1、 中考数学 （河北专用） 8.7 实践与探究 一、探究与拓展一、探究与拓展 1.(2019吉林长春,22,9分)教材呈现:如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容. 例2 如图23.4.4,在ABC中,D、E分别是边BC、AB的中点,AD、CE相交于点G.求证:=. 图23.4.4 证明:连接ED. 请根据教材提示,结合图,写出完整的证明过程. 结论应用: 在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC的中点,AE、BD交于点F. (1)如图,若平行四边形ABCD为正方形,且AB=6,则OF的长为 ; GE CE GD AD 1 3 (2)如图,连接DE交AC于点G,若四
2、边形OFEG的面积为,则平行四边形ABCD的面积为 . 1 2 解析解析 证明:D、E分别是BC、AB的中点, DEAC,DE=AC, DEGACG, =2, =3, =. (1). 详解:易证BEFDAF,相似比为12, 易得BF=BD,又BO=BD, OF=BD-BD=BD. 1 2 CG GE AG GD AC DE CGGE GE AGGD GD GE CE GD AD 1 3 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 6 易求BD=6,OF=. (2)6. 详解:连接OE, 由(1)知BF=BD,OF=BD,=2, BEF的边BF上的高和OEF的边OF上的高相同, BEF和OEF的面积
3、比=2, 同理,CEG和OEG的面积比为2. CEG的面积+BEF的面积=2(OEG的面积+OEF的面积)=2=1, BOC的面积=, SABCD=4=6. 22 1 3 1 6 BF OF BF OF 1 2 3 2 3 2 2.(2017河南,22,10分)如图1,在RtABC中,A=90,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点 M,P,N分别为DE,DC,BC的中点. (1)观察猜想 图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)探究证明 把ADE绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断PMN的形状,并说明理由; (3)拓展
4、延伸 把ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出PMN面积的最大值. 解析解析 (1)PM=PN;PMPN.(2分) (2)等腰直角三角形.(3分) 理由如下: 由旋转可得BAD=CAE.又AB=AC,AD=AE, BADCAE.BD=CE,ABD=ACE.(5分) 点P,M分别是DC,DE的中点,PM是DCE的中位线. PM=CE且PMCE. 同理可证PN=BD且PNBD. PM=PN,MPD=ECD,PNC=DBC.(6分) MPD=ECD=ACD+ACE=ACD+ABD,DPN=PNC+PCN=DBC+PCN. MPN=MPD+DPN=ACD+ABD+DBC+PC
5、N=ABC+ACB=90,即PMN为等腰直角 三角形.(8分) (3).(10分) 1 2 1 2 49 2 详解:同(2)可证PMN是等腰直角三角形,PM=PN,PMPN. 又知PM=EC, SPMN=PM2=EC2, 当EC最大时,SPMN最大. 如图,EC的最大值为AE+AC=AD+AB=4+10=14, SPMN的最大值为. 1 2 1 2 1 8 49 2 3.(2020江西,23,12分)某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后,针对图1中所示的“由直角三角形三 边向外侧作多边形,它们的面积S1,S2,S3之间的关系问题”进行了以下探究: 类比探究 (1)如图2,在RtABC中,BC
6、为斜边,分别以AB,AC,BC为斜边向外侧作RtABD,RtACE,RtBCF,若1 =2=3,则面积S1,S2,S3之间的关系式为 ; 推广验证 (2)如图3,在RtABC中,BC为斜边,分别以AB,AC,BC为边向外侧作任意ABD,ACE,BCF,满足1= 2=3,D=E=F,则(1)中所得关系式是否仍然成立?若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明理 由; 拓展应用 (3)如图4,在五边形ABCDE中,A=E=C=105,ABC=90,AB=2,DE=2,点P在AE上,ABP=30, PE=,求五边形ABCDE的面积. 图4 3 2 解析解析 (1)S1+S2=S3. 详解:ABC是直角
7、三角形,AB2+AC2=BC2. ABD、ACE、BCF均为直角三角形,且1=2=3, RtABDRtACERtBCF,=,=, +=+=1. S1+S2=S3. (2)成立.证明如下: 1=2=3,D=E=F, ABDCAEBCF. =,=. =. 1 3 S S 2 2 AB BC 2 3 S S 2 2 AC BC 1 3 S S 2 3 S S 12 3 SS S 2 2 AB BC 2 2 AC BC 22 2 ABAC BC 2 2 BC BC 1 3 S S 2 2 AB BC 2 3 S S 2 2 AC BC 12 3 SS S 22 2 ABAC BC ABC为直角三角形,
8、 AB2+AC2=BC2. =1. S1+S2=S3. (3)过点A作AHBP于点H. ABH=30,AB=2, AH=,BH=3,BAH=60. BAP=105, 12 3 SS S 3 3 HAP=45. PH=AH=. AP=,BP=BH+PH=3+. SABP=. 连接PD. PE=,ED=2, =,=. =. 又E=BAP=105, ABPEDP. EPD=APB=45,=. 3 63 2 BP AH(33)3 2 3 33 2 2 PE AP 2 6 3 3 ED AB 2 2 3 3 3 PE AP ED AB PD BP PE AP 3 3 BPD=90,PD=1+. SPED
9、=SABP=. 连接BD. SPBD=2+3. tanPBD=, PBD=30. ABC=90,ABP=30, DBC=30. C=105, ABPEDPCBD. SBCD=SABP+SEDP=+=2+2. 3 2 3 3 3 33 2 1 3 31 2 2 PB PD( 33)(13) 2 3 PD BP 3 3 3 33 2 31 2 3 S五边形ABCDE=SABP+SEDP+SBCD+SBPD =+(2+2)+(2+3) =6+7. 3 33 2 31 2 33 3 二、思考与探究二、思考与探究 1.(2017江苏南京,27,11分)折纸的思考. 【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角
10、形. 第一步,对折矩形纸片ABCD(ABBC)(图),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平(图). 第二步,如图,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB、PC,得 到PBC. (1)说明PBC是等边三角形. 【数学思考】 (2)如图,小明画出了图的矩形ABCD和等边三角形PBC.他发现,在矩形ABCD中把PBC经过图形变 化,可以得到图中的更大的等边三角形.请描述图形变化的过程. (3)已知矩形一边长为3 cm,其邻边长为a cm.对于每一个确定的a的值,在矩形中都能画出最大的等边三 角形.请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围. 【问
11、题解决】 (4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4 cm和1 cm的直角三角形铁片,所需正方形铁片的边长的 最小值为 cm. 解析解析 (1)证明:由折叠可知PB=PC,BP=BC, 因此PBC是等边三角形. (2)本题答案不唯一,下列解法供参考. 如图,以点B为中心,在矩形ABCD中把PBC按逆时针方向旋转适当的角度,得到P1BC1;再以点B为位 似中心,将P1BC1放大,使点C1的对应点C2落在CD上,得到P2BC2. (3)本题答案不唯一,下列解法供参考. (4). 如图,CEF是直角三角形,CEF=90,CE=4 cm,EF=1 cm. 16 5 四边形ABCD是正方形,A=D=9
12、0. 易证RtAEFRtDCE, =, 设AE=x cm,CD=4x cm,则DE=3x cm. 在RtCDE中,CE=5x=4 cm, x=, AD=4x= cm, AE CD EF CE 1 4 4 5 16 5 所需正方形铁片的边长的最小值为 cm. 16 5 思路分析思路分析 (1)由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC,PB=CB,得出PBC是等边三角形;(2)依 据旋转的性质和位似的性质即可得出答案;(3)利用等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理 进行计算,即可画出图形;(4)证明AEFDCE,得出=,设AE=x cm,则AD=CD=4x cm,DE= AD-AE=3
13、x cm,在RtCDE 中,由勾股定理得出方程,进而得出边长的最小值. AE DC EF CE 1 4 2.(2020山东青岛,23,10分)实际问题: 某商场为鼓励消费,设计了抽奖活动,方案如下:根据不同的消费金额,每次抽奖时可以从100张面值分别 为1元、2元、3元、100元的奖券中(面值为整数),一次任意抽取2张、3张、4张、等若干张奖券, 奖券的面值金额之和即为优惠金额.某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会,小明想知道该顾客共有多少 种不同的优惠金额? 问题建模: 从1,2,3,n(n为整数,且n3)这n个整数中任取a(1an)个整数,这a个整数之和共有多少种不同的结果? 模型探究: 我
14、们采取一般问题特殊化的策略,先从最简单的情形入手,再逐次递进,从中找出解决问题的方法. 探究一: (1)从1,2,3这3个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有多少种不同的结果? 所取的2个整数 1,2 1,3 2,3 2个整数之和 3 4 5 表 如表,所取的2个整数之和可以为3,4,5,也就是从3到5的连续整数,其中最小是3,最大是5,所以共有3 种不同的结果. (2)从1,2,3,4这4个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有多少种不同的结果? 所取的2个 整数 1,2 1,3 1,4 2,3 2,4 3,4 2个整数之 和 3 4 5 5 6 7 表 如表,所取的2个整数之和可以为3,
15、4,5,6,7,也就是从3到7的连续整数,其中最小是3,最大是7,所以共有5 种不同的结果. (3)从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有 种不同的结果. (4)从1,2,3,n(n为整数,且n3)这n个整数中任取2个整数,这2个整数之和共有 种不同的结果. 探究二: (1)从1,2,3,4这4个整数中任取3个整数,这3个整数之和共有 种不同的结果. (2)从1,2,3,n(n为整数,且n4)这n个整数中任取3个整数,这3个整数之和共有 种不同的结果. 探究三: 从1,2,3,n(n为整数,且n5)这n个整数中任取4个整数,这4个整数之和共有 种不同的结果. 归纳结论
16、: 从1,2,3,n(n为整数,且n3)这n个整数中任取a(1an)个整数,这a个整数之和共有 种不同的 结果. 问题解决: 从100张面值分别为1元、2元、3元、100元的奖券中(面值为整数),一次任意抽取5张奖券,共有 种不同的优惠金额. 拓展延伸: (1)从1,2,3,36这36个整数中任取多少个整数,使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果?(写出 解答过程) (2)从3,4,5,n+3(n为整数,且n2)这(n+1)个整数中任取a(1an+1)个整数,这a个整数之和共有 种不同的结果. 解析解析 探究一:(3)从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数,所取的2个整数之和可以为
17、3(最小值),4,5,6,7,8,9 (最大值),也就是从3到9的连续整数,所以共有7种不同的结果. (4)从1,2,3,n(n为整数,且n3)这n个整数中任取2个整数,所取的2个整数之和可以为3(最小值),4,5,n +n-1=2n-1(最大值),也就是从3到2n-1的连续整数,所以共有2n-1-2=2n-3(种)不同的结果. 探究二:(1)从1,2,3,4这4个整数中任取3个整数,所取的3个整数之和可以为6(最小值),7,8,9(最大值),也就 是从6到9的连续整数,所以共有4种不同的结果. (2)从1,2,3,n(n为整数,且n4)这n个整数中任取3个整数,所取的3个整数之和可以为6(最
18、小值),7,8,n +n-1+n-2=3n-3(最大值),也就是从6到3n-3的连续整数,所以共有3n-3-5=3n-8(种)不同的结果. 探究三:从1,2,3,n(n为整数,且n5)这n个整数中任取4个整数,所取的4个整数之和可以为10(最小值),1 1,12,n+n-1+n-2+n-3=4n-6(最大值),也就是从10到4n-6的连续整数,所以共有4n-6-9=4n-15(种)不同的 结果. 归纳结论:从1,2,3,n(n为整数,且n3)这n个整数中任取a(1an)个整数,所取的a个整数之和最小是1+ 2+3+a=,最大是n+n-1+n-2+n-(a-1)=an-,所以不同的结果数为an-
19、= (1) 2 a a ( -1) 2 a a( -1) 2 a a(1) -1 2 a a an-+1=an-+1=an-a2+1. 问题解决:从100张面值分别为1元、2元、3元、100元的奖券中(面值为整数),一次任意抽取5张奖 券,共有5100-52+1=476(种)不同的优惠金额. 拓展延伸:(1)设从1,2,3,36这36个整数中任取a个整数,使得取出的这些整数之和共有204种不同的结 果,则36a-a2+1=204,即a2-36a+203=0,a=7或29. 答:从1,2,3,36这36个整数中任取7个或29个整数,可以使得取出的这些整数之和共有204种不同的结 果. (2)从3
20、,4,5,n+3(n为整数,且n2)这(n+1)个整数中任取a(1a90)沿对角线AC剪开,得到ABC和ACD. 操作发现 (1)将图1中的ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角,使=BAC,得到如图2所示的ACD,分别 延长BC和DC交于点E,则四边形ACEC的形状是 ; (2)创新小组将图1中的ACD以A为旋转中心,按逆时针方向旋转角,使=2BAC,得到如图3所示的 ACD,连接DB,CC,得到四边形BCCD,发现它是矩形.请你证明这个结论; 实践探究 (3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,量得图3中BC=13 cm,AC=10 cm,然后提出一个问题:将AC D沿着射线DB方向平移
21、a cm,得到ACD,连接BD,CC,使四边形BCCD恰好为正方形,求a的值. 请你解答此问题; (4)请你参照以上操作,将图1中的ACD在同一平面内进行一次平移,得到ACD,在图4中画出平移后 构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,写出你发现的结论,不必证明. 图4 解析解析 (1)菱形. (2)证明:如图,作AECC于点E. 由旋转得AC=AC,CAE=CAE=BAC. 由题意知BA=BC,BCA=BAC. CAE=BCA,AEBC. 同理,AEDC,BCDC. 又BC=DC,四边形BCCD是平行四边形. 又AEBC,CEA=90, BCC=180-CEA=90, 四边形BCCD是
22、矩形. 1 2 (3)过点B作BFAC,垂足为F. BA=BC,CF=AF=AC=10=5(cm). 在RtBCF中,BF=12(cm). 在ACE和CBF中,CAE=BCF,CEA=BFC=90,ACECBF. =,即=,解得CE=. 当四边形BCCD恰好为正方形时,分两种情况: 点C在边CC上,a=CC-13=-13=. 点C在CC的延长线上,a=CC+13=+13=. 综上所述,a的值为或. (4)答案不唯一. 1 2 1 2 22 -BC CF 22 13 -5 CE BF AC BC12 CE10 13 120 13 240 13 71 13 240 13 409 13 71 13
23、409 13 例:如图. 平移及构图方法:将ACD沿着射线CA方向平移,平移距离为AC的长度,得到ACD,连接AB,DC. 结论:四边形ABCD是平行四边形. 1 2 2.(2020山东青岛,24,12分)已知:如图,在四边形ABCD和RtEBF中,ABCD,CDAB,点C在EB上,ABC= EBF=90,AB=BE=8 cm,BC=BF=6 cm,延长DC交EF于点M,点P从点A出发,沿AC方向匀速运动,速度为2 cm/s;同时,点Q从点M出发,沿MF方向匀速运动,速度为1 cm/s.过点P作GHAB于点H,交CD于点G.设运 动时间为t(s)(0t5). 解答下列问题: (1)当t为何值时
24、,点M在线段CQ的垂直平分线上? (2)连接PQ,作QNAF于点N,当四边形PQNH为矩形时,求t的值; (3)连接QC,QH,设四边形QCGH的面积为S(cm2),求S与t的函数关系式; (4)点P在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点P在AFE的平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说 明理由. 解析解析 (1)ABCD,=. 又AB=BE=8,BC=BF=6,=,CM=. 点M在线段CQ的垂直平分线上,MQ=CM=, t=. 当t=时,点M在线段CQ的垂直平分线上. (2)如图所示, CM BF CE BE 6 CM8-6 8 3 2 3 2 3 2 3 2 ABC=EBF=90,A
25、B=BE=8,BC=BF=6,AC=EF=10. ABCD, =,EM=. GHAB于点H,QNAF于点N, EM EF EC EB 5 2 PHBCQN,=,=, =,=, PH=t,QN=6-t. 四边形PQNH为矩形,PH=QN,即t=6-t,解得t=3. (3)如图所示,作QNAF于点N,交DM的延长线于点I. PH AP CB AC QN QF BE EF 2 PH t 6 1010- - QN t EM 8 10 6 5 4 5 6 5 4 5 由(2)得QN=6-t,EM=,则QI=t. GHAB,ABC=90,GHBC,=, =,CG=BH=8-t, 4 5 5 2 4 5 B
26、H AB CP AC 8 BH10-2 10 t 8 5 S四边形QCGH=S梯形GMFH-SQCM-SQHF =(CG+CM+BH+BF) BC-CM QI-(BH+BF) QN =6-t-=-t2+t+(0t5). (4)存在t=,使点P在AFE的平分线上.理由如下: 连接FP,并延长交DC于点K,如图所示. 1 2 1 2 1 2 1 2 838 8-8-6 525 tt 1 2 3 2 4 5 1 2 8 8-6 5 t 4 6- 5 t 16 25 1 5 57 2 7 2 ABCD,点P在AFE的平分线上, =,MKF=AFK=MFK, MK=MF,CK=MK-CM=MF-CM=E
27、F-EM-CM=10-=6. 又AF=AB+BF=8+6=14,AP=2t,PC=10-2t, CK AF PC AP 5 2 3 2 =,t=. 经检验,t=是分式方程的解,且符合题意. 点P在运动过程中,存在t=,使点P在AFE的平分线上. 6 14 10-2 2 t t 7 2 7 2 7 2 一题多解一题多解 (3)过点Q作QNAF于点N,连接PQ.由图可知,S四边形QCGH=S五边形QCGHN-SQHN=S四边形BCGH+S四边形QNBC- SQHN. 四边形BCGH为矩形,面积为GH BH, 其中GH=BC=6,BH=AB-AH. 由(2)知AP=2t,PH=t,AH=t, 6 5
28、 8 5 BH=AB-AH=8-t, S四边形BCGH=6=48-t. 四边形QNBC为直角梯形,面积为. 由(2)知FQ=-t,QN=,NF=, BN=BF-NF=6-=+t, S四边形QNBC= =-t2+3t+9. 8 5 8 8- 5 t 48 5 () 2 QNBCBN 15 2 4 5 15 - 2 t 3 5 15 - 2 t 3 5 15 - 2 t 3 2 3 5 () 2 QNBCBN 4 1533 -6 5225 2 tt 6 25 三角形QNH为直角三角形,面积为. 易得NH=BH+BN=8-t+t=-t, SQNH=t2-t+. S四边形QCGH=48-t+-=-t2
29、+t+(0t0), AND是等边三角形, AN=AD=ND=b(m+n),A=N=D=60, 由折叠可知AG=AG,AH=AH,A=GAH=60, =, NGA+NAG=120,NAG+HAD=120, NGA=HAD, N=D,NGADAH, = = =, AN AD m n AG AH AG AH AG AH () () b mnbm b mnbn 2 2 mn mn 即=. AG AH 2 2 mn mn 方法总结方法总结 图形折叠问题的解题关键是找出对称轴,再根据轴对称性得出全等三角形,同时可以得到折 叠前后两图形对应边及对应角相等的关系. 2.(2019南京,27,11分)【概念认识
30、】 城市的许多街道是相互垂直或平行的,因此,往往不能沿直线行走到达目的地,只能按直角拐弯的方式行 走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy,对两点A(x1,y1)和B(x2,y2),用以下方式定义 两点间距离:d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|. 【数学理解】 (1)已知点A(-2,1),则d(O,A)= ; 函数y=-2x+4(0 x2)的图象如图所示,B是图象上一点,d(O,B)=3,则点B的坐标是 . (2)函数y=(x0)的图象如图所示.求证:该函数的图象上不存在点C,使d(O,C)=3. (3)函数y=x2-5x+7(x0)的图象如图所示,D是图象上一点,求
31、d(O,D)的最小值及对应的点D的坐标. 【问题解决】 (4)某市要修建一条通往景观湖的道路,如图,道路以M为起点,先沿MN方向到某处,再在该处拐一次直 角弯沿直线到湖边,如何修建能使道路最短?(要求:建立适当的平面直角坐标系,画出示意图并简要说明 4 x 理由) 图 解析解析 (1)3;(1,2).(2分) (2)证明:假设函数y=(x0)的图象上存在点C(x,y),使d(O,C)=3. 根据题意,得|x-0|+=3. 因为x0,所以0,所以|x-0|+=x+. 所以x+=3. 方程两边同乘x,得x2+4=3x. 整理,得x2-3x+4=0. 因为a=1,b=-3,c=4,b2-4ac=(-
32、3)2-414=-70)的图象上不存在点C,使d(O,C)=3.(5分) 4 x 4 -0 x 4 x 4 -0 x 4 x 4 x 4 x (3)设D(x,y). 根据题意,得d(O,D)=|x-0|+|x2-5x+7-0|=|x|+|x2-5x+7|. 因为x2-5x+7=+0,又x0, 所以d(O,D)=|x|+|x2-5x+7|=x+x2-5x+7=x2-4x+7=(x-2)2+3. 所以当x=2时,d(O,D)有最小值3,此时点D的坐标是(2,1).(8分) (4)如图,以M为原点,MN所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.将函数y=-x的图象沿y轴正方向平移,直 到与景观湖边界所
33、在曲线有交点时停止.设交点为E,过点E作EHMN,垂足为H. 修建方案是:先沿MN方向修建到H处,再沿HE方向修建到E处. 理由:设过点E的直线l1与x轴相交于点F.在景观湖边界所在曲线上任取一点P,过点P作直线l2l1,l2与x轴 相交于点G.因为EFH=45,所以EH=HF,d(O,E)=OH+EH=OF.同理d(O,P)=OG.因为OGOF,所以 d(O,P)d(O,E).因此,上述方案修建的道路最短.(11分) 2 5 - 2 x 3 4 思路分析思路分析 (1)根据定义可求出d(O,A)=|0+2|+|0-1|=2+1=3;由两点间距离:d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|及
34、点B 是函数y=-2x+4(0 x2)的图象上的一点,可得出关于x的方程,解方程即可求出点B的坐标; (2)由条件知x0,根据题意得x+=3,整理得x2-3x+4=0,由0可证得该函数的图象上不存在点C,使d(O,C) =3. (3)根据条件可得d(O,D)=|x|+|x2-5x+7|,去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值; (4)以M为原点,MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,将函数y=-x的图象沿y轴正方向平移,直到 与景观湖边界所在曲线有交点时停止,设交点为E,过点E作EHMN,垂足为H,修建方案是:先沿MN方向 修建到H处,再沿HE方向修建到E处,可证得d(O,E)最小. 4 x 解后反思解后反思 本题是一道综合题,考查了绝对值的定义、反比例函数、一元二次方程根的判别式以及运 用二次函数的性质求二次函数的最值,本题的难点在第(4)问,理解题目中的两点间距离定义是解决问题 的关键,难点的突破在于建立平面直角坐标系,找到最小距离的关键点,即可解决该问题.这是一道压轴 题,难度较大.
