1、 中考数学 （河北专用） 8.4 函数实际应用问题 一、一次函数的实际应用一、一次函数的实际应用 1.(2020宁夏,25,10分)在综合与实践活动中,活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号(为正整数)与脚长(毫 米)的对应关系如表1: 鞋号(正整 数) 22 23 24 25 26 27 脚长(毫 米) 1602 1652 1702 1752 1802 1852 表1 为了方便对问题的研究,活动小组将表1中的数据进行了编号,并对脚长的数据bn定义为bn,如表2: 序号n 1 2 3 4 5 6 鞋号an 22 23 24 25 26 27 脚长bn 1602 1652 1702 1752 1802
2、 1852 脚长bn 160 165 170 175 180 185 表2 定义:对于任意正整数m、n,其中m2.若bn=m,则m-2bnm+2. 如:b4=175表示175-2b4175+2,即173b4177. (1)通过观察表2,猜想出an与序号n之间的关系式,bn与序号n之间的关系式; (2)用含an的代数式表示bn,计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围; (3)若脚长为271毫米,那么应购鞋的鞋号为多大? 解析解析 (1)an=21+n.(1分) bn=160+5(n-1)=5n+155.(3分) (2)由an=21+n与bn=5n+155解得bn=5an+50.(5分) 把an=42代
3、入an=21+n,得n=21,所以b21=542+50=260. 则260-2b21260+2,即258b21262. 答:鞋号为42的鞋适合的脚长范围为258262毫米.(7分) (3)根据bn=5n+155可知bn能被5整除, 由此得出270-2271270+2. 所以bn=270.(9分) 把bn=270代入bn=5an+50中,得270=5an+50,所以an=44. 故应购买44号的鞋.(10分) 2.A、B两城相距900千米,一辆客车从A城开往B城,车速为每小时80千米,同时一辆出租车从B城开往A城, 车速为每小时100千米,设客车出发时间为t(小时). 探究 若客车、出租车距A城
4、的距离分别为y1千米、y2千米,写出y1、y2关于t的函数关系式及自变量的取值范 围,并计算当y1=240时y2的值. 发现 (1)设C城在A城与B城之间,且AC=AB,通过计算说明:哪个车先到达C城?该车到达C城后再经过多少小 时,另一个车会到达C城? (2)若两车相距100千米,求时间t. 决策 已知客车和出租车正好在A,B之间的服务站D处相遇,此时出租车乘客小王突然接到开会通知,需要立即 返回,此时小王有两种选择返回B城的方案: 方案一:继续乘坐出租车到C城,加油后立刻返回B城,出租车加油时间忽略不计; 方案二:在D处换乘客车返回B城. 1 3 试通过计算,分析小王选择哪种方式能更快到达
5、B城. 解析解析 探究:由已知得y1=80t,y2=900-100t(0t9), 当y1=240时,即80t=240,t=3, y2=900-1003=600. 发现:(1)AC=AB=900=300 km, 客车:80t1=300,解得t1=3.75; 出租车:900-100t2=300, 解得t2=6, 63.75,6-3.75=2.25, 客车先到达C城,再过2.25小时出租车到达C城. (2)两车相距100千米,分两种情况: y2-y1=100,即900-100t-80t=100,解得t=; 45 0 4 t 1 3 1 3 40 9 y1-y2=100,即80t-(900-100t)
6、=100,解得t=. 综上可知:两车相距100千米时,时间t为或小时. 决策:两车相遇,即80t+100t=900,解得t=5, 此时AD=805=400(千米),BD=900-400=500(千米). 方案一:t1=(2CD+BD)100=7(小时); 方案二:t2=BD80=6.25(小时). t1t2,方案二更快. 50 9 40 9 50 9 思路分析思路分析 探究:根据路程=速度时间,即可得出y1、y2关于t的函数关系式,根据关系式算出y1=200时的 时间t,将t代入y2的解析式中即可得出结论. 发现:(1)根据探究中得出的函数关系式,令y=300即可分别算出时间t1 和t2,二者
7、作差得解; (2)两车相距100千米,分两种情况考虑,解关于t的一元一次方程即可. 决策:先算出到达点D的时间,据此求出AD,BD的长,然后求出两种方案各需的时间,两者进行比较即可得 出结论. 二、反比例函数的实际应用二、反比例函数的实际应用 1.(2017浙江杭州,20,10分)在面积都相等的所有矩形中,当其中一个矩形的一边长为1时,与该边相邻的边 长为3. (1)设矩形的相邻两边长分别为x,y. 求y关于x的函数表达式; 当y3时,求x的取值范围; (2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6,方方说有一个矩形的周长为10.你认为圆圆和方方的说法对吗?为 什么? 解析解析 (1)由题意知xy=3,
8、所以y=, 即y关于x的函数表达式为y=(x0). 当y=3时,x=1, 由函数图象可知当y3时,x的取值范围是0x1. (2)圆圆的说法不对,方方的说法对,理由如下: 设矩形的周长为l,相邻两边长分别为x,l-x, 则x=3,即2x2-lx+6=0, 则=l2-48, 当l=6时,=-120, 此时,矩形的相邻两边长分别为,. 所以存在面积为3,周长为10的矩形, 所以方方的说法对. 513 2 5- 13 2 2.教室内的饮水机接通电源进入自动程序,开机加热时每分钟上升10 ,加热到100 ,停止加热,水温开 始下降,此时水温y()与开机后用时x(分钟)成反比例关系.直至水温降至30 ,饮
9、水机关机.饮水机关机 后即刻自动开机,重复上述自动程序.水温为30 时,接通电源后,水温y()和时间x(分钟)的关系如图. (1)a= ; (2)直接写出图中y关于x的函数关系式; (3)饮水机有多少时间能使水温保持在70 及以上? (4)若饮水机早上已加满水,开机温度是20 ,为了使8:40下课时水温达到70 ,并节约能源,直接写出当 它上午什么时间接通电源比较合适. 解析解析 (1)由题意可得a=(100-30)10=7010=7. (2)y= 详解:当0 x7时,设y关于x的函数关系式为y=kx+b(k0),则解得 即当0 x7时,y关于x的函数关系式为y=10 x+30, 当x7时,设
10、y=(a0),则有100=,解得a=700, 即当x7时,y关于x的函数关系式为y=, 当y=30时,x=, y 与x 的函数关系式为y= 1030(07), 70070 7. 3 xx x x 30, 7100, b kb 10, 30, k b a x 7 a 700 x 70 3 1030(07), 70070 7. 3 xx x x (3)将y=70代入y=10 x+30,得x=4,将y=70代入y=,得x=10, 10-4=6,饮水机有6分钟能使水温保持在70 及以上. (4)由题意可得,6+(70-20)10=11(分钟),40-11=29, 即8:29接通电源比较合适. 700
11、x 三、二次函数的实际应用三、二次函数的实际应用 1.(2019廊坊安次一模,26)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营,了解到一种新型商品成 本为20元/件,第x天销售量为p件,销售单价为q元/件.经跟踪调查发现,这40天中p与x的关系保持不变,前20 天(包含第20天)q与x的关系满足关系式q=30+ax,从第21天到第40天中,q是基础价与浮动价的和,其中基 础价保持不变,浮动价与x成反比,且得到了表中的数据. x(天) 10 21 35 q(元/件) 35 45 35 (1)请直接写出a的值为 ; (2)从第21天到第40天中,求q与x满足的关系式; (3)若该网店第x天获
12、得的利润为y元,并且已知这40天里,前20天中y与x的函数关系式为y=-x2+15x+500. (i)请直接写出这40天中p与x的关系式; (ii)这40天里该网店第几天获得的利润最大? 1 2 解析解析 (1)0.5. (2)根据题意设从第21天到第40天中,q与x满足的关系式为q=b+, 把(21,45)和(35,35)代入得 解得q=20+(21x40). (3)(i)p=50-x. 提示:由题意得y=-x2+15x+500=p(q-20)=p(30+0.5x-20),即x2-30 x-1 000=p(-x-20), 即(x-50)(x+20)=p(-x-20), 即p=50-x. (i
13、i)当1x20时,y=-x2+15x+500=-(x-15)2+612.5,当x=15时,y有最大值,最大值是612.5; k x 45, 21 35, 35 k b k b 525, 20, k b 525 x 1 2 1 2 1 2 当21x40时,y=p(q-20)=(50-x)=-525, 当21x40时,y随x的增大而减小, 当x=21时,y有最大值,最大值是725. 725612.5,这40天里该网店第21天获得的利润最大. 525 20-20 x 26 250 x 2.(2018石家庄模拟,26)如图1,地面BD上两根等长立柱AB、CD之间悬挂一根近似成抛物线y=x2-x+3 的
14、绳子. (1)求绳子最低点离地面的距离; (2)因实际需要,在离AB 3米的位置用一根立柱MN撑起绳子(如图2),使左边抛物线F1的最低点距MN为1 米,离地面1.8米,求MN的长; (3)将立柱MN的长度提升为3米,通过调整MN的位置,使抛物线F2对应函数的二次项系数始终为.设MN 离AB的距离为m,抛物线F2的顶点离地面距离为k,当2k2.5时,求m的取值范围. 1 10 4 5 1 4 解析解析 (1)0,抛物线的顶点为最低点, y=x2-x+3=(x-4)2+, 绳子最低点离地面的距离为米. (2)由(1)可知,BD=8,令x=0,得y=3, A(0,3),C(8,3). 由题意得,抛
15、物线F1的顶点坐标为(2,1.8). 设F1的解析式为y=a(x-2)2+1.8(a0), 将(0,3)代入,得4a+1.8=3,解得a=0.3, 抛物线F1的解析式为y=0.3(x-2)2+1.8. 当x=3时,y=0.31+1.8=2.1,MN的长度为2.1米. (3)MN=CD=3,根据抛物线的对称性可知抛物线F2的顶点在ND的垂直平分线上, 1 10 1 10 4 5 1 10 7 5 7 5 抛物线F2的顶点坐标为, 抛物线F2的解析式为y=+k. 把(8,3)代入,得+k=3, k=-+3, k=-(m-8)2+3, k是关于m的二次函数. 又m8,k随m的增大而增大. 当k=2时
16、,-(m-8)2+3=2, 解得m1=4,m2=12(不符合题意,舍去). 1 4, 2 mk 1 4 2 1 -4 2 xm 1 4 2 1 4- 2 m 1 4 2 1 4- 2 m 1 16 1 16 当k=2.5时,-(m-8)2+3=2.5, 解得m1=8-2,m2=8+2(不符合题意,舍去). m的取值范围是4m8-2. 1 16 22 2 一、一次函数的实际应用一、一次函数的实际应用 教师专用题组 1.(2020浙江温州,23,12分)某经销商3月份用18 000元购进一批T恤衫售完后,4月份用39 000元购进一批 相同的T恤衫,数量是3月份的2倍,但每件进价涨了10元. (1
17、)4月份进了这批T恤衫多少件? (2)4月份,经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售,每件标价180元.甲店按标价卖出a件以后, 剩余的按标价八折全部售出;乙店同样按标价卖出a件,然后将b件按标价九折售出,再将剩余的按标价七 折全部售出,结果利润与甲店相同. 用含a的代数式表示b; 已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量,请你求出乙店利润的最大值. 解析解析 (1)设3月份进了x件T恤衫,则4月份进了2x件T恤衫,根据题意,得-=10,解得x=150. 经检验,x=150是所列方程的根,且符合题意. 2x=300. 答:4月份进了300件T恤衫. (2)按标价出售每件利润为180-
18、130=50元, 按标价九折出售每件利润为1800.9-130=32元, 按标价八折出售每件利润为1800.8-130=14元, 按标价七折出售每件利润为1800.7-130=-4元. 由题意得50a+14(150-a)=50a+32b-4(150-a-b), a,b的关系式为a+2b=150,b=. 由题意得ba, a,解得a50. 39 000 2x 18 000 x 150- 2 a 150- 2 a 乙店利润与甲店相同, 乙店利润为50a+14(150-a)=2 100+36a. a50,最大利润为3 900元. 答:乙店利润的最大值为3 900元. 思路分析思路分析 (1)此题的等量
19、关系为4月份用39 000元购进的T恤衫的单价-3月份用18 000元购进的T恤衫 的单价=10元,设未知数,列出一个分式方程求解即可. (2)分别求出按标价出售每件的利润及按标价九折、八折、七折出售每件的利润,根据题意建立关 于a,b的方程,解方程得到a,b的关系式. 由题意可得ba,由此建立关于a的不等式,解不等式求出a的取值范围,再根据乙店利润与甲店相同,可 得乙店的利润,利用一次函数的性质可求出最大利润. 2.(2019云南,22,9分)某驻村扶贫小组实施产业扶贫,帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本 为6元/千克,规定销售单价不低于成本,又不高于成本的两倍.经过市场调查发现
20、,某天西瓜的销售量y(千 克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如图所示: (1)求y与x的函数解析式(也称关系式); (2)求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值. 解析解析 (1)当6x10时,由题意设y=kx+b(k0),它的图象经过点(6,1 000)与点(10,200), 解得即y=-200 x+2 200. 当10x12时,y=200. 故y与x的函数解析式为y= 温馨提示:y与x的函数解析式写为y=与y=都是正确的. (2)当6x10时,y=-200 x+2 200, W=(x-6)y=(x-6)(-200 x+2 200)=-200+1 250.-2000,6x10, 当x=时,
21、W最大,且W的最大值为1 250. 当100, 1 0006, 20010, kb kb -200, 2 200. k b -2002 200,610, 200,1012. xx x -2002 200,610, 200,1012 xx x -2002 200,610, 200,1012 xx x 2 17 - 2 x 17 2 W=200 x-1 200随着x的增大而增大. 又101 200, W的最大值为1 250. 答:这一天销售西瓜获得的利润W的最大值为1 250元. 3.(2018张家口宣化模拟,23)小张前往某精密仪器厂应聘,公司承诺工资待遇如下.进厂后小张发现:加工1 件A型零件
22、和3件B型零件需5小时;加工2件A型零件和5件B型零件需9小时. 工资待遇 每月工资至少3 000元,每天工作8小时,每月工作25天,加工1件A型零件计酬16元,加工1件B型零件计酬12 元,月工资=底薪(800元)+计件工资. (1)小张加工1件A型零件和1件B型零件各需要多少小时? (2)若公司规定:小张每月须加工A,B两种型号的零件,且加工B型零件的数量不大于A型零件数量的2倍, 设小张每月加工A型零件a件,工资总额为W元,请你运用所学知识判断该公司颁布执行此规定后是否违 背了工资待遇承诺. 解析解析 (1)设小张加工1件A型零件需要x小时,加工1件B型零件需要y小时, 根据题意得解得
23、答:小张加工1件A型零件需要2小时,加工1件B型零件需要1小时. (2)由题意可得,小张每月加工A型零件2a小时, 则还可以加工B型零件(825-2a)小时, 即每月加工B型零件(825-2a)件, 根据题意得W=16a+12(825-2a)+800=-8a+3 200, -80,W随a的增大而减小,825-2a2a,a50, 当a=50时,W取最大值,最大值为-850+3 200=2 800元, 2 8000且x0时,因为0,所以x-2+0,从而x+2(当x=时取等号). 设函数y=x+(a0,x0),由上述结论可知,当x=时,该函数有最小值,最小值为2. 应用举例 已知函数y1=x(x0)
24、与函数y2=(x0),则当x=2时,y1+y2=x+有最小值,最小值为2=4. 解决问题 (1)已知函数y1=x+3(x-3)与函数y2=(x+3)2+9(x-3),当x取何值时,有最小值?最小值是多少? (2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分:一是设备的安装调试费用,共490元;二是设备的租赁使用 费用,每天200元;三是设备的折旧费用,它与使用天数的平方成正比,比例系数为0.001.若设该设备的租 赁使用天数为x天,则当x取何值时,该设备平均每天的租赁使用成本最低?最低是多少元? 2 - a x x a a x a x aa a x aa 4 x 4 4 x 4 2 1 y y 解析解
25、析 (1)x-3,x+30, =(x+3)+2,即6. 令x+3=,解得x=0或-6(舍去), 当x=0时,有最小值,最小值是6. (2)设该设备平均每天的租赁使用成本为w元. 根据题意,得w=+0.001x+200, w=0.001+200. x0,w0.0012+200,即w201.4. 2 1 y y 2 (3)9 3 x x 9 3x 9 (3) 3 x x 2 1 y y 9 3x 2 1 y y 2 4902000.001xx x 490 x 490 000 x x 490 000 x x 令=x,得x=700或-700(舍去), 当x=700时,w有最小值,w的最小值为201.4
26、元. 490 000 x 三、二次函数的实际应用三、二次函数的实际应用 1.(2019秦皇岛海港一模改编)某批发部某一玩具价格如图所示,现有甲、乙两个商店,计划在“六一”儿 童节前到该批发部购买此类玩具,两商店所需玩具总数为120个,乙商店所需数量不超过50个,设甲商店 购买x个,如果甲、乙两商店分别购买玩具,两商店需付款总和为y元. (1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)若甲商店购买不超过100个,请说明甲、乙两商店联合购买比分别购买最多可节约多少钱; (3)“六一”儿童节之后,该批发部对此玩具价格作了如下调整:数量不超过100个时,价格不变,数量超过 100个时,
27、每个玩具降价a元,在(2)的条件下,若甲、乙两商店“六一”儿童节之后去批发玩具,最多可节 约2 800元,求a的值. 解析解析 (1)由题图可知,当50 x100时,设玩具的单价为m元,单价与数量的关系式为m=kx+b(k0), 由题意得解得 m=-x+100. 乙商店所需数量不超过50个,120-x50,x70,70 x120. 当70 x100时,y=x+80(120-x)=-x2+20 x+9 600. 当100x120时,y=60 x+80(120-x)=9 600-20 x. (2)y=-x2+20 x+9 600=-(x-25)2+9 850(70 x100), 当x=70时,y取
28、得最大值,最大值为9 040, 最多可节约9 040-12060=1 840元. 答:甲、乙两商店联合购买比分别购买最多可节约1 840元. 8050, 60100, kb kb 2 -, 5 100, k b 2 5 2 -100 5 x 2 5 2 5 2 5 (3)由题意得9 040-120(60-a)=2 800,解得a=8. 答:a的值为8. 思路分析思路分析 (1)根据题意:乙商店所需数量不超过50个,可得120-x50,求出x的取值范围,根据题图求出单 价与数量的关系式,注意这里是分段函数,付款总和y=甲商店的费用+乙商店费用=甲的单价甲的数量+ 乙的单价乙的数量. (2)找出y
29、关于x的函数关系式,当70 x100时,求出y的最大值,再减去甲、乙两商店联合购买的费用60 120可得结果. (3)根据题意可列一元一次方程9 040-120(60-a)=2 800,求得a的值. 方法规律方法规律 用二次函数解决实际最值问题的一般步骤:(1)设出实际问题中的变量;(2)根据题意列等式求 出函数关系式;(3)确定自变量取值范围;(4)利用二次函数的性质求出最值,对所得最值进行检验,是否符 合实际意义. 2.(2018唐山路南一模,26)某种植基地种植一种蔬菜,它的成本是每千克2元,售价是每千克3元,年销量为 10(万千克).基地准备拿出一定的资金作绿色开发,若每年绿色开发投入
30、的资金为x(万元),该种蔬菜的年 销量将是原年销量的n倍,x与n的关系如下表: x(万元) 0 1 2 3 4 5 n 1 1.5 1.8 1.9 1.8 1.5 (1)猜想n与x之间的函数类型是什么函数?求出该函数的表达式并验证; (2)求年利润W1(万元)与绿色开发投入的资金x(万元)之间的函数关系式(注:年利润W1=销售总额-成本费- 绿色开发投入的资金);当绿色开发投入的资金不低于3万元,又不超过5万元时,求此时年利润W1(万元)的 最大值; (3)若提高种植人员的奖金,发现又增加一部分年销量,经调查发现:再次增加的年销量y(万千克)与每年 提高种植人员的奖金z(万元)之间满足y=-z
31、2+4z,若基地将投入5万元用于绿色开发和提高种植人员的奖 金,应怎样分配这笔资金才能使总年利润达到17万元且绿色开发投入大于奖金投入?(1.4) 2 解析解析 (1)二次. 设n与x的函数关系式为n=ax2+bx+c(a0). 由题意得 解得 把其余各点代入,也符合所求的式子,n与x的函数关系式为n=-0.1x2+0.6x+1. (2)W1=(3-2)10n-x=-x2+5x+10. 抛物线的对称轴为x=, 抛物线开口向下,当3x5时,W随x的增大而减小, 当x=3时,W1最大,为16万元. (3)设用于绿色开发的资金为m万元,则用于提高奖金的资金为(5-m)万元, 1, 1.5, 421.8, c abc abc -0.1, 0.6, 1. a b c 5 2 提高奖金增加的年利润为(3-2)y-(5-m)=-(5-m)2+4(5-m)-(5-m)=-m2+7m-10, 所以总利润W=(-m2+5m+10)+(-m2+7m-10)=-2m2+12m, 因为要使年利润达到17万,所以-2m2+12m=17, 整理得2m2-12m+17=0, 解得m=3.7或m=2.3. 又绿色开发投入要大于奖金,m=3.7,5-m=1.3, 所以用于绿色开发的资金为3.7万元,奖金为1.3万元. 62 2 6- 2 2
