1、 专题专题 17 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 阅读与思考阅读与思考 在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳 总结 1等腰三角形的判定： 从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； 从角入手，证明一个三角形的两个角相等 2证明线段相等的方法： 当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； 当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； 寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等 善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技 巧常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线如图所
2、示： 例题与求解例题与求解 【例【例 1】如图，在ABC 中，AB=7，AC=11，点 M 是 BC 的中点，AD 是BAC 的平分线，MF AD，则 CF 的长为_ （全国初中数学竞赛试题） 解题思路：解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点 M” 【例【例 2】如图，在ABC 中，B=2C，则 AC 与 2AB 之间的关系是（ ） AAC2AB BAC2AB CAC2AB DAC2AB (山东省竞赛试题) 解题思路：解题思路：如何条件B=2C，如何得到 2AB，这是解本题的关键 A B D M F C A B C 【例【例 3】两个全等的含 300，600角的
3、三角板 ADE 和三角板 ABC，如图所示放置，E、A、C 三点在 一条直线上，连结 BD，取 BD 中点 M，连结 ME，MC，试判断EMC 的形状，并说明理由 （山东省中考试题） 解题思路：解题思路：从ADEBAC 出发，先确定ADB 的形状，为判断EMC 的形状奠定基础 【例【例 4】如图，已知在ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于 F，求证：AF=EF （天津市竞赛试题） 解题思路：解题思路：只需证明FAE=AEF，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形 【例【例 5】如图，在等腰ABC 中，AB=AC，A=200，在
4、边 AB 上取点 D，使 AD=BC，求BDC 度 数 （ “祖冲之杯”竞赛试题） 解题思路：解题思路：由条件知底角为 300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为 600，600使我们联想到等 边三角形，由此找到切入口 如图 1，以 BC 为边在ABC 内作等边BCO；如图，以 AC 为边作等边ACE B C A D E A B D C F A B C M D E B C A D 图 1 O B C A D 图 2 E 能力训练能力训练 A 级级 1已知ABC 为等腰三角形，由顶点 A 所引 BC 边的高线恰等于 BC 边长的一半，则 BAC=_ 2如图，在 RtABC 中，C=900，ABC
5、=660，ABC 以点 C 为中点旋转到ABC 的位置，顶 点 B 在斜边 AB上，AC 与 AB 相交于 D，则BDC=_ 3 如图， ABC是边长为6的等边三角形， DEBC于E， EFAC于F， FDAB于D， 则AD=_ （天津市竞赛试题） 4如图，一个六边形的六个内角都是 1200，其连续四边的长依次是 1cm，9cm，9cm，5cm， 那么这个六边形的周长是_cm （ “祖冲之杯”邀请赛试题） 5如图，ABC 中，AB=AC，B=360，D、E 是 BC 上两点，使ADE=AED=2BAD，则图中 等腰三角形共有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 6若ABC 的三边长是
6、a，b，c，且满足 44422 abcb c， 44422 baca c， 44422 caba b，则ABC（ ） A钝角三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形 （ “希望杯”邀请赛试题） 7等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A300 B300或 1500 C1200或 1500 D300或 1200或 1500 （ “希望杯”邀请赛试题） 8如图，已知 RtABC 中，C=900，A=300，在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得PAB 是等腰 三角形，则符合条件的 P 点有（ ） A2 个 B4 个 C6 个 D8 个 （江苏省竞
7、赛试题） 第 5 题图 第 8 题图 第 9 题图 A C D B B A (第 2 题) A B C D E F (第 3 题) (第 4 题) 9 9 1 5 B A C D E B C A B C A D F G E 9如图在等腰 RtABC 中，ACB=900，D 为 BC 中点，DEAB，垂足为 E，过点 B 作 BFAC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF 交 AD 于 G 求证：ADCF； 连结 AF，度判断ACF 的形状，并说明理由 10如图，ABC 中，ADBC 于 D，B=2C，求证：AB+BD=CD （天津市竞赛试题） 11如图，已知ABC 是等边三角形，E 是 AC
8、 延长线上一点，选择一点 D，使得CDE 是等边三 角形，如果 M 是线段 AD 的中点，N 是线段 BE 的中点，求证：CMN 是等边三角形 （江苏省竞赛试题） 12如图 1，RtABC 中，ACB=900，CDAB，垂足为 D，AF 平分CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F 求证：CE=CF； 将图 1 中的ADE 沿 AB 向右平移到ADE 的位置，使点 E落在 BC 边上，其他条件不变，如 图 2 所示，试猜想：BE与 CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论 （山西省中考试题） B A C D A B D F E C 图 1 A B D F E C 图 2 A E D A C
9、 E N M B D B 级级 1如图，ABC 中，AD 平分BAC，AB+BD=AC，则B：C 的值=_ 2如图，ABC 的两边 AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 D、E，若BAC+DAE=1500，则 BAC 的度数是_ 3在等边ABC 所在平面内求一点 P，使PAB、PBC、PAC 都是等腰三角形，具有这样性质 的点 P 有_个 4如图，在ABC 中，ABC=600，ACB=450，AD、CF 都是高，相交于 P，角平分线 BE 分别 交 AD、CF 于 Q、S，则图中的等腰三角形的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 5如图，在五边形 ABCDE 中，A=B=1200，EA=A
10、B=BC= 1 2 DC= 1 2 DE，则D=（ ） A300 B450 C600 D67.50 （ “希望杯”竞赛试题） 6如图，MAN=160，A1点在 AM 上，在 AN 上取一点 A2，使 A2A1=AA1，再在 AM 上取一点 A3， 使 A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（ ） AA5 BA6 CA7 DA8 7 若 P 为ABC 所在平面内一点， 且APB=BPC=CPA=1200， 则点 P 叫作ABC 的费尔马点， 如图 1 若点 P 为锐角ABC 的费尔马点，且ABC=600，PA=3，PC=4，则 PB 的值为_ 如图 2，在锐角A
11、BC 外侧作等边ACB，连结 BB求证：BB过ABC 的费尔马点 P，且 BB=PA+PB+PC （湖州市中考试题） A B C D (第 1 题) (第 2 题) A B D E C A B C P A C B B 图 1 图 2 A B D C E F P Q S (第 4 题) A B C E D 第 5 题 A A1 N M A2 A3 (第 6 题) 8如图，ABC 中，BAC=600，ACB=400，P、Q 分别在 BC、AC 上，并且 AP、BQ 分别是 BAC、ABC 的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP （全国初中数学联赛试题） 9如图，在ABC 中，AD 是BAC 的平
12、分线，M 是 BC 的中点，过 M 作 MEAD 交 BA 延长线 于 E，交 AC 于 F，求证：BE=CF= 1 2 (AB+AC) （重庆市竞赛试题） 10 在等边ABC 的边 BC 上任取一点 D， 作DAE=600， DE 交C 的外角平分线于 E， 那么ADE 是什么三角形？证明你的结论 （ 学习报公开赛试题） A B P Q C A B D M C F E 11如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l： 1 2 yxm 与x轴、y轴的正半轴分 别相交于点 A、B，过点 C(4，4)作平行于y轴的直线交 AB 于点 D，CD=10 求直线l的解析式； 求证：ABC 是等腰直
13、角三角形； 将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x，y轴分别相交于点 A、B，在直 线 CD 上存在点 P，使得ABP 是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标 （宁波市江东区模拟题） 12如图 1，在平面直角坐标系中，AOB 为等腰直角三角形，A(4，4) 求 B 点坐标； 如图 2，若 C 为x轴正半轴上一动点，以 AC 为直角边作等腰直角ACD，ACD=900，连接 OD，求AOD 度数； 如图 3，过点 A 作y轴于 E，F 为x轴负半轴上一点，G 在 EF 的延长线上，以 EG 为直角边作 等腰 RtEGH，过 A 作x轴垂线交 EH 于点 M，连接 FM，等式 AMFM OF =1 是否成立？若成立，请 证明；若不成立，说明理由 B A O x y B A O x y C D B A O x y E F G H M 图 1 图 2 图 3 B A C O D y x
