1、 中考数学 （安徽专用） 第四章 图形的认识 4.2 三角形及其全等 考点一 三角形的相关概念 20162020年全国中考题组 1.(2020广东,6,3分)已知ABC的周长为16,点D,E,F分别为ABC三条边的中点,则DEF的周长为 ( ) A.8 B.2 C.16 D.4 2 答案答案 A 如图,D,E,F分别为ABC三条边的中点, DF=BC,DE=AC,EF=AB. ABC的周长=BC+AC+AB=16, DEF的周长=DF+DE+EF=(BC+AC+AB)=16=8,故选A. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2.(2018福建,3,4分)下列各组数中,能作为一个三角形三边边
2、长的是( ) A.1,1,2 B.1,2,4 C.2,3,4 D.2,3,5 答案答案 C 三角形的三边边长要满足“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,选项A、 B、D均不符合,故选C. 3.(2017山东泰州,3,3分)三角形的重心是( ) A.三角形三条边上中线的交点 B.三角形三条边上高线的交点 C.三角形三条边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平分线的交点 答案答案 A 三角形的重心是三角形三条边上中线的交点. 4.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且DAE=90,AD =AE.若C+BAC=145,则E
3、DC的度数为( ) A.17.5 B.12.5 C.12 D.10 答案答案 D AB=AC,B=C.B=180-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90,AD=AE, AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故选D. 5.(2019江西,10,3分)如图,在ABC中,点D是BC上的点,BAD=ABC=40,将ABD沿着AD翻折得到 AED,则CDE= . 答案答案 20 解析解析 BAD=ABD=40,ADB=180-BAD-ABD=180-40-40=100, ADC=180-100=80. AED是由ABD翻折所得的,AEDABD, ADE=ADB=100. CD
4、E=ADE-ADC=100-80=20,即CDE=20. 6.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10 x+21=0的根,则三角形 的周长为 . 答案答案 16 解析解析 x2-10 x+21=(x-3)(x-7)=0,x1=3,x2=7, 3+3=6,3不能作为该三角形的第三边长, 三角形的第三边长为7, 三角形的周长为3+6+7=16. 7.(2019浙江杭州,19,8分)如图,在ABC中,ACABAC,点D在边AB上,且BD=CA,过点D作DEAC,并截取DE=AB, 且点C,E在AB同侧,连接BE.求证:DEBABC. 证明证明 DEAC
5、, EDB=BAC.(2分) 又BD=CA,DE=AB,(4分) DEBABC.(5分) 5.(2020福建,18,8分)如图,点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上,且BE=DF. 求证:BAE=DAF. 证明证明 本小题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识,考查推理能力、空间观念与几 何直观. 四边形ABCD是菱形,B=D,AB=AD. 在ABE和ADF中, , , , ABAD BD BEDF ABEADF,BAE=DAF. 说明:本参考答案仅给出一种解法供参考. 6.(2020广西北部湾经济区,21,8分)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE
6、=CF. (1)求证:ABCDEF; (2)连接AD,求证:四边形ABED是平行四边形. 证明证明 (1)BE=CF,BE+EC=CF+EC,即BC=EF, 在ABC和DEF中, ABCDEF(SSS). , , , ABDE ACDF BCEF (2)由(1)可知ABCDEF,B=DEF, ABDE,又AB=DE, 四边形ABED是平行四边形. 思路分析思路分析 (1)先证明BC=EF,再利用SSS证明ABCDEF; (2)根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形ABED是平行四边形即可. 7.(2019福建,18,8分)如图,点E,F分别在矩形ABCD的边AB,CD上,且D
7、F=BE.求证:AF=CE. 证明证明 四边形ABCD是矩形,D=B=90,AD=CB. 在ADF和CBE中, ADFCBE,AF=CE. , , , ADCB DB DFBE 8.(2018内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,已知A、F、C、D四点在同一条直线上,AF=CD,ABDE,且AB= DE. (1)求证:ABCDEF; (2)若EF=3,DE=4,DEF=90,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度. 解析解析 (1)证明:ABDE,A=D, AF=CD,AF+FC=CD+FC,即AC=DF, 又AB=DE,ABCDEF. (2). 详解:过点E作EOCF于O,由EF=3,ED
8、=4,DEF=90,可得DF=5,所以EO=2.4,又四边形EFBC为菱形,所 以FO=CO=1.8,所以AF=CD=5-3.6=1.4. 7 5 9.(2019河北,23,9分)如图,ABC和ADE中,AB=AD=6,BC=DE,B=D=30.边AD与边BC交于点P(不 与点B,C重合),点B,E在AD异侧.I为APC的内心. (1)求证:BAD=CAE; (2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值; (3)当ABAC时,AIC的取值范围为mAICn,分别直接写出m,n的值. 备用图 解析解析 (1)证明:AB=AD,B=D,BC=DE, ABCADE.(3分) BAC=DA
9、E. BAC-DAC=DAE-DAC. BAD=CAE.(4分) (2)PD=6-x.(5分) 如图,当ADBC时,x最小,PD最大. B=30,AB=6,x=AB=6=3. 1 2 1 2 PD的最大值为3.(7分) (3)m=105,n=150.(9分) 提示:根据I为APC的内心可得IAC=PAC,ACI=ACP,所以AIC=180-PAC-ACP= 90+APC,所以AIC的大小取决于APC的大小.假设点P与点B重合,此时AIC=90+B=105, 随着点P接近点C,APC的最大值接近于120,假设APC=120,此时AIC=90+120=150,即105 AIC150,所以m=105
10、,n=150. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 (1)根据SAS可证明ABCADE,得出BAC=DAE,进而可得BAD=CAE;(2)易得 PD=6-x,根据x的取值判断当AP最短(ADBC)时,PD取得最大值;(3)根据I为APC的内心易知AIC=90 +APC,可得AIC的大小取决于APC的大小,根据30APC120进而确定105AIC150,所 以m=105,n=150. 1 2 考点一 三角形的相关概念 教师专用题组 1.(2019河北,10,3分)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是( ) 答案答案 C 由作图痕迹可以判断选项A
11、作了一个角平分线和一边的垂直平分线,选项B作了两个角的角 平分线,选项C作了两条边的垂直平分线,选项D作了一边的高线和一边的垂直平分线,而三角形的外心 是三边垂直平分线的交点,所以在选项C中可以用直尺成功找到三角形的外心,故选C. 2.(2018河北,1,3分)下列图形具有稳定性的是( ) 答案答案 A 三角形具有稳定性.故选A. 3.(2016河南,6,3分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=8,AB=10.DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 答案答案 D 在ABC中,ACB=90, DE垂直平分线段AC,AD=DC,DEBC, E为AB的
12、中点,DE=BC, 在RtABC中,BC=6, DE=BC=3.故选D. 1 2 22 -AB AC 1 2 4.(2017湖南长沙,6,3分)一个三角形三个内角的度数之比为123,则这个三角形一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 答案答案 B 根据三角形的内角和为180,可知三个角分别为30、60、90,因此这个三角形是直角三角 形.故选B. 5.(2016湖南长沙,7,3分)若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是( ) A.6 B.3 C.2 D.11 答案答案 A 设第三边长为x,根据三角形的三边关系,可得7-3x7+3,即4x0)
13、,BC=a(a0),由SBDF=S四边形CEFD,SBCE=SBDA, 可得SBAF=S四边形CEFD=SBDF,AF=DF,即F为AD的中点. DMAE,F为AD的中点,MDFEAF,即DM=AE=a-x, 又DMCE,BDMBCE,=,即=, 解得x=a或x=a(舍), 经检验,x=a是分式方程的解, =.(10分) BD BC DM CE x a -a x x -15 2 -1- 5 2 -15 2 BD BC -15 2 (3)AFBFCF=12.(14分) 提示:作BNAD于点N,易证ABNBCF,CF=BN,BF=AN,易证ABE=FAE,BFN=ABE+ BAF=FAE+BAF=
14、60,BF=2FN,BN=FN,AF=AN-FN=BF-FN=FN,CF=BN=FN,AFBF CF=12. 3 33 3 4.(2020安徽安庆一模,23)如图1,已知正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,BE=DF,AE、AF分别 交BD于点G,H. (1)求证:BG=DH; (2)连接FE,如图2,当EF=BG时, 求证:AD AH=AF DF; 直接写出的值. HF AH 解析解析 (1)证明:四边形 ABCD为正方形, AB=AD,ABC=ADC, BE=DF,ABEADF(SAS), BAE=DAF, AB=AD,ABD=ADB, ABGADH(ASA), BG=DH.(
15、5分) (2)证明:连接GF,BC=DC,BE=DF,CE=CF, C=90,DBC=FEC=45,EFBD, EF=BG,四边形EBGF是平行四边形, BEGFAD, =,=,=, AD=CD,=, AG AE DG DB DF DC DG DB DF DC AG AE DF AD DF CD AG AE EFBD,=, =,即AD AH=AF DF.(11分) .(14分) 理由如下: 由GHEF可得,=, BG=EF,BG=DH, =-2, 设=x,则=2+x, 由GFBC可得=. AG AE AH AF DF AD AH AF 5-1 2 AH AF GH EF AH AF GH EF
16、 -2BDBG BG BD BG AH AF BD BG DF CD DG BD 由可得, =,=x,=x, 1-=x,=,=2+x, 化简得x2+x-1=0,解得x=或(舍),经检验,x=是分式方程的解. DF CD AH AF DG BD AH AF -BD BG BD BG BD BD BG 1 1-x 1 1-x 5-1 2 - 5-1 2 5-1 2 难点突破难点突破 第(2)问的突破口是作辅助线GF并证明四边形EBGF是平行四边形;的突破口是借助GH EF和GFBC及的结论建立等式. 5.(2018安徽安庆一模,23)在等腰直角ABC中,ACB=90,AC=BC,点P在斜边AB上(
17、APBP).作AQAB, 且AQ=BP,连接CQ(如图1). (1)求证:ACQBCP; (2)延长QA至点R,使得RCP=45,RC与AB交于点H,如图2. 求证:CQ2=QA QR; 判断三条线段AH、HP、PB的长度满足的数量关系,并说明理由. 解析解析 (1)证明:ACB=90,AC=BC,CAB=B=45, 又AQAB,QAC=CAB=45=B, 在ACQ和BCP中, ACQBCP(SAS). (2)证明:由(1)知ACQBCP,则QCA=PCB, ACB=90,RCP=45, ACR+PCB=45, ACR+QCA=45,即QCR=45=QAC, 又Q是CQR和AQC的公共角, C
18、QRAQC, =,CQ2=QA QR. AH2+PB2=HP2. , , , ACBC QACB AQBP CQ AQ QR QC 理由:连接QH, CQ=CP,QCH=PCH=45,CH=CH, QCH PCH(SAS). HQ=HP. 在RtQAH中,QA2+AH2=HQ2, 又QA=PB, AH2+PB2=HP2. 思路分析思路分析 (1)由AQAB 及ACB为等腰直角三角形可得QAC=CAB=45=B,从而可证ACQ BCP;(2)由ACQBCP可得QCA=PCB,进一步得出QCR=QAC,从而可证CQR AQC,问题解决;连接QH,先证QCH PCH,可得HQ=HP,结合RtQAH中
19、QA2+AH2=HQ2可使问题 解决. 6.(2019安徽滁州定远二模,23)如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点E在AB上,点F在BC 的延长线上,且AE=CF,连接EF交AC于点P,分别连接DE,DF,DP. (1)求证:ADECDF; (2)求证:ADPBDF; (3)如图,若PE=BE,PC=,求CF的值. 2 解析解析 (1)证明:四边形ABCD为正方形, AD=DC,BAD=DCF=90. 又AE=CF,ADECDF. (2)证明:ADECDF, DE=DF,ADE=CDF. CDF+EDC=ADE+EDC=90. DEF为等腰直角三角形. 过点F作FGBF交AC
20、延长线于点G, 则CFG为等腰直角三角形, FG=CF,又CF=AE,FG=AE, ABFG,AEP=GFP,又APE=GPF, AEPGFP,PE=PF, DPEF,EDP=FDP=45, ADP=ADE+45,BDF=CDF+45, ADP=BDF. 又DAP=DBF=45,ADPBDF. (3)作PHBC,垂足为H,ACB=45,PC=, PH=CH=1. BE=PE=PF,BE=EF, BFE=30,PF=2,FH=. CF=-1. 2 1 2 3 3 思路分析思路分析 (1)利用正方形ABCD的性质易证;(2)利用ADECDF可证DEF为等腰直角三角形,然 后作FGBF交AC延长线于
21、点G,根据AE=CF及ABFG可证AEPGFP,进一步可证DPEF,然后 证明ADP=BDF,从而问题解决;(3)作PHBC,抓住ACB=45,PE=BE=PF可得BFE=30,问题解 决. 7.(2019安徽合肥包河一模,23)已知:ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,ACB=2B,CD是ACB的平分线. (1)如图1,若A=B,则a、b、c三者之间满足的关系是 ; (2)如图2,求证c2-b2=ab; (3)如图3,若B=2A,求证:+=. 1 b 1 c 1 a 解析解析 (1)a2+b2=c2. (其他关系式也可以适当给分,如c=a=b)(3分) (2)证明:CD平分ACB,ACB
22、=2B, B=ACD=BCD.CD=BD. A=A,ACDABC. =,即=, =,c2=b2+ab, 即c2-b2=ab.(8分) (3)证明:作BE平分ABC. 22 AC AB AD AC CD BC b c AD b BD a b c ADBD ba c ba ABC=2A,由(2)的结论可知b2-a2=ac, c2-b2=ab,c2=b2+ab. -=, +=.(14分) 1 a 1 b -b a ab 22 - () b a ab ab 2 () ac abab 2 c c 1 c 1 b 1 c 1 a 思路分析思路分析 (1)根据图形和题意容易得出结论;(2)根据ACB=2B,
23、CD 是ACB的平分线推出ACD ABC,然后由相似比可得=,进一步得到a,b,c之间的关系,问题解决;(3)作BE平分ABC,利 用(2)的结论推出b2-a2=ac,再对结论左边的式子通分化简即可证明. AC AB AD AC CD BC 8.(2019安徽合肥名校三模,23)在矩形ABCD中,M为AD边上一点,MB平分AMC. (1)如图1,求证:BC=MC; (2)如图2,G为BM的中点,连接AG、DG,过点M作MNAB交DG于点E、交BC于点N. 求证:AGDG; 当DG GE=13时,求BM的长. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是矩形, ADBC,AMB=MBC. MB平分AM
24、C,AMB=BMC,BMC=MBC, BC=MC.(4分) (2)证明:如图,连接GC. CM=CB,G为BM的中点,BGC=90, BAM=90,G为BM的中点,GA=GB=GM, GAB=GBA,GAD=GBC, 在AGD和BGC中, AGDBGC, AGD=BGC=90,即AGDG.(9分) MNAB,MNB=90. 又BGC=90,BMN=BCG. AGDBGC,GDM=BCG, BMN=GDM.又MGE=DGM, MGEDGM,MGEG=DGMG. 即MG2=DG GE=13,MG=,BM=2.(14分) , , , GAGB GADGBC ADBC 1313 解题关键解题关键 考虑到(1)的结论及G为BM的中点,从而想到连接CG并证明AGDBGC是证明AGDG 的关键.
