1、数学（B 卷）试题（第 1 页，共 12 页） 福州市福州市 2021 届高三届高三 10 月调研月调研 B 卷卷 数学数学 （完卷时间 120 分钟；满分 150 分） 注意事项 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有一在每小
2、题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1. 已知复数z满足1 2i2i z，则z的虚部为 A1 Bi Ci D1 2. 已知集合 2 log1Axx，集合| 1Bxx 1，则AB A 1,1 B 1,2) C 0,1 D2- , 3. 命题“0,x ， 1 sin xx x ”的否定是 A0,x ， 1 sin xx x B0,x ， 1 sin xx x C0,x ， 1 sin xx x D,0 x ， 1 sin xx x 4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城有学者根据公布数据建立 了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t的
3、单位： 天)的 Logistic 模型： 0.23(50) 1e t K I t ， 其中 K 为最大确诊病例数当 I( * t)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则 * t约为 （参考数据 ln193） A60 B62 C66 D63 数学（B 卷）试题（第 2 页，共 12 页） 5. 已知数列 n a满足 * 1 1 1(2) n n ann a N ，若 4 5 3 a ，则 1 a= A1 B 3 2 C2 D 8 5 6. 将函数 sinf xx（0,0）的图象上所有的点向右平移 3 个单位长 度得到正弦曲线，则 3 f 的值为 A 1 2 B. 3 2 C. 1 2 D.
4、3 2 7. 已知ABC是边长为 2 的等边三角形，且AEEB ，2ADDC，则BD CE A3 B2 C1 D3 8. 已知函数( )f x是定义域为R的奇函数，当0 x时，( )e1 x f x 记2 ( 2)af ， (1)bf，3 (3)cf，则, ,a b c的大小关系是 Abac Bacb Ccba Dcab 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的选项中，有多项符合在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得
5、 3 分分 9. 在公比为q等比数列 n a中， n S是数列 n a的前n项和，若 521 127,aaa ，则下列 说法正确的是 A 3q = B数列2 n S 是等比数列 C 5 121S D 22 2lglglg3 nnn aaan 10. 已知, ,a b cR，则下列命题正确的是 A若0ab 且a b，则 11 ab B若01a，则 2 aa C若 0ab，则 1 1 bb aa D若cba且0ac ，则 22 bcac 数学（B 卷）试题（第 3 页，共 12 页） 11. 设函数 e ( ) ln x f x x ，则下列说法正确的是 A定义域是(0, ) B(0,1)x 时，
6、图象位于x轴下方 C存在单调递增区间 D 有且仅有一个极值点 12. 已知函数)0)(sin()(xxf，若)(xf在区间 , 0 2 上是单调函数，且有 ()(0)() 2 fff，则的值可能为 A 3 2 B2 C 3 1 D1 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 已知向量, a b的夹角为60，2,1ab，则ab= 14. 已知实数x满足2310110 xxxx，则 2310 xxxx 15. 若 1 sin() 33 ，则 cos(2 ) 3 16. 定义在R上函数( )f x满足 1 1 2 fxfx，且当0,1x
7、时， 121fxx . 若当 x,m 时， 1 16 fx ，则m的最小值等于 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （10 分） 已知等差数列 n a的公差0d ， 3 7a ，且 1 a， 2 a， 6 a成等比数列，数列 n b满 足 1nnn bba （1）求 n a的通项公式； （2）求 n b的前20项和 20 S ( )f x( )f x ( )f x( )f x 数学（B 卷）试题（第 4 页，共 12 页） 18. （12 分） 设ABC的内角 A，B，C的对
8、边分别为 a，b，c，已知2 coscoscoscCaBbA （1）求角 C； （2）若ABC的面积为 3 3 2 ，且5ab，求 c 19. （12 分） 已知函数 32 f xxaxx在1x 处取得极小值 （1）求实数a的值，并求函数 ( )f x的单调区间； （2）求曲线 yf x在点 1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积 20. （12 分） ABC 中， 角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c， 已知1a ，(sin cos)coscBBbC （1）求 BC边上的高AD的长； （2）求tan A的最大值 21. （12 分） 在 1 (1)(1)(41) nn n
9、anan ； 11 2(11) nnnn aaaa ； 1 84 nn aan （2n ）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解 问题：已知数列 n a中， 1 3a ，_ （1）求 n a； （2）若数列 1 n a 的前n项和为 n T，证明： 11 32 n T 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 数学（B 卷）试题（第 5 页，共 12 页） （12 分） 已知函数 a yx x 有如下性质：如果常数0a ，那么该函数在0,a 上是减函数，在 ,a 上是增函数 （1）研究函数 2 2 c g xx x （常数0c ）在定义域内的单调性，并说明理由； （2）对函数 a
10、yx x 和 2 2 a yx x （常数0a ）作出推广，使它们都是你所推广的函数 的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明 ） ，并求函数 2 2 11 nn F xxx xx （n是正整数）在区间 1 ,2 2 上的最大值和最小值（可利用你 的研究结论） 福州市福州市 2021 届高三届高三 10 月调研卷月调研卷 数学参考答案数学参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1A，2C，3C，4D，5A，6
11、B，7B，8D 8.【解析】因为( )f x是定义域为R的奇函数，所以()( )fxf x . 构造函数( )( )g xxf x，则()() ()( )gxx fxxf x ，所以( )g x为R上的偶函数 当0 x时，( )( )( )e1( e )1 ( +1)e xxx g xf xxfxxx ， 因为0 x，所以1 1,1 x xe ，(1)1 x xe，所以( )0g x ，所以( )g x在(0,)上单调递 减， 又( )g x为偶函数，2 ( 2)( 2)(2)afgg ，(1)(1)bfg，(3)cg，所以cab， 故选 D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每
12、小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9ACD，10BCD，11BCD，12AB 11.【解析】由题意，函数 e ( ) ln x f x x 满足 0 ln0 x x ，解得0 x且1x ， 所以函数 e ( ) ln x f x x 的定义域为(0,1) (1,)U ，所以 A 不正确； 数学（B 卷）试题（第 6 页，共 12 页） 由 e ( ) ln x f x x ，当 (0,1)x
13、 时，ln0 x，所以 0f x ， 所以 ( )f x在(0,1)上的图象都在轴的下方，所以 B 正确； 因为 2 1 eln ln x x x fx x ，所以 ( )0fx在定义域上有解， 所以函数 f x存在单调递增区间，所以 C 是正确的； 由 1 lng xx x ，则 2 11 .(0)gxx xx ，所以 0g x ，函数 g x单调增，则 函数( )0fx 只有一个根 0 x，使得 0 ()0fx，当 0 (0,)xx时，( )0fx，函数单调 递减，当 0 (,)xx时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以 D 正确故选 BCD 12.【解析】因为 ( )f x在 ,
14、0 2 上单调，所以 22 T ，即T ，所以02 若 T，则 2，符合题意； 若 T ，因为 (0)()ff 所以直线 x 2是 f(x)的图象的一条对称轴， 因为 ()(0) 2 ff所以 f(x)图象的一个对称中心是 ,0 4 ，所以 3 4244 T ， 所以 T3， 2 3.故选 AB. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 133，142046，15 7 9 ，1615 4 16. 【 解 析 】 根 据 题 设 可 知 ， 当1,2x时 ，10 , 1x ， 故 11 1123 22 f xf xx， 同理可得：在区间
15、,1n nnZ上， 11 1221 22 nn f xxn ， 数学（B 卷）试题（第 7 页，共 12 页） 所以当4n 时， 1 16 fx . 作函数 yf x的图象，如图所示. 在 7 ,4 2 上，由 11 127 816 f xx ，得 15 4 x ， 由图象可知当 15 4 x 时， 1 16 fx ，所以m的最小值为 15 4 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17本题主要考查等差数列、等比数列的概念、通项公式，数列求和等基础知识考查运 算求解能力，考查化归与
16、转化思想，涉及的核心素养有数学抽象、数学运算等，体现基础 性满分 10 分 解析：（1）依题意，得 1 2 111 27, ()(5 ), ad ada ad 因为0d ，解得 1 1, 3, a d 所以32 n an 5 分 （2）由（1），得 1 32 nn bbn ， 2012341920 ()()()Sbbbbbb (3 1 2)(3 32)(3 192) 1 10 110 9 6 2 280 10 分 18本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能力，考查 函数与方程思想，化归与转化思想，涉及的核心素养有逻辑推理、数学运算等，体现基础 性满分 12 分 解析
17、：（1）由正弦定理及已知，得 2sinCcosC=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC 因为 sinC0，所以 cosC= 1 2 ， 数学（B 卷）试题（第 8 页，共 12 页） 因为 C（0，），所以 C= 3 6 分 （2）由（1） 13 3 sin 232 ab,所以 ab=6， 又 a+b=5，所以 222 ()213ababab， 由余弦定理知，c2=a2+b2- 2abcosC=13- 2 61 2 =7， 所以7c 12 分 19本小题主要考查函数的单调性、极值和最值、导数等基础知识；考查推理论证能力， 运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思
18、想；涉及的核心素养有直观想象、逻 辑推理、数学运算等，体现基础性、综合性满分 12 分 解析：（1） 2 ( )321fxxax，因为函数 ( )f x在1x 取得极小值， 由 (1)0 f 可得3210a ，解得1a 经检验，1x 是函数 ( )f x的极小值点，所以1a 当1a 时， 2 ( )321(31)(1)fxxxxx ， 由 ( )0fx ，解得 1 3 x 或1x ，由( )0fx，解得 1 1 3 x 所以 ( )f x的单调递增区间是 1 (,) 3 ，(1,)，单调递减区间是 1 (,1) 3 6 分 （2）由（1）知 32 ( )f xxxx，所以 ( 1)1f ， 由
19、 2 ( )321fxxx，在点( 1, 1) 处的切线的斜率 ( 1)4k f ， 所以切线的方程为 ( 1)4( 1)yx ，即4 30 xy 令0 x ，可得 3y ，令 0y 可得 3 4 x ， 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积 139 3 248 S 12 分 20本小题主要考查正弦定理、解三角形、正切函数、三角恒等变换等基础知识，考查推 理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想，涉 及的核心素养有直观想象、数学运算，逻辑推理等，体现基础性，综合性满分 12 分 解析：（1）由已知及正弦定理，得sinsinsincossincosBCCBBC，
20、数学（B 卷）试题（第 9 页，共 12 页） 即sinsinsincossincossin()BCCBBCBC， 因为BCA，所以sin( )sinBCA ，所以sinsinsinBCA， 所以sinbCa， 又因为1a ，所以sin1ADbC 5 分 （2）设BDx，CDy，则1xy 当0 x，或0y时，tan1A 当0 xy时， 1 tanB x ， 1 tanC y ， 此时 11 tantan1 tantan() 1 1tantan11 1 BCxyxy ABC BCxyxy xy ， 因为2xyxy，所以 1 4 xy， 所以 114 1 13 1 4 xy ，当且仅当xy时等号成
21、立， 所以当 1 2 xy时，tan A取得最大值 4 3 综述，tan A的最大值为 4 3 12 分 21本题主要考查等差数列和等比数列的概念、通项公式，数列求和等基础知识考查运 算求解能力，考查化归与转化思想，涉及的核心素养有数学抽象、数学运算等，体现基础 性，综合性满分 12 分 解析：（1）选 由 1 (1)(1)(41) nn n anan，得 1 141 1 nn aan nn ， 即 1 11 4 1 nn aa nn ，又 1 1 4 1 a ， 数学（B 卷）试题（第 10 页，共 12 页） 所以 1 n a n 是首项为 4，公差为 4 的等差数列， 所以 1 4 n
22、a n n ，所以 2 41 n an 6 分 （2）由（1） ，得 1111 () 2 2121 n ann ， 7 分 所以 1111111 ()()() 213352121 n T nn 11 (1) 221 n 11 . 242 n 10 分 因为 1 0 42 n ，所以 1 2 n T， 又因为 11 242 n T n 随着n的增长而增大，所以 1 1 3 n TT 综上 11 32 n T 12 分 若选 由 11 2(11) nnnn aaaa ，得 1 1 (1)(1) 2 11 nn nn aa aa ， 即 1 112 nn aa ，又 1 12a ， 所以 1 n a
23、 是首项为 2，公差为 2 的等差数列， 所以12 n an ，所以 2 41 n an 6 分 下同 若选 数学（B 卷）试题（第 11 页，共 12 页） 由 1 84 nn aan （2n）可得： 当 2n 时， 112211 ()()() nnnnn aaaaaaaa (84)(812)123nn (84)12(1) 3 2 nn 2 41n 当1n 时， 1 3a ，符合 2 41 n an， 所以当 * nN时， 2 41 n an 6 分 下同 22本小题主要考查函数的单调性、函数的最值、导数及其应用、二项式定理等基础知识， 考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查分类与
24、整合思想、函数与方程思想， 涉及的核心素养有数学抽象、数学运算、逻辑推理等，体现综合性、应用性与创新性满 分 12 分 解析：（1）因为 2 2 c g xx x ，所以函数 g x的定义域为,00,. 设 12 0 xx， 2222 2112 2222 212121 222222 211212 1 xxx xc ccc g xg xxxxx xxx xx x . 当 4 12 cxx时 ， 21 g xg x， 函 数 2 2 c gxx x 在 4 , c 上 是 增 函 数 ； 当 4 12 0 xxc时 21 g xg x, 函数 2 2 c g xx x 在 4 0, c 上是减函数
25、. 又 2 2 22 cc gxxxg x x x ，所以函数 g x是偶函数，于是，该函数在 4 ,c 上是 减函数，在 4 ,0c 上是增函数. （2）可以把函数推广为 n n a yx x （常数0a ） ，其中 n 是正整数. 当 n 是奇数时，函数 n n a yx x 在 2 0, n a 上是减函数，在 2 , n a 上是增函数，在 数学（B 卷）试题（第 12 页，共 12 页） 2 , n a 上是增函数, 在 2 ,0 n a 上是减函数； 当 n 是偶数时，函数 n n a yx x 在 2 0, n a 上是减函数，在 2 , n a 上是增函数，在 2 , n a 上是减函数, 在 2 ,0 n a 上是增函数. 因为 2 2 11 nn F xxx xx 0212323 223232 1111 CCCC nnrnrnn nnnn nnnr xxxx xxxx ， 所以 F x在 1 ,1 2 上是减函数，在1,2上是增函数.所以，当 1 2 x 或2x 时， F x取得 最大值 99 24 nn ；当1x 时 F x)取得最小值 1 2n. 22.
