1、20202020- -20212021 学年高三年级第一学期第一次学年高三年级第一学期第一次五校联考五校联考 数学数学试题试题 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共 8 小题，共小题，共 40.0 分）分） 1.函数的定义域为 A. B. C. D. 2.已知，则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. 3.已知是定义在 R 上的偶函数，且在上是增函数，则不等的解 集为 A. B. C. D. 4.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分 家万事休. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢 磨函
2、数的图象的特征，如函数 (1)esin ( ) e1 x x x f x 在区间 (-,) 2 2 上的图象的大致形状是( ) A B C D 5.已知，则的最小值是 A. 3 B. C. D. 9 6已知函数 sinf xxx，xR，若 2 log 3af， 1 3 log 2bf ， 2 2cf 则, ,a b c 的大小为（ ） Aab c Bacb Ccba Dbac 7已知命题p：x R， 2 20mx ；命题 q: x R， 2 210 xmx ，若p、q都为真命 题，则实数m的取值范围是（ ） A1,) B(, 1 C(, 2 D 1,1 8.已知函数有两个极值点，则实数 a 的
3、取值范围是 A. B. C. D. 二、不定项选择题（本大题共二、不定项选择题（本大题共 4 小题，共小题，共 20.0 分分，每小题，每小题全对得全对得 5 5 分，部分对得分，部分对得 3 3 分，有错得零分分，有错得零分） 9.若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是 A. B. C. D. 10设正实数m n、 满足2mn，则下列说法正确的是( ) A 2n mn 的最小值为3 Bmn的最大值为1 Cmn的最小值为2 D 22 mn的最小值为2 11.下列命题中正确命题的是 .已知 a，b 是实数，则“”是“”的充分而不必要条件； ，使； 设是函数的一个极值点，则 若角 的终边在第一象
4、限，则的取值集合为 12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛 顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过 x 的最大 整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则关于函 数的叙述中正确的是 A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 小题，小题，共共 20.0 分）分） 13.已知扇形的圆心角为 ，半径为 5，则扇形的面积_ 14.已知函数，且，则_ 15.已知三个函数，若 ，都有成立，求实数 b的取值范围 16.设是定义在 R上的偶函数，且，当时，
5、若在 区间内关于 x的方程有 3个不同的根，则 a的范围是 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70.0 分）分） 17.（本题共 10 分）已知角 为第一象限角，且 求，的值； 求的值 18.（本题共 12 分）已知集合， 求集合 A； 若 p：，q：，且 p是 q 的充分不必要条件，求实数 m的取值范围 19.（本题共 12 分）已知函数，满足：； 求函数的解析式； 若对任意的实数，都有成立，求实数 m 的取值范围 20. （本题共 12 分）已知函数是定义在 R上的奇函数 求 a 的值； 判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式：； 是否存在实数 k，使得函
6、数在区间上的取值范围是？若存在， 求出实数 k 的取值范 围；若不存在，请说明理由 21. （本题共 12 分）如图，公园内直线道路旁有一半径为 10 米的半圆形荒地 圆心 O在道路上，AB 为直径 ，现要在荒地的基础上改造出一处景观在半圆上取一点 C，道路上 B 点的右边取一点 D， 使 OC垂直于 CD，且 OD的长不超过 20 米在扇形区域 AOC内种植花卉，三角形区域 OCD 内铺 设草皮已知种植花卉的费用每平方米为 200 元，铺设草皮的费用每平方米为 100 元 设单位：弧度 ，将总费用 y表示为 x的函数式，并指出 x的取值范围； 当 x为何值时，总费用最低？并求出最低费用 22
7、.已知函数，其中 a 为正实数 若函数在处的切线斜率为 2，求 a的值； 求函数的单调区间； 若函数有两个极值点，求证： 五校联考试卷精选五校联考试卷精选 一、选择题（本大题共 8 小题，共 40 分） 1.函数的定义域为 A. B. C. D. 【答案】A 2.已知，则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. 【答案】C 3.已知是定义在 R 上的偶函数，且在上是增函数，则不等的解 集为 A. B. C. D. 【答案】D 4.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分 家万事休. 在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函
8、数的解析式来琢 磨函数的图象的特征，如函数 (1)esin ( ) e1 x x x f x 在区间 (-,) 2 2 上的图象的大致形状是( ) A B C D 【答案】A 5.已知，则的最小值是 A. 3 B. C. D. 9 【答案】A 6已知函数 sinf xxx，xR，若 2 log 3af， 1 3 log 2bf ， 2 2cf 则, ,a b c 的大小为（ ） Aab c Bacb Ccba Dbac 【答案】B 7已知命题p：x R， 2 20mx ；命题 q: x R， 2 210 xmx ，若p、q都为真命 题，则实数m的取值范围是（ ） A1,) B(, 1 C(,
9、2 D 1,1 【答案】A 8.已知函数有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解答】 解：因为，所以 由题可知在上有两个不同的零点， 令，则 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为当 x 从右边趋近于 0 时， 当时，而， 所以只需，即 故选 B 二、不定项选择题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 9.若直线是函数图象的一条切线，则函数可以是 A. B. C. D. 【答案】BCD 10设正实数m n、 满足2mn，则下列说法正确的是( ) A 2n mn 的最小值为 3 Bmn的最大值为1 Cmn的最小值为2 D 22 mn的最小值为
10、2 【答案】ABD 11.下列命题中正确命题的是 .已知 a，b 是实数，则“”是“”的充分而不必要条件； ，使； 设是函数的一个极值点，则 若角 的终边在第一象限，则的取值集合为 【答案】CD 【解析】解：对于，若“”，则，若“”，则 所以“”，是“”的必要不充分条件所以不正确； 对于，由指数函数的单调性可得，使；不正确，所以 不正确； 对于， 对于，角 的终边在第一象限，则， 在第一象限时， 当 在第三象限时，则 则的取值集合为：所以正确； 12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛 顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，
11、用表示不超过 x 的最大 整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则关于函 数的叙述中正确的是 A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 【答案】BC 【解答】 解：， 定义域 R，且， 故函数为奇函数， 函数，则， 故，显然不是偶函数 ， 故 A 错，B 对 ， ，故在 上是增函数，C正确； ，故，则，故 D错误 故选 BC 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13.已知扇形的圆心角为 ，半径为 5，则扇形的面积_ 【答案】 14.已知函数，且，则_ 【答案】 15.已知三个函数，若 ，都有成立，求实数 b的取值范围 【答案】 【解答】 解：由题知，
12、 在上单调递增；在上单调递减， 易知在区间上的最大值为， ，都有成立， 即即解得， 16.设是定义在 R上的偶函数，且，当时，若在 区间内关于 x的方程有 3个不同的根，则 a的范围是 【答案】 【解析】 【分析】 本题考查了函数的零点与方程根的关系，函数的奇偶性及函数的周期性，函数图象的应用，属于中 档题 由已知中可以得到函数是一个周期函数，且周期为 4，根据函数与方程之间的关系，转化为函数 的图象与函数的图象有 3个不同的交点， 利用数形结合即可得到实数 a的取值范 围 【解答】 解： 对于任意的，都有， ， 函数是一个周期函数，且 又 当时，且函数是定义在 R 上的偶函数， 若在区间内关
13、于 x的方程恰有 3 个不同的实数解， 则函数与在区间上有 3个不同的交点，如下图所示： 又， 当时，不合题意， 当时，则对于函数，由题意可得，当时的函数值小于 1，当时的函数 值大于 1， 即，由此解得：， 故答案为： 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17.已知角 为第一象限角，且 求，的值； 求的值 【答案】角 为第一象限角，且， ，4 分 6 分 8 分 10 分 18.已知集合， 求集合 A； 若 p：，q：，且 p是 q 的充分不必要条件，求实数 m的取值范围 【答案】， ，则， ，6 分 ， 由可得：或，或， 或8 分 ，且 p是 q 的充分不必要条件， 是 B
14、 的真子集，9 分 或，或，11 分 实数 m的取值范围是 12 分 19.已知函数，满足：； 求函数的解析式； 若对任意的实数，都有成立，求实数 m 的取值范围 【答案】， 又，即， 将式代入式，得，3 分 又、，6 分 证明：， 不等式恒成立 在上恒成立8 分 由于，故只需即可10 分 解得12 分（注：本题有其它解法酌情给分） 20.已知函数是定义在 R 上的奇函数 求 a的值； 判断并证明函数的单调性，并利用结论解不等式： ； 是否存在实数 k， 使得函数在区间上的取值范围是？若存 在，求出实数 k 的取值范围；若不存在，请说明理由 【答案】解：是定义在 R上的奇函数， ，从而得出，2
15、 分 时， ；4 分（不证明扣 2 分） 是 R 上的增函数，证明如下： 设任意且， ， ， 是在上是单调增函数6 分 ， 又是定义在 R 上的奇函数且在上单调递增， ， ，；8 分 假设存在实数 k，使之满足题意， 由可得函数在上单调递增， 为方程的两个根，即方程有两个不等的实根， 令，即方程有两个不等的正根，10 分 存在实数 k，使得函数在上的取值范围是，并且实数 k 的取值范围是 12 分（注：本题有其它解法酌情给分） 21.某公园内直线道路旁有一半径为 10 米的半圆形荒地 圆心 O在道路上，AB为直径 ，现要在荒地的 基础上改造出一处景观在半圆上取一点 C，道路上 B 点的右边取一
16、点 D，使 OC垂直于 CD，且 OD的长不超过 20 米在扇形区域 AOC内种植花卉，三角形区域 OCD 内铺设草皮已知种植花卉 的费用每平方米为 200元，铺设草皮的费用每平方米为 100元 设单位：弧度，将总费用 y 表示为 x 的函数式，并指出 x的取值范 围； 当 x为何值时，总费用最低？并求出最低费用 【答案】解：因为扇形 AOC的半径为 10m，且 OD的长不超过 20 米，当 时，故2分 所以扇形 AOC的面积： ， 在 中， 所以的面积， 从而，；6 分 设， 则， ， 令，解得，8 分 从而当时，当， 因此 在区间上单调递减，在区间上单调递增，10 分 当时，取得最小值，
17、所以 y 的最小值为元， 答：当时，改造景观的费用最低，最低费用为元12 分 22.已知函数，其中 a 为正实数 若函数在处的切线斜率为 2，求 a的值； 求函数的单调区间； 若函数有两个极值点，求证： 【答案】解：因为， 所以， 则，所以 a 的值为 ，函数的定义域为， 若，即，则，此时的单调减区间为；分 若，即，则的两根为， 此时的单调增区间为， 单调减区间为分 由知，当时，函数有两个极值点，且， 因为 ， 要证，只需证分 构造函数，则， 在上单调递增，又，且在定义域上不间断， 由零点存在定理，可知在上唯一实根，且分 则在上递减，上递增，所以的最小值为， 因为， 当时，则， 所以恒成立 所以， 所以，得证分
