1、 专题专题 08 分式方程分式方程 阅读与思考阅读与思考 分母含有未知数的方程叫分式方程解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程， 常用的方法有直接去分母、换元法等 在解分式方程中，有可能产生增根尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根， 挖掘隐含条件 例题与求解例题与求解 【例【例 1】 若关于x的方程 2 2 xa x 1 的解为正数，则a的取值范围是_ （黄冈市竞赛试题） 解题思路：解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约 【例【例 2】 已知 2 22 211 11 xxABC xxxxx ，其中 A，B，C 为常数求 ABC 的值 （“五羊杯”竞赛试题） 解题思路：
2、解题思路：将右边通分，比较分子，建立 A，B，C 的等式 【例【例 3】解下列方程： （1） 5968419221 19968 xxxx xxxx ； （“五羊杯”竞赛试题） （2） 22 22 3411 2283912 xxxx xxxx ； （河南省竞赛试题） （3） 2 x 2 1 x x 3 （加拿大数学奥林匹克竞赛试题） 解题思路：解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母需运用解分式问题、分式方程相 关技巧、方法解 【例【例 4】 （1）方程 1827 2938 xxxx xxxx 的解是_ （江苏省竞赛试题） （2）方程 222 1111 32567124xxxxx
3、xx 的解是_ （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口 【例【例 5】若关于x的方程 2 21 1 kxkx xxxx 只有一个解，试求k的值与方程的解 （江苏省竞赛试题） 解题思路：解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解 题 【例【例 6】求方程 1115 6xyz 的正整数解 （“希望杯”竞赛试题） 解题解题思路：思路：易知, ,x y z都大于 1，不妨设 1xyz，则 111 xyz ，将复杂的三元不定方程转 化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计逐步缩小其取
4、值范围，求出结果 能力训练能力训练 A 级级 1若关于 x 的方程 1 10 1 ax x 有增根，则a的值为_ （重庆市中考试题） 2 用换元法解分式方程 21 2 21 xx xx 时， 如果设 21x x y， 并将原方程化为关于y的整式方程， 那么这个整式方程是_ （上海市中考试题） 3方程 2 2 11 340 xx xx 的解为_ （天津市中考试题） 4两个关于x的方程 2 20 xx与 13 2xxa 有一个解相同，则a_ （呼和浩特市中考试题） 5已知方程 11 xa xa 的两根分别为a， 1 a ，则方程 11 11 xa xa 的根是（ ） Aa， 1 1a B 1 1a
5、 ，1a C 1 a ，1a Da， 1 a a （辽宁省中考试题） 6关于x的方程 2 1 1 xm x 的解是正数，则m的取值范围是（ ） Am1 Bm1 且m0 Cm1 Dml 且m2 （孝感市中考试题） 7 关于x的方程 22 xc xc 的两个解是x1c，x2 2 c ， 则关于x的方程 22 11 xa xa 的 两个解是（ ） Aa， 2 a Ba1， 2 1a Ca， 2 1a Da， 1 1 a a 8解下列方程： （1） 2 2 211 60 xx xx ； （苏州市中考试题） （2） 2 2 16104 933 xx xx （盐城市中考试题） 9已知 1 3x x 求x
6、10 x 5 510 11 xx 的值 10若关于x的方程 2 21 1 kxkx xxxx 只有一个解（相等的两根算作一个），求k的值 （黄冈市竞赛试题） 11已知关于x的方程x 22 x 2 2 1 0 22 m xxm ，其中m为实数.当m为何值时，方程恰有三个互 不相等的实数根?求出这三个实数根. （聊城市中考试题） 12若关于x的方程 12 2112 xxax xxxx 无解，求a的值 （“希望杯”邀请赛试题） B 级级 1方程 2222 11114 325671221xxxxxxxx 的解是_ （“祖冲之杯”邀请赛试题） 2方程 222 111 0 11828138xxxxxx 的
7、解为_ 3分式方程 1 112 xm xxx 有增根，则m的值为_ 4若关于x的分式方程 2 2 xa x 1 的解是正数，则a的取值范围是_ （黑龙江省竞赛试题） 5（1）若关于 x 的方程 2 1 33 m xx 无解，则m_ （沈阳市中考试题） （2）解分式方程 2 25 111 m xxx 会产生增根，则m_ （“希望杯”邀请赛试题） 6方程 3 3 11 6xx xx 的解的个数为（ ） A4 个 B6 个 C2 个 D3 个 7关于x的方程1 1 a x 的解是负数，则a的取值范围是（ ） Aal Ba1 且a0 Ca1 Da1 且a0 （山西省竞赛试题） 8某工程，甲队独做所需天
8、数是乙、丙两队合做所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合 做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍，则 111 111abc 的值 是（ ） A1 B2 C3 D4 （江苏省竞赛试题） 9已知关于x的方程（a 21） 2 2710 11 xx a xx 有实数根 （1）求a的取值范围； （2）若原方程的两个实数根为x1，x2，且 12 12 3 1111 xx xx ，求a的值. （TI 杯全国初中数学竞赛试颞） 10求方程 2 2xxy3xy20060 的正整数解. （江苏省竞赛试题） 11某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降. 今年三
9、月份的电脑售价比去 年同期每台降价 1 000 元如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为 10 万元今年销售额只有 8 万元 （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元? （2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑已知甲种电脑每台进价为 3500 元，乙种 电脑每台进价为 3000 元，公司预计用不多于 5 万元且不少于 4.8 万元的资金购进这两种电脑共 15 台， 有几种进货方案? （3）如果乙种电脑每台售价为 3 800 元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑， 返还顾客现金 a 元要使（2）中所有方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？ （齐齐哈尔市中考试题）
