1、 中考数学 （安徽专用） 第四章 图形的认识 4.5 特殊的平行四边形 考点一 矩形 20162020年全国中考题组 1.(2018新疆,7,5分)如图,矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm.现将其沿AE对折,使得点B落在边AD上的 点B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为( ) A.6 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm 答案答案 D 由题意可知,BE=AB=6 cm,CE=BC-BE=8-6=2 cm.故选D. 2.(2019重庆A卷,5,4分)下列命题正确的是( ) A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是矩形 C.有一组邻边相等的平行
2、四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是矩形 答案答案 A 有一个角是直角的平行四边形是矩形,A选项正确; 四条边相等的四边形是菱形,B选项错误; 有一组邻边相等的平行四边形是菱形,C选项错误; 对角线相等的平行四边形是矩形,D选项错误.故选A. 3.(2020内蒙古呼和浩特,10,3分)如图,把某矩形纸片ABCD沿EF,GH折叠(点E,H在AD边上,点F,G在BC边 上),使点B和点C落在AD边上同一点P处,A点的对称点为A,D点的对称点为D,若FPG=90,SAEP=8, SDPH=2,则矩形ABCD的长为( ) A.6+10 B.6+5 C.3+10 D.3+5 5102 5102 答案答
3、案 D 由折叠可得,APF=B=90,DPG=C=90, FPG=90,APD=90, APE+DPH=APE+AEP=90, AEP=DPH,又A=D=90,AEPDPH, 四边形ABCD是矩形, AB=CD,AD=BC,设AB=CD=x(x0), 由折叠可知PA=AB=x,PD=CD=x, AEP的面积为8,DPH的面积为2,且AEPDPH, APDH=2,PA=x, DH=x, SDPH= xx=2, 1 2 1 2 1 2 x=2(舍去负根). AB=CD=2,AE=4,DH=,PE=2,PH=, AD=4+2+=5+3. 2 222 22 (2 2)(4 2)10 22 ( 2)(2
4、 2)10 210102210 方法指导方法指导 在翻折过程中,注意等量关系,运用多种性质、定理,从等量关系中寻找相似或全等,利用参数 解决问题. 4.(2017安徽,10,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3.动点P满足SPAB=S矩形ABCD.则点P到A,B两点距离之 和PA+PB的最小值为( ) A. B. C.5 D. 1 3 2934241 答案答案 D 如图,过P点作MN,使MNAB,作A点关于MN的对称点A1,连接PA1,A1B,则PA1=PA,设点P到AB 的距离为h,由AB=5,AD=3,SPAB=S矩形ABCD可得h=2,则AA1=4,因为PA+PB=PA1+P
5、BA1B,所以当P为A1B与 MN的交点时,PA+PB最小,其最小值为=,故选D. 1 3 22 4541 疑难突破疑难突破 本题的突破口是根据SPAB=S矩形ABCD推出P点是在平行于AB的线段上运动,从而想到利用轴 对称的性质将问题转化. 1 3 5.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBE DBC.若APD是等腰三角形,则PE的长为 . 答案答案 3或 6 5 解析解析 在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD=10,ABAD,根据PBE DBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,P
6、B=2,由相似可得=PE=;当AP=PD时,P点 为BD的中点,PE=CD=3,故答案为3或. 22 68 PE CD BP BD 2 10 6 5 1 2 6 5 思路分析思路分析 根据AB0), 在RtABD中,BD=4x, 在RtCDF中,CF=CD sinFDC=CD sin 60=2x=x, sin AB BDA 2 1 2 x 3 2 3 DF=CD cosFDC=CD cos 60=2x=x, 在RtABE中,BE=AB cosABE=2x=x, EF=BD-BE-DF=4x-x-x=2x, 在RtCEF中,tanDEC=. 1 2 1 2 FC EF 3 2 x x 3 2 7
7、.(2016安徽,14,5分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10.点E在CD上,将BCE沿BE折叠,点C恰落在 边AD上的点F处.点G在AF上,将ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处.有下列结论: EBG=45;DEFABG;SABG=SFGH;AG+DF=FG. 其中正确的是 .(把所有正确结论的序号都选上) 3 2 答案答案 解析解析 ABG=HBG,FBE=CBE,ABC=90, EBG=45,故正确; AB=6,BF=BC=10,AF=8, FD=AD-AF=10-8=2. 设DE=x,则EF=CE=6-x,在RtDEF中, DF2+DE2=EF2,22+x2=
8、(6-x)2,x=, 即DE=,EF=, BH=AB=6, HF=BF-BH=10-6=4, 又易知RtDEFRtHFG, =,即=, 8 3 8 3 10 3 ED HF EF GF 8 3 4 10 3 GF GF=5,AG=3, 若DEFABG,则=,但,故不正确; BH=6,HF=4,SBGH=SFGH, ABGHBG, SABG=SFGH,故正确; FHGEDF,=, =,FG=5, AG+DF=5,AG+DF=FG,故正确. DE AB DF AG 8 3 6 2 3 3 2 3 2 FG EF HF DE 10 3 FG4 8 3 方法指导方法指导 对于以矩形为背景的相关计算,可
9、采取以下思路:(1)矩形的四个角都是直角,一条对角线将矩 形分成两个直角三角形,可用勾股定理或三角函数求线段的长;(2)矩形的对角线相等且互相平分,故可借 助对角线的关系得到全等三角形;(3)矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形;(4)当已知条件中有 一个角为30时,应联想到“在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质. 8.(2019河南,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=a.连接AE,将ABE沿AE折 叠,若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上,则a的值为 . 3 5 答案答案 或 5 3 5 3 解析解析 在矩形ABCD中
10、,AB=CD=1,AD=BC=a,B=C=D=90,由折叠得BE=BE=a,ABE=90. 当点B落在边AD上时,易证四边形ABEB是正方形, BE=AB,即a=1,a=; 当点B落在边CD上时,如图. 3 5 3 5 5 3 1+2=2+3=90, 1=3,又D=C=90,BCEADB, =. 在RtADB中,由勾股定理得BD=, =,a=. 综上所述,满足条件的a的值为或. EC EB BD AB 22 -BA AD 2 1-a 2 3 2 1-a 5 3 5 3 5 3 解题关键解题关键 本题是以矩形为背景的折叠型题目,由于未指明折叠后点B的具体位置,所以分情况讨论是 解决本题的关键.根
11、据题意得,当点B在矩形边上时,有两种可能:当点B在AD上时,由四边形ABEB是正 方形可求a的值;当点B在边CD上时,由“K字模型”中的相似三角形性质结合勾股定理可求a的值. 9.(2018新疆,19,8分)如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O.E,F是AC上的两点,并且AE=CF,连接DE, BF. (1)求证:DOEBOF; (2)若BD=EF,连接EB,DF.判断四边形EBFD的形状,并说明理由. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, OB=OD,OA=OC. 又AE=CF,OA-AE=OC-CF,即OE=OF. 在DOE和BOF中,DOEBOF.(5分) (2)四边
12、形EBFD是矩形.理由如下: BD,EF相交于点O,OD=OB,OE=OF, 四边形EBFD是平行四边形. 又BD=EF,四边形EBFD是矩形.(8分) , , , OEOF DOEBOF ODOB 10.(2020安徽,23,14分)如图1,已知四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,AE=AD.EC与BD相交于 点G,与AD相交于点F,AF=AB. (1)求证:BDEC; (2)若AB=1,求AE的长; (3)如图2,连接AG,求证:EG-DG=AG. 2 解析解析 (1)证明:因为四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,所以EAF=DAB=90. 又AE=AD,AF=AB,所以A
13、EFADB,所以AEF=ADB. 所以GEB+GBE=ADB+ABD=90,即EGB=90, 故BDEC.(5分) (2)由矩形性质知AECD,所以AEF=DCE,EAF=CDF, 所以AEFDCF,所以=,即AE DF=AF DC. 设AE=AD=a(a0),则有a (a-1)=1,化简得a2-a-1=0. 解得a=或(舍),所以AE的长为.(10分) (3)证法一:如图1,在线段EG上取点P,使得EP=DG. 在AEP与ADG中,AE=AD,AEP=ADG,EP=DG, 所以AEPADG,所以AP=AG,EAP=DAG. 所以PAG=PAD+DAG=PAD+EAP=DAE=90, 所以PA
14、G为等腰直角三角形. AE DC AF DF 15 2 1- 5 2 15 2 于是EG-DG=EG-EP=PG=AG.(14分) 证法二:如图2,过点A作AG的垂线,与DB的延长线交于点Q. 在AEG与ADQ中, AE=AD,AEG=ADQ,EAG=90+DAG=DAQ, 2 所以AEGADQ,所以EG=DQ,AG=AQ, 所以AGQ为等腰直角三角形. 于是EG-DG=DQ-DG=QG=AG.(14分) 2 思路分析思路分析 (1)先利用SAS证明AEFADB,再利用互余性质得出EGB=90,问题解决;(2)先根据矩 形性质可证AEFDCF,得到AE DF=AF DC,再设AE=AD=a(a
15、0),则DF=a-1,解方程即可;(3)两种证 法:在线段EG上截取线段EP=DG,然后证明AEPADG(SAS),得到AP=AG,EAP=DAG,再证 PAG=90,利用等腰直角三角形的性质得出结论;作AQAG交DB的延长线于点Q,然后利用(1)的结论 及已知证明AEGADQ,得到EG=DQ,AG=AQ,再由等腰直角三角形的性质得出结论. 难点突破难点突破 解决第(3)问的突破口是构造AEPADG(或AEGADQ),将问题转化为求证PG= AG(或QG=AG),体现了转化与化归的思想. 22 考点二 菱形 1.(2019河北,5,3分)如图,菱形ABCD中,D=150,则1=( ) A.30
16、 B.25 C.20 D.15 答案答案 D 四边形ABCD是菱形,D+BAD=180,AC平分BAD, D=150,BAD=30,1=15,故选D. 2.(2019内蒙古呼和浩特,4,3分)已知菱形的边长为3,较短的一条对角线的长为2,则该菱形较长的一条对 角线的长为( ) A.2 B.2 C.4 D.2 25210 答案答案 C 因为菱形的对角线互相垂直且平分,所以两条对角线的一半与菱形的边形成直角三角形,根 据勾股定理可得,较长对角线长的一半=2,故较长对角线的长为4,故选C. 22 3 -122 3.(2018陕西,8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、
17、CD和DA的中点,连接EF、 FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是( ) A.AB=EF B.AB=EF C.AB=2EF D.AB=EF 23 5 答案答案 D 如图,连接AC、BD交于O, 四边形ABCD是菱形, ACBD,OA=OC,OB=OD, 点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点, EF=AC,EH=BD, EH=2EF,BD=2AC,OB=2OA, AB=OA, 1 2 1 2 22 OBOA5 易知OA=EF,AB=EF,故选D. 5 4.(2018新疆,9,5分)如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,BC边
18、上的 中点,则MP+PN的最小值是( ) A. B.1 C. D.2 1 2 2 答案答案 B 如图,取AD的中点M,连接MN,MP,则有MP=MP.MP+PN的最小值为线段MN的长,即菱形边 长1.故选B. 5.(2020广东,15,4分)如图,在菱形ABCD中,A=30,取大于AB的长为半径,分别以点A,B为圆心作弧相 交于两点,过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图所示),连接BE,BD.则EBD的度数为 . 1 2 答案答案 45 解析解析 根据作图可知虚线为线段AB的垂直平分线, AE=BE,EBA=A=30. 四边形ABCD是菱形,ADBC,ABD=CBD. A=30,ABC=
19、180-30=150, ABD=ABC=75, EBD=75-30=45. 1 2 6.(2020新疆,18,8分)如图,四边形ABCD是平行四边形,DEBF,且分别交对角线AC于点E,F,连接BE,DF. (1)求证:AE=CF; (2)若BE=DE,求证:四边形EBFD为菱形. AD=BC且ADBC, DAE=BCF, 在ADE和CBF中, ADECBF(AAS). AE=CF. (2)由(1)可知ADECBF,DE=BF, 又DEBF,四边形EBFD为平行四边形, 又BE=DE, 平行四边形EBFD为菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形). , , , AEDCFB DAEBCF ADC
20、B 证明证明 (1)DEBF, DEF=BFE, AED=BFC(等角的补角相等), 又四边形ABCD为平行四边形, 思路分析思路分析 (1)由DEBF证出DEF=BFE,可得AED=BFC;由四边形ABCD是平行四边形可证得 AD=BC且ADBC,从而有DAE=BCF,利用AAS得出ADECBF,即得AE=CF. (2)由(1)中的ADECBF可得到DE=BF,从而证得四边形EBFD为平行四边形,结合BE=DE可证得结论. 7.(2020北京,21,6分)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,EFAB, OGEF. (1)求证:四边形OEFG是矩形
21、; (2)若AD=10,EF=4,求OE和BG的长. 解析解析 (1)证明:菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, DO=BO, E是AD的中点, EOAB, EFOG, 四边形OEFG是平行四边形, EFAB, EFB=90, 四边形OEFG是矩形.(3分) (2)四边形ABCD是菱形, ACBD,AB=AD=10. 在RtAOD中,E为AD的中点, AE=AD=5,OE=AD=5. EF=4, 1 2 1 2 在RtAFE中,AF=3. 四边形OEFG是矩形, FG=EO=5, BG=AB-AF-FG=2.(6分) 22 -AE EF 22 5 -4 思路分析思路分析 本题第(1)问首
22、先需要借助中位线定理推出OEAB,然后利用有一个角是90的平行四边形 是矩形来判定;第(2)问需要利用勾股定理及矩形和菱形的性质求解. 解题关键解题关键 解决本题的关键是发现题目中有多个中点(点E是AD的中点,点O是BD的中点),同时利用与 中点有关的性质(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,中位线定理)来解决. 8.(2017云南,20,8分)如图,ABC是以BC为底的等腰三角形,AD是边BC上的高,点E、F分别是AB、AC的 中点. (1)求证:四边形AEDF是菱形; (2)如果四边形AEDF的周长为12,两条对角线的和等于7,求四边形AEDF的面积S. 解析解析 (1)证明:ABC是等腰
23、三角形,AD是边BC上的高, 点D为BC的中点,点E是AB的中点, DEAC, 同理,DFAB, 四边形AEDF是平行四边形, 点E、F分别是AB、AC的中点,AB=AC, AE=AF, 四边形AEDF是菱形. (2)连接EF交AD于点O, 菱形AEDF的周长为12,AE=3, 设AO=x,EO=y, 菱形AEDF的两条对角线的和等于7, x+y=. 在RtAEO中,由勾股定理得AO2+EO2=AE2,即x2+y2=32, 7 2 变形得(x+y)2-2xy=9, 即-2xy=9, 解得xy=, 四边形AEDF的面积S=xy4=2xy=. 2 7 2 13 8 1 2 13 4 考点三 正方形
24、 1.(2018重庆,6,4分)下列命题正确的是( ) A.平行四边形的对角线互相垂直平分 B.矩形的对角线互相垂直平分 C.菱形的对角线互相平分且相等 D.正方形的对角线互相垂直平分 答案答案 D 平行四边形的对角线互相平分,不一定垂直,选项A错误;矩形的对角线互相平分且相等,不一 定垂直,选项B错误;菱形的对角线互相垂直平分,不一定相等,选项C错误;正方形的对角线互相垂直平分, 选项D正确.故选D. 2.(2020广东,9,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,EFD=60.若将四边形EBCF 沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为( ) A.1
25、 B. C. D.2 23 答案答案 D 四边形ABCD是正方形,CDAB,EFD=FEB=60. 由折叠的性质可知FEB=FEB=60, AEB=180-FEB-FEB=60,ABE=30,BE=2AE. 设AE=x,则BE=BE=2x, AB=AE+BE=3x=3,x=1,BE=2x=2,故选D. 思路分析思路分析 由CDAB得到EFD=FEB=60,进而由折叠的性质得到FEB=FEB=60,则AEB= 60,然后根据直角三角形中30角所对的直角边长等于斜边长的一半得出AE与BE的倍数关系即可求解. 3.(2019内蒙古包头,11,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=1,点E、F分别在边
26、BC和CD上,AE=AF,EAF= 60,则CF的长是( ) A. B. C.-1 D. 31 4 3 2 3 2 3 答案答案 C 如图,连接EF,在正方形ABCD中,AB=AD,B=D=90,又AE=AF,RtABERtADF, BE=DF,又BC=CD,CE=CF.EAF=60,AEF是等边三角形.设CE=x(0x1),C=90, EF=x,则AE=x.在RtABE中,12+(1-x)2=(x)2,化简得x2+2x-2=0,解得x=-1或x=-1-(舍),CF= CE=-1.故选C. 22233 3 4.(2018天津,11,3分)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,
27、P为对角线BD上的一个动点,则下 列线段的长等于AP+EP最小值的是( ) A.AB B.DE C.BD D.AF 答案答案 D 在正方形ABCD中,连接CE、PC. 点A与点C关于直线BD对称, AP=CP, AP+EP的最小值为EC的长. E,F分别为AD,BC的中点, DE=BF=AD. AB=CD,ABF=ADC=90, ABFCDE. 1 2 AF=CE. 故选D. 5.(2019安徽,10,4分)如图,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且AC=12.点P在正方形的边上,则 满足PE+PF=9的点P的个数是( ) A.0 B.4 C.6 D.8 答案答案 D 如图,作E
28、,F关于AD的对称点E1,F1,连接E1F,EF1,交AD于H点,连接EE1,FF1,过点F作FOEE1,交 E1E的延长线于点O,当P点在H点时,PE+PF取得最小值,由已知得AE=EF=CF=4,四边形ABCD是正方 形,易求OE=EM=ME1=2,OF=OE=2,OE1=6,由勾股定理可得EF1=E1F= 9,在AH和HD上各存在一点P,使得PE+PF=9,同理在AB、BC、CD上各存在2个这样的P点,一共有 8个这样的P点,故选D. 222 22 (2 2)(6 2)80 思路分析思路分析 因为正方形具有对称性,所以只需找出正方形一条边上满足条件的个数,然后乘4即可,由E,F 为定点且
29、为AC的三等分点,分别作E,F关于AD的对称点,这样可求出PE+PF的最小值为9,从而可得 AD上满足条件的点有两个,问题解决. 80 难点突破难点突破 确定PE+PF的最小值是解答本题的突破口. 6.(2020宁夏,16,3分)2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾 股圆方图,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1),且大正方形 的面积是15,小正方形的面积是3,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为b.如果将四个全等的 直角三角形按图2的形式摆放,那么图2中的大正方形的面积为 . 答案答案 27 解析解析 由题图1可得
30、直角三角形的面积为=3,大正方形的边长为,题图2中的大正方形的面积 为34+()2=27. 15-3 4 15 15 思路分析思路分析 先根据题图1求出直角三角形的面积和大正方形的边长,然后求出题图2中的大正方形的面 积. 7.(2019天津,17,3分)如图,正方形纸片ABCD的边长为12,E是边CD上一点,连接AE.折叠该纸片,使点A落 在AE上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.若DE=5,则GE的长为 . 答案答案 49 13 解析解析 根据题意可知DAE+BAE=90,BFAE,BAE+ABF=90,DAE=ABF,四边形 ABCD是正方形,AD=AB,BAF=D=
31、90,AFBDEA,AF=DE=5,AD=12,根据勾股定理 得AE=13.设AE与BF交于点H,易知AFHAED,=,即=,AH=,AG=2AH=, GE=AE-AG=. AH AD AF AE12 AH5 13 60 13 120 13 49 13 思路分析思路分析 首先根据题意确定BFAE,进而根据正方形的性质得出AFBDEA,故AF=DE=5,然后 根据两角对应相等,两三角形相似得出AFHAED,求得AH=,最后得出GE的长. 60 13 解题关键解题关键 本题考查正方形的性质,相似三角形的判定与性质,解题的关键是确定BFAE. 8.(2018北京,27,7分)如图,在正方形ABCD中
32、,E是边AB上的一动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直 线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EHDE交DG的延长线于点H,连接BH. (1)求证:GF=GC; (2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明. 解析解析 (1)证明:如图,连接DF. 四边形ABCD为正方形, DA=DC=AB,A=C=ADC=90. 又点A关于直线DE的对称点为F, ADEFDE, DA=DF=DC,DFE=A=90, DFG=90. 在RtDFG和RtDCG中, RtDFGRtDCG(HL), GF=GC. (2)线段BH与AE的数量关系:BH=AE. 证明:在线段A
33、D上截取AM,使AM=AE,连接ME. , , DGDG DFDC 2 AD=AB, DM=BE. 由(1)得1=2,3=4, ADC=90, 1+2+3+4=90, 22+23=90, 2+3=45, EDH=45. EHDE, DE=EH, DEH=90,A=90, 1+AED=90,5+AED=90, 1=5. 在DME和EBH中, DMEEBH(SAS), ME=BH. A=90,AM=AE, ME=AE, BH=AE. , 15, , DMEB DEEH 2 2 疑难突破疑难突破 通过截取线段AM=AE从而将问题转化到证明DMEEBH是解答本题的突破口. 9.(2020海南,21,1
34、3分)四边形ABCD是边长为2的正方形,E是AB的中点,连接DE,点F是射线BC上一动点 (不与点B重合),连接AF,交DE于点G. (1)如图1,当点F是BC边的中点时,求证:ABFDAE; (2)如图2,当点F与点C重合时,求AG的长; (3)在点F运动的过程中,当线段BF为何值时,AG=AE?请说明理由. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是正方形, B=DAE=90,AB=AD=BC,(2分) 点E、F分别是AB、BC的中点, AE=AB,BF=BC, AE=BF,(3分) ABFDAE.(4分) (2)在正方形ABCD中,ADC=90,AD=CD=2, AC=2,(5分) ABCD
35、, AGECGD,(6分) =,即=,(7分) AG=.(8分) 1 2 1 2 22 ADCD 22 222 AG CG AE CD2 2- AG AG 1 2 2 2 3 (3)当BF=时,AG=AE.理由如下: 由(2)知,当点F与点C重合(即BF=2)时, AG=2),如图所示,设AF交CD于点M, 若使AG=AE=1,则有1=2, ABCD,1=4, 又2=3,3=4,DM=MG.(9分) 在RtADM中,AM2-DM2=AD2, 8 3 2 2 3 即(DM+1)2-DM2=22, DM=, CM=CD-DM=2-=,(10分) ABCD, ABFMCF,(11分) =,即=,(1
36、2分) BF=, 故当BF=时,AG=AE.(13分) 3 2 3 2 1 2 BF CF AB MC-2 BF BF 2 1 2 8 3 8 3 一题多解一题多解 (3)取线段BC的中点H,连接AH交ED于N,由(1)得DAEABH,BAH=ADE, BAD=BAH+DAH=90,ADE+DAH=90, AND=90,即ANDE, AE=AG,ANDE,BAH=GAH,ADE=GAH, ADBC,DAG=AFB,DAGAFH, =,=, 化简得3CF2+4CF-4=0,解得CF=或CF=-2(舍去), 所以BF=2+=. AG FH AD AF 1 1CF 22 2 2(2)CF 2 3 2
37、 3 8 3 考点一 矩形 教师专用题组 1.(2020海南,12,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=10,点E、F在AD边上,BF和CE交于点G,若EF=AD, 则图中阴影部分的面积为( ) A.25 B.30 C.35 D.40 1 2 答案答案 C 过点G作GPBC于P,延长PG交EF于Q,ADBC, EFGCBG, PGGQ=BCEF=ADAD=21, 又PQ=AB=6,PG=4,GQ=2, SBCG=104=20,SEFG=52=5, S矩形ABCD=610=60, S阴影=60-20-5=35. 故选C. 1 2 1 2 1 2 解后反思解后反思 本题主要考查了相似三角
38、形的性质,求不规则图形的面积常常将其转化为几个规则图形的 面积的和或差来解决. 2.(2019河北,16,2分)对于题目:“如图1,平面上,正方形内有一长为12、宽为6的矩形,它可以在正方形的 内部及边界通过移转(即平移或旋转)的方式,自由地从横放移转到竖放,求正方形边长的最小整数n.” 甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形,先求出该边长x,再取最小整数n. 图1 甲:如图2,思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去;结果取n=13. 图2 乙:如图3,思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去;结果取n=14. 图3 丙:如图4,思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去;结果取n=13.
39、 图4 下列正确的是( ) A.甲的思路错,他的n值对 B.乙的思路和他的n值都对 C.甲和丙的n值都对 D.甲、乙的思路都错,而丙的思路对 2 2 答案答案 B 当x为矩形对角线长时,根据勾股定理得x=13,最小整数n应为14,所以甲的思 路正确,他的n值错误;当x为矩形外接圆直径长(即矩形对角线长)时,x=13,最小整数n应为14,所以 乙的思路正确,他的n值正确;根据丙的思路,x=(6+12)=913,所以丙的思路错 误,他的n值错误.故选B. 22 612 180 180 2 2 2 思路分析思路分析 分别按甲、乙、丙三人的思路求出各自x的值,根据题意确定各自所取n的值并与矩形对角 线
40、长进行比较即可得解. 易错警示易错警示 三者思路的正误及n值的判断取决于x值不能小于矩形对角线长. 3.(2018浙江杭州,8,3分)如图,已知点P是矩形ABCD内一点(不含边界),设PAD=1,PBA=2,PCB=3, PDC=4.若APB=80,CPD=50,则( ) A.(1+4)-(2+3)=30 B.(2+4)-(1+3)=40 C.(1+2)-(3+4)=70 D.(1+2)+(3+4)=180 答案答案 A 过P作PQAD,与AB交于点Q, ADBC,PQADBC, APQ=PAD,QPB=CBP, 又APB=80,CBP=APB-DAP=80-1, ABC=2+80-1, 又在
41、CDP中,DCP=180-CPD-PDC=130-4, BCD=3+130-4, 又在矩形ABCD中,ABC+BCD=180, 2+80-1+3+130-4=180, 即(1+4)-(2+3)=30,故选A. 4.(2017新疆乌鲁木齐,9,4分)如图,在矩形ABCD中,点F在AD上,点E在BC上,把这个矩形沿EF折叠后,使点 D恰好落在BC边上的G点处,若矩形面积为4且AFG=60,GE=2BG,则折痕EF的长为( ) A.1 B. C.2 D.2 3 33 答案答案 C 四边形ABCD是矩形, ADBC,H=D=FGH=C=90. 由折叠知GFE=DFE,FD=FG. GFD=180-AF
42、G=120, GFE=DFE=60. ADBC, FGE=AFG=60,FEG=DFE=60, GEF是等边三角形, FG=GE=FE. 设BG=x,则GF=GE=EF=FD=2x. 作GMAD,交AD于点M, 则四边形ABGM是矩形,GM=GF sin 60=x,MF=GF cos 60=x, AD=AM+MF+FD=BG+MF+FD=4x, AD GM=4, 4xx=4, 解得x=1或x=-1(不符合题意,舍去), EF=2x=2,故选C. 3 3 33 5.(2017四川绵阳,9,3分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC 于E,F两点.若AC
43、=2,AEO=120,则FC的长度为( ) A.1 B.2 C. D. 3 23 答案答案 A 四边形ABCD是矩形, OA=OB=OC=AC=. ADBC, OFC=AEO=120, BFO=60. EFBD, BOF=90, OBF=OCB=30, COF=BFO-OCB=30, OF=FC. OF=OB tan 30=1,FC=1, 故选A. 1 2 3 6.(2020江西,12,3分)矩形纸片ABCD,长AD=8 cm,宽AB=4 cm,折叠纸片,使折痕经过点B,交AD边于点E,点 A落在点A处,展平后得到折痕BE,同时得到线段BA,EA,不再添加其他线段.当图中存在30角时,AE的长
44、 为 cm. 答案答案 或4或(8-4) 4 3 3 33 解析解析 分三种情况:当ABE=30时,在RtABE中,tan 30=,可得AE=;当AEB=30时, 在RtABE中,tan 30=,可得AE=4;当AED=30时,如图,由折叠性质可得ABEABE, AEB=AEB=75,ABE=15,在RtABE中,作FEB=FBE并交AB于点F,则AFE=30,BF= EF=2AE,AF=4-2AE,在RtAFE中,AE2+AF2=EF2,即AE2+(4-2AE)2=(2AE)2,化简得AE2-16AE+16=0,可求 得AE=8-4或8+4(舍),AE的长为 cm或4 cm或(8-4)cm.
45、 AE AB 3 3 4 3 3 AB AE 3 3 3 33 4 3 3 33 难点突破难点突破 第种情况的突破口是构造等腰三角形EFB,从而应用勾股定理得到关于AE的一元二次方 程. 7.(2020四川成都,25,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E,F分别为AB,CD边的中点.动点P从点E出发 沿EA向点A运动,同时,动点Q从点F出发沿FC向点C运动,连接PQ,过点B作BHPQ于点H,连接DH.若点 P的速度是点Q的速度的2倍,在点P从点E运动至点A的过程中,线段PQ长度的最大值为 ,线段DH长 度的最小值为 . 答案答案 3;- 2132 解析解析 如图所示,连接EF,
46、作QGAB于G,则四边形EGQF为矩形,EG=FQ,EF=QG=AD=BC. 图 PQ=, 点P从点E运动至点A,点Q从点F运动至点C, 在点P从点E运动至点A的过程中, 当A、P重合时,PE+FQ最大, 此时PE+FQ=AB+AB=3, 22 PGQG 22 ()PEFQCB 1 2 1 4 PQmax=3. 如图,连接EF交PQ于M,则EF=BC=3,连接BM. DCAB,FMQEMP, 图 =,ME=EF=2. BE=AB=2,BM=2. 22 33 182 ME MF PE FQ 2 1 2 3 1 2 22 MEBE2 FEB=BHM=90,点H和点E均在以BM为直径的圆上. 设圆心
47、为O,连接DO交O于点H1,依据点D在O外可知, 当H运动到H1位置时,DH的长最小, 过O作OKBE,OJBC,ONAD,垂足分别为K,J,N,则N,O,J在同一直线上,且四边形AKON,KBJO均为矩 形. 易得OK=EM=1,OJ=BE=1, DN=DA-AN=DA-OK=2,ON=NJ-OJ=AB-OJ=3, DHmin=DH1=-BM=-. 1 2 1 2 22 DNON 1 2 132 方法指导方法指导 在求解动态几何的最值问题时,一般采用数形结合与化动为静的思想,将不规则运动转换为 规则运动,再讨论最值问题. 8.(2019吉林,25,10分)如图,在矩形ABCD中,AD=4 cm,AB=3 cm,E为边BC上一点,BE=AB,连接AE.动点P,Q 从点A同时出发,点P以 cm/s的速度沿AE向终点E运动;点Q以2 cm/s的速度沿折线AD-DC向终点C运 动.设点Q运动的时间为x(s),在运动过程中,点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y(cm2). (1)AE= cm,EAD=
