1、 专题专题 3 和差化积和差化积-因式分解的方法（因式分解的方法（1） 阅读与思考阅读与思考 提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来 选择分解的方法，有公因式的先提公因式，分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止 一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法： 1换元法： 对一些数、 式结构比较复杂的多项式， 可把多项式中的某些部分看成一个整体， 用一个新字母代替， 从而可达到化繁为简的目的从换元的形式看，换元时有常值代换、式的代换；从引元的个数看，换元 时有一元代换、二元代换等 2拆、添项法： 拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差，添项即把代数式
2、添上两个符号相反的项，因式分解中 进行拆项与添项的目的是相同的，即经过拆项或添项后，多项式能恰当分组，从而可以运用分组分解法 分解 例题与求解例题与求解 【例【例 l】分解因式1221 22 xxxx_ （浙江省中考题） 解题思路解题思路：把xx 2 看成一个整体，用一个新字母代换，从而简化式子的结构 【例【例 2】观察下列因式分解的过程：】观察下列因式分解的过程： （1）yxxyx44 2 ； 原式 4444 2 xyxyxyxxyxxyx； （2）bccba2 222 原式cbacbacbabccba 2 2222 2 第（1）题分组后能直接提公因式，第（2）题分组后能直接运用公式 仿照上
3、述分解因式的方法，把下列各式分解因式： （1）bcacaba 2 ； （西宁市中考试题） （2）yzzyx44 222 （临沂市中考试题） 解题思路解题思路：通过分组，使每一组分组因式后，整体能再分解，恰当分组是关键，经历“实验失 败再试验再失败直至成功”的过程 【例【例 3】分解因式 （1）1999) 11999(1999 22 xx； （重庆市竞赛题） （2） 112xyxyxyyxyx； （ “缙云杯”邀请赛试题） （3）3 33 22yxyx （ “五羊杯”竞赛试题） 解题思路：解题思路： （1）式中系数较大，直接分解有困难，不妨把数字用字母来表示； （2）式中yx、xy 反复出现，可
4、用两个新字母代替，突出式子的特点； （3）式中前两项与后一项有密切联系 【例【例 4】把多项式342 22 yxyx因式分解后，正确的结果是（ ） A13yxyx B31yxyx C13yxyx D31yxyx （ “希望杯”邀请赛试题） 解题思路：解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如341 【例【例 5】分解因式： （1）1 5 xx； （扬州市竞赛题） （2）89 3 xx； （请给出多种解法） （ “祖冲之杯”邀请赛试题） （3）1232 234 aaaa 解题思路：解题思路：按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略 【例【例 6】分解因式：61
5、16 23 xxx （河南省竞赛试题） 解题思路：解题思路：拆哪一项？怎样拆？可有不同的解法 能力训练能力训练 A 级 1分解因式： （1） 23 4 1 xxx_ （泰安市中考试题） （2） 33 164mnnm_ （威海市中考试题） 2分解因式： （1）xyyyxx2) 1() 1(_； （2）8)3(2)3( 222 xxxx_ 3分解因式：324 22 baba_ 4多项式aax8 3 与多项式44 2 xx的公因式是_ 5在 1100 之间若存在整数n，使nxx 2 能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的n有_ 个 6将多项式yzzyx1294 222 分解因式的积，结果是（ ） A
6、)32)(32(zyxzyx B)32)(32(zyxzyx C)32)(32(zyxzyx D)32)(32(zyxzyx 7下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（ ） A27279 23 xxx B2727 23 xxx C2727 34 xxx D2793 23 xxx （ “希望杯”邀请赛试题） 8把4 4 a分解因式，其中一个因式是（ ） A1a B2 2 a C4 2 a D22 2 aa 9多项式abccba3 333 有因式（ ） Abac Bcba Cabacbccba 222 Dabacbc （ “五羊杯”竞赛试题） 10已知二次三项式1021 2 axx可分解成两
7、个整系数的一次因式的积，那么（ ） Aa一定是奇数 Ba一定是偶数 Ca可为奇数也可为偶数 Da一定是负数 11分解因式： （1）13322) 132( 222 xxxx； （2）90) 384)(23( 22 xxxx； （3）17 24 xx； （ “祖冲之杯”邀请赛试题） （4）652 23 xxx； （重庆市竞赛试题） （5） 444 )(yxyx； （6） 2 ) 1)(13)(12)(16(xxxxx 12先化简，在求值： 2 )()(2babaa，其中 2008a，2007b B 级 1分解因式：3444 22 yyxx_ （重庆市竞赛试题） 2分解因式：)5()4)(3)(2)
8、(1(xxxxxx_ （ “五羊杯”竞赛试题） 3分解因式：12)5)(3)(1( 2 xxx_ （ “希望杯”邀请赛试题） 4分解因式：1 5 xx_ （ “五羊杯”竞赛试题） 5将1 45 xx因式分解得（ ） A) 1)(1( 32 xxxx B) 1)(1( 32 xxxx C) 1)(1( 32 xxxx D) 1)(1( 32 xxxx （陕西省竞赛试题） 6已知cba,是ABC 三边的长，且满足0)(22 222 cabcba，则此三角形是（ ） A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D不能确定 76132 23 xxx的因式是（ ） A12 x B2x C3x D1 2 x
9、 E. 12 x （美国犹他州竞赛试题） 8分解因式： （1） 2 )1 ()2)(2(abbaabba； （湖北省黄冈市竞赛试题） （2）199919981999 24 xxx； （江苏省竞赛试题） （3） 222 12) 16)(1(aaaaa； （陕西省中考试题） （4）15314 3 xx； （ “祖冲之杯”邀请赛试题） （5） 333 )(125)23()32(yxyxyx； （ “五羊杯”竞赛试题） （6）6121444 234 xxxx （太原市竞赛试题） 9已知乘法公式： )( 43223455 babbabaababa )( 43223455 babbabaababa 利用或者不利用上述公式，分解因式：1 2468 xxxx （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 10分解因式： （1）xxx276 23 ； （2）1 23 aaa； （3）xyyxxyx)7()2(8 22 11对方程2004 2222 baba，求出至少一组正整数解 （莫斯科市竞赛试题） 12已知在ABC 中，),(010616 222 是三角形三边的长cbabcabcba， 求证：bca2 （天津市竞赛试题）
