1、 中考数学 （安徽专用） 第八章 热点题型探究 8.3 几何探究型 题型一 与全等三角形有关的探究 1.(2020安徽合肥168中学一模,23) (1)如图1,E是正方形ABCD边AB上的一点,连接BD、DE,将BDE绕点D逆时针旋转90,旋转后角的两边 分别与射线BC交于点F和点G. 线段DB和DG的数量关系是 ; 写出线段BE,BF和DB之间的数量关系. (2)四边形ABCD为菱形,ADC=60,点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点,连接BD、DE,将BDE绕 点D逆时针旋转120,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G. 如图2,点E在线段AB上时,请探究线段BE、BF和BD之间
2、的数量关系,写出结论并给出证明; 如图3,点E在线段AB的延长线上时,DE交射线BC于点M,若BE=1,AB=2,直接写出线段GM的长度. 解析解析 (1)DB=DG. 证明:由旋转可知,BDE=FDG,BDG=90, 四边形ABCD是正方形, CBD=45, G=45, G=CBD=45, DB=DG. BF+BE=BD. 证明:由知,FDG=EDB,G=DBE=45,BD=DG, FDGEDB(ASA), BE=FG, BF+FG=BF+BE=BC+CG, RtDCG中,G=CDG=45, CD=CG=CB, 2 DG=BD=BC, BF+BE=2BC=BD. (2)BF+BE=BD. 证
3、明:在菱形ABCD中,ADB=CDB=ADC=60=30, 由旋转得EDF=BDG=120,EDB=FDG, 在DBG中,G=180-120-30=30, DBG=G=30,DB=DG, 又DBE=G=30, EDBFDG(ASA), BE=FG, BF+BE=BF+FG=BG, 过点D作DMBG于点M, 2 2 3 1 2 1 2 BD=DG, BG=2BM, 在RtBMD中,DBM=30, BD=2DM. 设DM=a,则BD=2a,DM=a, BG=2a, =, BG=BD, BF+BE=BG=BD. 3 3 BD BG 2 2 3 a a 1 3 3 3 GM=. 详解:过点A作ANBD
4、于N,过点D作DPBG于P, RtABN中,ABN=30,AB=2, AN=1,BN=, BD=2BN=2, DCBE, =, CM+BM=2, 19 3 3 3 CD BE CM BM 2 1 BM=, RtBDP中,DBP=30,BD=2, BP=3, 由旋转得BD=DF, BF=2BP=6,易证GF=BE=1, GM=BG-BM=6+1-=. 2 3 3 2 3 19 3 2.(2020重庆A卷,26,8分)如图1,在RtABC中,BAC=90,AB=AC,点D是BC边上一动点,连接AD,把AD绕 点A逆时针旋转90,得到AE,连接CE,DE.点F是DE的中点,连接CF. (1)求证:C
5、F=AD; (2)如图2所示,在点D运动的过程中,当BD=2CD时,分别延长CF,BA,相交于点G,猜想AG与BC存在的数量 关系,并证明你猜想的结论; (3)在点D运动的过程中,在线段AD上存在一点P,使PA+PB+PC的值最小.当PA+PB+PC的值取得最小值 时,AP的长为m,请直接用含m的式子表示CE的长. 2 2 解析解析 (1)证明:BAC=DAE=90, BAD=CAE. 在ABD和ACE中, ABDACE, ABD=ACE. AB=AC,BAC=90, ABD=ACB=45, ECD=ACB+ACE=90. F是DE的中点, CF=DE. AD=AE,DAE=90, , , ,
6、 ABAC BADCAE ADAE 1 2 DE=AD. CF=AD.(3分) (2)=3.理由如下: 如图1所示,连接AF,DG,DG交AC于点M. 图1 2 2 2 BC AG 2 由(1)知,AF=CF=DF=DE. FAC=FCA. GAC=90, FAG=FGA. AF=GF. GF=DF=CF. FGD=FDG,FDC=FCD. FDG+FDC=90. GDC=90. B=45,ACD=45, BD=GD,CD=MD,AMG=45. CAG=90. MG=AG. BD=2CD, 1 2 2 BD=DG=2CD=2MG. BC=3MG=3AG. 即=3.(6分) (3)当ADBC时,
7、在AD上存在点P,满足条件.此时,CE的长为m.(8分) 详解:如图2,将BPC绕点B顺时针旋转60得到BNM,连接PN, 2 BC AG 2 33 2 图2 BP=BN,PC=NM,PBN=60, BPN是等边三角形,BP=PN, PA+PB+PC=AP+PN+MN, 当点A,P,N,M共线时,PA+PB+PC的值最小,如图3,连接MC, 图3 将BPC绕点B顺时针旋转60得到BNM, BP=BN,BC=BM,PBN=60=CBM, BPN是等边三角形,CBM是等边三角形, BPN=BNP=60,BM=CM. 又AB=AC, AM垂直平分BC. ADBC,BPD=60,BD=PD, AB=A
8、C,BAC=90,AD=BD, PD=PD+AP,PD=m, BD=PD=m, 由(1)可知CE=BD=m. 3 3 31 2 3 33 2 33 2 3.(2018安徽六安霍邱二模,23)在平行四边形ABCD中,BCD=120,GCH=60,GCH绕点C旋转,角的 两边分别与AB、AD交于点E、F,同时也分别与DA、BA的延长线交于点G、H. (1)如图1,若AB=AD. 求证:BECAFC; 在GCH绕点C旋转的过程中,线段AC、AG、AH之间存在着怎样的数量关系?并说明理由; (2)如图2,若AD=2AB,经探究得的值为常数k,求k的值. 图1 图2 2AEAF AC 解析 (1)证明:
9、四边形ABCD为平行四边形,且AB=AD, 四边形ABCD为菱形. BCD=120, B=BAC=BCA=D=CAD=ACD=60, BC=AC,BCE+ACE=60. GCH=60, FCA+ACE=60, FCA=ECB, BECAFC(ASA). AC2=AG AH,理由如下: 四边形ABCD为菱形,且GAE=HAF, GAC=HAC. CAD=60,G+ACE=60, FCA+ACE=60, G=FCA, AGCACH, =, AC2=AG AH. (2)过点C作CHAD,垂足为H. 四边形ABCD为平行四边形,BCD=120,D=60. 设HD=x,则有CD=2x,CH=x. AD=
10、2AB,AD=4x,AH=AD-DH=4x-x=3x. AC2=AH2+CH2, AC=2x, AC2+CD2=12x2+4x2=16x2=AD2, ACD=CAE=90, 在四边形AECF中,EAF=120,ECF=60, AG AC AC AH 3 3 EAF+ECF=180, CEA+AFC=180, CFH=CEA. CHF=CAB=90, CFHCEA, =, ACD=90,D=60, CAD=30, =2,即AE=2FH, =,k=. AE HF AC HC AE FH AC CH 2AEAF AC 2-2AEAHFH AC 2AH AC 6 2 3 x x 33 4.(2018安
11、徽第二次大联考,23) (1)如图1,已知正方形ABCD和正方形DEFG,G在AD边上,E在CD的延长线上.求证:AE=CG,AECG; (2)如图2,若将图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转角度(00),点E是线段CB延长线上的一个动点,连接 AE,过点A作AFAE交射线DC于点F. (1)如图1,若k=1,则AF与AE之间的数量关系是 ; (2)如图2,若k1,试判断AF与AE之间的数量关系,写出结论并证明;(用含k的式子表示) (3)若AD=2AB=4,连接BD交AF于点G,连接EG,当CF=1时,求EG的长. 图1 图2 备用图 解析解析 (1)AF=AE.(2分) 详解:k=1,A
12、D=AB, 四边形ABCD是正方形,BAD=90, AFAE,EAF=90,EAB=FAD, ABE=D=90, EABFAD(ASA),AF=AE. (2)AF=kAE.(4分) 证明:四边形ABCD是矩形, BAD=ABC=ADF=90, FAD+FAB=90, AFAE,EAF=90, EAB+FAB=90, EAB=FAD, ABE+ABC=180, ABE=180-ABC=180-90=90, ABE=ADF, ABEADF.(7分) =. AD=kAB,=, =,AF=kAE.(8分) (3)如图1,当点F在DC上时, 四边形ABCD是矩形,AB=CD,ABCD, AB AD AE
13、 AF AB AD 1 k AE AF 1 k 图1 AD=2AB=4,AB=2,CD=2, CF=1,DF=CD-CF=2-1=1. 在RtADF中,ADF=90, AF=, 22 ADDF 22 4117 DFAB, GDF=GBA,GFD=GAB, GDFGBA, =, AF=GF+AG, AG=AF=,(9分) 由(2)得AE=AF=.(10分) 在RtEAG中,EAG=90, EG=.(11分) 如图2,当点F在DC的延长线上时,DF=CD+CF=2+1=3 . GF GA DF BA 1 2 2 3 2 17 3 1 2 1 2 17 17 2 22 AEAG 22 172 17
14、23 1768 49 5 17 6 图2 在RtADF中,ADF=90, AF=5, DFAB, 22 ADDF 22 43 GAB=GFD,GBA=GDF, AGBFGD, =, GF+AG=AF=5, AG=2,(12分) 由(2)得AE=AF=5=.(13分) 在RtEAG中,EAG=90, EG=. 综上所述,EG的长为或.(14分) AG FG AB FD 2 3 1 2 1 2 5 2 22 AEAG 2 2 5 2 2 25 4 4 41 2 5 17 6 41 2 解题关键解题关键 解决第(3)问的关键是要发现并灵活运用AGBFGD,进而求得线段AE和AG的长.同时 要注意由于
15、点F的位置不确定需要分类讨论. 3.(2017安徽,23,14分)已知正方形ABCD,点M为边AB的中点. (1)如图1,点G为线段CM上的一点,且AGB=90,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F. 求证:BE=CF; 求证:BE2=BC CE; (2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BC CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求 tanCBF的值. 图1 图2 解析解析 (1)证明:四边形ABCD为正方形, AB=BC,ABC=BCF=90. 又AGB=90,BAE+ABG=90. 又ABG+CBF=90,BAE=CBF. ABEBCF(ASA),BE=C
16、F.(4分) 证明:AGB=90,点M为AB的中点, MG=MA=MB,GAM=AGM. 又CGE=AGM,CGE=CBG. 又ECG=GCB,CGECBG. =,即CG2=BC CE. 由CFG=GBM=BGM=CGF,得CF=CG. 由知,BE=CF,BE=CG.BE2=BC CE.(9分) (2)解法一:延长AE,DC交于点N(如图1). CE CG CG CB 图1 四边形ABCD是正方形, ABCD. N=EAB.又CEN=BEA, CENBEA. 故=,即BE CN=AB CE. AB=BC,BE2=BC CE,CN=BE. CE BE CN BA 由ABDN知,=. 又AM=MB
17、,FC=CN=BE. 不妨令正方形的边长为1. 设BE=x,则由BE2=BC CE,得x2=1 (1-x), 解得x1=,x2=(舍去). =. 于是tanCBF=.(14分) 解法二:不妨令正方形的边长为1.设BE=x, 则由BE2=BC CE,得x2=1 (1-x), 解得x1=,x2=(舍去),即BE=. CN AM CG GM CF MB 5-1 2 - 5-1 2 BE BC 5-1 2 FC BC BE BC 5-1 2 5-1 2 - 5-1 2 5-1 2 作GNBC交AB于N(如图2), 图2 则MNGMBC.=. 设MN=y,则GN=2y,GM=y. =,=, 解得y=.G
18、M=. 从而GM=MA=MB,此时点G在以AB为直径的圆上. MN NG MB BC 1 2 5 GN BE AN AB 2 5-1 2 y 1 2 1 y 1 2 5 1 2 AGB是直角三角形,且AGB=90. 由(1)知BE=CF,于是tanCBF=.(14分) FC BC BE BC 5-1 2 4.(2015安徽,23,14分)如图1,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点.过点E作AB的垂线,过点F 作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA、GB、GC、GD、EF,若AGD=BGC. (1)求证:AD=BC; (2)求证:AGDEGF; (3)如图2,若AD、BC所在直线
19、互相垂直,求的值. AD EF 解析解析 (1)证明:由题意知GE垂直平分AB,GA=GB. 同理,GD=GC. 在AGD和BGC中,GA=GB,AGD=BGC,GD=GC, AGDBGC.AD=BC.(5分) (2)证明:AGD=BGC,AGB=DGC. 在AGB和DGC中,=,AGB=DGC, AGBDGC.(8分) =.又AGE=DGF, AGD=EGF, AGDEGF.(10分) (3)如图,延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,则AHBH. GA GD GB GC AG DG EG FG 图 由AGDBGC,知GAD=GBC. 在GAM和HBM中,GAD=GBC,GMA=HMB
20、, AGB=AHB=90,(12分) AGE=AGB=45, =. 又AGDEGF, 1 2 AG EG 2 =.(14分) (本小题解法有多种,如可按图和图所作的辅助线的方法求解,过程略) 图 图 AD EF AG EG 2 5.(2013安徽,23,12分)我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯 形”.如图1,四边形ABCD即为“准等腰梯形”.其中B=C. (1)在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中,选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个 等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可); (2)如图2,在“准等腰梯
21、形”ABCD中,B=C,E为边BC上一点,若ABDE,AEDC.求证:=; (3)在由不平行于BC的直线AD截PBC所得的四边形ABCD中,BAD与ADC的平分线交于点E,若EB =EC,请问当点E在四边形ABCD内部时(即图3所示情形),四边形ABCD是不是“准等腰梯形”,为什么? 若点E不在四边形ABCD内部时,情况又将如何?写出你的结论.(不必说明理由) AB DC BE EC 图1 图2 图3 解析解析 (1)如图所示:(画出其中一种即可) (2)证明:AECD, AEB=C, 又ABED, B=DEC, ABEDEC. =. 又B=C, B=AEB, AB=AE. 故=. (3)是.
22、理由:过E点分别作EFAB,EGAD,EHCD,垂足分别为F,G,H(如图). AE平分BAD, EF=EG, AE CD BE EC AB CD BE EC 又DE平分ADC, EG=EH, EF=EH, 又EB=EC, RtBFERtCHE, 3=4, 又EB=EC, 1=2, 1+3=2+4, 即ABC=DCB. 又四边形ABCD为AD截某三角形所得,且AD不平行于BC,四边形ABCD为“准等腰梯形”. 当点E不在四边形ABCD内部时,有两种情况: 当点E在四边形ABCD的边BC上时,如图所示,四边形ABCD为“准等腰梯形”; 当点E在四边形ABCD的外部时,如图所示,四边形ABCD仍为
23、“准等腰梯形”. 图 图 6.(2020安徽九年级结束新课测试,23)如图1,正方形ABCD的边长为6,点E是AB边上的一个动点(不与点A, B重合),连接CE. (1)过点E作CEF=90,交AD于点F,求证:AEFBCE; (2)如图2,过点B作BFCE于点G,交AD于点F.当点E运动到AB中点时,连接DG,求证:AD=DG; (3)如图3,在(2)的条件下,过点C作CMDG于点H,分别交DA,BF于点M,N,求的值. CN MN 解析解析 (1)证明:EFCE, CEF=90, AEF+BEC=90, 四边形ABCD是正方形, B=A=90,ECB+BEC=90, AEF=ECB,AEF
24、BCE.(4分) (2)证明:过点D作DQCE于点Q, 点E是AB的中点, EA=EB=AB=3, 1 2 CE=3. 在RtCEB中,SCEB=BG CE=CB EB, BG=, CG=. DCE+BCE=90,CBF+BCE=90, DCE=CBF. CD=BC,CQD=CGB=90, CQDBGC(AAS), CQ=BG=, GQ=CG-CQ=CQ. 5 1 2 1 2 CB EB CE 6 3 3 5 6 5 5 22 -CB BG 12 5 5 6 5 5 6 5 5 DQ=DQ,CQD=GQD=90, DGQDCQ(SAS). CD=GD,又AD=DC,AD=DG.(8分) (3)
25、过点D作DQCE于点Q,由(2)可知DQ=,SCDG= DQ CG=CH DG, CH=. 在RtCHD中,CD=6, DH=, MDH+HDC=90,HCD+HDC=90, 22 -DG GQ 12 5 5 1 2 1 2 CG DQ DG 24 5 22 -CD CH 18 5 MDH=HCD, CHDDHM, =, HM=, 在RtCHG中,CG=,CH=, GH=. NGH+CGH=90,HCG+CGH=90, NGH=HCG, NGHGCH, =, DH MH CH DH 4 3 27 10 12 5 5 24 5 22 -CG CH 12 5 HN HG HG CH HN=, MN=HM-HN=, CN=HN+HC=+=6. =4.(14分) 2 HG CH 6 5 3 2 6 5 24 5 CN MN 6 3 2
