1、 专题专题 08 二次函数二次函数 阅读与思考阅读与思考 二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主 要知识与方法有： 1.二次函数解析式cbxaxy 2 的系数符号，确定图象的大致位置. 2.二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与a有关， a b 2 与（ a b 2 ， a bac 4 4 2 ）决定抛 物线对称轴与顶点的位置. 3.二次函数的解析式通常有下列三种形式： 一般式：cbxaxy 2 ； 顶点式nmxay 2 )(： ； 交点式：)( 21 xxxxay，其中 1 x， 2 x为方程0 2 cbxax的两个实根. 用待定系数法求
2、二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷. 例题与求解例题与求解 【例例 1】 二次函数cbxaxy 2 的图象如图所示，现有以下结论：0abc；cab； 024cba；bc32 ；1mbammba.其中正确的结论有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 （天津市中考试题） 解题思路解题思路：由抛物线的位置确定a，b，c的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并 能综合推理. 3 21 -1 O x y 【例例 2】 若二次函数cbxaxy 2 (a0)的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（1，0） ， 则cbaS的值的变化范围是（
3、） A.0S1 B. 0S2 C. 1S2 D. 1S1 （陕西省竞赛试题） 解题思路解题思路：设法将 S 表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定 S 的值的变化 范围. 【例例 3】 某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的 坐标系下经过原点 O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）. 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 3 2 10米，入水处距池边的距离 为 4 米，同时，运动员在距水面高度 5 米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就 会失误. （1）求这条抛物线的解析式；
4、（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿 势时，距池边的水平距离为 5 3 3米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由. （河北省中考试题） 解题思路解题思路：对于（2） ，判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为 5 3 3米时，该运动员 与跳台的垂直距离. 3m 跳 台 支 柱 池 边 水面 1m O y x 10 m A B 【例例 4】 如图，在直角坐标 xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为 C（4，3） ，且在x轴上截得的线 段 AB 的长为 6. （1）求二次函数的解析式； （2）在y轴上求作一点 P（不写作法） ，
5、使 PAPC 最小，并求 P 点坐标； （3）在x轴的上方的抛物线上，是否存在点 Q，使得以 Q，A，B 三点为顶点的三角形与ABC 相似？ 如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. （泰州市中考试题） 解题思路解题思路：对于（1） 、 （2） ，运用对称方法求出 A，B，P 点坐标；对于（3） ，由于未指明对应关系，需 分类讨论. C BAOx y 【例例 5】 如图，已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE，其中 AF2，BF1.试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积. （辽宁省中考试题） 解题思路解题思路：设 DNPMx，矩形 PNDM 的
6、面积为y，建立y与x的函数关系式. 解题的关键是：最 值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围. P M FE D N C B A 【例例 6】 将抛物线33: 2 11 xyc沿x轴翻折，得抛物线 2 c，如图所示. （1）请直接写出抛物线 2 c的表达式. （2）现将抛物线 1 c向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为 M，与x轴的交点从左到 右依次为 A，B；将抛物线 2 c向右也平移移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为 N，与x轴 的交点从左到右依次为 D，E. 当 B，D 是线段 AE 的三等分点时，求m的值； 在平移过程中，是否存在以点 A，N，E，M
7、为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的 值；若不存在，请说明理由. （江西省中考试题） 解题思路解题思路：把相应点的坐标用m的代数式表示，由图形性质建立m的方程. 因m值不确定，故解题的 关键是分类讨论. O y x c2 c1 能力训练能力训练 A 级级 1.已知抛物线9)2( 2 xaxy的顶点在坐标轴上，则a的值为_. 2.已知抛物线cbxxy 2 与y轴交于点 A，与x轴正半轴交于 B，C 两点，且 BC2， ABC S3， 则b_. （四川省中考试题） 3.已知二次函数cbxaxy 2 的图象如图所示. （1）这个二次函数的解析式是y_； （2）当x_时，3y； （3）根
8、据图象回答，当x_时，0y. （常州市中考试题） 4.已知二次函数的图象经过原点及点（ 2 1 ， 4 1 ） ，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为 1，则该 二次函数的解析式为_. （安徽省中考试题） 5.二次函数cbxaxy 2 与一次函数caxy在同一坐标系中的图象大致是（ ） Ox yy xO y x O O y x A B C D 6.由于被墨水污染， 一道数学题仅能见到如下文字： 已知二次函数cbxxy 2 的图象过点 （1， 0） 求证：这个二次函数的图象关于直线2x对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是 （ ） A.过点（3，0） B.顶点是（2，2） C.在x
9、轴上截得的线段长度是 2 D.与y轴的交点是（0，3） （盐城市中考试题） 7.如图，抛物线cbxaxy 2 与两坐标轴的交点分别是 A，B，E，且ABE 是等腰直角三角形，AE BE，则下列关系式不能总成立的是（ ） （大连市中考试题） A.0b B. 2 cS ABE C.1ac D.0ca ABO E y x 4m 6m 8m 第 7 题图 第 8 题图 8.如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为 8 米，两侧距地面 4 米处高各有 一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 6 米，则校门的高为（精确到 0.1 米，水泥建筑物厚度 忽略不计） （ ） A.9.2 米
10、 B.9.1 米 C.9 米 D.5.1 米 （吉林省中考试题） -1 12O y x 9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面 O，A 两个观测点测得空 中固定目标 C 的仰角分别为和，OA1 千米，tan 28 9 , tan 8 3 ,位于 O 点正上方 3 5 千米 D 点处的直升机向目标 C 发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度 3 千米时，相应的水平距离为 4 千米（即图中 E 点）. （1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式； （2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由. （河北省中考试题） x C y E D OBA 10.如
11、图，已知ABC 为正三角形，D，E 分别是边 AC、BC 上的点（不在顶点） ，BDE60. （1）求证：DECBDA； （2）若正三角形 ABC 的边长为 6，并设 DCx，BEy，试求出y与x的函数关系式，并求 BE 最短 时，BDE 的面积. C E D B A 11.如图，在平面直角坐标系中，OBOA 且 OB2OA，点 A 的坐标是（1，2）. （1）求点 B 的坐标； （2）求过点 A，O，B 的抛物线的解析式； （3）连结 AB，在（2）中的抛物线上求出点 P，使 ABOABP SS .(陕西省中考试题) 1 1 x y O B A 12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线nmxx
12、y 2 经过点 A（3，0） ，B（0，3）两点，点 P 是 直线 AB 上一动点，过点 P 作x轴的垂线交抛物线于点 M.设点 P 的横坐标为 t； （1）分别求直线 AB 和 这条抛物线的解析式； （2）若点 P 在第四象限，连结 BM，AM，当线段 PM 最长时，求ABM 的面积； （3）是否存在这样的点 P，使得以点 P，M，B，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写 出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由. （南宁市中考试题） M P B 1 1 x y OA B 级级 1.已知二次函数cxxy6 2 的图象顶点与坐标原点的距离为 5，则c_. 2.如图，四边形 ABCD
13、 是矩形，A，B 两点在x的正半轴上，C，D 两点在抛物线xxy6 2 上.设 OA 的长为m(0m3).矩形 ABCD 的周长为l，则l与m的函数解析式为_. （昆明市中考试题） DC BAOx y D C B A O B A Ox y 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 3.如图，在O 的内接ABC 中，ABAC12，ADBC，垂足为 D（点 D 在边 BC 上） ，且 AD3， 当 AB 的长等于_时, O 的面积最大，最大面积为_. 4.如图，已知二次函数)0( 2 1 acbxaxy与一次函数)0( 2 kmkxy的图象相交于点 A（ 2，4） ，B（8，2） ，则能使 21
14、yy 成立的x的取值范围时_. (杭州市中考试题) 5.已知函数cbxaxy 2 的图象如下图所示，则函数caxy的图象只可能是（ ） （重庆市中考试题） y xO O x yy xOOx yy x O A B C D 6.已知二次函数cbxaxy 2 的图象如图所示， 则下列 6 个代数式：ab，ac，cba，cba， ba2，ba2中，其值为正的式子个数为 ( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.4 个以上 （全国初中数学联赛试题） y x O 1 7.已知抛物线cbxaxy 2 （a0）的对称轴是2x，且经过点 P(3,0)则cba的值为（ ） A.1 B.0 C.1 D.2 8
15、.已知二次函数cbxaxy 2 （0a）的对称轴是2x，且当0,2 321 xxx时，二次 函数y的值分别时 321 ,yyy，那么 321 ,yyy的大小关系是（ ） A. 321 yyy B. 321 yyy C. 312 yyy D. 312 yyy 9.已知抛物线4) 3 4 3( 2 xmmxy与x轴交于两点 A，B，与y轴交于 C 点，若ABC 是等腰三角 形，求抛物线的解析式. （ “新世纪杯”初中数学竞赛试题） 10.如图，已知点 M，N 的坐标分别为（0，1） ， （0，1） ，点 P 是抛物线 2 4 1 xy 上的一个动点. （1）判断以点 P 为圆心，PM 为半径的圆与
16、直线1y的位置关系； （2）设直线 PM 与抛物线 2 4 1 xy 的另一个交点为 Q，连结 NP，NQ，求证：PNMQNM. （全国初中数学竞赛试题） Q P y x N M O 11.已知函数12 2 xxy的图象与x轴相交于相异两点 A， B， 另一抛物线cbxaxy 2 过点 A， B，顶点为 P，且APB 是等腰直角三角形，求a，b，c的值. （天津市竞赛试题） 12.如图 1，点 P 是直线22:xyl上的点，过点 P 的另一条直线m交抛物线 2 xy 于 A，B 两点. （1）若直线m的解析式为 2 3 2 1 xy，求 A，B 两点的坐标； （2）如图 2，若点 P 的坐标为（2，t） ，当 PAAB 时，请直接写出点 A 的坐标；试证明：对于 直线l上任意给定的一点 P，在抛物线上都能找到点 A，使得 PAAB 成立； （3）如图 3，设直线l交y轴于点 C，若AOB 的外心在边 AB 上，且BPCOCP，求点 P 的坐标. （武汉市中考试题） m l P y x B A OOx y l A B m l y x O P C 图 1 图 2 图 3
