1、 中考数学 （福建专用） 2.2 分式方程 20162020年全国中考题组 考点一 分式方程及其解法 1.(2019四川成都,7,3分)分式方程+=1的解为( ) A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=-2 5 1 x x 2 x 答案答案 A 原方程去分母得x(x-5)+2(x-1)=x(x-1),解得x=-1,检验:当x=-1时,x(x-1)0,所以x=-1是原分式方 程的解,故选A. 2.(2020内蒙古呼和浩特,13,3分)分式与的最简公分母是 ,方程-=1的解 是 . 2 2 x x 2 8 2xx 2 2 x x 2 8 2xx 答案答案 x(x-2);x=-4 解析解析
2、x2-2x=x(x-2), 两个分式的最简公分母是x(x-2). -=1,去分母得2x2-8=x2-2x, 整理得x2+2x-8=0,解得x=-4或x=2, 经检验,x=-4是原方程的解,x=2是原方程的增根. 原方程的解为x=-4. 2 2 x x 2 8 2xx 3.(2019黑龙江齐齐哈尔,14,3分)关于x的分式方程-=3的解为非负数,则a的取值范围为 . 2 1 xa x 1 1x 答案答案 a4且a3 解析解析 方程两边同乘(x-1),得2x-a+1=3(x-1),解得x=4-a, 由题意得x0且x1, 解得a4且a3. 40, 41, a a 思路分析思路分析 先解关于x的分式方
3、程,求得x的值,再依据“解为非负数,分母不为0”建立不等式组求a的取 值范围. 4.(2016宁德,13,4分)方程=的解是 . 1 2x 1 1x 答案答案 x=1 解析解析 去分母得,1+x=2x, 移项、合并同类项得,x=1, 检验:把x=1代入2x(x+1),得22=40, x=1是原方程的解. 5.(2018黑龙江齐齐哈尔,14,3分)若关于x的方程+=无解,则m的值为 . 1 4x 4 m x 2 3 16 m x 答案答案 -1或5或- 1 3 解析解析 去分母,得x+4+m(x-4)=m+3, 去括号,移项,合并同类项,得(m+1)x=5m-1, 因为分式方程无解,所以分下面三
4、种情况: (1)当m+1=0,即m=-1时,5m-10,方程无解; (2)当x=4时,解方程得m=5; (3)当x=-4时,解方程得m=-. 综上,m的值为-1或5或-. 1 3 1 3 6.(2020陕西,16,5分)解分式方程:-=1. 2x x 3 2x 解析解析 由原方程,得(x-2)2-3x=x(x-2).(2分) x2-4x+4-3x=x2-2x. -5x=-4. x=.(4分) 经检验,x=是原方程的根.(5分) 4 5 4 5 易错警示易错警示 解分式方程一定要检验.可将整式方程的根代入最简公分母进行检验,也可代入各分母进行 检验. 7.(2016南平,18,8分)解分式方程:
5、=. 3 x 4 1x 解析解析 去分母,得3(1+x)=4x,(3分) 去括号,得3+3x=4x,(4分) 移项,得3x-4x=-3,(5分) 合并同类项,得-x=-3,(6分) 系数化为1,得x=3,(7分) 检验:当x=3时,x(x+1)0, 原分式方程的解为x=3.(8分) 8.(2016三明,18,8分)解方程:=1-. 1 2 x x 3 2x 解析解析 方程两边同乘(x-2),得1-x=x-2-3, 解得x=3. 检验:当x=3时,x-20,故原分式方程的解是x=3. 考点二 分式方程的应用 1.(2020福建,8,4分)我国古代著作四元玉鉴记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱
6、,倩人去买几 株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6 210文.如果每 株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6 210文能买多少株 椽?设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是( ) A.3(x-1)= B.=3 C.3x-1= D.=3 6 210 x 6 210 1x 6 210 x 6 210 x 答案答案 A 根据题意可列出方程=3(x-1).故选A. 6 210 x 2.(2018云南昆明,13,4分)甲、乙两船从相距300 km的A,B两地同时出发相向而行,甲船从A地顺流航行 180 km时与从B
7、地逆流航行的乙船相遇,水流的速度为6 km/h,若甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h, 则可列方程为( ) A.= B.= C.= D.= 180 6x 120 6x 180 6x 120 6x 180 6x 120 x 180 x 120 6x 答案答案 A 甲船航行的速度为(x+6)km/h,航行180 km用时 h,乙船航行的速度为(x-6)km/h,航行了 300-180=120 km,用时 h,易知,两船航行时间相同,故可列方程为=,故选A. 180 6x 120 6x 180 6x 120 6x 3.(2017新疆乌鲁木齐,7,4分)2017年,在创建文明城市的进程中,乌鲁木
8、齐市为美化城市环境,计划种植树 木30万棵,由于志愿者的加入,实际每天植树比原计划多20%,结果提前5天完成任务,设原计划每天植树x 万棵,可列方程是( ) A.-=5 B.-=5 C.+5= D.-=5 30 x 30 (120%)x 30 x 30 20%x 30 20%x 30 x 30 (120%)x 30 x 答案答案 A 原计划每天植树x万棵,则实际每天植树(1+20%)x万棵, 根据“实际比原计划提前5天完成”可列方程: -=5,故选A. 30 x 30 (120%)x 4.(2020吉林,17,5分)甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做6个,甲做90个所用的时间与乙
9、做60个所用的时间相等.求乙每小时做零件的个数. 解析解析 设乙每小时做x个零件.(1分) 根据题意,得=.(3分) 解得x=12.(4分) 检验:当x=12时,x(x+6)0, 所以,原分式方程的解为x=12. 答:乙每小时做12个零件.(5分) 90 6x 60 x 思路分析思路分析 设乙每小时做x个零件,则甲每小时做(x+6)个零件,根据“时间=总工作量工作效率”和 “甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等”即可得出关于x的分式方程,解之并检验后得解. 5.(2016莆田,22,8分)甲车从A地驶往B地,同时乙车从B地驶往A地,两车相向而行,匀速行驶,甲车距B地的 距离y(km)
10、与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示,乙车的速度是60 km/h. (1)求甲车的速度; (2)当甲乙两车相遇后,乙车速度变为a(km/h),并保持匀速行驶,甲车速度保持不变,结果乙车比甲车晚38 分钟到达终点,求a的值. 解析解析 (1)由图象可得,甲车的速度为=80 km/h,故甲车的速度是80 km/h. (2)相遇时间为=2 h,由题意可得+=,解得a=75,经检验,a=75是原分式方程的解,且符 合题意,故a的值是75. 280120 2 280 8060 602 80 38 60 802 a 6.(2018吉林,19,7分)下图是学习分式方程应用时,老师板书的问题和两名同学所列
11、的方程. 15.3 分式方程 甲、乙两个工程队,甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等,乙队每天比甲队多修20米,求甲队每 天修路的长度. 冰冰:= 庆庆:-=20 根据以上信息,解答下列问题. (1)冰冰同学所列方程中的x表示 ,庆庆同学所列方程中的y表示 ; (2)两个方程中任选一个,写出它的等量关系; (3)解(2)中你所选择的方程,并回答老师提出的问题. 400 x 600 20 x 600 y 400 y 解析解析 (1)甲队每天修路的长度;甲队修路400米所用的天数(乙队修路600米所用的天数).(2分) (2)选冰冰所列的方程(选第一个方程), 甲队修路400米与乙队修路
12、600米所用时间相等.(3分) 选庆庆所列的方程(选第二个方程), 乙队每天修路长度与甲队每天修路长度的差等于20米.(3分) (3)选第一个方程=. 解方程,得x=40.(5分) 经检验:x=40是原分式方程的解,且符合题意.x=40.(6分) 答:甲队每天修路的长度为40米.(7分) 选第二个方程-=20. 解方程,得y=10.(5分) 经检验:y=10是原分式方程的解,且符合题意. 400 x 600 20 x 600 y 400 y =40.(6分) 答:甲队每天修路的长度为40米.(7分) 400 10 7.(2019内蒙古包头,23,10分)某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租
13、,每辆货车的日租金实行淡 季、旺季两种价格标准,旺季每辆货车的日租金比淡季上涨.据统计,淡季该公司平均每天有10辆货车 未租出,日租金总收入为1 500元;旺季所有的货车每天能全部租出,日租金总收入为4 000元. (1)该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆?淡季每辆货车的日租金是多少元? (2)经市场调查发现,在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元,每天租出去的货车就会减少1辆,不考虑 其他因素,每辆货车的日租金上涨多少元时,该出租公司的日租金总收入最高? 1 3 解析解析 (1)设该出租公司这批对外出租的货车共有x辆. 根据题意,得=, 解得x=20.经检验,x=20是所列方程的解. 1
14、 500(20-10)=150(元). 答:该出租公司这批对外出租的货车共有20辆,淡季每辆货车的日租金是150元.(5分) (2)设当旺季每辆货车的日租金上涨a元时,该出租公司的日租金总收入为w元. 根据题意,得w=, w=-a2+10a+4 000,w=-(a-100)2+4 500. -0, 当a=100时,w有最大值. 答:当旺季每辆货车的日租金上涨100元时,该出租公司的日租金总收入最高.(10分) 1 500 10 x 1 1 3 4 000 x 1 1501 3 a 20 20 a 1 20 1 20 1 20 思路分析思路分析 (1)以淡季和旺季货车日租金的关系建立等量关系;(
15、2)先根据题意列出货车出租公司的日租 金总收入w元与旺季每辆货车的日租金上涨a元的关系式,然后根据二次函数的性质求解. 教师专用题组 考点一 分式方程及其解法 1.(2020海南,8,3分)分式方程=1的解是( ) A.x=-1 B.x=1 C.x=5 D.x=2 3 2x 答案答案 C 方程两边都乘(x-2)得3=x-2,解得x=5. 经检验,x=5是原分式方程的解,故选C. 2.(2018四川成都,8,3分)分式方程+=1的解是( ) A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3 1x x 1 2x 答案答案 A +=1, (x+1)(x-2)+x=x(x-2), x2-x-2+x=
16、x2-2x, x=1, 检验,当x=1时,x(x-2)0. 所以x=1是原分式方程的解.故选A. 1x x 1 2x 3.(2017四川成都,9,3分)已知x=3是分式方程-=2的解,那么实数k的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 1 kx x 21k x 答案答案 D 把x=3代入分式方程得-=2,解得k=2.故选D. 3 3 1 k 21 3 k 4.(2017重庆A卷,12,4分)若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数,且使关于y的不等式组 的解集为y0且1. a6且a2. 解不等式,得y-2. 解不等式,得ya. 不等式组的解集为y-2, a-2. -2a8 1008 00
17、0, 方案获利更高.(10分) 3.(2019三明二检,22)惠好商场用24 000元购进某种玩具进行销售,由于深受顾客喜爱,很快脱销,惠好商 场又用50 000元购进这种玩具,所购数量是第一次购进数量的2倍,但每套进价比第一次多了10元. (1)惠好商场第一次购进这种玩具多少套? (2)惠好商场以每套300元的价格销售这种玩具,当第二次购进的玩具售出时,出现了滞销,商场决定降 价促销,若要使第二次购进的玩具销售利润率不低于12%,剩余的玩具每套售价至少要多少元? 4 5 解析解析 (1)设惠好商场第一次购进这种玩具x套, 依题意,得=-10,(2分) 解得x=100.(3分) 经检验,x=100是该方程的根.(4分) 答:惠好商场第一次购进这种玩具100套.(5分) (2)第二次进价为50 000200=250(元/套). 设剩余玩具每套的售价为y元,则 (300-250)200+200(y-250)50 00012%,(8分) 解得y200.(9分) 答:剩余玩具每套售价至少要200元.(10分) 24 000 x 50 000 2x 4 5 4 1 5
