1、数学(B 卷)试题(第 1 页,共 5 页) 福州市福州市 2021 届高三届高三 10 月调研月调研 B 卷卷 数学数学 (完卷时间 120 分钟;满分 150 分) 注意事项 1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效 3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分在每小题给出的四个选项中,只有一在每小题
2、给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1. 已知复数z满足1 2i2i z,则z的虚部为 A1 Bi Ci D1 2. 已知集合 2 log1Axx,集合| 1Bxx 1,则AB A 1,1 B 1,2) C0,1 D2- , 3. 命题“0,x , 1 sin xx x ”的否定是 A0,x , 1 sin xx x B0,x , 1 sin xx x C0,x , 1 sin xx x D,0 x , 1 sin xx x 4. Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城有学者根据公布数据建立 了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 I(t)(t 的单
3、位: 天)的 Logistic 模型: 0.23(50) 1e t K I t , 其中 K 为最大确诊病例数当 I( * t)=0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则 * t约为 (参考数据 ln193) A60 B62 C66 D63 数学(B 卷)试题(第 2 页,共 5 页) 5. 已知数列 n a满足 * 1 1 1(2) n n ann a N ,若 4 5 3 a ,则 1 a= A1 B 3 2 C2 D 8 5 6. 将函数 sinf xx(0,0) 的图象上所有的点向右平移 3 个单位长度 得到正弦曲线,则 3 f 的值为 A 1 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 3
4、 2 7. 已知ABC是边长为 2 的等边三角形,且AEEB , 2ADDC ,则BD CE A3 B2 C1 D3 8. 已知函数( )f x是定义域为R的奇函数,当0 x时,( )e1 x f x 记2 ( 2)af , (1)bf,3 (3)cf,则, ,a b c的大小关系是 Abac Bacb Ccba Dcab 二、选择题:本题共二、选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分在每小题给出的选项中,有多项符合在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0 分,部分选对的得分,部分选对的
5、得 3 分分 9. 在公比为q等比数列 n a中, n S是数列 n a的前n项和,若 521 127,aaa,则下列 说法正确的是 A 3q B数列2 n S 是等比数列 C 5 121S D 22 2lglglg3 nnn aaan 10. 已知, ,a b cR,则下列命题正确的是 A若0ab 且ab,则 11 ab B若01a,则 2 aa C若0ab,则 1 1 bb aa D若cba且0ac ,则 22 bcac 数学(B 卷)试题(第 3 页,共 5 页) 11. 设函数 e ( ) ln x f x x ,则下列说法正确的是 A定义域是(0, ) B(0,1)x 时,图象位于x
6、轴下方 C存在单调递增区间 D 有且仅有一个极值点 12. 已知函数)0)(sin()(xxf,若)(xf在区间 ,0 2 上是单调函数,且有 ()(0)() 2 fff,则的值可能为 A 3 2 B2 C 3 1 D1 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13. 已知向量, a b的夹角为60,2,1ab,则ab= 14. 已知实数x满足2310110 xxxx,则 2310 xxxx 15. 若 1 sin() 33 ,则 cos(2 ) 3 16. 定义在R上函数( )f x满足 1 1 2 fxfx,且当0,1x时, 121
7、fxx . 若当 x,m 时, 1 16 fx ,则m的最小值等于 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (10 分) 已知等差数列 n a的公差0d , 3 7a ,且 1 a, 2 a, 6 a成等比数列,数列 n b满足 1nnn bba (1)求 n a的通项公式; (2)求 n b的前20项和 20 S ( )f x( )f x ( )f x( )f x 数学(B 卷)试题(第 4 页,共 5 页) 18. (12 分) 设ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a
8、,b,c,已知2 coscoscoscCaBbA (1)求角 C; (2)若ABC 的面积为 3 3 2 ,且5ab,求 c 19. (12 分) 已知函数 32 f xxaxx在1x 处取得极小值 (1)求实数a的值,并求函数 ( )f x的单调区间; (2)求曲线 yf x 在点 1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积 20. (12 分) ABC 中, 角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c, 已知1a ,(sin cos)coscBBbC (1)求 BC边上的高AD的长; (2)求tan A的最大值 21. (12 分) 在 1 (1)(1)(41) nn n anan
9、 ; 11 2(11) nnnn aaaa ; 1 84 nn aan (2n )三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解 问题:已知数列 n a中, 1 3a ,_ (1)求 n a; (2)若数列 1 n a 的前n项和为 n T,证明: 11 32 n T 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 数学(B 卷)试题(第 5 页,共 5 页) 22. (12 分) 已知函数 a yx x 有如下性质:如果常数0a ,那么该函数在0, a 上是减函数,在 ,a 上是增函数 (1)研究函数 2 2 c g xx x (常数0c )在定义域内的单调性,并说明理由; (2)对函数 a
10、yx x 和 2 2 a yx x (常数0a )作出推广,使它们都是你所推广的函 数的特例研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必证明 ) ,并求函数 2 2 11 nn F xxx xx (n是正整数) 在区间 1 ,2 2 上的最大值和最小值 (可利用 你的研究结论) 数学(B 卷)参考答案(第 1 页,共 7 页) 福州市福州市 2021 届高三届高三 10 月调研月调研卷卷 数学参考答案数学参考答案 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题
11、目要求的题目要求的. 1A,2C,3C,4D,5A,6B,7B,8D 8. 【解析】因为( )f x是定义域为R的奇函数,所以()( )fxf x . 构造函数( )( )g xxf x,则()() ()( )gxx fxxf x ,所以( )g x为R上的偶函数 当0 x时,( )( )( )e1( e )1( +1)e xxx g xf xxfxxx , 因为0 x,所以1 1,1 x xe ,(1)1 x xe,所以( )0g x ,所以( )g x在(0,)上单调递减, 又( )g x为偶函数,2 ( 2)( 2)(2)afgg , (1)(1)bfg,(3)cg, 所以cab, 故选
12、 D 二、选择题:本题共二、选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求求.全部选对的得全部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分分 9ACD,10BCD,11BCD,12AB 11. 【解析】由题意,函数 e ( ) ln x f x x 满足 0 ln0 x x ,解得0 x 且1x , 所以函数 e ( ) ln x f x x 的定义域为(0,1) (1,),所以 A 不正确; 由 e ( ) ln x f x x ,当 (0
13、,1)x时,ln 0 x ,所以 0f x , 所以 ( )f x在(0,1)上的图象都在轴的下方,所以 B 正确; 因为 2 1 eln ln x x x fx x ,所以 ( )0fx在定义域上有解, 所以函数 f x存在单调递增区间,所以 C 是正确的; 由 1 lng xx x ,则 2 11 .(0)gxx xx ,所以 0gx ,函数 g x单调增,则函数 ( )0fx只有一个根 0 x,使得 0 ()0fx,当 0 (0,)xx时,( )0fx,函数单调递减,当 数学(B 卷)参考答案(第 2 页,共 7 页) 0 (,)xx时,函数单调递增,所以函数只有一个极小值,所以 D 正
14、确故选 BCD 12.【解析】因为 ( )f x在 ,0 2 上单调,所以 22 T ,即T ,所以02 若 T,则 2,符合题意; 若 T ,因为 (0)()ff 所以直线 x 2是 f(x)的图象的一条对称轴, 因为 ()(0) 2 ff所以 f(x)图象的一个对称中心是 ,0 4 ,所以 3 4244 T , 所以 T3, 2 3.故选 AB. 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 133,142046,15 7 9 ,16 15 4 16. 【解析】 根据题设可知, 当1,2x时,10,1x , 故 11 1123 22 f
15、 xf xx, 同理可得:在区间,1n nnZ上, 11 1221 22 nn f xxn , 所以当4n 时, 1 16 fx . 作函数 yf x的图象,如图所示. 在 7 ,4 2 上,由 11 127 816 f xx ,得 15 4 x , 由图象可知当 15 4 x 时, 1 16 fx ,所以m的最小值为 15 4 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17本题主要考查等差数列、等比数列的概念、通项公式,数列求和等基础知识考查运算求解能 力,考查化归与转化思想,涉及的
16、核心素养有数学抽象、数学运算等,体现基础性满分 10 分 解析:(1)依题意,得 1 2 111 27, ()(5 ), ad ada ad 因为0d ,解得 1 1, 3, a d 所以32 n an 5 分 数学(B 卷)参考答案(第 3 页,共 7 页) (2)由(1),得 1 32 nn bbn , 2012341920 ()()()Sbbbbbb (3 1 2)(3 32)(3 192) 1 10 110 9 6 2 280 10 分 18本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方 程思想,化归与转化思想,涉及的核心素养有逻辑推理、数学运算等,
17、体现基础性满分 12 分 解析:(1)由正弦定理及已知,得 2sinCcosC=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC 因为 sinC0,所以 cosC= 1 2 , 因为 C(0,),所以 C= 3 6 分 (2)由(1) 13 3 sin 232 ab,所以 ab=6, 又 a + b = 5,所以 222 ()213ababab, 由余弦定理知,c2 = a2 + b2 - 2abcosC = 13 - 2 61 2 =7, 所以 7c 12 分 19本小题主要考查函数的单调性、极值和最值、导数等基础知识;考查推理论证能力,运算求解 能力;考查化归与转化思想、函数
18、与方程思想;涉及的核心素养有直观想象、逻辑推理、数学运算 等,体现基础性、综合性满分 12 分 解析:(1) 2 ( )321fxxax,因为函数( )f x在1x 取得极小值, 由 (1)0 f 可得3210a ,解得1a 经检验,1x 是函数 ( )f x的极小值点,所以1a 当1a 时, 2 ( )321(31)(1)fxxxxx , 由 ( )0fx ,解得 1 3 x 或1x ,由( )0fx ,解得 1 1 3 x 所以 ( )f x的单调递增区间是 1 (,) 3 ,(1,),单调递减区间是 1 (,1) 3 6 分 (2)由(1)知 32 ( )f xxxx,所以( 1)1f
19、, 数学(B 卷)参考答案(第 4 页,共 7 页) 由 2 ( )321fxxx,在点( 1, 1) 处的切线的斜率( 1)4k f , 所以切线的方程为 ( 1)4( 1)yx ,即4 30 xy 令0 x ,可得 3y ,令 0y 可得 3 4 x , 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积 139 3 248 S 12 分 20本小题主要考查正弦定理、解三角形、正切函数、三角恒等变换等基础知识,考查推理论证能 力、运算求解能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想,涉及的核心素养有直 观想象、数学运算,逻辑推理等,体现基础性,综合性满分 12 分 解析:(1)由已知及正弦定理,
20、得sinsinsincossincosBCCBBC, 即sinsinsincossincossin()BCCBBCBC, 因为BCA,所以sin( )sinBCA ,所以sinsinsinBCA, 所以sinbCa, 又因为1a ,所以sin1ADbC 5 分 (2)设BDx,CDy,则1xy 当0 x,或0y时,tan1A 当0 xy时, 1 tanB x , 1 tanC y , 此时 11 tantan1 tantan() 1 1tantan11 1 BCxyxy ABC BCxyxy xy , 因为2xyxy,所以 1 4 xy, 所以 114 1 13 1 4 xy ,当且仅当xy时
21、等号成立, 所以当 1 2 xy时,tan A取得最大值 4 3 综述,tan A的最大值为 4 3 12 分 21本题主要考查等差数列和等比数列的概念、通项公式,数列求和等基础知识考查运算求解能 数学(B 卷)参考答案(第 5 页,共 7 页) 力,考查化归与转化思想,涉及的核心素养有数学抽象、数学运算等,体现基础性,综合性 满 分 12 分 解析:(1)选 由 1 (1)(1)(41) nn n anan,得 1 141 1 nn aan nn , 即 1 11 4 1 nn aa nn ,又 1 1 4 1 a , 所以 1 n a n 是首项为 4,公差为 4 的等差数列, 所以 1
22、4 n a n n ,所以 2 41 n an 6 分 (2)由(1) ,得 1111 () 2 2121 n ann , 7 分 所以 1111111 ()()() 213352121 n T nn 11 (1) 221 n 11 . 242 n 10 分 因为 1 0 42 n ,所以 1 2 n T, 又因为 11 242 n T n 随着n的增长而增大,所以 1 1 3 n TT 综上 11 32 n T 12 分 若选 由 11 2(11) nnnn aaaa ,得 1 1 (1)(1) 2 11 nn nn aa aa , 数学(B 卷)参考答案(第 6 页,共 7 页) 即 1
23、112 nn aa ,又 1 12a , 所以 1 n a 是首项为 2,公差为 2 的等差数列, 所以12 n an ,所以 2 41 n an 6 分 下同 若选 由 1 84 nn aan (2n)可得: 当 2n 时, 112211 ()()() nnnnn aaaaaaaa (84)(812)123nn (84)12(1) 3 2 nn 2 41n 当1n 时, 1 3a ,符合 2 41 n an, 所以当 * nN时, 2 41 n an 6 分 下同 22本小题主要考查函数的单调性、函数的最值、导数及其应用、二项式定理等基础知识,考查推 理论证能力、运算求解能力、创新意识等,考
24、查分类与整合思想、函数与方程思想,涉及的核心素 养有数学抽象、数学运算、逻辑推理等,体现综合性、应用性与创新性满分 12 分 解析:(1)因为 2 2 c g xx x ,所以函数 g x的定义域为,00,. 设 12 0 xx, 2222 2112 2222 212121 222222 211212 1 xxx xc ccc g xg xxxxx xxx xx x . 当 4 12 cxx时, 21 g xg x, 函数 2 2 c g xx x 在 4 , c 上是增函数;当 4 12 0 xxc 时 21 g xg x, 函数 2 2 c g xx x 在 4 0, c 上是减函数. 又
25、 2 2 22 cc gxxxg x x x ,所以函数 g x是偶函数,于是,该函数在 4 ,c 上 是 减函数,在 4 ,0c 上是增函数. 数学(B 卷)参考答案(第 7 页,共 7 页) (2)可以把函数推广为 n n a yx x (常数0a ) ,其中 n 是正整数. 当 n 是奇数时,函数 n n a yx x 在 2 0, n a 上是减函数,在 2 , n a 上是增函数,在 2 , n a 上是增函数, 在 2 ,0 n a 上是减函数; 当 n 是偶数时,函数 n n a yx x 在 2 0, n a 上是减函数,在 2 , n a 上是增函数,在 2 , n a 上 是减函数, 在 2 ,0 n a 上是增函数. 因为 2 2 11 nn F xxx xx 0212323 223232 1111 CCCC nnrnrnn nnnn nnnr xxxx xxxx , 所以 F x在 1 ,1 2 上是减函数,在1,2上是增函数.所以,当 1 2 x 或2x 时, F x取得最大值 99 24 nn ;当1x 时 F x)取得最小值 1 2n.