1、 第 1 页 共 8 页 控江中学控江中学高三上月考数学试卷高三上月考数学试卷 2020.9 一一、填空题填空题 1设集合1,2,3,4A ， |1Bx x，则AB 2已知复数z满足(12 )5zi（i为虚数单位） ，则|z 3若函数( )23 x f x ，则 1(1) f 4已知(0,) 2 x ，则方程 2sin1 0 12cos x x 的解集是 5 已知某圆锥体的底面半径为 3， 沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为 2 3 的扇 形，则该圆锥体的母线长是 6函数 22 1 ( )cossin 3 f xxx，(0, )x的单调递增区间是 7设 1 F、 2 F分别为双曲线 2
2、2 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，P为双曲线右支上一点， 满足 1212 3 | 5 PFPFF F，则该双曲线的渐近线方程是 8在(1)nx的二项展开式中，若 n a是所有二项式系数的和，则 12 111 lim() n n aaa 9控江中学高三（1）班班委会由 4 名男生和 3 名女生组成，现从中任选 3 人参加上海市某 社区敬老服务工作，若选出的人中至少有一名女生，则共有 种不同的选法 10设, 2 2 ，若函数( )sin(2 )3cos()f xxx是奇函数，则 11已知:14x， 2 24 :log4log10 xax ，若是成立的必要条件，则实数a 的取值
3、范围是 12设m R若对于任意实数a，都存在 2,2x 满足 2 |1|xxam，则m的取 值范围是 二、选择题二、选择题 13已知向量a、b，则“ab ”是“| |ab”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 第 2 页 共 8 页 14将函数sin 6 yx 的图像上所有的点向右平移 4 个单位长度，再把图像上各点的横 坐标扩大到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，则所得图像的解析式为（ ） A 5 sin 212 x y Bsin 212 x y C 5 sin 2 12 yx D 5 sin 224 x y 15若等比数列 n a的公比为(0)q
4、q，则关于x、y的二元一次方程组 13 24 4 3 a xa y a xa y 的 解，下列说法中正确的是（ ） A对任意(0)qqR，方程组都有无穷多组解 B对任意(0)qqR，方程组都无解 C当且仅当 3 4 q 时，方程组无解 D当且仅当 3 4 q 时，方程组有无穷多组解 16已知( ), ( )f xg x都是定义在R上的函数，下列两个命题： 若( )f x、( )g x都不是单调函数，则( ( )f g x不是增函数 若( )f x、( )g x都是非奇非偶函数，则( ( )f g x不是偶函数 则（ ） A都正确 B正确错误 C错误正确 D都错误 三、解答题三、解答题 17在棱
5、长为 2 的正方体 1111 ABCDA B C D中，E是棱 11 C D的中点，F是侧面 11 AA D D的 中心 （1）求三棱锥 11 AD EF的体积； （2）求EF与底面 1111 A B C D所成角的大小 第 3 页 共 8 页 18已知等差数列 n a中， 2 5a ， 5 14a ，设数列 n b的前n项和为 n S，且21 nn Sb （1）求, nn ab的通项公式； （2）设数列 n c满足 nnn cab，求 n c的前n项和 n T 19 如图， 一艘湖面清运船在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30方向上的C处分 别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到
6、B的距离比到C的距离少 40 米，于是 选择沿ABC路线清扫已知清运船的直线行走速度为 2 米/秒，总共用了 100 秒钟完 成了清扫任务（忽略清运船打捞垃圾及在B处转向所用时间） （1）B、C两处垃圾的距离是多少？ （2）清运船此次清扫行走路线的夹角B是多少？（用反三角函数表示） 第 4 页 共 8 页 20已知直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于D、E两点，且满 足 1 EAAD、 2 EBBD （1）已知直线l的方程为24yx，抛物线C的方程为 2 4yx，求 12 的值； （2）已知直线:1(1)l xmym，椭圆 2 2 :1 2 x Cy，求 12 11 的取值
7、范围； （3）已知双曲线 2 2 :1 3 x Cy， 12 6，求点D的坐标 21 已知函数( ),yf xxD， 如果对于定义域D内的任意实数x， 对于给定的非零常数P， 总存在非零常数T，恒有()( )f xTP f x成立，则称函数( )f x是D上的P级递减周期函 数，周期为T若恒有()( )f xTP f x成立，则称函数( )f x是D上的P级周期函数，周 期为T （1）已知函数 2 ( )f xxa是2,)上的周期为 1 的 2 级递减周期函数，求实数a的取值 范围； （2）已知1T ，( )yf x是0,)上P级周期函数，且( )yf x是0,)上的单调递增函 数，当0,1)
8、x 时，( )2xf x ，求实数P的取值范围； （3） 是否存在非零实数k， 使函数 1 ( )cos 2 x f xkx 是R上的周期为T的T级周期函数？ 请证明你的结论 第 5 页 共 8 页 参考答案参考答案 一、填空题一、填空题 12,3,4 25 32 4 5 , 12 12 59 6, 2 7 4 3 yx 81 931 10 3 11 5 , 4 12(,5) 【第 11 题解析】由题意， 2 24 |log4log10 |14xxaxxx ， 令 2 log,0,2tx t，则即 2 210tat （*） ， 显然0t 不满足（*）式，于是原问题可转化为 11 (0,2 2
9、t at t ， 即水平直线ya位于 11 2 yt t 图像上方 （含重合） 时对应的t的取值集合为(0,2的子集， 数形结合可得实数a的取值范围是 5 , 4 【第 12 题解析】记 2 ( ) |1|, 2,2f xxxa x ， 易得 max ( )max ( 2), (2)max3 |2|,3 |2|f xffaa， 计算可得，当0a时，3 |2|3 |2|aa，当0a 时，3 |2| 3 |2|aa ， max 3 |2|5,0 ( ) 3 |2|5,0 aaa f x aaa ，当0a 时， maxmin ( )5f x， 由题意， maxmin ( )5f xm，即m的取值范围
10、是(,5) 二、选择题二、选择题 13A 14A 15D 16D 【第 16 题解析】的反例： 1 ,0 ( )( ) 0,0 x f xg xx x ，则( ( )f g xx； 的反例： 2 ( )(1)f xx，( )1g xx，都错误，选 D 三、解答题三、解答题 17（1） 1 3 ； （2） 2 arctan 2 第 6 页 共 8 页 18（1）21() n ann N，2 () n n bn N； （2）(23) 23() n n Tnn N 19（1）140 米； （2） 5 3 arcsin 14 （或 11 arccos14） 20（1）将24yx，代入 2 4yx，求得
11、点(1, 2)A，(4,4)B， 又因为(2,0)D，(0, 4)E， 由 1 EAAD得到， 111 (1,2)(1,2)( ,2 )， 1 1 ， 同理由 2 EBBD得， 1 2 所以 12 1 （2）联立方程组： 22 1 220 xmy xy 得 22 (2)210mymy ， 12 2 2 2 m yy m ， 12 2 1 2 y y m ，又点(1,0)D， 1 0,E m ， 由 1 EAAD 得到 111 1 yy m ， 1 1 1 1 1 m y ， 同理由 2 EBBD 得到 222 1 yy m ， 2 2 1 1 1 m y ， 12 12 12 ()11 222
12、4 yy m my ym ，即 12 4 ， 22 121 2111 11444 4(2)4 ， 因为1m ，所以点A在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知 1 (22 , 0 ) ，所以 12 11 (, 2) （3）直线l的方程为xmyt，代入方程 2 2 1 3 x y 得到： 222 (3)2(3)0mymtyt 12 2 2 3 mt yy m ， 2 12 2 3 3 t y y m ， 2 12 112 3 mt yyt (1) 而由 1 EAAD、 2 EBBD得到： 12 12 11 ()2 t myy (2) 12 6 (3) 由（1） （2） （3）得到： 2
13、 2 26 3 tmt mt ，2t ， 第 7 页 共 8 页 所以点( 2,0)D ， 当直线l与x轴重合时， 1 a ta ， 2 a ta 或者 1 a ta ， 2 a ta ， 都有 2 12 22 2 6 a ta 也满足要求， 所以在x轴上存在定点( 2,0)D 21改编自改编自 2012 年浦东二模理年浦东二模理 23 （1）由题意可知：(1)2 ( )f xf x，即 22 (1)22xaxa对2,)x 恒成立， 也即 2 21axx对2,)x 恒成立， 22 21(1)2yxxx 在2,)x 上单调递减， 22 max (21)22 2 1 1xx ， 1a ； （2）0
14、,1)x 时，( )2xf x ，当1, 2)x 时， 1 ( )(1)2xf xPf xP ， 当 ,1)xn n时， 2 ( )(1)(2)()2 nnx n f xPf xP f xP f xnP ， 即 ,1)xn n时，( )2 nx n f xP ， * nN， ( )f x在0,)上单调递增，0P 且 1(1) 22 nn nnnn PP ，即2P （3）由已知，有()( )f xTTf x对一切实数x恒成立， 即 11 cos ()cos 22 xTx k xTTkx 对一切实数x恒成立， 也即cos ()2 cos T k xTTkx对一切实数x恒成立， 当0k 时，x R，
15、kx R，kxkTR，于是cos 1,1kx ，cos() 1,1kxkT ， 故要使cos ()2 cos T k xTTkx恒成立，只有21 T T ， 当21 T T 时，即 1 2T T （*）时， 由函数2xy 与 1 y x 的图像存在交点，故方程（*）有解； 此时cos()coskxkTkx恒成立，则2,kTmmZ， 2 , m km T Z； 当21 T T （*）时，类似中分析可得，方程（*）无解； 综上，存在 2 , m km T Z符合题意，其中T满足21 T T 【说明】也可利用下述方法说明方程21 T T 有解， 第 8 页 共 8 页 记( )21 x f xx，(0)1f ，(1)1f，(0)(1)10ff ， 于是由零点存在性定理，可知存在(0,1)T ，使得210 T T ， 即存在(0,1)T ，使得21 T T
