1、 1 专题专题 6 平面向量及其应用平面向量及其应用,复数复数 1.平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运 算、数量积、夹角、垂直的条件等问题； 2.同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题 的能力难度为中等或中等偏易. 3.考查复数的概念、几何意义、复数的运算.常见题型有选择题、填空题，重点考查除法、乘法等运算，同 时考查复数的模、共轭复数等概念. 预测预测 2021 年将作为必考内容，侧重平面向量的运算、复数的概念、几何意义及复数的运年将作为必考内容，侧重平面向量的运算、复数的概念、
2、几何意义及复数的运算考查，算考查，. 第一部分第一部分 平面向量及其应用平面向量及其应用 一、单选题一、单选题 1 （2020 届山东省青岛市高三上期末）向量, a b满足1a ，2b ，()(2)abab，则向量a与 b的夹角为（） A45 B60 C90 D120 【答案】C 【解析】 设向量a与b的夹角为 ()(2)abab， 2222 () (2)22 1( 2)12cos0abababa b ，化为cos0， 0, ， 0 90故选 C 2 （2020 届山东省淄博市部分学校高三 3 月检测）ABC是边长为 1 的等边三角形，点 ,D E分别是边 ,AB BC的中点，连接DE并延长到
3、点F，使得 2DEEF，则 AF BC的值为（ ） A 5 8 B 1 8 C 1 4 D11 8 【答案】B 【解析】 设BA a ，BC b ， 11 () 22 DEACba， 33 () 24 DFDEba， 2 1353 () 2444 AFADDFabaab ， 2 53531 44848 AF BCa bb . 3 （2020 届山东省潍坊市高三模拟一）已知a、b、e是平面向量，e是单位向量若非零向量a与e的夹 角为 3 ，向量b满足 2 430be b，则a b的最小值是（ ） A31 B31 C2 D2 3 【答案】A 【解析】 设,1,0 ,ax yebm n rrr ，
4、则由 , 3 a e r r 得 22 1 cos,3 32 axeexxyya rrr r ， 由 2 430be b rr r 得 2 222 430,21,mnmmn 因此，ab rr 的最小值为圆心2,0到直线3yx 的距离 2 3 = 3 2 减去半径 1，为3 1.选 A. 4 （2020 届山东省潍坊市高三模拟一）已知 3 ( )|sin| 2 f xx， 123 ,A A A为图象的顶点，O，B，C，D 为 ( )f x与 x 轴的交点，线段 3 A D上有五个不同的点 125 ,Q QQ记 2 (1,2,5) ii nOA OQ i，则 15 nn的值为（ ） A153 2
5、B45 C 45 2 D153 4 【答案】C 【解析】 3 解：由图中几何关系可知， 3 2 OE , 2 3 2 A E , 2 3OA , 2 1AC 2 30A OC 2 60AOC ， 32 / /A DA C, 23 OADA，即 23 OADA 则 2222 ()cos 6 iii nOA OQOAODDQOA ODOAOD ， 15 345 335 22 nn 答案选 C 5（2020 届山东省青岛市高三上期末） 在 ABC中, 2ABACAD , 20AEDE ,若EBxAB yAC, 则( ) A 2yx B2yx C2xy D2xy 【答案】D 【解析】 如图所示： 2A
6、BACAD ， 点D为边BC的中点， 20AEDE ， 2AEDE ， 11 () 36 DEADABAC ， 4 又 11 () 22 DBCBABAC， 1121 ()() 2633 EBDBDEABACABACABAC 又EBxAByAC， 21 , 33 xy ，即2xy 故选：D 6 （2020 届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）等腰直角三角形ABC中， 2 ACB ，2ACBC， 点P是斜边AB上一点，且2BPPA，那么CP CA CP CB （ ） A4 B2 C2 D4 【答案】D 【解析】 由题意得： 1121 () 3333 CPCAAPCAABCAACCBCACB 222
7、184 4 3333 CP CACP CBCACB, 故选：D. 7 （2020 届山东省菏泽一中高三 2 月月考）在ABC中, 2ABACAD , 20AEDE ,若 EBxAByAC,则( ) A 2yx B2yx C2xy D2xy 【答案】D 【解析】 如图所示： 2ABACAD ， 点D为边BC的中点， 5 20AEDE ， 2AEDE ， 11 () 36 DEADABAC ， 又 11 () 22 DBCBABAC， 1121 ()() 2633 EBDBDEABACABACABAC 又EBxAByAC， 21 , 33 xy ，即2xy 故选：D 8 （2020 届山东省济宁市
8、第一中学高三二轮检测） 如图， 在ABC中， 3 BAC ， 2ADDB ，P为CD 上一点，且满足 1 2 APmACAB，若ABC的面积为2 3，则AP的最小值为( ) A 2 B 4 3 C3 D 3 【答案】D 【解析】 APACCPACkCDACk ADAC 2 3 ACkABAC 21 1 32 k ABk ACmACAB，得到 21 1, 32 k km，所以 1 4 m ，结合 ABC的面积为2 3，得到 13 2 3 22 ACAB ,得到 8ACAB，所以 222 2 111116 13 164816 APACABACABAC AC ，故选 D 二、多选题二、多选题 9 （
9、2020 届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）已知向量 2 sin3 ,cos ,cosmxnxx，函数 ( )231f xm n，下列命题，说法正确的选项是（ ） 6 A 2( ) 6 fxf x B 6 fx 的图像关于 4 x 对称 C若 12 0 2 xx ，则 12 ( )()f xf x D若 123 , 3 2 x xx ，则 123 ( )()()f xf xf x 【答案】BD 【解析】 函数 2sin 21 3 f xx ， A：当0 x时， 1 66 fxf ， 22013f xf ，故 A 错； B： 2sin21 6 fxx ，当 4 x 时，对应的函数值取得最小值为1
10、，所以 B 正确； C： 0, 2 x 时，2 3 x 2 , 33 ， 所以函数 2sin 21 3 f xx 在0, 2 不单调， 故 C 错； D：因为 , 3 2 x ，所以2 3 x 2 ,31,3 33 f x ， ， 又2313，即 2 minmax f xf x 123123 , 3 2 x xxf xf xf x ， 恒成立，故 D 对； 故选：BD. 三、填空题三、填空题 10 （2020 2020 届山东省淄博市高三二模） 已知向量a= （4， 3） ，b= （6， m） ， 且ab， 则 m=_. 【答案】8. 【解析】 向量4,36,abmab （）， （）， 则 0
11、4 6 308a bmm ， . 7 11 （2020 届山东省高考模拟）已知两个单位向量ab ，的夹角为30 ，(1) ,0cmam b b c，则 m_ 【答案】42 3 【解析】 22 3 (1) (1)( )| |cos30(1)| |10 2 b cb mam bma bm bm a bmbmm ， 所以42 3m ， 故答案为42 3 12 （2020 届山东省济宁市高三 3 月月考）如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中60BAD，E为CD中 点，则AE BD 、 【答案】1 【解析】 将表示为，然后利用向量的运算法则及数量积的定义即可求解 在菱形 ABCD 中，60BAD，所
12、以三角形 ABD 是正三角形，从而 ()AE BDADDEBDAD BD DE BD 故答案为 1 13（2020 届山东省烟台市高三模拟） 已知向量 (2,)am ，(1, 2)b ， 且ab， 则实数 m 的值是_ 【答案】1 【解析】 a b ； 8 2 20a bm ； m1 故答案为：1 14 （2020 届山东省潍坊市高三模拟二）已知向量a （1，1） ，b （1，3） ，c （2，1） ，且（a b ） c，则 _. 【答案】 1 7 【解析】 向量a （1，1） ，b （1，3） ，c （2，1） ， 所以a b（1+，13） ， 又（a b ）c，所以，2 （3）1 （1+）
13、0，解得 1 7 . 故答案为： 1 7 . 15 （2020 届山东省六地市部分学校高三 3 月线考）已知向量(1,1)ax，( ,2)bx，若满足a b，且 方向相同，则x_ 【答案】1 【解析】 a b，(1)20 x x，解得1x 或2x， 1x 时，(1,2),(1,2)ab满足题意， 2x时，(1, 1),( 2,2)ab ，方向相反，不合题意，舍去 1x 故答案为：1 16 （2020 山东高三下学期开学） 已知向量(4, 3),( 1,2)ab ，, a b的夹角为， 则s i n_. 【答案】 5 5 【解析】 依题意0,，所以 2 102 55 cos,sin1 cos 5
14、5|55 a b a b . 9 故答案为： 5 5 17（2020 天水市第一中学高三月考 （文） ） 已知 12 , e e 为单位向量且夹角为 3 ， 设 12a ee ， 2b e ， a 在b 方向上的投影为_ 【答案】 3 2 【解析】 由题可知 1,b 故，a在b方向上的投影为 即答案为 3 2 . 18 （2020 届山东省菏泽一中高三 2 月月考）已知ABC的顶点A平面,点 B,C 在平面异侧,且 2AB ,3AC ,若AB,AC与所成的角分别为 3 , 6 ,则线段BC长度的取值范围为_. 【答案】7, 13 【解析】 如图所示： 分别过,B C作底面的垂线，垂足分别为 1
15、 B， 1 C 由已知可得， 1 3BB ， 1 3 2 CC ， 1 1AB ， 1 3 2 AC 1111 BCBBBCCC， 2 222222 11111111111111 327 233 44 BCBBBCCCBBBCCCBB CCBCBC而 10 111111 ABACBCABAC， 当AB，AC所在平面与垂直，且,B C在底面上的射影 1 B， 1 C，在A点同侧时，BC长度最小，此 时 1111 31 1 22 BCABAC ，BC最小为 2 127 7 24 ； 当AB，AC所在平面与垂直，且,B C在底面上的射影 1 B， 1 C，在A点异侧时，BC长度最大，此时 1111
16、35 1 22 BCABAC ，BC最大为 2 527 13 24 线段BC长度的取值范围为7, 13 故答案为：7, 13 19 （2020 山东滕州市第一中学高三 3 月模拟）已知向量(1,1)ax，( ,2)bx，若满足a b，且方向 相同，则x_ 【答案】1 【解析】 a b，(1)20 x x，解得1x 或2x， 1x 时，(1,2),(1,2)ab满足题意， 2x时，(1, 1),( 2,2)ab ，方向相反，不合题意，舍去 1x 故答案为：1 20 （2020 山东高三模拟）已知平面向量a与b的夹角为 3 ，( 3, 1)a ，1b|=，则|2|ab_. 【答案】13 【解析】
17、由( 3, 1)a 可得 22 |( 3)( 1)2a ， 则| |cos1 3 a bab ， 所以 22 2 |2|(2)4413ababaa bb . 11 故答案为: 13 21 （2020 届山东省潍坊市高三下学期开学考试）如图，在半径为 r 的定圆 C 中，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点，若ABACAD，且点 D 在圆 C 上，则AB AC _ 【答案】 2 2 r 【解析】 ABACAD，四边形ABCD为平行四边形， 又ACCDCBr，60CAB， 2 cos60 2 r AB ACrr ， 故答案为： 2 2 r . 四、解答题四、解答题 第二部分第二部分 复数复数
18、 一、单选题一、单选题 1 （2020 届山东省淄博市部分学校高三 3 月检测）设 1 i 2i 1 i z ，则|z A0 B 1 2 C1 D 2 【答案】C 【解析】 分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，然后求解复数的模. 详解： 1 i 1 i1 i 2i2i 1 i1 i 1 i z 12 i2ii ， 则1z ，故选 c. 2 （2020 山东高三模拟）i是虚数单位， 2 1 i z i 则|z （ ） A1 B2 C 2 D2 2 【答案】C 【解析】 由 2 2 (1) 1,|2 1 ii zi z i . 故选:C. 3 （2020 届山
19、东省淄博市高三二模）已知复数z满足(12 ) 43i zi ，则z的共轭复数是（ ） A2 i B2 i C1 2i D1 2i 【答案】B 【解析】 由1 24 3i zi，得 43i 2i 12i z ，所以 2zi 故选：B 4 （2020 届山东省高考模拟）若1izi （其中i是虚数单位） ，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点 位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】D 【解析】 分析：变形1izi ，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标即可得结论. 详解：由i1 iz ， 得 2 1 ii1 i 1 i ii z ， 1zi 复数z的共轭复数在复
20、平面内对应的点的坐标为1, 1 ， 位于第四象限，故选 D. 5 （2020 2020 届山东省烟台市高三模拟）设 i 是虚数单位，若复数 5i 2i ()aa R是纯虚数，则 a 的值为 （ ） 13 A3 B3 C1 D1 【答案】D 【解析】 由题, 5 25 2112 222 iii aaaiai iii , 因为纯虚数,所以10a ,则1a, 故选:D 6 （2020 山东曲阜一中高三 3 月月考）已知复数z在复平面上对应的点为1,1，则（ ） A1z 是实数 B1z 是纯虚数 Czi是实数 Dzi是纯虚数 【答案】B 【解析】 因为复数z在复平面上对应的点为1,1，所以复数1zi
21、因为111zii 是纯虚数，所以 A 不正确，B 正确； 因为11 2ziiii 不是实数，也不是纯虚数，所以 C,D 都不正确， 故选：B 7 （2020 山东滕州市第一中学高三 3 月模拟）欧拉公式为cossin ix exix ,(i虚数单位)是由瑞士著名数 学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数 论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知， 3 i e 表示的复数位于复平面中的（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】A 【解析】 根据题意cossin ix exix，故 3 13 cossin 33
22、22 i eii，表示的复数在第一象限. 故选：A. 8 （2020 届山东省潍坊市高三下学期开学考试）设复数 z 满足| | 2zi ，z 在复平面内对应的点为( , ) x y， 则（ ） A 22 (1)2xy B 22 (1)4xy 14 C 22 (1)4xy D 22 (1)2xy 【答案】C 【解析】 z在复平面内对应的点为( , ) x y， z xyi ，| 2zi， 2 2 12xy ，即 22 (1)4xy. 故选：C. 9 （2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）设复数 z 满足=1iz，z 在复平面内对应的点为(x，y)， 则 A 22 +11()xy B 2
23、2 (1)1xy C 22 (1)1yx D 22 ( +1)1yx 【答案】C 【解析】 ,(1) ,zxyi zixyi 22 (1)1,zixy则 22 (1)1yx 故选 C 10 （2020 届山东省济宁市高三 3 月月考）已知复数z在复平面上对应的点为 1,1 ，则 ( ) A1z 是实数 B1z 是纯虚数 Czi是实数 Dzi是纯虚数 【答案】B 【解析】 由题意，1zi 则1zi ，为纯虚数，故 A 错误，B 正确； 1 2zii ，故 C,D 错误， 故选：B 11 （2020 届山东省青岛市高三上期末）已知复数在复平面内对应的点分别为，则 （ ） A B C D 【答案】D
24、 【解析】 15 复数 在复平面内对应的点分别为（1，1） ， （0，1） ， 1+i，i 故选：D 12 （2020 届山东省潍坊市高三模拟一）如图，在复平面内，复数 1 z， 2 z对应的向量分别是OA，OB，若 12 zzz，则 z 的共复数z （ ） A 13 22 i B 13 22 i C 13 22 i D 13 22 i 【答案】A 【解析】 由图可知： 12 1 2 ,1zi zi ，所以 1 2 121121 3 1112 iizii z ziii ， 所以 13 22 zi. 故选：A. 13 （2020 届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）在复平面上，复数 24 1 i
25、 i 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】A 【解析】 24(24 )(1)62 3 1(1)(1)2 iiii i iii ，对应点为(3,1)在第一象限. 故答案选 A 14 （2020 届山东省潍坊市高三模拟二）设复数 za+bi（a，bR） ，若 12 zi ii ，则 z（ ） A 13 55 i B 13 55 i C 31 55 i D 31 55 i 16 【答案】C 【解析】 12 zi ii ， 11231 2555 iiii zi i ， z 31 55 i . 故选：C. 15 （2020 届山东省六地市部分学校高三 3 月线考）
26、 设2 i 3i35 ixy (i为虚数单位） ， 其中 , x y 是实数，则ixy等于( ) A5 B 13 C2 2 D2 【答案】A 【解析】 由2 i3i35 ixy ，得63 2i35 ixxy ， 63 325 x xy ，解得 3 4 x y ，i3 4i5xy 故选 A 16 （2020 届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）若复数 22 1 ai i （aR）是纯虚数，则复数22ai在复 平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】B 【解析】 222 2aii ，对应点为( 2,2) ，在第二象限 故选：B 17 （2020 届山东省 2
27、 月模拟）若1izi （其中i是虚数单位） ，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点 位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】D 【解析】 17 分析：变形1izi ，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标即可得结论. 详解：由i1 iz ， 得 2 1 ii1 i 1 i ii z ， 1zi 复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为1, 1 ， 位于第四象限，故选 D. 18 （2020 山东高三下学期开学）已知复数 5 5 2 i zi i ，则|z （ ） A5 B5 2 C3 2 D2 5 【答案】B 【解析】 55 (2) 5517 25 iii ziii i ，故 22 |( 1)75 2z . 故选：B
