1、 专专题题 3 03 0 运动与变化运动与变化- - - - - - - - - - - 函数思想函数思想 阅读与思考阅读与思考 所谓函数思想，就是用运动、变化的观点来分析问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种关系 表示出来，运用函数的概念和性质去分析问题、解决问题. 函数思想在解决问题中有以下几个方面的应用： 1利用函数图象解决问题； 2用函数的观点研究方程（组） 、不等式（组）的解； 3建立目标函数，运用函数的性质去解决问题. 方程与函数有着深刻的内在联系，这种联系体现在：方程的解是对应的函数图象交点的横坐 标函数图象的直观性，使得我们对方程的理解有了一种新的途径， 函数是初中数学的主要
2、内容，有正比例函数、反比例函数、一次函次和二次函数，要研究它们的 性质和图象函数的思想方法就是用变化运动的观点来观察、分析问题 应熟悉以下基本问题： 常见函数的性质、图象、画法； 常见函数的图象与该函数的解析式中各个系数的符号的关系； 确定常见函数解析式的方法；函数与方程（组）的联系. 例题与求解例题与求解 【例例 1】 同学们都知道，一次函数0kbkxy的图象是一条直线，它可以表示许多实际意义， 比如在图 1 中，x 表示时间（小时） ，y 表示路程（千米） 那么从图象上可以看出，某人出发时（x0） ， 离某地（原点）2 千米，出发 1 小时，由 x1，得 y5，即某人离某地 5 千米，他走
3、了 3 千米 在图 2 中，OA，BA 分别表示甲、乙两人的运动图象，请根据图象回答下列问题： (1)如果用 t 表示时间， y 表示路程， 那么甲、 乙两人各自的路程与时间的函数关系式： 甲_， 乙_; (2)甲的运动速度是_千米/时； (3)甲、乙同时出发，相遇时，甲比乙多走_千米 （常州市中考试题） x y O 2 1123 1 2 3 4 5 x y B A 10 5 15 20 O12345 图 1 图 2 解题思路：解题思路：本例采用新视角将行程问题用图示法表示，解题的关键是领会“一次函数”表示行程问 题的意义，从图象获得与行程问题相关量的信息. 对于某些从正面直接求解比较困难的数
4、学问题，通过对题设与结论的观察与分析，构造辅助元 素，使问题结构更加清晰，解题过程更加简化，目标结论更为明确，这种解题方法称为构造法 构造法的基本形式是以已知条件为“原料”，以所求结论为“方向”，构造出一种新的数学形 式，常用的构造方法有： 构造实例； 构造反例； 构造方程； 构造函数； 构造图形. 【例【例 2】对于方程 2 22xxm，如果方程实根的个数恰为 3 个，则 m 值等于( ) A.1 B3 C2 D2.5 解题思路：解题思路：可将 m 值一一代入原方程，逐一验证，直至筛选出符合条件的 m 的值本例的另一解 法是把讨论方程解的个数转化为讨论函数 2 22yxx与函数my 图象交点
5、，利用函数图象解题 【例【例 3】已知 b，c 为整数，方程05 2 cbxx的两根都大于1 且小于 0，求 b 和 c 的值 （全国初中数学联赛试题） 解题思路：解题思路：解本例的基本思路是利用求根公式，通过解不等式组求出 b，c 的值，显然较繁可以 构造二次函数，讨论二次函数cbxxy 2 5与 x 轴交点在1 与 0 之间时所满足的约束条件入手 【例【例 4】在直角坐标系中有以 A（1，1） ，B(1，一 1), C(1，1） ，D(1，1)为顶点的正方 形，设它在折线yxaa上侧部分的面积为 S试求 S 关于 a 的函数关系式，并画出它们的图象 （河北省竞赛试题） 解题思路：解题思路：
6、CD，AB 平行于 x 轴且与 x 轴的距离为 1，就 a1，0a1，1a0，a1 四种 情况讨论. 【例【例 5】如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水 面中心，OA1.25 米由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流沿形状相同的各条抛物线落下，为使水 流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 米处时距水面最大高度为 2.25 米 (1)如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至落到池外？ (2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为 3.5 米，要使水流不落到池外，此时水流的 最大高度应达多少米？（精确
7、到 0.1 米） （山西省中考试题） A O 解题思路：解题思路：以 OA 所在的直线为 y 轴，过点 O 垂直于 OA 的直线为 x 轴，点 O 为原点，建立直角坐 标系，解题的关键是求出抛物线的解析式. 随着近年中考和竞赛试题改革的不断深入，数学应用题已不再停留在“列方程解应用”的层次 上，其内容繁多，题型多变，解法灵活，函数应用题的广泛出现是近年中考的一个显著特点. 函数应用题的数量关系是以函数的形式出现，解题的关键是建立量与量之间的函数关系式，运用 相关函数的性质解题. 【例【例 6】某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的 80%出售，同时，当顾客在商场内消费满 一定金额后，按下表
8、获得相应的返还金额 消费金额（元） 300400 400500 500600 600700 700900 返还金额（元） 30 60 100 130 150 注： “300400”表示消费金额大于 300 元且小于或等于 400 元，其他类同. 根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠例如，若购买标价为 400 元的商品，则 消费金额为 320 元，获得的优惠额为 400(180%) 30110(元) (1)购买一件标价为 1000 元的商品，顾客获得的优惠额是多少？ (2)如果顾客购买标价不超过 800 元的商品，要使获得的优惠额不少于 226 元，那么该商品的标价 至少为多少元？
9、 （南京市中考试题） 解题思路：解题思路：本题考查的是分段函数的应用问题，在解答过程中要体现分类讨论的思想 能力训练能力训练 1如图，是兰州市市内电话费 y（元）与通话时间 t（分钟）之间的函数关系的图象，则通话 7 分 钟需付电话费_（元） （甘肃省中考试题） y t 0.6 0.2 053 4 0 6 3 0 y x 9 3 0 3 3 0 05 03 0 2 0 y (元) x (吨) 2 0 0 5 0 1 0 第 1 题图 第 2 题图 第 4 题图 2如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李重量的关系的函数图象，由图中可知行李的重量 只要不超过_公斤，就可免费托运 3已知 a，b
10、为抛物线 y(xc)(xcd) 2 与 x 轴交点的横坐标，ab，则|ac| |cb| 的值为_ （全国初中数学竞赛试题） 4为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费，每 月收取水费 y（元）与用水量 x（吨）之间的函数关系如图按上述分段收费标准，小明家三、四月份 分别交水费 26 元和 18 元，则四月份比三月份节约用水_吨 （武汉 5 月调考试题） 5某校组织学生到距离学校 6 千米的光明科技馆去参观学生王红因事没能乘上学校的包车，于 是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标准如下： 里 程 收费（元） 3 千米以下（含 3 千米） 8.
11、00 3 千米以上，每增加 1 千米 1.80 (1)写出出租车行驶的里程数 x3（千米）与费用 y（元）之间的函数关系式：_ . (2)王红同学身上仅有 14 元钱，乘出租车到科技馆的车费够不够？请说明理由_ （常州市中考试题） 6已知边长为 1 的正方形 ABCD，E 为边 CD 的中点，动点 P 在正方形 ABCD 边上沿 ABCE 运动设点 P 经过的路程为 x，APE 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致为( ) x y O2.5 1 x y O2.5 1 x y O2.5 11 2.5O y x A B C D （天津市竞赛试题） 7向高为 h 的水瓶中注水，注满为止，如
12、果注水量 v 与水深 h 的函数关系如图所示，那么水瓶的 形态是( ) A B C D （黄冈市调考试题） v h H O 8方程014144 2 kxkx的两根满足 0 1 x1 2 x 2，则 k 的取值范围是( ) A0k2 B0k 7 4 C 1 4 k 7 4 D 1 4 k2 9某旅社有 100 张床位，每床每晚收费 10 元时，客床可全部租出，若每床每晚收费提高 2 元，则 减少 10 张床位租出；若每床每晚收费再提高 2 元，则再减少 10 张床位租出以每次提高 2 元的这种方 法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( ) A4 元或 6 元 B4 元 C6 元 D8
13、元 （无锡市竞赛试题） 10如图所示，矩形 ABCD 中，ABa，BCb， 3 b a3b.在 AB，BC，CD 和 DA 上分别取 E， F，G，H，使得 AEAHCFCG，则四边形 EFGH 面积的最大值为( ) A 2 () 2 ab B 2 () 4 ab C. 2 () 8 ab D 2 () 16 ab 11某公司生产一种产品，每件成本为 2 元，售价为 3 元年销售量为 100 万件为获取更好的效 益，公司准备拿出一定资金做广告通过市场调查发现：每年投入的广告费用为 x（10 万元）时，产品 的年销量将是原售量的 y 倍；同时 y 又是 x 的二次函数，相互关系如下表： x 0
14、1 2 y 1 1.5 1.8 (1)求 y 与 x 的函数关系式； (2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润 S（10 万元）与广告费 x(10 万元)的函数关系式； (3)如果一年投入的广告费为 1030 万元，问广告费在什么范围内时，公司获得的年利润随广告 费的增大而增大？ （广西赛区选拔赛试题） G F H E D CB A 12. 如图，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线 为 x 轴，横断面的对称轴为 y 轴桥拱的DDG 部分为一段抛物线，顶点 G 的高度为 8 米，AD 和 AD 是两侧高为 5.5 米的支柱OA 和
15、OA为两个方向的汽车通行区，宽都为 15 米，线段 CD 和DC为两段 对称的上桥斜坡，其坡度比为 1：4. (1) 求桥拱 DGD所在抛物线的解析式及 CC的长； (2) BE 和 BE为支撑斜坡的立柱，其高都为 4 米，相应的 AB 和 AB为两个方向的行人及非机动 车通行区，试求 AB 和 AB的宽； (3) 按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于 0.4 米今有一大型运 货汽车，装载某大型设备后，其宽为 4 米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为 7 米；它能否从 OA （或 OA）区域安全通过？请说明理由. （河北省中考试题） O y x G EE DD CCB
16、BAA 13有一边长为 5cm 的正方形 ABCD 和等腰PQR，PQ PR5cm，QR8cm.点 B，C，Q，R 在同一条直线 l 上. 当 C，Q 两点重合时，等腰PQR 以 1cm/秒的速度沿直线 l 按箭头所示方向开始匀 速运动，t 秒后正方形 ABCD 与等腰PQR 重合部分的面积为 scm2. 解答下列问题： (1) 当 t3 秒时，求 s 的值； (2) 当 t5 秒时，求 s 的值； (3) 当 5 秒t8 秒时，求 s 与 t 的函数关系式，并求出 s 的最大值 （吉林省中考试题） l P QR D CB A 14. 是否存在这样的实数 k，使得二次方程02312 2 kxk
17、x有两个实数根，且两根都在 2 与 4 之间？如果有，试确定 k 的取值范围；如果没有，试述理由. （“祖冲之杯”邀请赛试题） 15.实数a，b，c满足0cbaca证明：cbaacb4 2 （“祖冲之杯”邀请赛试题） 16.如图，已知点 A(1，0)，B(3，0)，C(0，t)，且0t，tanBAC3，抛物线经过 A，B，C 三点.点 P(2，m)是抛物线与直线 l： 1xky的一个交点 (1)求抛物线的解析式； (2)对于动点 Q(1，n） ，求 PQQB 的最小值； (3)若动点 M 在直线 l 上方的抛物线上运动，求AMP 的边 AP 上的高 h 的最大值. （内江市中考试题） y x O C BA 17. 点 A(4，0)，B(0，3)与点 C 构成边长分别是 3，4，5 的直角三角形，如果点 C 在反比例函数 k y x 的图象上，求k可能取的一切值 （“希望杯”邀请赛试题） 18.已知函数 2121xxxy (1)在直角坐标系中作出函数图象； (2)已知关于 x 的方程21213xxxkx（0k）有三个解，求k的取值范围 （“创新杯”竞赛试题） 19.当1x2 时，函数2242 22 aaaxxy有最小值 2，求a所有可能取的值 （太原市竞赛试题）
