1、 中考数学 （广东专用） 8.6 代数几何综合题型(一) 1.(2020内蒙古包头,26,12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x经过坐标原点,与x轴正半轴交于 点A,该抛物线的顶点为M,直线y=-x+b经过点A,与y轴交于点B,连接OM. (1)求b的值及点M的坐标; (2)将直线AB向下平移,得到过点M的直线y=mx+n,且与x轴负半轴交于点C,取点D(2,0),连接DM,求证: ADM-ACM=45; (3)点E是线段AB上一动点,点F是线段OA上一动点,连接EF,线段EF的延长线与线段OM交于点G.当 BEF=2BAO时,是否存在点E,使得3GF=4EF?若存在,求出点E
2、的坐标;若不存在,请说明理由. 1 3 1 2 备用图 解析解析 (1)当y=0时,x2-2x=0,解得x1=0,x2=6, A(6,0). 直线y=-x+b经过点A,b=3. y=x2-2x=(x-3)2-3,M(3,-3).(3分) (2)证明:根据题意得m=-. 直线y=-x+n过点M(3,-3), n=-,y=-x-. 当y=0时,-x-=0,解得x=-3,C(-3,0). 过点M作MNx轴于点N,N(3,0), 1 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 ON=MN=3,MON=45. D(2,0),OD=2,DN=1. 在RtMND中,M
3、D=. C(-3,0),CD=5. =,=,=. MDC=ODM,DCMDMO,DMC=DOM=45. ADM=ACM+DMC,ADM-ACM=45.(7分) 22 MNDN10 DM DO 10 2 DC DM 10 2 DM DO DC DM (3)假设存在点E,使得3GF=4EF,即=. BEF=2BAO,BAO=EFA,AE=EF. 过点E作EHx轴于点H,AH=HF. 过点G作GKx轴于点K.设E, EH=-a+3,OH=a,AH=HF=6-a. 在RtGKF和RtEHF中, GF EF 4 3 1 ,3 2 aa 1 2 sinKFG=sinHFE, =,=, KG=-a+4. M
4、OA=45,OK=KG,OK=-a+4, KF=OH-OK-HF=a-10. GKx轴,EHx轴, GKEH,=, a=,-a+3=, E,存在点E,使得3GF=4EF.(12分) KG GF HE EF KG HE GF EF 4 3 4 3 1 3 2 a 2 3 2 3 8 3 KF HF GF EF 4 3 9 2 1 2 3 4 9 3 , 2 4 9 3 , 2 4 思路分析思路分析 (1)根据抛物线与x轴正半轴交于点A,求出A(6,0),代入一次函数解析式即可求出b;将抛物线 解析式转化成顶点式,即可得到M点坐标. (2)易知平移后的直线的解析式为y=-x+n,把点M的坐标代入求
5、出n,过点M作MNx轴于N,则DCM DMO,推出DMC=45,利用ADM=ACM+DMC可得结论. (3)过点G作GKx轴于K,过点E作EHx轴于H.证明EFA=BAO,得AE=EF.设E,用a表示 出EH、OH、HF的长,利用sinKFG=sinHFE求得KG的长.由MOA=45得OK=KG,从而求得KF的 长.由GKEH推出=,求得a的值即可解决问题. 1 2 1 ,3 2 aa KF HF GF EF 4 3 2.(2020云南,23,12分)抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点C的坐 标为(0,-3).点P为抛物线y=x2+bx+
6、c上的一个动点.过点P作PDx轴于点D,交直线BC于点E. (1)求b、c的值; (2)设点F在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上,当ACF的周长最小时,直接写出点F的坐标; (3)在第一象限,是否存在点P,使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍?若存在,求出点P所有 的坐标;若不存在,请说明理由. 解析解析 (1)将A(-1,0),C(0,-3)分别代入y=x2+bx+c, 得(1分) 解得 b=-2,c=-3.(3分) (2)点F的坐标为(1,-2).(7分) 提示:设抛物线的对称轴与x轴交于点G,因为AC的长为定值,所以当AF+CF的长最小时,ACF的周长最 小,由(1)易得
7、G(1,0),B(3,0),点A关于直线FG的对称点为点B,当点B、C、F在一条直线上时,AF+CF的长 最小.OCGF,BGFBOC,=,GF=2,F(1,-2). (3)存在满足要求的点P,且点P的坐标为(5,12). 由(1)知b=-2,c=-3, y=x2-2x-3. 令y=0,得0=x2-2x-3, 10, 3, bc c 2, 3. b c GF OC BG BO 解得x1=-1,x2=3, A(-1,0),B(3,0). 设直线BC的解析式为y=kx+m(k0), 把B(3,0),C(0,-3)代入y=kx+m, 得解得 直线BC的解析式为y=x-3. 设P(n,n2-2n-3)
8、,根据题意得n3,E(n,n-3),D(n,0),PE=n2-3n,DE=n-3.(9分) 03, 30, km km 1, 3. k m 点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍, 以BE为底的BEP的面积是以BE为底的BED面积的5倍, 即SBEP=5SBED. SBEP=PE BD,SBED=DE BD, PE BD=5DE BD, PE=5DE.(11分) n2-3n=5(n-3), 即(n-3)(n-5)=0, 解得n=3或n=5. n3,n=5,y=52-25-3=12, 点P的坐标为(5,12).(12分) 1 2 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 (1)用待定系
9、数法可求出b、c的值;(2)运用轴对称及三角形相似可求得点F的坐标;(3)求出直 线BC的解析式,设出点P,点E的坐标,再分别表示线段PE,DE的长,将题中的距离关系转化为三角形的面 积关系,可得SBEP=5SBED,进而得出PE=5DE,解方程求出点P的坐标. 3.(2019甘肃兰州,28,12分)二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于A(-1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,动点M从 点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MNx轴交直线BC于点N,交抛物线于点D, 连接AC.设运动的时间为t秒. (1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式; (2)连接BD,
10、当t=时,求DNB的面积; (3)在直线MN上存在一点P,当PBC是以BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标; (4)当t=时,在直线MN上存在一点Q,使得AQC+OAC=90,求点Q的坐标. 3 2 5 4 解析解析 (1)将A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+2中, 得解得 二次函数的表达式为y=-x2+x+2. (2)t=,AM=3, 又OA=1,OM=2. 设直线BC的解析式为y=kx+n(k0),将C,B点的坐标代入,得 解得 20, 16420, ab ab 1 , 2 3 , 2 a b 1 2 3 2 3 2 2, 40, n kn 1 , 2 2. k
11、 n 直线BC的解析式为y=-x+2. 将x=2分别代入y=-x2+x+2和y=-x+2中,得D(2,3),N(2,1),DN=2. SDNB=22=2. 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 (3)由题意得BM=5-2t,M(2t-1,0), 设P(2t-1,m), 则PC2=(2t-1)2+(m-2)2,PB2=(2t-5)2+m2, 又PB=PC, (2t-5)2+m2=(2t-1)2+(m-2)2, m=4t-5, P(2t-1,4t-5), 又PCPB,PC=PB,BC2=22+42=20, PC2=(2t-1)2+(4t-7)2=10, t=1或t=2. M(1,0)或M(3,0
12、), D(1,3)或D(3,2). (4)当t=时,AM=2=, 5 4 5 4 5 2 M. 由(1)知抛物线的对称轴方程是x=,如图所示.在RtOAC中,AC=,在RtOBC中,BC= =,又AB=5,AC2+BC2=AB2,ACB=90,又AOC=90,ACO=ABC.要使AQC+ OAC=90,只需AQC=ABC,则点Q在以AB为直径的圆上,且在直线MN上,又点M为圆心,MQ=, Q 或Q . 3 ,0 2 3 2 22 125 22 4220 5 2 3 5 , 2 2 35 , 22 思路分析思路分析 (1)将A、B两点坐标代入解析式,由待定系数法求出; (2)先求出t=时M点的横
13、坐标,然后由待定系数法求直线BC的解析式,再由代入法求出点D、N的坐标, 最后求出面积; (3)由已知条件求出M点的坐标,设出P点坐标,表示出PC2,PB2,进而由PB=PC,PBPC求解; (4)先求出t=时M点的坐标,可判断出点M恰好为AB的中点,再通过计算AC、BC的长可判断出ACB= 90,再由互余性质可推出ACO=ABC,要使AQC+OAC=90,只需AQC=ABC,由同弧或等弧所 对的圆周角相等可判定点Q在以AB为直径的圆上,最后求出Q点坐标. 3 2 5 4 4.(2019四川成都,28,12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,5),与x轴相交于B(-1,0),C
14、(3,0)两点. (1)求抛物线的函数表达式; (2)点D在抛物线的对称轴上,且位于x轴的上方,将BCD沿直线BD翻折得到BCD,若点C恰好落在抛 物线的对称轴上,求点C和点D的坐标; (3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点,点Q在抛物线的对称轴上,当CPQ为等边三角形时,求直线 BP的函数表达式. 解析解析 (1)由题意,得 解得 抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3. (2)抛物线与x轴的交点为B(-1,0),C(3,0), BC=4,抛物线的对称轴为直线x=1. 设抛物线的对称轴与x轴交于点H,则H点的坐标为(1,0),BH=2. 由翻折得CB=CB=4. 在RtBHC中,由勾股定理
15、,得CH=2, 点C的坐标为(1,2),tanCBH=, 425, 0, 930 abc abc abc 1, 2, 3. a b c 22 C BBH 22 423 3 C H BH 2 3 2 3 CBH=60, 由翻折得DBH=CBH=30. 在RtBHD中,DH=BH tanDBH=2tan 30=, 点D的坐标为. (3)连接CC. BC=BC,CBC=60, CCB为等边三角形. 分类讨论如下: 当点P在x轴上方时,点Q在x轴上方. 连接BQ,CP. 1 2 2 3 3 2 3 1, 3 PCQ,CCB为等边三角形, CQ=CP,BC=CC,PCQ=CCB=60, BCQ=CCP,
16、 BCQCCP, BQ=CP. 点Q在抛物线的对称轴上,BQ=CQ, CP=CQ=CP. 又BC=BC, BP垂直平分CC. 由翻折可知BD垂直平分CC, 点D在直线BP上. 设直线BP的函数表达式为y=kx+m, 则解得 直线BP的函数表达式为y=x+. 当点P在x轴下方时,点Q在x轴下方. 0, 2 3 , 3 km km 3 , 3 3 . 3 k m 3 3 3 3 QCP,CCB为等边三角形, CP=CQ,BC=CC,CCB=QCP=CCB=60, BCP=CCQ, BCPCCQ, CBP=CCQ. BC=CC,CHBC, CCQ=CCB=30, CBP=30. 设BP与y轴相交于点
17、E. 在RtBOE中,OE=OB tanCBP=OB tan 30=1=, 点E的坐标为. 设直线BP的函数表达式为y=kx+m, 则解得 1 2 3 3 3 3 3 0, 3 0, 3 , 3 km m 3 , 3 3 . 3 k m 直线BP的函数表达式为y=-x-. 综上所述,直线BP的函数表达式为y=x+或y=-x-. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 思路分析思路分析 (1)把A,B,C的坐标代入y=ax2+bx+c中可以求得函数表达式.(2)由翻折得BC=BC=4,CBD= CBD.由勾股定理和解直角三角形可求得点C,D的坐标.(3)分情况讨论:当P,Q均在x轴上方时
18、,依据条 件证得BCQCCP,再根据对称性得点D在直线BP上,用待定系数法求出直线BP的表达式;当P,Q 均在x轴下方时,设BP与y轴交于点E,先证得BCPCCQ,进而可求得CBP=30以及点E的坐标,再 求出直线BP的表达式. 5.(2018湖北武汉,24,12分)抛物线L:y=-x2+bx+c经过点A(0,1),与它的对称轴直线x=1交于点B. (1)直接写出抛物线L的解析式; (2)如图1,过定点的直线y=kx-k+4(k0)个单位长度得到抛物线L1,抛物线L1与y轴交于点C,过点C作y轴的垂 线交抛物线L1于另一点D.F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点,P为线段OC上一点.若PCD与P
19、OF相 似,并且符合条件的点P恰有2个,求m的值及相应点P的坐标. 解析解析 (1)y=-x2+2x+1.详解:由题意知解得b=2,c=1,抛物线L的解析式为y=-x2+2x+1 (2)解法一:易知直线y=kx-k+4经过定点G(1,4), B点坐标为(1,2), BG=2. SBMN=1,SBMN=SGBN-SGBM=BG (xN-xM)=xN-xM, xN-xM=1. 由得x2+(k-2)x-k+3=0, xN=,xM=. xN-xM=1,k=3, 又k0,k=-3. 1, 2( 1) 1, b c 1 2 2 4, 21 ykxk yxx 2 28 2 kk 2 28 2 kk 2 8k
20、 解法二:过点B作BRMN,交x轴于点R,连接MR,NR. 设MN交x轴于点Q,则Q. 直线BR的解析式为y=kx-k+2,则R的坐标为. SBMN=SRMN=RQ (yM-yN)=1. k(xM-xN)=1,即xN-xM=1.(以下同解法一) (3)依题意得,抛物线L1的解析式为y=-x2+2x+1+m, 4 ,0 k k 2 ,0 k k 1 2 1 2 42kk kk C(0,1+m),D(2,1+m),F(1,0). 设P(0,t), 当PCDFOP时,=, =,t2-(1+m)t+2=0; 当PCDPOF时,=, =,t=(m+1). (i)当方程有两个相等的实数根时, =(1+m)
21、2-8=0,解得m=2-1(舍负), 方程有两个相等的实数根t1=t2=, 此时,方程有一个实数根t=. PC CD FO OP 1 2 mt1 t PC CD PO OF 1 2 mt 1 t1 3 2 2 2 2 3 当m=2-1时,点P的坐标是(0,)或. (ii)当方程有两个不相等的实数根时, 把代入得,(m+1)2-(m+1)2+2=0, 解得m=2(舍负), 此时,方程有两个不相等的实数根t1=1,t2=2, 方程有一个实数根t=1. 当m=2时,点P的坐标是(0,1)或(0,2). 综上,当m=2-1时,点P的坐标是(0,)或;当m=2时,点P的坐标是(0,1)或(0,2). 2 2 2 2 0, 3 1 9 1 3 22 2 2 0, 3
