1、 考点考点 8 8：函数与几何综合：函数与几何综合 一、选择题 （2013 荆州）1.如图，在平面直角坐标系中，直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，以 AB 为边在第一象限作正 方形 ABCD，点 D 在双曲线 y=k x（k0）上，将正方形沿 x 轴负 方向平移 a 个单位长度后，点 C 恰好落在双曲线上，则 a 的值 是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 （2016 荆州）2如图，在 RtAOB 中，两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，将AOB 绕点 B 逆时针旋转 90后得到AOB 若反比例函数的图 象恰好经过斜边 AB 的中
2、点 C，SABO=4，tanBAO=2，则 k 的值为（ ） A3 B4 C6 D8 二、填空题 （2011 荆州）1.如图，双曲线 x y 2 (x0）经过四边形 OABC 的顶点 A、 C， ABC90， OC 平分 OA 与 x 轴正半轴的夹角， ABx 轴， 将ABC 沿 AC 翻折后得CB A ， B 点落在 OA 上， 则四边形 OABC 的面积是 . （2014荆州）2如图，已知点 A 是双曲线 y=在第一象 限的分支上的一个动点， 连结 AO 并延长交另一分支于点 B，以 AB 为边作等边ABC，点 C 在第四象限随着点 A 的运动，点 C 的位置也不断变化，但点 C 始终在双
3、曲线 y=（k0）上运动，则 k 的值是 （2015 荆州）3如图，OA 在 x 轴上，OB 在 y 轴上，OA=8， AB=10，点 C 在边 OA 上，AC=2，P 的圆心 P 在线段 BC 上， 且P 与边 AB，AO 都相切若反比例函数 y= （k0）的图 象经过圆心 P，则 k=_ （2017 荆州）4.如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴 上， 点B在第二象限.将矩形OABC绕点O顺时针旋转， 使点 B 落在y轴上，得到矩形 ODEF，BC 与 OD 相交于 点M.若经过点M的反比例函数y = k x (x 0)的图象交 AB
4、于点 N,S矩形 OABC= 32,tanDOE = 1 2,则 BN 的长 为_. x y 0 D C B A x y 第18题图第17题图第16题图F DEC A BMBAA COOB 三、解答题 （2011 荆州）1.（本题满分 9 分）如图，等腰梯形 ABCD 的底边 AD 在 x 轴上，顶点 C 在 y 轴正半轴上，B（4,2） ，一次函数 y=kx-1 的图象平分它的面积，关于 x 的函 数 y=m 2 x-(3m+k)x+2m+k 的图象与坐标轴只有两个交点，求 m 的值. （2011 荆州）2.（本题满分 12 分）如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形 OABC 与 CDEF 的
5、边 OC、OA 所在直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系（O、C、F 三点在 x 轴 正半轴上） .若P 过 A、 B、 E 三点(圆心在 x 轴上)， 抛物线cbxxy 2 4 1 经过 A、 C 两点，与 x 轴的另一交点为 G，M 是 FG 的中点，正方形 CDEF 的面积为 1. （1）求 B 点坐标； （2）求证：ME 是P 的切线； （3） 设直线 AC 与抛物线对称轴交于 N， Q 点是此对称轴上不与 N 点重合的一动点， 求ACQ 周长的最小值；若 FQt，SACQS，直接写出 S 与 t 之间的函数关系 式. （2012 荆州）3(本题满分 12 分)如图甲，四边形 OA
6、BC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，顶点在 B 点的抛物线交 x 轴于点 A、D，交 y 轴于点 E，连结 AB、 AE、BE已知 tanCBE 1 3 ，A(3，0)，D(1，0)，E(0，3) (1)求抛物线的解析式及顶点 B 的坐标； (2)求证：CB 是ABE 外接圆的切线； (3)试探究坐标轴上是否存在一点 P，使以 D、E、P 为顶点的三角形与ABE 相似， 若存在，直接写出 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； (4)设AOE 沿 x 轴正方向平移 t 个单位长度(0t3)时， AOE 与ABE 重叠部分 的面积为 s，求 s 与 t 之间的函数关系式，
7、 并指出 t 的取值范围 D C A y B O x y=kx-1 O B y A C DE x F G 图乙（备用图） 图甲 G F x ED C A y B O 图甲 A E D C B y x O A E D C B y x O （2015 荆州）4 （8 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，直线 AB 分别与 x 轴、 y 轴交于 B 和 A， 与反比例函数的图象交于 C、 D， CEx 轴于点 E， tanABO= ， OB=4，OE=2 （1）求直线 AB 和反比例函数的解析式； （2）求OCD 的面积 （2015 荆州）5 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，
8、平行四边形 ABCD 的边 BC 在 x 轴上，D 点在 y 轴上，C 点坐标为（2，0） ，BC=6，BCD=60，点 E 是 AB 上一点，AE=3EB，P 过 D，O，C 三点，抛物线 y=ax 2+bx+c 过点 D，B，C 三 点 （1）求抛物线的解析式； （2）求证：ED 是P 的切线； （3） 若将ADE 绕点 D 逆时针旋转 90， E 点的对应点 E会落在抛物线 y=ax 2+bx+c 上吗？请说明理由； （4）若点 M 为此抛物线的顶点，平面上是否存在点 N，使得以点 B，D，M，N 为顶 点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理 由 （
9、2016 荆州）6阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标 轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线” 例如，点 M（1，3） 的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=x+4 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形 OABC，点 B 在第一象限，A、C 分别在 x 轴和 y 轴上， 抛物线经过 B、 C 两点， 顶点 D 在正方形内部 （1）直接写出点 D（m，n）所有的特征线； （2）若点 D 有一条特征线是 y=x+1，求此抛物线的解析式； （3）点 P 是 AB 边上除点 A 外的任意一点，连接 OP，将OAP 沿着 OP 折叠，点 A 落在点 A的
10、位置，当点 A在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时，满足（2）中条 件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在 OP 上？ （2018 荆州）7 （12.00 分）阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点 P、Q 的坐 标分别是 P（x1，y1） 、Q（x2，y2） ，则 P、Q 这两点间的距离为|PQ|= 如 P （1， 2） ， Q （3，4） ， 则|PQ|=2 对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个 条件的点的轨迹如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直 平分线 解决问题：如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+交 y 轴于点
11、A，点 A 关于 x 轴的对称点为点 B，过点 B 作直线 l 平行于 x 轴 （1）到点 A 的距离等于线段 AB 长度的点的轨迹是 ； （2）若动点 C（x，y）满足到直线 l 的距离等于线段 CA 的长度，求动点 C 轨迹的 函数表达式； 问题拓展： （3） 若 （2） 中的动点 C 的轨迹与直线 y=kx+交于 E、 F 两点， 分别过 E、 F 作直线 l 的垂线， 垂足分别是 M、 N， 求证： EF 是AMN 外接圆的切线； + 为定值 （2019 荆州）8 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC 的顶点 A， C 的坐标分别为（6，0） ， （4，3） ，经
12、过 B，C 两点的抛物线与 x 轴的一个交点 D 的 坐标为（1，0） （1）求该抛物线的解析式； （2）若AOC 的平分线交 BC 于点 E，交抛物线的对称轴于点 F，点 P 是 x 轴上一动 点，当 PE+PF 的值最小时，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，过点 A 作 OE 的垂线交 BC 于点 H，点 M，N 分别为抛物线及 其对称轴上的动点，是否存在这样的点 M，N，使得以点 M，N，H，E 为顶点的四边 形为平行四边形？若存在，直接写出点 M 的坐标，若不存在，说明理由 参考答案 一、选择题 1.B 2.C 二、填空题 1.2 2.6 3. 4.3 三、解答题 1. 解：
13、过 B 作 BEAD 于 E，连结 OB、CE 交于点 P，P 为矩形 OCBE 的对称中心， 则过 P 点的直线平分矩形 OCBE 的面积. P 为 OB 的中点，而 B（4，2） P 点坐标为（2，1）1 分 在 RtODC 与 RtEAB 中，OCBE，ABCD RtODCRtEAB（HL）,SODCSEBA 过点（0，-1）与 P（2，1）的直线平分等腰梯形面 积，这条直线为 y=kx-1 2k-1=1 k=1 3 分 y=m 2 x-(3m+k)x+2m+k 的图象与坐标轴只有两个交点 当 m0 时， y-x+1,其图象与坐标轴有两个交点 （0， 1） ， （1，0）5 分 当 m0
14、 时，函数 y=m 2 x-(3m+k)x+2m+k 的图象为抛物线，且与 y 轴总有一 个交 点（0，2m+1） 若抛物线过原点时，2m+1=0，即 m= 2 1 ， 此时) 12(4) 13( 2 mmm= 2 ) 1(m0 抛物线与 x 轴有两个交点且过原点，符合题意. 7 分 若抛物线不过原点，且与 x 轴只有一个交点，也合题意， 此时) 12(4) 13( 2 mmm=0 m1=m2=-1 综上所述，m 的值为 m=0 或 2 1 或-1 9 分 2.解： （1）如图甲，连接 PE、PB，设 PCn 正方形 CDEF 面积为 1CDCF1 根据圆和正方形的对称性知 OPPCn BC2
15、PC2n1 分 而 PBPE， 222222 54nnnPCBCPB 1) 1( 2222 nEFPFPE 22 51) 1(nn 解得 n=1 ( 2 1 n舍去) 2 分 BCOC2 B 点坐标为（2，2）3 分 P E D C A y B O x y=kx-1 图甲 G F x ED C A y B O （2）如图甲，由（1）知 A（0，2） ，C（2，0） A，C 在抛物线上2 4 1 2 bxxy 2 3 b 抛物线的解析式为2 2 3 4 1 2 xxy 即 4 1 )3( 4 1 2 xy 4 分 抛物线的对称轴为 x=3,即 EF 所在直线 C 与 G 关于直线 x=3 对称，
16、 CFFG1 FM 2 1 FG 2 1 在 RtPEF 与 RtEMF 中 EF PF 2，2 2 1 :1 FM EF EF PF = FM EF PEFEMF5 分 EPFFEMPEMPEF+FEMPEF+EPF90 ME 与P 相切6 分 （注：其他方法，参照给分） （3）如图乙，延长 AB 交抛物线于 A ，连A C 交对称轴 x=3 于 Q，连 AQ 则有 AQ A Q，ACQ 周长的最小值为（AC+ A C）的长7 分 A 与 A 关于直线 x=3 对称A（0，2） ， A （6，2） A C522)26( 22 （6-2） ， 而 AC=2222 22 8 分 ACQ 周长的最
17、小值为52229 分 当 Q 点在 F 点上方时，St+110 分 当 Q 点在线段 FN 上时，S1-t11 分 当 Q 点在 N 点下方时，St-112 分 3(1)解：由题意，设抛物线解析式为 ya(x3)(x1) 将 E(0，3)代入上式，解得：a1 yx 22x3则点 B(1，4)2 分 (2)如图 6，证明：过点 B 作 BMy 于点 M，则M(0，4) 在 RtAOE 中，OAOE3， 1245，AE 22 OAOE32 在 RtEMB 中，EMOMOE1BM， MEBMBE45，BE 22 EMBM2 BEA1801MEB90 AB 是ABE 外接圆的直径3 分 在 RtABE
18、 中，tanBAE BE AE 1 3 tanCBE， BAECBE 在 RtABE 中，BAE390，CBE390 CBA90，即 CBAB CB 是ABE 外接圆的切线5 分 A Q 图乙（备用图） O B y A C D E x F G 图 6 A E D C B y x O 1 2 3 M (3)P1(0，0)，P2(9，0)，P3(0， 1 3 )8 分 (4)解：设直线 AB 的解析式为 ykxb 将 A(3，0)，B(1，4)代入，得 30, 4. kb kb 解得 2, 6. k b y2x6 过点 E 作射线 EFx 轴交 AB 于点 F，当 y3 时，得 x 3 2 ， F
19、( 3 2 ，3)9 分 情况一：如图 7，当 0t 3 2 时，设AOE 平移到DNM 的位置，MD 交 AB 于点 H， MN 交 AE 于点 G 则 ONADt，过点 H 作 LKx 轴于点 K，交 EF 于点 L 由AHDFHM，得 ADHK FMHL 即 33 2 tHK HK t 解得 HK2t S阴SMNDSGNASHAD 1 2 33 1 2 (3t) 21 2 t2t 3 2 t 23t 11 分 情况二：如图 8，当 3 2 t3 时，设AOE 平移到PQR 的位置，PQ 交 AB 于点 I， 交 AE 于点 V由IQAIPF，得 AQIQ FPIP 即 3 33 2 IQ
20、 t IQ t 解得 IQ2(3t) S阴SIQASVQA 1 2 (3t)2(3t) 1 2 (3t) 21 2 (3t) 21 2 t 23t 9 2 综上所述：s 2 2 33 3 0), 22 193 3 (3). 222 ttt ttt ( 12 分 A E D C B y x O F P Q V I R A E D C B y x O F M L H G K N D 4. 解： （1）OB=4，OE=2， BE=2+4=6 CEx 轴于点 E，tanABO= OA=2，CE=3 点 A 的坐标为（0，2） 、点 B 的坐标为 C（4，0） 、点 C 的坐标为（2，3） 设直线 AB
21、 的解析式为 y=kx+b，则，解得 故直线 AB 的解析式为 y= x+2 设反比例函数的解析式为 y= （m0） ，将点 C 的坐标代入，得 3=， m=6 该反比例函数的解析式为 y= （2）联立反比例函数的解析式和直线 AB 的解析式可得， 可得交点 D 的坐标为（6，1） ，则BOD 的面积=412=2，BOD 的面积=4 32=6，故OCD 的面积为 2+6=8 5. 解： （1）C（2，0） ，BC=6，B（4，0） ， 在 RtOCD 中，tanOCD=，OD=2tan60=2，D（0，2） ， 设抛物线的解析式为 y=a（x+4） （x2） ， 把 D（0，2）代入得 a4
22、（2）=2，解得 a=， 抛物线的解析式为 y=（x+4） （x2）=x 2 x+2； （2）在 RtOCD 中，CD=2OC=4， 四边形 ABCD 为平行四边形， AB=CD=4， ABCD， A=BCD=60， AD=BC=6， AE=3BE， AE=3， = ，= = ， =， 而DAE=DCB， AEDCOD， ADE=CDO， 而ADE+ODE=90 CDO+ODE=90， CDDE， DOC=90， CD 为P 的直径， ED 是P 的切线； （3）E 点的对应点 E不会落在抛物线 y=ax 2+bx+c 上理由如下： AEDCOD， =，即= ，解得 DE=3， CDE=90，
23、DEDC， ADE 绕点 D 逆时针旋转 90，E 点的对应点 E在射线 DC 上， 而点 C、D 在抛物线上， 点 E不能在抛物线上； （4）存在 y=x 2 x+2=（x+1） 2+ M（1，） ， 而 B（4，0） ，D（0，2） ， 如图 2， 当 BM 为平行四边形 BDMN 的对角线时， 点 D 向左平移 4 个单位， 再向下平移 2 个单位得到点 B，则点 M（1，）向左平移 4 个单位，再向下平移 2个单位 得到点 N1（5，） ； 当 DM 为平行四边形 BDMN 的对角线时， 点 B 向右平移 3 个单位， 再向上平移 个单位得到点 M，则点 D（0，2）向右平移 3 个单
24、位，再向上平移个单位得 到点 N2（3，） ； 当 BD 为平行四边形 BDMN 的对角线时， 点 M 向左平移 3 个单位， 再向下平移 个单位得到点 B，则点 D（0，2）向右平移 3 个单位，再向下平移个单位得 到点 N3（3，） ， 综上所述，点 N 的坐标为（5，） 、 （3，） 、 （3，） 6. 解： （1）点 D（m，n） ， 点 D（m，n）的特征线是 x=m，y=n，y=x+nm，y=x+m+n； （2）点 D 有一条特征线是 y=x+1， nm=1， n=m+1 抛物线解析式为， y=（xm） 2+m+1， 四边形 OABC 是正方形，且 D 点为正方形的对称轴，D（m，
25、n） ， B（2m，2m） ， （2mm） 2+n=2m，将 n=m+1 带入得到 m=2，n=3； D（2，3） ， 抛物线解析式为 y=（x2） 2+3 （3） 如图， 当点 A在平行于 y 轴的 D 点的特征线时， 根据题意可得，D（2，3） ， OA=OA=4，OM=2， AOM=60， AOP=AOP=30， MN=， 抛物线需要向下平移的距离=3= 当点 A在平行于 x 轴的 D 点的特征线时， 顶点落在 OP 上， A与 D 重合， A（2，3） ， 设 P（4，c） （c0） ，由折叠有，PD=PA， =c， c=， P（4，） 直线 OP 解析式为 y=， N（2，） ， 抛
26、物线需要向下平移的距离=3=， 即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在 OP 上 7.解： （1）设到点 A 的距离等于线段 AB 长度的点 D 坐标为（x，y） ， AD 2=x2+（y ） 2， 直线 y=kx+交 y 轴于点 A， A（0，） ， 点 A 关于 x 轴的对称点为点 B， B（0，） ， AB=1， 点 D 到点 A 的距离等于线段 AB 长度， x 2+（y ） 2=1， 故答案为：x 2+（y ） 2=1； （2）过点 B 作直线 l 平行于 x 轴， 直线 l 的解析式为 y=， C（x，y） ，A（0，） ， AC2=x2+（y）2，点 C 到直线 l 的距离为： （
27、y+） ， 动点 C（x，y）满足到直线 l 的距离等于线段 CA 的长度， x2+（y）2=（y+）2， 动点 C 轨迹的函数表达式 y=x2， （3）如图， 设点 E（m，a）点 F（n，b） ， 动点 C 的轨迹与直线 y=kx+交于 E、F 两点， ， x22kx1=0， m+n=2k，mn=1， 过 E、F 作直线 l 的垂线，垂足分别是 M、N， M（m，） ，N（n，） ， A（0，） ， AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（m+n）22mn+2=4k2+4， MN2= （mn） 2=（m+n） 24mn=4k2+4， AM2+AN2=MN2， AMN 是直角三
28、角形，MN 为斜边， 取 MN 的中点 Q， 点 Q 是AMN 的外接圆的圆心， Q（k，） ， A（0，） ， 直线 AQ 的解析式为 y=x+， 直线 EF 的解析式为 y=kx+， AQEF， EF 是AMN 外接圆的切线； 证明：点 E（m，a）点 F（n，b）在直线 y=kx+上， a=mk+，b=nk+， ME，NF，EF 是AMN 的外接圆的切线， AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1， +=+=2， 即：+为定值，定值为 2 8解： （1）平行四边形 OABC 中，A（6，0） ，C（4，3） BCOA6，BCx 轴 xBxC+610，yByC3，即 B（10
29、，3） 设抛物线 yax2+bx+c 经过点 B、C、D（1，0） 解得： 抛物线解析式为 yx2+x （2）如图 1，作点 E 关于 x 轴的对称点 E，连接 EF 交 x 轴于点 P C（4，3）OC BCOAOECAOE OE 平分AOCAOECOEOECCOECEOC5 xExC+59，即 E（9，3） 直线 OE 解析式为 yx 直线 OE 交抛物线对称轴于点 F，对称轴为直线：x7 F（7，） 点 E 与点 E关于 x 轴对称，点 P 在 x 轴上 E（9，3） ，PEPE 当点 F、P、E在同一直线上时，PE+PFPE+PFFE最小 设直线 EF 解析式为 ykx+h 解得： 直
30、线 EF：yx+21 当x+210 时，解得：x 当 PE+PF 的值最小时，点 P 坐标为（，0） （3） 存在满足条件的点 M， N， 使得以点 M， N， H， E 为顶点的四边形为平行四边形 设 AH 与 OE 相交于点 G（t，t） ，如图 2 AHOE 于点 G，A（6，0） AGO90 AG2+OG2OA2 （6t）2+（t）2+t2+（t）262 解得：t10（舍去） ，t2 G（，） 设直线 AG 解析式为 ydx+e 解得： 直线 AG：y3x+18 当 y3 时，3x+183，解得：x5 H（5，3） HE954，点 H、E 关于直线 x7 对称 当 HE 为以点 M，N，H，E 为顶点的平行四边形的边时，如图 2 则 HEMN，MNHE4 点 N 在抛物线对称轴：直线 x7 上 xM7+4 或 74，即 xM11 或 3 当 x3 时，yM9+9 M（3，）或（11，） 当 HE 为以点 M，N，H，E 为顶点的平行四边形的对角线时，如图 3 则 HE、MN 互相平分 直线 x7 平分 HE，点 F 在直线 x7 上 点 M 在直线 x7 上，即 M 为抛物线顶点 yM49+74 M（7，4） 综上所述，点 M 坐标为（3，） 、 （11，）或（7，4）
