1、 文科数学试题文科数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的）项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 11 ,(1)0Ax xBx x x，则A B（ ） A0 1xx B01xx C0 2xx D12xx 2复数 1 1 2 i z i 在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3下列函数中，既是偶函数又是在区间0,上单调递减的函数是（ ） A. cosyx B 2 yx C.lnyx D x ye 4平
2、面向量a与b的夹角为60， 2,0 ,1ab，则2ab 等于（ ） A2 2 B2 3 C12 D 10 5 已知命题 :p 函数 1 2 x ya (0a 且1a )恒过点(1,2)； 命题 :q 若函数(1)f x为偶函 数，则( )f x的图像关于直线1x 对称，则下列命题是真命题的是（ ） Apq且 Bpq且 Cp q 且 Dpq且 6函数 2 1 x x f x e 的图象大致是（ ） A B C D 7某大型电子商务平台每年都会举行“双 11”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从 2011 年 到 2019 年共 9 年“双 11”当天的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额 y
3、看成以年 份序号 x（2011 年作为第 1 年）的函数.运用 excel 软件，分别选择回归直线和三次多项式回 归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法错误错误 的是（ ） A销售额 y与年份序号 x呈正相关关系 B根据三次多项式函数可以预测 2020 年“双 11”当 天的销售额约为 2684.54亿元 C销售额 y与年份序号 x线性相关不显著 D 三次多项式回归曲线的拟合效果好于回归直线的 拟合效果 8执行如图的程序框图，若输入 x的值为 1 8 ，则输出的 y（ ） A 1 4 B 1 2 C2 D4 9若 1 sin 63 ，则 5 sin 2 6 （ ） A 7 9 B 8 9 C
4、1 3 D 2 3 10已知函数( )sin(2)(0,| |) 2 f xx 其图象的相邻两条对称轴之间的距离为 2 将函数 yf x的图象向左平移 3 个单位长度，得到的图象关于原点对称，则下列说 法正确的是（ ） A函数 f x的周期为 2 B函数 f x在, 12 3 上为减函数 C函数 f x在 , 2 2 上有且仅有 1 个零点 D函数 f x的图象关于点(,0) 6 对称 11已知双曲线 22 22 10,0 xy ab ab ，过其右焦点F且平行于一条渐近线的直线l与另 一条渐近线交于点A，l与双曲线交于点B， 若2B FA B， 则双曲线的离心率为 （ ） A 2 3 3 B
5、 3 C2 D2 12若存在两个正实数 , x y使得等式 ayyxxxln)ln2(成立，则实数a的取值范围是 （ ） A) 1 , 0( 2 e B 1 ,( 2 e C) 1 , 0( 3 e D 1 ,( 3 e 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13若x，y满足约束条件 10 20 220 x y xy ，则3zxy的最大值是_ 14设 n S是等差数列 n a的前n项和，且 1113 13aS，则 9 a _ 15已知抛物线 2 4yx的焦点为F，P为抛物线上一动点，定点1,1A，当PAF周长最 小时，P
6、F 所在直线的斜率为_ 16 九章算术是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述，比西方早 一千多年， 其中有这样一个问题： “今有圆材埋在壁中， 不知大小； 以锯锯之， 深一寸， 锯道长一尺， 问径几何？”其意为： 今有一圆柱形木材， 埋在墙壁中， 不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深 1 寸，锯道长 1尺，问这块圆柱形木 料的直径是多少？长为 0.5 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图 所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.己知弦1AB 尺，弓形高1CD 寸，估算该木材镶嵌墙内部分的体积约为 （注：一丈=10尺=100 寸， 5 3.14,sin22.5 13 ，答案四舍五入答案四
7、舍五入 ， 只取整数只取整数 ） 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17(本小题满分 10 分) 设数列 n a的前 n 和为 n S,已知 * 11 , 12, 1NnSaa nn . （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列1nan的前 n 项和 n T 18(本小题满分 12 分)已知 a，b，c 分别是ABC内角 A，B，C 的对边，且满足 2 2 bcabc （1）求角 A 的大小； （2）若3a ，sin2sinCB，求ABC的面积 19(本小题满分 12 分)为了解消费者购物情况，某购
8、物中心在电脑小票中随机抽取 n 张进行 统计，将结果分成 6 组，分别是：0,100) ,100,200), 300,400), 400,500), 500,600，制成如 下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在0,600元的区间内）. （1）若在消费金额为400,600元区间内按分层抽样抽取 6 张电脑小票，再从中任选 2 张，求 这 2 张小票来自400,500)元和500,600)元区间（两区间都有）的概率； （2）为做好春节期间的商场促销活动，商场设计了两种不同的促销方案. 方案一：全场商品打八五折. 方案二：全场购物满 100 元减 20 元，满 300 元减 80 元，满 500
9、 元减 120 元，以上减免 只取最高优惠，不重复减免.利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理 由. 20(本小题满分 12 分)如图 1，平面四边形ABPC中，ABC和PBC均为边长为2 3的 等边三角形，现沿BC将PBC折起，使 3 2PA ，如图 2. （1）求证：平面PBC 平面ABC； （2）求点C到平面PAB的距离. 21(本小题满分 12 分)已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，其右顶点为A， 下顶点为B，定点0,2C，ABC的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C 于,P Q两点，直线,BP BQ分别与x轴交于,M N两
10、点. （1）求椭圆C的方程； （2）试探究,M N的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 22(本小题满分 12 分)已知函数 2 1 ( )ln 2 f xxaxx （1）若函数( )f x在1,)上单调递增，求实数a的取值范围； （ 2 ） 若 函 数( )f x在1x 处 的 切 线 平 行 于x轴 ， 是 否 存 在 整 数k， 使 不 等 式 ( )1(2)x f xxk x在ex时恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，请说 明理由 答案答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C D B C A C B
11、A B B D 二、填空题 138 147 15 4 3 16317 三、解答题 17.解： （1）数列 n a的前 n 和为 n S,，已知 1 1a ， 211 21213aSa ， 1 分 当2n 时，由 11 (21)(21)2 nnnnn aaSSa ， 3 分 可得 1 3 nn aa ， 21 3aa， 1 3() n n nNa 5 分 （2）设 1 131() n n n nnnbNa 6 分 可得： 0121 (32)(33)(34)3(1) n n Tn 8 分 2 1 3(21)331( ) 1 322 nn nnnn nN 10 分 18. （ 1 ） 2 2 bca
12、bc， 可 得 ： 222 bcabc， 由 余 弦 定 理 可 得 ： 222 1 cos 222 bcabc A bcabc ， 3 分 又 0,A， 3 A ； 5 分 （2）由sin =2sinCB及正弦定理可得：2cb， 6 分 3a ， 3 A ，由余弦定理可得： 222222 2cos3abcbcAbcbcb， 解得：3b ，2 3c ， 10 分 1133 3 sin=32 3= 2222 ABC SbcA . 12 分 19. 解：（1） 由直方图可知， 按分层抽样在 400,600内抽 6 张， 则400,500内抽 4 张， 1 分 记为, , ,a b c d，在500
13、,600内抽 2 张，记为EF、，设两张小票来自400,500和 500,600为事件A，从中任选2张，有以下选法： ab ac adaEaFbc bEbFcdcEcFdEdFEF、 、 、 、共 15 种. 3 分 其 中 ， 满 足 条 件 的 有、aEaFbEbFcEcFdEdF， 共8 种， 4 分 8 15 P A .5 分 （2）解：由直方图可知，各组频率依次为 0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05. .6 分 方案一购物的平均费用为： 0.8550 0.1 150 0.2 250 0.25 350 0.3 450 0.1 550 0.050.85 275233.75
14、 （元）8 分 方案二购物的平均费用为： 50 0.1 130 0.2 230 0.25 270 0.3 370 0.1 430 0.05228（元） . .11 分 方案二的优惠力度更大.12 分 20.（1）取BC的中点O，连接OP，OA，因为ABC和PBC均为边长为2 3的等边三 角形， 所以AOBC，OPBC且3OAOP， .2 分 因为 3 2AP ，所以 222 OPOAAP，所以OPOA， .4 分 又因为OABCO，OA平面ABC，BC平面ABC，所以OP 平面 ABC， .5 分 又因为OP平面PBC，所以平面PBC 平面ABC. .6 分 （2）由（1）知，OP 平面ABC
15、，三棱锥PABC的体积 1 3 P ABCABC VSPO ， 设点C到平面PAB的距离为h，则 1 3 C PABPAB VSh ，由题意 PAB 中， 2 3ABPB ， 3 2AP , PAB 中PA边上的高为 2 2 3 230 2 3 22 ， .8 分 1303 15 3 2 222 PAB S , 13 =2 32 3=3 3 22 ABC S , .10 分 CPAABCP B VV ， 11 33 ABCPAB SPOSh，由（1）知，3PO， 3 ABCPAB SSh ， 36 5 5 ABC PAB S h S .所以，点C到PAB的距离为 6 5 5 . 12 分 21
16、.（1）由已知，,A B的坐标分别是,0 ,0,A aB b，由于ABC的面积为3， 1 (2)3 2 b a， 1 分 又由 2 3 = 1 2 cb e aa ，化简得2ab， 2 分 两式联立解得：=1b或=3b （舍去） ， 2, =1ab，椭圆方程为 2 2 1 4 x y； 4 分 （2）设直线PQ的方程为2ykx，,P Q的坐标分别为 1122 ,P x yQ x y 则直线BP的方程为 1 1 1 1 y yx x ，令0y ，得点M的横坐标 1 1 1 M x x y ， 5 分 直线BQ的方程为 2 2 1 1 y yx x ，令0y ，得点N的横坐标 2 2 1 N x
17、x y ， 6 分 12 12 (1)(1) MN x x xx yy 12 12 (3)(3) x x kxkx 12 2 1212 3 ()9 x x k x xk xx 7 分 把直线2ykx代入椭圆 2 2 1 4 x y得 22 (1 4)16120kxkx， 由韦达定理得 12 2 12 14 x x k ， 12 2 16 14 k xx k ， 9 分 2 22 22 12 14 1248 9 1414 MN k x x kk kk 222 124 12489363kkk ，是定值 12 分 22 （1）依题意 2 11 ( )10 axx fxax xx 在1,)上恒成立，
18、即 2 10axx ， 2 1x a x 在1,)上恒成立， 1 分 令 22 2 111111 ( )( )() 24 x g x xxxx ，则当2x时， min 1 ( ) 4 g x ， 3 分 所以 1 4 a ，即实数a的取值范围是 1 (, 4 4 分 （2）解法一：依题意(1)110fa ，所以0a，所以( )lnf xxx 不等式 ( )1(2)x f xxk x在时恒成立 即(ln1)(2)0 xxk x在时恒成立， 令，则( )lng xxk 5 分 (i)当0k 时， ( ) 0g x 函数( )g x在上单调递增， ，, 符合6 分 (ii)当0k 时，令 (x)=0,即 当 ,此时( ) 0g x，( )g x在上单调递增 7 分 当时， 当 ( )g x在上单调递减，在上单调递增， 当 k xe 时， min ( )()2 kk g xg eke9 分 要使令( )2 t h tte，则 ()2 t hte 不恒 成立 11 分 综上12 分 解法二： ln , 2 xxx xek x ln ( ),() 2 xxx g xxe x 令 6 分 则 2 2ln ( ) (2) xx g x x 令 2 ( )2ln ,( )10h xxxh x x 8 分 单调递增，11 分 综上 12 分
