1、 天一大联考 20202021 学年高中毕业班阶段性测试（一） 文科数学 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知集合 2 |230Mxxx，| 21Nxx ，则M
2、N （ ） A. 3 ,1 2 B. 3 2, 2 C. 2, 1 D. 1,1 2. 复数z满足1 22i zi，则z的虚部是（ ） A. 3 5 i B. 3 5 C. i D. -1 3. 已知平面向量a，b的夹角为60，且2a ，22 3ab，则b （ ） A. 1 B. 2 3 C. 3 D. 2 4. 已知 3 log 5x ， 2 log3y ， 3 2 3z ，则（ ） A. xyz B. yzx C. zyx D. yxz 5. 设等差数列 n a的前n项和为 n S，若 68 4396SS，则 7 S （ ） A. 7 B. 14 C. 24 D. 48 6. 若x，y满足
3、约束条件 1 20 3220 xy xy xy ，则3zxy的最小值为（ ） A. -3 B. -1 C. 0 D. 2 7. 九章算术商功中有这样一段话： “斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”其中 “解” 字的意思是用一个平面对某几何体进行切割.已知正方体 1111 ABCDABC D， 随机在线段 1 AC上取一 点，过该点作垂直于 1 AC的平面，则平面“解”正方体 1111 ABCDABC D所得的大、小两部分体积之 比大于 5 的概率为（ ） A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 8. 1 x f xxe x 的图象大致为（ ） A. B. C.
4、 D. 9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的为 0.01，则输出s的值等于（ ） A. 31 16 B. 63 32 C. 127 64 D. 255 128 10. 已知向量4cos ,1ax，cos, 2 3 bx ， 则函数 f xa b在, 6 3 上的所有零点之和 为（ ） A. 3 B. 2 C. 2 3 D. 11. 已知数列 n a满足 12 1aa， * 21 2 nnn aaanN ，则 n a的前 30 项之和为（ ） A. 31 22 3 B. 30 22 3 C. 15 41 3 D. 16 44 3 12. 已知双曲线C： 22 22 10,0 xy ab ab
5、 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F， 离心率为 2， 且经过点 3,2， 点P在C上， 12 60FPF，则点P到x轴的距离为（ ） A. 3 2 B. 6 2 C. 3 D. 6 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 下表是x，y之间的一组数据： x 0 1 2 3 4 y 5 7 8 c 19 且y关于x的回归方程为3.23.6yx，则表中的c_. 14. 已知直线yax与曲线2lnyx相切，则a_. 15. 已知抛物线 2 4 2yx的焦点为F，P为抛物线上位于x轴上方的一点， 点P到抛物线准线的距离为d， O为坐标原点，若POF的面积为2 3，则
6、d PO _. 16. 已知A，B，C是球O表面上的三点，2ABBC，90ABC，P是球面上的动点.三棱锥 PABC体积的最大值为 2，则球O的表面积为_. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3 sin1 cosaBbA. （）求A； （）若6a，sin2sinBC，求ABC的面积. 18. 某歌唱比赛中甲、 乙两位歌手争夺最后的冠军， 两人演唱结束后， 从普通观众中任选
7、30 人为大众评审， 他们对两人的评分（分数越高表明评价越高）的茎叶图如图. （）分别求大众评审对甲、乙两位歌手评分的中位数； （）分别估计普通观众对甲、乙两位歌手的评分高于 90 分的概率； （）根据茎叶图，从集中趋势和离散程度两方面分析普通观众对甲、乙两位歌手的评价. 19. 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，/ABCD，CDAD，PAD是等腰 直角三角形，1PDPA. （）证明：PDPB； （）若PB与平面PAD所成角的大小为60，2CDAB，求点C到平面PBD的距离. 20. 已知椭圆E： 22 22 10 xy ab ab ，直线l：10 xmy 过E的右焦点F.
8、当1m时，椭圆的长 轴长是下顶点到直线l的距离的 2 倍. （）求椭圆E的方程. （）设直线l与椭圆E交于A，B两点，在x轴上是否存在定点P，使得当m变化时，总有 OPAOPB （O为坐标原点）？若存在，求P点的坐标；若不存在，说明理由. 21. 已知函数 sinf xx， cos x g xex. （）函数 g x h x fx ，分析 h x在0,上的单调性. （）若函数 H xg xxf x. （i）当,0 2 x 时，求 H x的最小值； （ii）当, 4 2 x 时，求 H x零点的个数. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
9、题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 23 4 xt yt （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 2 6 cos4 sin120. （）求圆C的圆心的直角坐标和半径； （）已知直线l交圆C于A，B两点，点 7 ,2 2 P ，求PA PB. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知集合| 213Axx. （）若存在xA使不等式22xm成立，求m的取值范围； （）取m为（）所求范围中的最小正整数，解不等式312xxm . 天一大联考 20202021 学年高中毕业班阶段性测试（） 文科数学答
10、案 、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 1.【答案】C 【命题意图】本题考查集合的表示与运算，以及不等式的解法. 【解析】 3 1 2 Mx xx 或，所以2, 1MN . 2.【答案】D 【命题意图】本题考查复数的概念与运算性质. 【解析】由已知得 2(2)(1 2 ) 1 2(1 2 )(1 2 ) iii zi iii ，所以z的虚部为-1. 3.【答案】A 【命题意图】本题考查平面向量的数量积运算. 【解析】 222 24cos60412abaa bb，所以 2 20bb，解得1b （负值舍去）. 4.【答案】D 【命题意图】本题考查指数、对数函数的性质以及不
11、等式的性质. 【解析】 3 log 5(1,2)x ， 2 log3(0,1)y ， 3 2 33z . 5.【答案】B 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式和求和公式. 【解析】由题设 11 6 (6 1)8 (8 1) 4 63 896 22 dd aa ，得 1 32ad， 71 72114Sad. 6.【答案】B 【命题意图】本题考查简单的线性规划问题. 【解析】根据约束条件，得不等式组表示的平面区域为 1 2 (0,1), (2,4), 3 3 ABC ABC 及其内部，由目 标函数3zxy得3yxz，可知当直线3yxz经过点0,1A时，其纵截距z最大，z最小，最 小值为3 0 1
12、1 . 7.【答案】D 【命题意图】本题考查空间几何体的结构特征. 【解析】 如图所示， 由正力体的性质可知， 1 AC垂直于平面 1 ABD和平面 11 CB D， 设P和Q分别是平面 1 ABD 和平面 11 CB D与线段 1 AC的交点，易知 11 111 1 11 1 6 AABDC C B DABCD A BC D VVV ，当平面取平面 1 ABD或平面 11 CB D时，切割得到的大、小两部分体积之比恰好为 5，要满足条件，应在线段AP或 1 QC上取点，而 1 APPQQC，所以所求的概率为 1 1 2 3 APQC AC . 8.【答案】C 【命题意图】本题考查函数的图象与
13、性质. 【解析】因为 f xfx，所以 f x为奇函数，排除 B，0 x时， 1 x f xxe x ， 2 1 11 x ex xx fx 2 111 2 10 xx exex xxx ， 所以 f x在0,上单调递增， 选 C. 9.【答案】C 【命题意图】本题考查程序框图与算法的基本逻辑结构. 【解析】由程序框图可知，结束循环时 7 11 0.01 2128 x ， 111127 1 246464 s . 10.【答案】A 【命题意图】本题考查向量的坐标运算、三角恒等变换以及三角函数的性质. 【 解 析 】()4 c o sc o s2 3 fxxx 13 4coscossin23sin
14、2cos21 22 xxxxx 2 s i n21 6 x ，令 0f x ，则 1 sin 2 62 x ， 63 x ， 5 2 666 x ， 2 66 x 或 5 6 ，0 x或 3 x . 11.【答案】A 【命题意图】本题考查递推数列，以及等比数列的求和. 【 解 析 】 由 条 件 得 211 2 nnnn aaaa ， 所 以 1nn aa 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ， 所 以 1 121 22 nn nn aaaa ，所以 15 31 3529 1230 241 22 2222 33 aaa . 12.【答案】B 【命题意图】本题考查双曲线的性质，直线与双曲线的
15、位置关系. 【解析】由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，ab，将点 3,2代入双曲线方程得 1ab.根据对称性，不妨设P点在第一象限，P到x轴的距离为h. 12 2 2FF ， 12 2PFPF， 由 余 弦 定 理 得 222 121212 2cos60FFPFPFPFPF 2 1212 PFPFPFPF， 所 以 12 4PFPF，由三角形面积公式可得 1212 11 sin60 22 PFPFFFh，得 6 2 h . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.【答案】11 【命题意图】本题考查回归方程的概念与性质. 【解析】回归直线经过样本中心点 ,
16、 x y， 0 1234 2 5 x ，3.2 23.610y ， 57819 10 5 c ，解得11c. 14.【答案】e 【命题意图】本题考查导数的几何意义. 【解析】曲线2lnyx在点,2lnmm处的切线方程为 1 ()2lnyxmm m ，则 1 a m ，且 1 ln0m，所以 1 m e ，ae. 15.【答案】 4 21 21 【命题意图】本题考查抛物线方程与性质，抛物线与直线的位置关系. 【解析】由题易知， 2,0F，准线为2x ， 1 2 3 2 POFP SOF y ，所以2 6 P y ，代入抛 物线方程中可得3 2 P x ，则4 2d ，42OP ， 4 21 21
17、 d OP . 16.【答案】121 9 【命题意图】本题考查多面体与球的位置关系. 【解析】ABC为等腰直角三角形，设AC的中点为D，则点D为ABC外接圆圆心，当P，O，D三 点共线且面ABC和P位于点O的异侧时，三棱锥PABC的体积最大，为 11 2 32 AB BC PD， 3PD.设球的半径为r， 则3ODr ，2BD ，OBr， 所以 2 2 2 32rr， 解得 11 6 r ， 所以球O的表面积为121 9 . 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理的应用. 【解析】 （）根据条件及正弦定理可得3sinsi
18、nsin(1cos)ABBA， 所以3sin1 cosAA ，整理得 1 sin 62 A ， 因为0A，所以 3 A . （）由sin2sinBC及正弦定理得2bc， 由余弦定理得 222 2cosabcbcA， 将6a，2bc， 3 A 代入可得 2 363c，于是2 3c ， 所以4 3b . 所以 1 sin6 3 2 ABC SbcA . 18.【命题意图】本题考查茎叶图的理解，用样本估计总体的思想. 【解析】 （）由茎叶图知，30 位大众评审对甲歌手的评分从小到大排序，排在第 15，16 位的是 85，86， 故中位数是 85.5. 30 位大众评审对乙歌手的评分从小到大排序，排在
19、第 15，16 位的是 74，77，故中位数是 75.5. （）由茎叶图知，大众评审对甲、乙两位歌手的评分高于 90 分的频率分别为 11 30 ， 1 5 . 故普通观众对甲、乙两位歌手的评分高于 90 分的概率的估计值分别为 11 30 ， 1 5 . （）由茎叶图知，大众评审对甲歌手的评分的中位数高于乙歌手的评分的中位数，而且由茎叶图可以大 致看出，对甲歌手的评分标准差要小于对乙歌手的评分标准差，说明普通观众对甲歌手的评价较高，评价 较为一致，对乙歌手的评价较低、评价差异较大. （注：通过平均数、极差等统计量进行分析亦可） 19.【命题意图】本题考查空间线面关系证明，线面角的概念，距离计
20、算. 【解析】 （）因为CDAD，/ABCD，所以ABAD， 因为平面PAD 平面ABCD，交线为AD，所以AB 平面PAD， 于是ABPD. 在等腰直角三角形PAD中，PDPA，所以PDPA， 又因为ABPAA，所以PD 平面PAB， 所以PDPB. （）由（）知AB 平面PAD，所以PB与平面PAD所成的角即60APB， 结合已知可得2AD，3AB ，2PB ，2 3CD ，5BD . 可得PBD是以BD为斜边的直角三角形. 设点C到平面PBD的距离为d，则 111 1 2 3323 C PBDPBD d VdSd . 又因为 121213 2 32 323223 P BCDBCD VS
21、， 所以 3 33 d ，3d . 20.【命题意图】本题考查直线、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系. 【解析】 （）设椭圆的焦距为2c，直线l恒过定点1,0，所以1c. 当1m时，直线l：10 xy ， 椭圆的下顶点0, b到直线l的距离 1 2 b d ， 由题意得 22 1 2 1 b a ab ，解得2a ，1b. 所以椭圆E的方程为 2 2 1 2 x y. （）当0m时，显然在x轴上存在点P，使得OPAOPB. 当0m时，由 2 2 1 2 10 x y xmy 消去x可得 22 2210mymy . 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 2 2 2 m yy
22、m ， 12 2 1 2 y y m . 设点,0P t满足题设条件，易知PA，PB的斜率存在， 则 1212 1212 11 PAPB yyyy kk xtxtmytmyt 1212 12 (1)2 0 11 tyymy y mytmyt ， 则 1212 (1)20tyymy y，即2 (1)22 (2)0mtmmt， 2t 时，上式恒成立. 所以在x轴上存在点2,0P满足题设条件. 21.【命题意图】本题考查导数的运算法则，及导数在研究函数时的应用. 【解析】 （） cos ( ) sin x ex h x x ， 则 2 (sin cos1) ( ) sin x exx h x x ，
23、 当0,x时， 1 sincos1sin210 2 xxx ，所以 0h x ， 所以 h x在0,上单调递减. （）( )cossin x H xexxx， 则( )cossincossin xx H xexexxxx. （i）( )cos1 sin xx Hxexxex， 当,0 2 x 时， cos 0 x exx，1 sin0 x ex， 所以 0Hx ， H x在,0 2 上单调递增， 所以 H x的最小值为 22 H . （ii）( )(cossin )sincos x H xexxxxx. 因为, 4 2 x 时，cossinxx，sin0 x，cos0 xx， 所以 0Hx ，
24、函数 H x在, 4 2 上单调递减， 又 4 2 0 424 He ，0 22 H ， 因此，函数 H x在, 4 2 上有且只有一个零点. 22.【命题意图】本题考查参数方程与极坐标系，直线参数方程中参数的几何意义. 【解析】 （）由cosx，siny， 可知圆C的直角坐标方程为 22 64120 xyxy，即 22 (3)(2)1xy， 所以圆C的圆心的直角坐标为3,2，半径为 1. （）当 1 2 t 时，由直线l的参数方程得 37 2 22 x ，2y ， 所以点 7 ,2 2 P 在l上，将l的参数方程改写为 73 25 4 2 5 xm ym （m为参数）. 代入圆C的方程中，整
25、理得 2 33 0 54 mm， 由参数的几何意义得 3 4 PAPB. 23.【命题意图】本题考查绝对值不等式相关的综合问题. 【解析】 （）设2 2 2 | 2 2 2 m Bm m xxxx ， 因为| 213|21Axxx xx 或， 存在xA使不等式22xm成立，等价于AB ， 当 2 1 2 2 2 2 m m 即20m 时，AB ， 故所求的m的取值范围是 , 20, . （）由题意知1m. 当1x时，原不等式转化为1 312xx ，无解； 当 1 1 3 x 时，原不等式转化为1 312xx ，解得 11 23 x； 当 1 3 x 时，原不等式转化为3112xx ，解得 1 2 3 x. 综上，不等式的解集为 1 ,2 2 .
