1、 中考数学 （河北专用） 8.5 圆的综合问题 一、与圆相关的翻折问题一、与圆相关的翻折问题 如图1,已知以AE为直径的半圆圆心为O,半径为5,矩形ABCD的顶点B在直径AE上,顶点C在半圆上,AB=8, 点P为半圆上一点. (1)矩形ABCD的边BC的长为 ; (2)将矩形沿直线AP折叠,使点B落在点B处. 点B 到直线AE的最大距离是 ; 当点P与点C重合时,如图2所示,AB交DC于点M,求证:四边形AOCM是菱形,并通过证明判断CB与半圆 的位置关系; 当EBBD时,直接写出EB的长. 图1 图2 解析解析 (1)4. 连接OC,OB=8-5=3,OC=5,BC=4. (2)8. (提示
2、:当ABAE时,点B到直线AE的距离最大,最大距离是8.) 证明:由折叠可知OAC=MAC. OA=OC,OAC=OCA, OCA=MAC,OCAM, 又CMOA,四边形AOCM是平行四边形, 又OA=OC,AOCM是菱形. 结论:CB与半圆相切. 证明:由折叠可知ABC=ABC=90. OCAM,ABC+BCO=180, BCO=90,CBOC, OC为半圆的半径,CB与半圆相切. 22 5 -3 4+2或4-2. 提示:过点B作BGAE. 若EBBD,则有ABD=AEB. tanABD=, tanAEB=. 设BG=x,EG=2x,则AG=10-2x. 在RtABG中,AB2=AG2+BG
3、2,82=(10-2x)2+x2, 解得x=4, EB=x=42. 511511 AD AB 4 8 1 2 BG EG 1 2 2 55 5 22 BGEG5511 二、与圆相关的旋转问题二、与圆相关的旋转问题 1.(2020唐山古冶一模改编)已知ABC为等边三角形,BC=4,点D从C向A运动(包括端点C、A),以BD为直 径在BD上方作半圆O,半圆O与AB交于点F,点G为AC边的中点,点H为半圆弧的中点,CBD=. (1)如图1,当=0时,BH= ; (2)如图2,当030时,半圆O是否始终经过点G,判断并简要说明理由,求出此时FOG的度数; (3)如图3,当=30时. 将弧BF沿弦BF翻
4、折后能否过O点?判断并简要说明理由; 计算此时阴影部分面积; (4)结合图1图5,当060时, 求点H运动路线的长; 求AH长度的范围. 解析解析 (1)2. 如图,连接CH. BC是直径,BHC=90, 点H为半圆弧的中点, =,BH=CH, HBC=HCB=45, BC=4,BH=BC cos 45=2. (2)当030时,半圆O始终经过点G. 理由:如图,连接BG、OG、OF. 2 BH CH 2 ABC是等边三角形,G是AC的中点,BGAC, 点D在AC上,BGD=90,O是BD的中点, OG=BD,G到圆心O的距离等于半径,即半圆O始终经过点G, BG平分ABC,ABG=ABC=30
5、,根据圆周角定理得FOG=2ABG=60. (3)当=30时,将弧BF沿弦BF翻折后能过O点. 理由:如图,过点O作OKBF交BF于I,交半圆弧于K,连接OF. 1 2 1 2 当=30时,ABD=30,点D在AC的中点处, OI=OB=OK,KI=IO,即OK被BF垂直平分, 点K、O关于BF对称,将弧BF沿弦BF翻折后能过O点. ABD=30,AB=BC=4,BDAC, AD=2,BD=2. OI=,BI=,BF=3. S阴影=SABD-SBOF-S扇形OFD = AD BD- BF IO- =22-3- =2- 1 2 1 2 3 3 2 3 2 1 2 1 2 2 60 ( 3) 36
6、0 1 2 3 1 2 3 2 2 60 ( 3) 360 3 3 3 4 2 =-. (4)当060时,点H的运动路线为线段MN,如图所示. 由旋转的性质可知BM=BN=2,NBM=60, NBM为等边三角形, NM=BM=BN=2,即点H运动路线的长为2. 过点A作APMN于P. 易得AN=MN=2,ANB=90,又BNM=60, 5 3 4 2 2 22 2 ANM=30,AP=AN=, AH2. 1 2 2 22 2.(2019保定定兴一模,25)如图1,四边形ABCD是正方形,且AB=8,点O与点B重合,以O为圆心,作半径长为5 的半圆O,交BC于点E,交AB于点F,交AB延长线于点
7、G,M是半圆O上任一点. 发现:AM的最大值为 ,S阴影= . 如图2,将半圆O绕点F逆时针旋转,旋转角为(0180). 思考:(1)若点C落在半圆O的直径GF上,求圆心O到AB的距离; (2)若=90,求半圆O落在正方形内部的弧长. 探究:在旋转过程中,若半圆O与正方形的边相切,求点A到切点的距离. 注:sin 37=,sin 53=,tan 37=. 3 5 4 5 3 4 解析解析 发现:当点M与点G重合时,AM的值最大,最大值为8+5=13,观察题图1可知,S阴影=S正方形ABCD=AB2=64. 思考:(1)如图,过O作OQAB于Q, 四边形ABCD是正方形,ABC=90,OQBC,
8、 =, CF=,=OQ=. 圆心O到AB的距离为. OF OQ FC BC 22 8589 5 OQ 89 8 40 89 89 40 89 89 (2)如图,设半圆O交AD于N,连接ON,过O作OHAD于H, 四边形ABCD是正方形,DAB=90, 将半圆O绕点F逆时针旋转,旋转角为90,OFA=90, 四边形HAFO是矩形, OH=AF=AB-BF=3,AHOF, sinHNO=,HNO=37,NOF=HNO=37, OH ON 3 5 半圆O落在正方形内部的弧长l=5=. 探究:由思考(2)得当半圆O与AB相切时,切点为F, A到切点的距离为AF=3. 当半圆O与CD相切时,如图,设切点
9、为R,连接OR,并延长RO交AB于T,连接AR, ORC=90, DCAB,OTF=90,四边形RCBT是矩形, RT=CB=8,OT=8-5=3, NF 37 180 37 36 FT=4,AT=AB-BT=AB-(BF-FT)=7, AR=. 当半圆O与AD相切时,如图,设切点为P,连接OP,过F点作FSPO于S,易得四边形PAFS是矩形, PS=AF=3,AP=SF,OS=OP-PS=2, SF=,AP=. 综上,点A到切点的距离为3或或. 22 5 -3 22 RTAT6449113 22 5 -22121 11321 思路分析思路分析 发现:当点M与点G重合时,AM的值最大,最大值为
10、8+5=13,观察题图1可知S阴影=S正方形ABCD. 思考:(1)过O作OQAB于Q,由OQBC,可得=,由此得出结果; (2)设半圆O交AD于N,连接ON,过O作OHAD于H,求出OH=AF=AB-BF=3,进而求出HNO=37,即可解 决问题. 探究:分三种情形讨论求解即可. OF OQ FC BC 3.(2018保定竞秀一模,25)已知矩形ABCD,AB=4,BC=3,以AB为直径的半圆O在矩形ABCD的外部(如图1), 将半圆O绕点A顺时针旋转度(0180). (1)当半圆的直径落在对角线AC上时,如图2所示,半圆与AB的交点为M,求AM的长; (2)当半圆与直线CD相切时,切点为N
11、,与线段AD的交点为P,如图3所示,求劣弧AP的长; (3)在旋转过程中,当半圆弧与直线CD只有一个交点时,设此交点与点C的距离为d,直接写出d的取值范 围. 解析解析 (1)如图,连接BM, 图 在RtABC中,AB=4,BC=3, AC=5, AB为直径,AMB=90. AMB=ABC=90,BAM=CAB, ABCAMB.=,=,AM=. (2)如图,连接NO并延长交BA的延长线于点Q,连接OP. 22 ABBC AB AM AC AB 4 AM 5 4 16 5 图 半圆弧与直线CD相切于点N, ONCN,NQ=AD=3,ON=2,OQ=1. 在RtOAQ中,sinOAQ=, OAQ=
12、30,PAO=60, 又OA=OP,APO为等边三角形, OQ OA 1 2 AOP=60,的长度=. (3)4-d4或d=4+. 详解:当B第一次落在CD上时(如图), 半圆弧开始与直线CD有交点. 此时AD=3,AB=AB=4, DB=,CB=d=4-. 从图开始半圆弧与直线CD有一个交点, AP 602 180 2 3 73 22 4 -377 当点B第二次落在直线CD上时(如图), 半圆弧开始与直线CD有两个交点. 此时半圆弧与直线CD的交点与点D重合并且出现第二个交点,即d=4. 当半圆弧与直线CD相切时(如图),半圆弧与直线CD只有一个交点, 此时,AQ=DN=,CN=4+. d的
13、取值范围是4-d4或d=4+. 33 73 思路分析思路分析 (1)利用圆周角定理和相似三角形的性质引出含有AM的等式得解.(2)利用切线的性质先求 得OQ的长,进而得出OAQ和PAO的大小,最后利用弧长公式求出的长.(3)弄清半圆弧与直线CD 的交点情况的界点即可得d的取值范围. AP 三、与圆相关的平移与滚动问题三、与圆相关的平移与滚动问题 1.(2019石家庄质检,26)如图1,点O和矩形CDEF的边CD都在直线l上,以点O为圆心,24为半径作半圆,分别 交直线l于A,B两点.已知CD=18,CF=24,矩形自右向左在直线l上平移,当点D到达点A时,矩形停止运动.在 平移过程中,设矩形对
14、角线DF与半圆的交点为P(点P为半圆上远离点B的交点). (1)如图2,若FD与半圆相切,求OD的值; (2)如图3,当DF与半圆有两个交点时,求线段PD的取值范围; (3)若线段PD的长为20,直接写出此时OD的值. AB AB AB 图1 图2 图3 解析解析 (1)如图,连接OP, FD与半圆相切,OPFD,OPD=90, 在矩形CDEF中,FCD=90, CD=18,CF=24,根据勾股定理,得 FD=30.(2分) 在OPD和FCD中, 22 CDCF 22 1824 OPDFCD. OD=DF=30.(5分) (2)如图,当点B与点D重合时,过点O作OHDF于点H, 则DP=2DH
15、, cosODP=, , , , OPDFCD ODPFDC OPFC DH OD CD FD 且CD=18,OD=24,由(1)知DF=30, =,DH=, DP=2DH=, 当FD与半圆相切时,由(1)知PD=CD=18, 18PD.(9分) (3)8+12.(11分) 理由:设半圆与矩形对角线交于点P、H,连接OP,OH,过点O作OGDF, 24 DH18 30 72 5 144 5 144 5 5 则PG=GH,tanFDC=,则cosFDC=, 设PG=GH=m,则OG=,DG=20-m, tanFDC=, 整理得25m2-640m+1 216=0, 解得m=, 24 18 4 3
16、3 5 22 24 -m OG DG 4 3 22 24 - 20- m m 6424 5 5 OD=12+8或12-8(舍去). cos DG FDC 20- 3 5 m 55 难点突破难点突破 本题是以平移为背景的探究题,在图形发生变化时,要善于从动态位置中寻找不变的关系. FDC的三角函数值的确定是解决问题的关键. 2.(2019邢台一模,25)如图1,已知点A、O在直线l上,且AO=6,ODl于O点,且OD=6,以OD为直径在OD的 左侧作半圆E,ABAC于A,且CAO=60. (1)若半圆E上有一点F,则AF的最大值为 ; (2)向右沿直线l平移BAC得到BAC. 如图2,若AC截半
17、圆E的的长为,求AGO的度数; GH 当半圆E与BAC的边相切时,求平移的距离. 解析解析 (1)6.(2分) (2)连接EG、EH.设GEH=n, l=3=,即n=60,GEH=60.(3分) EG=EH,GEH是等边三角形,HGE=EHG=60.(4分) CAO=60=HGE,EGAO.(5分) GEO+EOA=180,EOA=90,GEO=90, GE=EO,EGO=EOG=45,AGO=180-60-45=75.(6分) 2 GH 180 n 当CA切半圆E于Q时,连接EQ, 则EQA=90, EOA=90,AO切半圆E于O点,又OAC=60,EAO=EAQ=30.(7分) OE=3,
18、AO=3,平移的距离为6-3.(8分) 当BA切半圆E于N时,连接EN并延长交l于P点, 33 OAB=90+60=150,ENA=90,EOA=90, PEO=30,OE=3,EP=2.(9分) EN=3,NP=2-3,NAP=30, AN=NP=6-3. AO=AN=6-3,平移的距离为3.(10分) 综上,平移的距离为6-3或3. 3 3 33 33 33 方法规律方法规律 对于圆的综合题中求线段长度的问题,一般是找到直角三角形,根据直角三角形的三角函数 关系或勾股定理使问题得以解决,有时也会根据圆中相等的角,得到相似三角形,根据相似三角形对应边 成比例建立等式来解决. 一、与圆相关的翻
19、折问题一、与圆相关的翻折问题 如图,扇形OAB的半径为4,AOB=90,P是半径OB上一动点,Q是弧AB上的一动点. (1)当P是OB中点,且PQOA时(如图1),弧AQ的长为 ; (2)将扇形OAB沿PQ对折,使折叠后的弧QB恰好与半径OA相切于C点(如图2).若OP=3,则O到折痕PQ的 距离为 . 教师专用题组 解析解析 (1).如图,连接OQ,P是OB中点,OB=4,OP=2, PQOA,BPQ=AOB=90, OP=OQ,1=30,2=1=30, 所以弧AQ的长=. (2).如图,找点O关于PQ的对称点O,连接OO、OB、OC、OP,设OO与PQ交于点M, 则OM=OM,OOPQ,O
20、P=OP=3,点O是所在圆的圆心, OC=OB=4, 2 3 1 2 304 180 2 3 6 BQ 折叠后的弧QB恰好与半径OA相切于C点,OCAO, OCOB,四边形OCOB是矩形, 在RtOBP中,OB=2, 在RtOCO中,OO=2, OM=OO=2=, 即O到折痕PQ的距离为. 22 3 -12 22 4(2 2)6 1 2 1 2 66 6 思路分析思路分析 (1)连接OQ,利用直角三角形直角边是斜边的一半,则这条直角边所对的锐角为30及平行线 的性质求出PQO=AOQ=30,再利用弧长公式计算得解.(2)先找点O关于PQ的对称点O,连接OO、 OB、OC、OP,则易证四边形OC
21、OB是矩形,利用勾股定理求得OB的长,从而求出OO的长,则OM=OO =. 1 2 6 二、与圆相关的旋转问题二、与圆相关的旋转问题 (2019廊坊安次二模,26)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,O是AD的中点,以O为圆心在AD的下方作半径 为3的半圆O,交AD于E、F. (1)思考:连接BD,交半圆O于G、H,求GH的长; (2)探究:将线段AF连带半圆O绕点A顺时针旋转,得到半圆O,设其直径为EF,旋转角为(0时,求的取值范围; 若半圆O与线段AB、BC相切时,设切点为R,求的长. 7 2 FR 解析解析 (1)思考:如图,过点O作ONBD于点N,连接OH, HN=GN, 四边
22、形ABCD是矩形,AD=BC=8,BAD=90, 又AB=6,BD=10, BAD=OND=90,ADB=NDO, ADBNDO,=,O是AD的中点, OA=OD=AD=4,ON=, OH=3,HN=,GH=2HN=. 22 ADAB BD OD AB ON 1 2 AB OD BD 12 5 22 -OHON 9 5 18 5 (2)探究:如图,过点F作FQAD于点Q, 由(1)可知AF=OA+OF=7,由旋转可知AF=AF=7. 当F到AD的距离为,即FQ=时,sin =sinDAF=,=30; 7 2 7 2 FQ AF 7 2 7 1 2 如图,当点Q落在DA延长线上,且FQ=时, 同
23、理可求得QAF=30,=180-30=150. 综上,当m时,的取值范围为30150. 如图,当半圆O与AB相切时,切点为R,连接OR, 7 2 7 2 ORA=90,AO=4,OR=3,sinOAR=,OAR=49, FOR=90+49=139,的长为=; 如图,当半圆O与BC相切时,切点为R,过点O作OPAB于点P,连接OR, OR AO 3 4 FR 1393 180 139 60 ORB=B=OPB=90, 四边形PBRO是矩形,OR=BP=3,POR=90,AP=AB-BP=3, sinAOP=,POA=49,ROF=180-AOP-POR=41, 的长为3=. AP AO 3 4
24、FR 41 180 41 60 三、与圆相关的平移与滚动问题三、与圆相关的平移与滚动问题 1.(2018秦皇岛海港一模,25)如图,在等边ABC中,AB=3,点O在AB的延长线上,OA=6,且AOE=30.动点 P从点O出发,以每秒个单位的速度沿射线OE方向运动,以P为圆心,OP为半径作P,同时点Q从点B出 发,以每秒1个单位的速度沿折线B-C-A向点A运动,Q与A重合时,P,Q同时停止运动.设P的运动时间为t秒. (1)当POB是直角三角形时,求t的值; (2)当P过点C时,求P与线段OA圆成的封闭图形的面积; (3)当P与ABC的边所在直线相切时,求t的值; (4)当线段OQ与P只有一个公
25、共点时,直接写出t的取值范围. 3 解析解析 (1)连接OC,ABC=60,OB=BC, AOC=BCO=30, OE经过点C,ACO=90, 当PBO=90时,OP= =2(如图1). 图1 3 t=2. 当BPO=90时,OP=OB cos 30=(如图2). 图2 2 3 3 3 3 2 t=. 当t=或t=2时,POB是直角三角形. (2)当点P运动到OC中点时,P过点C,设P交OA于点F, 图3 3 3 2 3 3 2 3 2 PO=PF,POF=PFO=30, OPF=120,又PO=,OF=, 点P到OF的距离为. S弓形=S扇形OPF-SOPF=-=-或S弓形=S扇形OCF+S
26、OPF=+ =+. (3)P不可能与AB所在直线相切. 当P与AC所在直线相切时,切点为点C(如图4). 3 3 2 9 2 3 3 4 2 3 3 120 2 360 1 2 9 2 3 3 4 9 4 27 3 16 2 3 3 240 2 360 1 2 9 2 3 3 4 9 2 27 3 16 图4 ACO=90, 当点P运动到OC中点时,P与AC边所在直线相切, 此时t=. 当P与BC的边所在直线相切时,切点为点B(如图5). 3 2 图5 PBC=90,PB=OP=PC sin 30=PC,OP=. 此时t=1. 综上,当t=1或t=时,P与ABC的边所在直线相切. 1 2 3
27、3 2 (4)t的取值范围是t6. 详解:开始运动后,OQ与P有两个公共点,一直到P过点Q(如图6). 图6 从这个时刻后一直到停止运动, OQ与P只有一个公共点. 3 3-3 2 OP=t,OC=3,BQ=t,BC=3. =,PQOB. QPC=BOC=30, QPC=OCB=30, PQ=CQ,t=3-t, 解得t=. t的取值范围为t6. 33 OP OC BQ BC 3 3 3-3 2 3 3-3 2 2.如图,ABC中,ACB=90,ABC=45,BC=12 cm,半圆O的直径DE=12 cm,点E与点C重合,半圆O以2 cm/s的速度从左向右运动,在运动过程中,点D、E始终在BC所
28、在的直线上.设运动时间为x(s),半圆O与 ABC重叠部分的面积为S(cm2). (1)当x= (s)时,点O与线段BC的中点重合; (2)在(1)的条件下,求半圆O与ABC的重叠部分的面积S; (3)当x为何值时,半圆O所在的圆与ABC的边所在的直线相切? 解析解析 (1)如图1,当点O在AB的中点时,x=6 s. 图1 (2)如图1,设O与AB交于点H,连接OH,CH. BC是直径,CHB=90, AC=BC,ACB=90,HBC=HCB=45,HC=HB, OHBC,OH=OB=OC=6 cm, S=S扇形OHC+SOHB=62+66=(18+9)cm2. 12 2 1 4 1 2 (3)如图2,当O与边AB所在的直线相切时(点O在点B左侧),易知OH=BH=6 cm,OB=6 cm,OC=(12- 6)cm,x=(9-3)s. 图2 如图3,当O与边AB所在的直线相切时(点O在点B右侧),易知OH=BH=6 cm, OB=6 cm,OC=(12+6)cm, x=(9+3)s. 2 2 612-6 2 2 2 22 6126 2 2 2 图3 如图1,x=6 s时,O与AC所在的直线相切. 易知当x=0 s时,O与AC所在的直线相切.综上所述,当x=0或(9-3)或6或(9+3)s时,半圆O所在的圆 与ABC的边所在的直线相切. 22
