“”组成轴对称图形,该图形的对称轴是直线( ) A.l1 B.l2 C.l3 D.l4 答案答案 C 如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这个图形叫做轴对称图形,由 此知该图形的对称轴是直线l3,故选C. 6.(2020山东青岛,7,3分)如图,将矩形ABCD折叠,使点C和点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE=5, BF=3,则AO的长为( ) A. B. C.2 D.4 5 3 2 555 答案答案 C 由折叠的性质知EF垂直平分AC, 四边形ABCD是矩形, AEFC, EAO=FCO
15、,易证OAEOCF, AE=CF,则DE=DE=BF=3,AD=8, CD=AD=4. 又D=90,AC=4, AO=AC=4=2. 22 - AE DE 22 5 -3 22 ADCD 22 845 1 2 1 2 55 考点二 平移与旋转 1.(2019四川成都,4,3分)在平面直角坐标系中,将点(-2,3)向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为 ( ) A.(2,3) B.(-6,3) C.(-2,7) D.(-2,-1) 答案答案 A 点向右平移4个单位长度,其横坐标加4,所以平移后得到的点的坐标为(2,3),故选A. 2.(2019吉林,4,2分)把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转
16、一定角度后与自身重合,则这个旋转角度 至少为( ) A.30 B.90 C.120 D.180 答案答案 C 图形中有三个箭头,所以与自身重合的旋转角度至少为3603=120.故选C. 3.(2018河北,15,2分)如图,点I为ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将ACB平移使其顶点与I重合,则图中 阴影部分的周长为( ) A.4.5 B.4 C.3 D.2 答案答案 B 如图,连接AI,BI,点I为ABC的内心,AI平分BAC,BI平分ABC, ACIE,CAI=AIE,EAI=AIE,AE=EI. 同理,BF=FI,阴影部分的周长=EI+FI+EF=AE+BF+EF=AB, AB
17、=4,阴影部分的周长为4,故选B. 4.(2020海南,7,3分)如图,在RtABC中,C=90,ABC=30,AC=1 cm,将RtABC绕点A逆时针旋转得到 RtABC,使点C落在AB边上,连接BB,则BB的长度是( ) A.1 cm B.2 cm C. cm D.2 cm 33 答案答案 B C=90,ABC=30,AC=1 cm,BAC=60,AB=2 cm.由旋转的性质可得BAC=BAB= 60,AB=AB.所以ABB是等边三角形.BB=AB=2 cm.故选B. 解题关键解题关键 解决本题的关键在于根据旋转的性质得出ABB是等边三角形. 5.(2020天津,11,3分)如图,在ABC
18、中,ACB=90,将ABC绕点C顺时针旋转得到DEC,使点B的对应 点E恰好落在边AC上,点A的对应点为D,延长DE交AB于点F,则下列结论一定正确的是( ) A.AC=DE B.BC=EF C.AEF=D D.ABDF 答案答案 D 由旋转的性质得ACD=ACB=90,A=D,AC=DC,BC=CE,故A,B,C中结论不正确.Rt ABC中,A+B=90,又A=D,B+D=90,BDF为直角三角形,BFD=90,ABDF,故 选D. 6.(2020广西北部湾经济区,17,3分)以原点为中心,把点M(3,4)逆时针旋转90得到点N,则点N的坐标为 . 答案答案 (-4,3) 解析解析 如图所示
19、,连接OM、ON,作MAx轴于A,NBx轴于B, 由旋转的性质可知MON=90,且OM=ON, 故1+2=90,又1+3=90, 所以2=3,所以OAMNBO, 所以BN=OA=3,OB=AM=4, 故N(-4,3). 7.(2019内蒙古包头,17,3分)如图,在ABC中,CAB=55,ABC=25.在同一平面内,将ABC绕点A逆时 针旋转70得到ADE,连接EC,则tanDEC的值是 . 答案答案 1 解析解析 在ACB中,ACB=180-55-25=100,由旋转的性质可得AED=ACB =100,CAE=70,AE =AC,AEC=55,DEC=100-55=45,tanDEC=1.
20、解题关键解题关键 抓住旋转的性质得出AEC是等腰三角形且CAE=70是解答本题的关键. 8.(2019湖北武汉,16,3分)问题背景:如图1,将ABC绕点A逆时针旋转60得到ADE,DE与BC交于点P, 可推出结论:PA+PC=PE. 问题解决:如图2,在MNG中,MN=6,M=75,MG=4.点O是MNG内一点,则点O到MNG三个顶点 的距离和的最小值是 . 图1 图2 2 答案答案 2 29 解析解析 连接MO、NO、GO,将MOG绕点M逆时针旋转60得到MOG,连接OO,NG,易得MOO为等 边三角形,OM=OO,则当N,O,O,G四点共线时,NO+MO+GO取到最小值,且最小值为NG的
21、长度.过点G 作GAMN,垂足为A,可得AMG=45.MA=GA=4.NA=10.由勾股定理可得NG=2. 29 9.(2019安徽,16,8分)如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的1212网格中,给出了以格点(网格线 的交点)为端点的线段AB. (1)将线段AB向右平移5个单位,再向上平移3个单位得到线段CD,请画出线段CD; (2)以线段CD为一边,作一个菱形CDEF,且点E,F也为格点.(作出一个菱形即可) 解析解析 (1)如图,线段CD即为所求作的图形.(4分) (2)如图,菱形CDEF即为所求作的图形.(答案不唯一)(8分) C组 教师专用题组 考点一 图形的轴对称 1.(20
22、20天津,4,3分)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形,下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的 是( ) 答案答案 C 如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这 条直线叫做对称轴.由定义可知,“中”可以看作轴对称图形,故选C. 2.(2020内蒙古呼和浩特,1,3分)下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案,其中不是轴对称 图形的是( ) 答案答案 D 根据轴对称图形的概念,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够相互重合,那么 这个图形叫做轴对称图形,可知D选项不是轴对称图形,故选D. 3.(2019甘肃兰州,4,4分)剪纸是中国特有的
23、民间艺术,在如图所示的四个剪纸图案中,既是轴对称图形又 是中心对称图形的是( ) 答案答案 C A、B既不是轴对称图形也不是中心对称图形;C既是轴对称图形也是中心对称图形;D是轴 对称图形但不是中心对称图形. 4.(2018云南,11,4分)下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A.三角形 B.菱形 C.角 D.平行四边形 答案答案 B 三角形不一定是轴对称图形,中心对称图形;菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形;角是轴 对称图形,但不是中心对称图形;平行四边形是中心对称图形,但不一定是轴对称图形.故选B. 5.(2018广东广州,2,3分)如图所示的五角星是轴对称图形,它的对称
24、轴共有( ) A.1条 B.3条 C.5条 D.无数条 答案答案 C 如图所示,五角星的对称轴共有5条. 思路分析思路分析 根据轴对称图形的定义:“如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这 个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴”分析、理解题目. 6.(2018重庆,2,4分)下列图形中一定是轴对称图形的是( ) 答案答案 D 根据轴对称图形的概念可得矩形一定是轴对称图形.故选D. 解题关键解题关键 判断轴对称图形的关键是寻找对称轴. 7.(2017内蒙古呼和浩特,3,3分)下图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形,都是ABC这个图形进行了一 次变换之后得到的,其
25、中是通过轴对称得到的是 ( ) A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 答案答案 A 根据轴对称的性质可知,序号(1)对应的三角形与ABC的对应点所连的线段被一条直线(对 称轴)垂直平分,故选A. 考点二 平移与旋转 1.(2020北京,4,2分)下列图形中,既是中心对称图形也是轴对称图形的是( ) 答案答案 D 选项A不是中心对称图形,是轴对称图形;选项B既不是中心对称图形也不是轴对称图形;选项 C是中心对称图形,不是轴对称图形;选项D既是中心对称图形也是轴对称图形.故选D. 2.(2020山东青岛,5,3分)如图,将ABC先向上平移1个单位,再绕点P按逆时针方向旋转90,得到ABC
26、, 则点A的对应点A的坐标是( ) A.(0,4) B.(2,-2) C.(3,-2) D.(-1,4) 答案答案 D 由题图可知点A的坐标为(4,2),向上平移一个单位后对应点的坐标为(4,3),再绕点P按逆时针 方向旋转90后对应点的坐标为(-1,4),如图所示. 3.(2018浙江温州,7,4分)如图,已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合,另两个顶点A,B的坐标分别为 (-1,0),(0,).现将该三角板向右平移使点A与点O重合,得到OCB,则点B的对应点B的坐标是( ) A.(1,0) B.(,) C.(1,) D.(-1,) 3 3333 答案答案 C 因为点A平移后与点O重合,点
27、A(-1,0),点O(0,0),所以直角三角板向右平移了1个单位长度,所 以点B的对应点B的坐标为(0+1,),即(1,),故选C. 33 4.(2019湖北荆门,10,3分)如图,RtOCB的斜边在y轴上,OC=,含30角的顶点与原点重合,直角顶点C 在第二象限,将RtOCB绕原点顺时针旋转120后得到OCB,则B点的对应点B的坐标是 ( ) A.(,-1) B.(1,-) C.(2,0) D.(,0) 3 333 答案答案 A 在RtOCB中,BOC=30, BC=OC=1, RtOCB绕原点顺时针旋转120后得到OCB, OC=OC=,BC=BC=1,BCO=BCO=90, 点B的坐标为
28、(,-1).故选A. 3 3 3 3 3 3 3 5.(2019山西,15,3分)如图,在ABC中,BAC=90,AB=AC=10 cm,点D为ABC内一点,BAD=15,AD=6 cm,连接BD,将ABD绕点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,点D的对应点为点E,连接DE,DE交AC于 点F,则CF的长为 cm. 答案答案 (10-2) 6 解析解析 过点A作AGDE于点G, 由旋转的性质知AD=AE,DAE=90,CAE=BAD=15, AED=45, AFD=AED+CAE=60, 在RtADG中,AG=DG=3, 2 AD 2 在RtAFG中,GF=,AF=2FG=2, CF=AC-
29、AF=10-2.故CF的长为(10-2)cm. 3 AG 66 66 方法指导方法指导 我们经常通过观察图形将所求的角或者线段转化到直角三角形中(没有直角三角形时,设法 构造直角三角形),再利用锐角三角函数得到所求结果. 6.(2019四川成都,24,4分)如图,在边长为1的菱形ABCD中,ABC=60.将ABD沿射线BD的方向平移得 到ABD,分别连接AC,AD,BC,则AC+BC的最小值为 . 答案答案 3 解析解析 作直线AA,并作点C关于直线AA的对称点E,连接EA,AC,AE. 四边形ABCD为菱形,ABC=60,AB=1, AC=1,ACBD,由平移得BCBDAD,AABD, AD
30、=BC.又EA=AC,AC+BC=EA+AD, 当E,A,D三点共线时,EA+AD的值最小. AC=AE=AD=1,DAC=DCA=60, E=DAC=30,EDC=180-E-ACD=90, ED=EC cos E=2=,即AC+BC的最小值为. 1 2 3 2 33 方法总结方法总结 求不在同一条直线上的两条线段长的和的最小值,一般是通过轴对称转化为求一条直线上 的两条线段的长度和. 7.(2018江苏南京,16,2分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=4,以CD为直径作O.将矩形ABCD绕点C旋转, 使所得矩形ABCD的边AB与O相切,切点为E,边CD与O相交于点F,则CF的长为
31、. 答案答案 4 解析解析 连接OE,延长EO交CD于点G,作OHBC于点H, 则OEB=OHB=90. 矩形ABCD绕点C旋转得矩形ABCD, B=BCD=90,AB=CD=5,BC=BC=4, 四边形OEBH和四边形EBCG都是矩形,OE=OC=2.5, BH=OE=2.5, CH=BC-BH=1.5, CG=BE=OH=2. 四边形EBCG是矩形, OGC=90,即OGCD,CF=2CG=4. 故答案为4. 22 -OC CH 22 2.5 -1.5 解后反思解后反思 本题主要考查圆的切线的性质,解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线 的性质、垂径定理等知识点. 8.(201
32、7江西,23,12分)我们定义:如图1,在ABC中,把AB绕点A顺时针旋转(0180)得到AB,把AC绕 点A逆时针旋转得到AC,连接BC.当+=180时,我们称ABC是ABC的“旋补三角形”,ABC边 BC上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”. 特例感知 (1)在图2,图3中,ABC是ABC的“旋补三角形”,AD是ABC的“旋补中线”. 如图2,当ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD= BC; 如图3,当BAC=90,BC=8时,则AD长为 . 猜想论证 (2)在图1中,当ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明. 拓展应用 (3)如图4,
33、在四边形ABCD中,C=90,D=150,BC=12,CD=2,DA=6.在四边形内部是否存在点P,使 PDC是PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由. 3 图4 解析解析 (1). 详解:ABC是等边三角形, AB=BC=AC=AB=AC, DB=DC, ADBC, BAC=60,BAB+CAC=180, BAC=120, B=C=30, AD=AB=BC,故答案为. 4. 详解:BAC=90,BAB+CAC=180, BAC=BAC=90, AB=AB,AC=AC, 1 2 1 2 1 2 1 2 BACBAC, BC=BC, BD=DC,
34、 AD=BC=BC=4,故答案为4. (2)猜想:AD=BC. 证明:证法一:如图,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CE. AD是ABC的“旋补中线”, BD=CD, 1 2 1 2 1 2 四边形ABEC是平行四边形, ECBA,EC=BA, ACE+BAC=180. 由定义可知BAC+BAC=180,BA=BA,AC=AC, ACE=BAC,EC=BA. ACECAB. AE=CB. AD=AE, AD=BC. 证法二:如图,延长BA至F,使AF=BA,连接CF. 1 2 1 2 BAC+CAF=180. 由定义可知BAC+BAC=180,BA=BA,AC=AC, CAB=CAF,A
35、B=AF, ABCAFC, BC=FC. BD=CD,BA=AF, AD是BFC的中位线, AD=FC, 1 2 AD=BC. 证法三:如图,将ABC绕点A顺时针旋转CAC的度数,得到AEC,此时AC与AC重合,设D的对应点为 D,连接AD. 由定义可知BAC+BAC=180, 由旋转得BAC=EAC, BAC+EAC=180, E,A,B三点在同一直线上. AB=AB=AE,ED=DC, 1 2 AD是EBC的中位线, AD=BC, AD=BC. (注:其他证法参照给分) (3)存在. 如图,以AD为边在四边形ABCD的内部作等边PAD,连接PB,PC,延长BP交AD于点F, 1 2 1 2
36、 则有ADP=APD=60,PA=PD=AD=6. CDA=150, CDP=90. 过点P作PEBC于点E,易知四边形PDCE为矩形, CE=PD=6, tan1=, 1=30,2=60. PEBC,且易知BE=EC, PC=PB,3=2=60, APD+BPC=60+120=180. 又PA=PD,PB=PC, PDC是PAB的“旋补三角形”. 3=60,DPE=90, DPF=30. CD PD 2 3 6 3 3 ADP=60, BFAD, AF=AD=3,PF=AD=3. 在RtPBE中, PB=4. BF=PB+PF=7. 在RtABF中,AB=2. PDC是PAB的“旋补三角形”
37、, 由(2)知,PAB的“旋补中线”长为AB=. 求解“旋补中线”补充解法如下: 如图,分别延长AD,BC相交于点G, 1 2 3 2 3 22 PEBE 22 CDBE 22 (2 3)63 3 22 BFAF 22 (7 3)339 1 2 39 ADC=150,BCD=90, GDC=30,GCD=90. 在RtGDC中,GD=2=4. GC=GD=2, GA=6+4=10,GB=2+12=14. 过A作AHGB交GB于点H,在RtGAH中, cos30? CD 3 3 2 1 2 AH=GA sin 60=10=5,GH=AG=5. HB=GB-GH=14-5=9, 在RtABH中,A
38、B=2. PDC是PAB的“旋补三角形”, 由(2)知,PAB的“旋补中线”长为AB=. (注:其他解法参照给分) 3 2 3 1 2 22 AHBH 22 (5 3)939 1 2 39 A组 20182020年模拟基础题组 时间:20分钟 分值:27分 一、选择题（每小题3分，共18分） 1.(2019湖南郴州二模,3)如图银行的标志中,不是中心对称图形的是( ) 答案答案 B 根据中心对称图形的定义,知A、C、D中的图形绕其中心旋转180后与原图形重合,B中图形 绕其中心旋转180后不与原图形重合,故B不是中心对称图形.故选B. 2.(2019湖南永州双牌一模,3)在下列图形中,既是轴对
39、称图形,又是中心对称图形的是( ) 答案答案 C A.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项错误; B.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误; C.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项正确; D.不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误.故选C. 3.(2020湖南郴州桂阳模拟,4)在下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 答案答案 D A.不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误; B.是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误; C.不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项错误; D.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项正确. 故选D
40、. 思路分析思路分析 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的判定.判定一个图形是轴对称图形的关键是寻找 对称轴,使对称轴两边图形折叠后可重合;判定一个图形是中心对称图形的关键是要寻找对称中心,使图 形绕对称中心旋转180度后与原图形重合. 4.(2020湖南长沙教科院三模,4)下列图形中,既是中心对称图形,也是轴对称图形的是( ) 答案答案 B A.不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项错误; B.是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项正确; C.不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项错误; D.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误. 故选B. 5.(2020湖南长沙雨花模拟,
41、8)如图,在平面直角坐标系中,已知菱形OABC的顶点A(1,2),B(3,3).作菱形 OABC关于y轴的对称图形OABC,再作图形OABC关于点O的中心对称图形OABC,则点C的对应 点C的坐标是( ) A.(2,-1) B.(1,-2) C.(-2,1) D.(-2,-1) 答案答案 A 菱形OABC的顶点A(1,2),B(3,3),点C的坐标为(2,1),点C的坐标为(-2,1),点C的坐标为(2, -1), 故选A. 解题关键解题关键 本题考查旋转变换、轴对称变换,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答. 6.(2020湖南常德一模,8)如图摆放的图案,从第二个起,每个都是前
42、一个按顺时针方向旋转90得到的,第 2 020个图案中箭头的指向是( ) A.上方 B.左方 C.下方 D.右方 答案答案 B 从第一个图案开始,箭头方向依次向上、向右、向下、向左,且不断循环,2 0204=505, 第2 020个图案中箭头的指向与第4个图案中箭头的指向一致,箭头的指向是左方. 故选B. 思路分析思路分析 直接利用已知图案得出旋转规律,进而得出答案. 二、填空题（每小题3分，共9分） 7.(2020湖南长沙一模,14)如图,平面直角坐标系中,已知点B(-3,2),将ABO绕点O沿顺时针方向旋转90 后得到A1B1O,则点B的对应点B1的坐标是 . 答案答案 (2,3) 解析解
43、析 A1B1O如图所示. 点B1的坐标为(2,3), 故答案为(2,3). 8.(2020湖南永州一模,17)如图,将ABC绕点A顺时针旋转60得到AED,若AB=4,AC=3,BC=2,则ABE 的面积为 . 答案答案 4 3 解析解析 过点A作AFBE于点F. 将ABC绕点A顺时针旋转60得到AED, BAE=60,BA=AE, ABE是等边三角形, BE=AB=4,ABF=60, 在RtABF中,AF=AB sinABF=2, ABE的面积=42=4. 3 1 2 33 解题关键解题关键 本题考查旋转的性质,等边三角形的判定和性质以及三角函数的运用,熟练掌握旋转图形的 性质是解题的关键.
44、 9.(2018湖南岳阳模拟,14)如图,在等边ABC中,AB=6,D是BC上一点,且BC=3BD,ABD绕点A旋转后得 到ACE,则CE的长度为 . 答案答案 2 解析解析 在等边ABC中,AB=6, BC=AB=6. 又BC=3BD,BD=BC=2. ABD绕点A旋转后得到ACE,CE=BD=2. 1 3 思路分析思路分析 由等边三角形ABC中,AB=6,D是BC上一点,且BC=3BD即可求得BD的长,然后由旋转的性质 即可得CE的长度. 解题关键解题关键 熟练掌握旋转的性质是解题的关键. B组 20182020年模拟提升题组 时间:20分钟 分值:15分 一、选择题（每小题3分，共6分）
45、 1.(2020湖南岳阳一模,4)下列几何图形中,主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的有( ) A. B. C. D. 答案答案 C 正方体的主视图是正方形,是轴对称图形,又是中心对称图形,故正确; 圆柱的主视图是矩形,是轴对称图形,又是中心对称图形,故正确; 圆锥的主视图是等腰三角形,是轴对称图形,不是中心对称图形,故错误; 球的主视图是圆,是轴对称图形,又是中心对称图形,故正确. 所以主视图既是中心对称图形又是轴对称图形的几何图形有.故选C. 解题关键解题关键 本题主要考查了三视图、轴对称图形、中心对称图形的概念.正确理解中心对称图形与轴 对称图形的概念是关键. 2.(2020湖南长沙教
46、科院模拟,5)如图,在平面直角坐标系中,RtABC的三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4, 3),C(4,1),如果将RtABC绕点C按顺时针方向旋转90得到RtABC,那么点A的对应点A的坐标是 ( ) A.(3,3) B.(3,4) C.(4,3) D.(4,4) 答案答案 D 旋转后的RtABC如图所示,点A的对应点A的坐标是(4,4).故选D. 解题关键解题关键 本题考查旋转变换,解题的关键是理解题意,正确画出图形,属于中考常考题型. 二、填空题（每小题3分，共9分） 3.(2019湖南永州双牌模拟,14)在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-1,),以原点O为中心,将点A顺时针 旋
47、转150,得到A,则点A的坐标为 . 3 答案答案 (,-1) 3 解析解析 由题意得OA与y轴的正半轴的夹角为30,且OA=2.顺时针旋转150后,得到A,即OA与x轴的正半 轴的夹角为30,且OA在x轴的下方,所以点A的坐标为(,-1). 3 4.(2019湖南株洲模拟,18)在如图所示的ABCD中,AB=2,AD=3,将ACD沿对角线AC折叠,点D落在 ABC所在平面内的点E处,且AE过BC的中点O,则ADE的周长等于 . 答案答案 10 解析解析 四边形ABCD是平行四边形, ADBC,ABCD,CD=AB=2. 由折叠的性质可得DAC=EAC,AD=AE=3,CD=CE. 由ADBC得DAC=ACB. ACB=EAC. OA=OC. AE过BC的中点O, AO=OC=BC. BAC=90. 由ABCD可得ECA=BAC=90. 由折叠的性质可得ACD=ACE=90. E、C、D三点共线. CD=CE=2.ADE的周长为AE+AD+CD+CE=10. 1 2 解后反思解后反思 本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质.解题时注意不能忽略E、C、D三点共线. 5.(2020湖南邵阳模拟,18)如图,在RtABC中,C=90,B
