1、1 江苏省苏州市 2021 届高三苏州八校联盟第一次适应性检测 数学试题 202010 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知集合 A 1 1 N216 2 x x ，B 2 40 x xxm，若 1AB，则 A B A1，2，3 B1，2，3，4 C0，1，2 D0，1，2，3 2命题“x (0，1)， 2 0 xx”的否定是 A 0 x(0，1)， 2 00 0 xx B 0 x(0，1)， 2 00 0 xx C 0 x(0，1)， 2 00 0 xx D 0 x(
2、0，1)， 2 00 0 xx 3( ) 1 cos x f x x 的部分图象大致是 4函数2 (ln1)yxx在 x1 处的切线方程为 A42yx B24yx C42yx D24yx 5在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 cos2B2sinAsinC1，则 B 的 最大值为 A 6 B 4 C 3 D 2 6如图直角坐标系中，角(0 2 )、角(0 2 )的终边分别交单位圆于 A， B 两点， 若 B 点的纵坐标为 5 13 ， 且满足 SAOB 3 4 ， 则 1 s i n( 3c o ss i n ) 2222 2 的值为 A 5 13 B12 13 C 1
3、2 13 D 5 13 7已知 a0，b0，1ab，则 A ba ab B ba ab C 1 2 ab ab D1 ab ab 第 11 题 第 6 题 8函数 2222 ( )16sin9cos16cos9sinf xxxxx的值域为 A5，10 B5 2，10 C7，10 D7，5 2 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9下面命题正确的是 A “a1”是“ 1 1 a ”的充分不必要条件 B在ABC 中， “sinAcosAsinBcosB”是“AB”的充要
4、条件 C设 x，yR，则“x2 且 y2”是“x2y24”的必要而不充分条件 D设 a，bR，则“a0”是“ab0”的必要不充分条件 10已知函数( )sincosf xxx，( )g x是( )f x的导函数，则下列结论中正确的是 A函数( )f x的值域与( )g x的值域不相同 B把函数( )f x的图象向右平移 2 个单位长度，就可以得到函数( )g x的图象 C函数( )f x和( )g x在区间( 4 ， 4 )上都是增函数 D若 0 x是函数( )f x的极值点，则 0 x是函数( )g x的零点 3 11设 a0，b0，称 2ab ab 为 a，b 的调和平均数，称 22 2
5、ab 为 a，b 的加权平均数如 图，C 为线段 AB 上的点，且 ACa，CBb，O 为 AB 中点，以 AB 为直径作半圆， 过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D，连接 OD，AD，BD，过点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E，取弧 AB 的中点 F，连接 FC，则 AOD 的长度是 a，b 的几何平均数 BDE 的长度是 a，b 的调和平均数 CCD 的长度是 a，b 的算术平均数 DFC 的长度是 a，b 的加权平均数 12关于函数 2 ( )lnf xx x ，下列判断正确的是 Ax2 是( )f x的极大值点 B函数( )yf xx有且只有 1 个零点 C存在正实数 k，使得(
6、)f xkx成立 D对任意两个正实数 1 x， 2 x，且 1 x 2 x，若 12 ( )()f xf x，则 12 4xx 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13若关于 x 的不等式 axb0 的解集是1，则关于 x 的不等式0 2 axb x 的解集 是 14 已知函数 0 ( ) 10 xx f x xx ， ， ， 则( (5 ) )f f ； 若实数 a 满足( ( )f f aa， 则 a 的取值范围是 15如图，在 P 地正西方向 8km 的 A 处和正东方向 1km 的 B 处各有一条正北方向的公路 AC 和
7、BD，现计划在 AC 和 BD 路边各修建一个物流中心 E 和 F，为缓解交通压力， 决定修建两条互相垂直的公路 PE 和 PF，设EPA( 0 2 )，为了节省建设成本，要使得 PEPF 的值 最小，则当 PEPF 的值最小时，AE km 第 15 题 16已知，( 4 ， 2 )，且 22 sinsinsin() coscos，则tan() 的最大值为 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 4 17 （本小题满分 10 分） （1）已知2lglglg 2 xy xy ，求 x y 的值； （2）求值： 1 4si
8、n80 tan10 18 （本小题满分 12 分） 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，c2有以下 3 个条件：2ccosA b；2ba2ccosA；ab2c 请在以上 3 个条件中选择一个，求ABC 面积的最大值 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19 （本小题满分 12 分） 如图，A、B 是一矩形 OEFG 边界上不同的两点，且AOB45，OE1，EF3， 设AOE （1）写出AOB 的面积关于的函数关系式( )f； （2）求（1）中函数( )f的值域 20 （本小题满分 12 分） 对于函数( )f x，若在定义域内存在实数 x，满足()( )fxf
9、x ，则称( )f x为“局 部奇函数” （1）已知二次函数 2 ( )24f xaxxa(aR)，试判断( )f x是否为“局部奇函数”？ 并说明理由； （2）若 12 ( )423 xx f xmm 为定义域 R 上的“局部奇函数”，求实数 m 的取 5 值范围 21 （本小题满分 12 分） 在非直角三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c （1）若 ac2b，求角 B 的最大值； （2）若 acmb(m1) （i）证明： AC1 tantan 221 m m ； （可能运用的公式有sinsin2sin 2 cos 2 ） （ii）是否存在函数( )m，使得对于一切满
10、足条件的 m，代数式 cosAcosC( ) ( )cosAcosC m m 恒为定值？若存在， 请给出一个满足条件的( )m， 并证明之； 若不存在， 请给出一个理由 22 （本小题满分 12 分） 已知函数( )exf x ，( )1g xax，其中 e2.71828为自然对数的底数 （1）设aN，( )( )f xg x恒成立，求 a 的最大值； 6 （2）设 a0，讨论函数 1 ( )( ( ) cose a h xf g xx 在0， 2 上的零点个数 （参考 数据：ln20.69，ln31.10） 江苏省苏州市 2021 届高三苏州八校联盟第一次适应性检测 数学试题 202010
11、一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知集合 A 1 1 N216 2 x x ，B 2 40 x xxm，若 1AB，则 A B A1，2，3 B1，2，3，4 C0，1，2 D0，1，2，3 答案：D 解析：若 1AB，B1，3， 又A 1 1 N216 2 x x 0，1，2，AB0，1，2，3，故选 D 2命题“x (0，1)， 2 0 xx”的否定是 A 0 x(0，1)， 2 00 0 xx B 0 x(0，1)， 2 00 0 xx C 0 x(0，1)， 2
12、 00 0 xx D 0 x(0，1)， 2 00 0 xx 答案：B 解析：全称量词命题的否定，首先全称量词变存在量词，同时否定结论，故选 B 3( ) 1 cos x f x x 的部分图象大致是 7 答案：A 解析：首先可判断函数( )f x是奇函数，其次可判断 x0，当 x0 时，( )f x0，综上， 选 A 4函数2 (ln1)yxx在 x1 处的切线方程为 A42yx B24yx C42yx D24yx 答案：C 解析：设切线斜率为 k，首先求得切点是(1，2)，2ln4yx ，故 k4，根据点斜式得， y24(x1)，即42yx，故选 C 5在ABC 中，角 A、B、C 所对的
13、边分别为 a、b、c，且 cos2B2sinAsinC1，则 B 的 最大值为 A 6 B 4 C 3 D 2 答案：C 解析：由 cos2B2sinAsinC1，得 sinAsinCsin2B，即 acb2， cosB 222 11 22222 acbac acca ，则 B 的最大值为 3 ，故选 C 6如图直角坐标系中，角(0 2 )、角(0 2 )的终边分别交单位圆于 A， B 两点， 若 B 点的纵坐标为 5 13 ， 且满足 SAOB 3 4 ， 则 1 s i n( 3c o ss i n ) 2222 的值为 8 A 5 13 B12 13 C 12 13 D 5 13 答案：
14、B 解析： 123 cos 132 ，且0 2 ，故0 6 ，又 0 2 ， 0 2 3 ，即AOB(0， 2 3 )，根据 SAOB 3 4 ，得 sinAOB 3 ， 13112 sin( 3cossin)sincoscos()cos 222222313 ，故 选 B 7已知 a0，b0，1ab，则 A ba ab B ba ab C 1 2 ab ab D1 ab ab 答案：C 解析：a0，b0，1ab，故 0a1，0b1， 1a aaa， 1b bbb，故 2 ()1 22 ab ab abab ，故选 C 8函数 2222 ( )16sin9cos16cos9sinf xxxxx的
15、值域为 A5，10 B5 2，10 C7，10 D7，5 2 答案：D 解析： 2222 ( )16sin9cos16cos9sinf xxxxx， 22 ( )2557649sin 2fxx，0 2 sin 2x1，故 49 2( ) fx50， 又( )f x0，7( )f x5 2，故选 D 9 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9下面命题正确的是 A “a1”是“ 1 1 a ”的充分不必要条件 B在ABC 中， “sinAcosAsinBcosB”是“A
16、B”的充要条件 C设 x，yR，则“x2 且 y2”是“x2y24”的必要而不充分条件 D设 a，bR，则“a0”是“ab0”的必要不充分条件 答案：AD 解析：选项 A，a1 11 011 aa ，故 A 正确； 选项B， sinAcosAsinBcosBsin(A)sin(B) 44 AB或AB 2 ， 故 B 错误； 选项 C， “x2 且 y2”是“x2y24”的充分不必要条件，故 C 错误； 选项 D，a0 时，ab0 不一定成立，而 ab0，则 a0 一定成立，故 D 正确 综上，选 AD 10已知函数( )sincosf xxx，( )g x是( )f x的导函数，则下列结论中正
17、确的是 A函数( )f x的值域与( )g x的值域不相同 B把函数( )f x的图象向右平移 2 个单位长度，就可以得到函数( )g x的图象 C函数( )f x和( )g x在区间( 4 ， 4 )上都是增函数 D若 0 x是函数( )f x的极值点，则 0 x是函数( )g x的零点 答案：CD 解析：( )sincos2sin() 4 f xxxx ，( )cossin2sin() 4 g xxxx ， 所以函数( )f x的值域与( )g x的值域相同，A 错误， 把函数( )f x的图象向右平移 2 个单位长度，得到 3 2sin() 4 yx ，并不是函数 ( )g x的图象，故
18、 B 错误； 选项 C，D 都正确，故选 CD 10 11设 a0，b0，称 2ab ab 为 a，b 的调和平均数，称 22 2 ab 为 a，b 的加权平均数如 图，C 为线段 AB 上的点，且 ACa，CBb，O 为 AB 中点，以 AB 为直径作半圆， 过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D，连接 OD，AD，BD，过点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E，取弧 AB 的中点 F，连接 FC，则 AOD 的长度是 a，b 的几何平均数 BDE 的长度是 a，b 的调和平均数 CCD 的长度是 a，b 的算术平均数 DFC 的长度是 a，b的加权平均数 答案：BD 解析： OD 的长度是
19、a， b 的算术平均数， CD 的长度是 a， b 的算术平均数， DE 的长度是 a， b 的调和平均数，FC 的长度是 a，b 的加权平均数，故选 BD 12关于函数 2 ( )lnf xx x ，下列判断正确的是 Ax2 是( )f x的极大值点 B函数( )yf xx有且只有 1 个零点 C存在正实数 k，使得( )f xkx成立 D对任意两个正实数 1 x， 2 x，且 1 x 2 x，若 12 ( )()f xf x，则 12 4xx 答案：BD 解析： 2 ( )lnf xx x ， 2 2 ( ) x fx x ， 选项 A，x2 是( )f x的极小值点，故 A 错误； 选项
20、 B，( )yf xx， 2 2 2 0 xx y x ，y 在(0，)上单调递减，当 x1 时，y0，当 x2 时，y0，故函数( )yf xx有且只有 1 个零点，B 正确； 选项 C，由 2 ( )1lnf xx xxx ，当x ， 2 1 0 x ， ln 0 x x ，知 C 错误； 11 选项 D， 212 12 121 2() ( )()ln xxx f xf x x xx ，欲证 12 4xx， 则证 21212 121 2()() 4ln xxxxx x xx ，即证 2122 1211 2ln0(1) xxxx xxxx ，显然成立， 故 D 正确，故选 BD 三、填空题（
21、本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13若关于 x 的不等式 axb0 的解集是1，则关于 x 的不等式0 2 axb x 的解集 是 答案：(1，2) 解析：不等式 axb0 的解集是1， a0，1 b a ， 0 2 axb x ， 1x2，解集为(1，2) 14 已知函数 0 ( ) 10 xx f x xx ， ， ， 则( (5 ) )f f ； 若实数 a 满足( ( )f f aa， 则 a 的取值范围是 答案：2；(，1 解析：( ( 5)(4)42f ff， 1 4, 0 ( ( )1, 10,1 0,1 aa f f aa
22、aa a ，( ( )f f aa，解得 a1 15 如图， 在 P 地正西方向 8km 的 A 处和正东方向 1km 的 B 处各有一条正北方向的公路 AC 和 BD，现计划在 AC 和 BD 路边各修建一个物流中心 E 和 F，为缓解交通压力，决定 修建两条互相垂直的公路 PE 和 PF，设EPA(0 2 )，为了节省建设成本， 要使得 PEPF 的值最小，则当 PEPF 的值最小时，AE km 12 答案：4 解析：由 PEPF 81 cossin ，由权方和知 22 411 tan cossin2 ， 故 AE8tan4 16已知，( 4 ， 2 )，且 22 sinsinsin()
23、coscos，则tan() 的最大值为 答案：4 解析：由已知齐次化得 2 (tantan)tantan， 故 2 tantan(tantan1 1) tan()4 1 tantantantan1 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） （1）已知2lglglg 2 xy xy ，求 x y 的值； （2）求值： 1 4sin80 tan10 解： （1）由2lglglg 2 xy xy 可得： 2 lg()lg() 2 xy xy 且x y ， 所以， 222 (),60 2 xy x
24、y xxyy 即 22 ( )6( ) 10,(3)8,32 2,21 xxxxx yyyyy . （2） 因为 14sin80 sin10cos10 4sin80 tan10sin10 13 2sin20cos10 sin10 2sin(3010 )cos10 sin10 3 18 （本小题满分 12 分） 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，c2有以下 3 个条件：2ccosA b；2ba2ccosA；ab2c 请在以上 3 个条件中选择一个，求ABC 面积的最大值 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解：若选择 由正弦定理 sinsinsin abc AB
25、C 可将2 coscAb化为：2sincossinCAB 又AB C，所以sin sin()BAC 所以2sin cossin()CAAC 即sincoscossin0ACAC， sin()0AC ，AC2ac 所以 1 sin2sin2 2 ABC SacBB （当 2 B 时取到等号） 所以ABC面积的最大值为 2. 若选择 由正弦定理 sinsinsin abc ABC 可将22 cosbacA化为： 2sinsin2sincosBACA 又AB C，所以sin sin()BAC 所以2sin()sin2sincosACACA 即2sincossinACA， 1 cos 2 C 又(0,
26、 )C， 3 C 又由余弦定理 222 2coscababC可得： 22 42ababababab（当且仅当ab时取等号） 14 1 sin2sin3 2 ABC SabCC 所以ABC面积的最大值为3. 若选择 因为2c ，所以 242abcab 4ab（当且仅当ab时取等号） 又由余弦定理 222 cos 2 abc C ab 得： 22222 31 ()() 1 242 cos 2222 ab ababab ab C ababab （当且仅当ab时取等号） 0 3 C 11 sin4 sin3 223 ABC SabC （当且仅当ab时取等号） 所以 ABC 面积的最大值为 3 . 19
27、 （本小题满分 12 分） 如图，A、B 是一矩形 OEFG 边界上不同的两点，且AOB45，OE1，EF3， 设AOE （1）写出AOB 的面积关于的函数关系式( )f； （2）求（1）中函数( )f的值域 解： （1）OE=1，EF=3 EOF=60 当0，15 时，AOB 的两顶点 A、B 在 E、F 上， 且 AE=tan ,BE=tan(45 + ) 15 f()=SAOB= 2 1 tan(45 + )tan = sin45 2coscos(45) = 2 2cos(245 )2 当（15 ,45 时，A 点在 EF 上，B 点在 FG 上，且 OA= cos 1 ，OB= 3 c
28、os(45) )(f=SAOB= 2 1 OA OB sin45 = cos2 1 3 cos(45) sin45 = 6 2cos(2 )2 4 综上得：f()= 2 0, 12 2cos(2)2 4 6 (, 12 4 2cos(2)2 4 （2）由（1）得：当0， 12 时 f()= 2 2cos(2)2 4 2 1 ,31 且当=0 时，f()min= 2 1 ；= 12 时，f()max=31； 当 4 , 12 ( 时, 12 2 4 4 ，f（）= 6 2cos(2)2 4 63, 2 3 且当= 8 时，f() min=63；当= 4 时，f() max= 2 3 所以 f()
29、 2 1 , 2 3 20 （本小题满分 12 分） 对于函数( )f x，若在定义域内存在实数 x，满足()( )fxf x ，则称( )f x为“局 部奇函数” （1）已知二次函数 2 ( )24f xaxxa(aR)，试判断( )f x是否为“局部奇函数”？ 并说明理由； 16 （2）若 12 ( )423 xx f xmm 为定义域 R 上的“局部奇函数”，求实数 m 的取 值范围 解： （1）当() = 2+ 2 4( )时， 方程() + () = 0即有解 = 2， 所以()为“局部奇函数” （2）当() = 4 2+1+ 2 3时，() + () = 0可化为 4+ 4 2(2
30、+ 2) + 22 6 = 0 设 = 2+ 2 2,+)，则4+ 4= 2 2， 从而2 2 + 22 8 = 0在2,+)有解即可保证()为“局部奇函数” 令() = 2 2 + 22 8， 1 当(2) 0，2 2 + 22 8 = 0在2,+)有解， 由(2) 0，即22 4 4 0，解得1 3 1 + 3； 2 当(2) 0时，2 2 + 22 8 = 0在2,+)有解等价于 = 42 4(22 8) 0, 2, (2) 0 解得1 + 3 0） 且当lnxa时， 0Fx；当lnxa时， 0Fx 所以( )F x在,lna上单调递减，在ln , a 上单调递增， 所以 min ( )
31、(ln )ln1F xFaaaa 因为要使得( )( )f xg x恒成立，只要( )0F x 恒成立 即 min ( )(ln )ln10F xFaaaa 设( )ln1G aaaa，1a 且aN ( )l n0Gaa ，( )G a在1a 上单调递减 又(3)33ln3 143.30G ，(4)44ln4 155.520G ， 且( )G a图象连续不断，所以满足的a的最大值为 3. （2） 1 1 ( )cos ax a h xexe ，0, 2 x 设 1 ( )cos ax H xex ，则 111 ( )cossincostan axaxax H xaexexx eax ， 因为0
32、a，所以在(0,) 2 内必存在唯一的实数 0 x，使得 0 tanxa 所以 0 0,( )0,( )xxH xH x为增函数 0 (,) 2 xx ， 0Hx， H x为减函数 （说明 h x单调性同样给分） 下面先证明： 1 0 () a H xe . 因为 0 tanxa，所以 00 22 1 cos,sin 11 a xx aa ， （法一）当0 x时，有1,sin x exxx， （不证明不扣分不证明不扣分） 19 00 11 11 coscos 0 0 1 ,cos cos xx exe x ， 00 000 11 sin 1coscos 00 cos axax axxx H x
33、exee 下证 0 0 1 1 sin cos ax x a ee ，即证 0 0 11 sin cos ax xa ，即证 2 2 2 1 1 1 a a a a . 2 2 22 11 1 11 a a a aa 0 H x 1 a e . （法二）当0 x时，有1,sin x exxx， （不证明不扣分不证明不扣分） 0 1 00 sin ax eaxax ， 0 2 1 0000 2 cossincos 1 ax a H xexaxx a 下证 12 2 1 a a e a ，令 1 t a ，则0t 即证 2 1 (0) 1 t e t t ，即证 2 1100 t tet 令 2
34、11 t tte，则 2 10 t tte t为单调递增函数 当0t 时， 00t 2 1100 t tet 0 H x 1 a e . （法三）欲证 0 1 1 0 cos ax a exe ，即证 0 1 1 0 1 cos ax a e x 因为 0 1 1 0 1 ax a eax a ，所以只需证 0 0 11 cos ax ax ， 即证 00 00 11 tan tancos xx xx ， 即证 000 000 sincos1 cossincos xxx xxx 20 即证 22 0000 sincossinxxxx，又 00 sinxx 只需证 32 000 sincossi
35、nxxx，即证 32 000 sinsinsin10 xxx 即证 2 00 sin1sin10 xx 又 0 (0,) 2 x ，所以 2 00 sin1sin10 xx显然成立. 0 H x 1 a e . 接下来，求函数 h x在 0, 2 x 上的零点个数 1 0 0,0 2 a heh x ，且函数 h x在 0, 2 x 上单调递减 h x在 0, 2 x 上有唯一零点，即函数 h x在 0, 2 x 上的零点个数为 1 最后，求函数 h x在 0 0,x上的零点个数 1 1 0 0,0 a heeh x ，且函数 h x在 0 0,x上单调递增 1 当01a时， 1 1 00 a hee ，所以函数 h x在 0 0,x上没有零点， 即函数 h x在 0 0,x上的零点个数为 0 2当1a 时， 1 1 00 a hee ，所以函数 h x在 0 0,x上有唯一零点， 即函数 h x在 0 0,x上的零点个数为 1 综上所述：当01a时， h x在0, 2 上的零点个数为 1 ； 当1a 时， h x在0, 2 上的零点个数为 2 .
