1、习题课 求积分的基本方法求积分的基本方法机动 目录 上页 下页 返回 结束 积分的计算方法 第四四章 求积分的基本方法求积分的基本方法1.直接积分法直接积分法通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法.2.换元积分法换元积分法xxfd)(第一类换元法第一类换元法tttfd)()(第二类换元法(注意常见的换元积分类型)(代换:)(tx机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的换元法定积分的换元法 定理定理1.设函数,)(baCxf单值函数)(tx满足:1),)(1Ct 2)在,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t则,上说明说明:1)当 ,即区间换为，时,定
2、理 1 仍成立.2)必需注意换元必换限换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即)(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不换限tfd)(t)(ttfd)(t)(t3.分部积分法分部积分法vuxvud使用原则:1)由v易求出 v;2)xvud比xvud好求.一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺序,排前者取为 u,排后者取为.v计算格式:列表计算xvud机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的分部积分法定积分的分部积分法 定理定理2.,)(,)(1baCxvxu设则baxxvxud)()()()(d)()(xvxuxxvxubaab 基本积分法换元积分法分
3、部积分法换元必换限配元不换限边积边代限例例1.求.d4932xxxxx解解:原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndCx3ln2ln)arctan(32机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求.d15)1ln(22xxxx解解:215)1ln(2xx原式5)1ln(d2xx21xxxxxd)1(212221dxx325)1ln(2xxC23机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析分析:5)1ln(d2xx例例3.求.dcos1sinxxxx解解:原式xxxxxd2cos22cos2sin222tandxxxxd2ta
4、nCxx2tan分部积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设,)(2xyxy解解:令,tyx求积分.d31xyxxyxy2)(即txy,123ttx,12tty而ttttxd)1()3(d2222 1原式ttttd)1()3(2222123tt132tttttd12Ct1ln221Cyx1)(ln221机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求.darctanxeexx解解:xearctan原式xedxxeearctanxexeexxd12xxeearctanxeeexxxd1)1(222xxeearctanxCex)1(ln221机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求.
5、d)2(23xexxx解解:取,23xxuxev2)4(23 xx132xx660)(ku)4(kvxe2xe221xe241xe281xe2161xe2 原式)2(321 xx)13(241xx681Cxxxex)7264(232816161CxxaxaexPxkndcossin)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:此法特别适用于如下类型的积分:例例7.设,dsecxxInn证证:证明递推公式:)2(12tansec1122nInnxxnInnnxInn2secxn 2secxxxnntansecsec)2(3xxdtanxxntansec2xxxnnd)1(secsec)2(2
6、2xxntansec2nIn)2(2)2(nInxxdsec2xtan)2(12tansec1122nInnxxnInnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.求.d1xx解解:设1)(xxF1x,1x1x,1x则)(xF1,1221xCxx1,2221xCxx因)(xF连续,)1()1()1(FFF得21211121CC221121CC记作C得xxd1)(xF1,21221xCxx1,21221xCxx,)1(221Cx,)1(221Cx利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.设 解解:)(xF为)(xf的原函数,时时当当0 x,2sin)()(2xxFxf有有且,1)0(F
7、,0)(xF求.)(xf由题设,)()(xfxF则,2sin)()(2xxFxF故xxFxFd)()(xxd2sin2xxd24cos1即CxxxF4sin)(412,1)0(F,1)0(2FC0)(xF,因此14sin)(41xxxF故)()(xFxf14sin2sin412xxx又机动 目录 上页 下页 返回 结束 需要注意的问题需要注意的问题(1)一般方法不一定是最简便的方法,(2)初等函数的原函数不一定是初等函数,要注意综合使用各种基本积分法,简便计算.因此不一定都能积出.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,d2xex,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 x
8、x,d13xx,)10(dsin122kxxk例例10.求.1d632xxxeeex解解:令,6xet 则,ln6tx txtdd6原式原式ttttt)1(d623tttt)1)(1(d621331362ttttt dtln61ln3t)1ln(232tCt arctan3Ceeexxxx636arctan3)1ln()1ln(323机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11.求.dsincossincos3xxxxx解解:令xxsincos3xBAxBAsin)(cos)(比较同类项系数3 BA1 BA,故2,1BA 原式xxxxxsincos)sind(cos2dCxxxsincosln
9、说明说明:此技巧适用于形为xxdxcxbxadsincossincos的积分.)sin(cos)sin(cosxxBxxAxbxasincos令)sincos()sincos(xdxcBxdxcA机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12.解解：xxbxaxIdsincossin1求因为.dsincoscos2xxbxaxI及12IbIaxxbxaxbxadsincossincos1Cx12IaIbxxbxaxaxbdsincossincos)sincosd(xbxa2sincoslnCxbxaCxbxaabxbaI)sincosln(1221CxbxabaxbaI)sincosln(122
10、2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13.求不定积分.dsin)cos2(1xxx解解:)cos(xu 令令原式 uuud)1)(2(12)1)(2(12uuuA21uB1uC31A61B21C2ln31u1ln61uCu1ln21)2ln(cos31x)cos1ln(61xCx)1ln(cos21机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxxdsin)cos2(sin2例例14.)()sin()sin(dkbabxaxxI求xbxaxd)sin()sin()()sin(bxax)sin(1ba xbxaxbad)sin()sin()sin(1)sin(ax)cos(bx)cos(ax)s
11、in(bx)sin(1ba xbxbxd)sin()cos(xaxaxd)sin()cos(Caxbxba)sin(ln)sin(ln)sin(1Caxbxba)sin()sin(ln)sin(1机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:I=例例15.求nnnbxaxxI11)()(d解解:nbxaxbxaxxI)()(d(n 为自然数)令nbxaxt则,bxaxtnxbxbattnnd)(d212dttbanCtabn1Caxbxabnnxbxbatttnnd)(1d2)(dd)(bxaxxttban机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求.d12ln02xex解解:令,sintex则
12、,sinlntx,dsincosdtttx原式ttttdsincoscos62tttdsinsin1262tttd)sin(csc26coscotcsclnttt6223)32(ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求.d2sin120 xxI解解:xxxId)cos(sin202xxxdcossin20 xxxd)sin(cos40 xxxd)cos(sin24cossinxx04sincosxx42)12(2机动 目录 上页 下页 返回 结束 2yox4xsinxcostttcbcadcos99例例3.选择一个常数 c,使0d)(cos)(99xcxcxba解解:令,cxt则xc
13、xcxbad)(cos)(99因为被积函数为奇函数,故选择 c 使)(cbca即2bac可使原式为 0.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设,d)(022yexfxyy解解:.d)()1(102xxfx求xxfxd)()1(102013)()1(31xfxxxfxd)()1(31103xexxxd)1(31102322101)1(2)1d()1(612xexx)1(2 xu令10d6ueueu01)1(6ueue)2(61e机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.若,1,0)(Cxf解解:令试证:xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20,xt则xxf
14、xd)(sin0ttftd)(sin)(0ttfd)(sin0ttftd)(sin0 xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为xxfd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin2对右端第二个积分令xtxxfd)(sin220综上所述xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.证明恒等式)20(4darccosdarcsin22cos0sin0 xttttxx证证:令ttttxfxxdarccosdarcsin)(22cos0sin0则)(xfxxxcossin2xx
15、xcossin20因此,)0()(2xCxf又)(4fttttdarccosdarcsin212100tttdarccosarcsin210td21024故所证等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.,0)(,)(,)(xgbaxgxf且上连续在设试证,),(ba使baxxfd)(baxxgd)()()(gf分析分析:要证0d)()(d)()(babaxxgfxxfg即xaxxgd)(baxxfd)(xaxxfd)(baxxgd)(x0故作辅助函数baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 至少存在一点证明证明:令b
16、axabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()()(,)(xgxf因在,ba上连续,)(上连续在故baxF在,),(内可导ba,0)()(bFaF且至少,),(ba使,0)(F即0d)()(d)()(babaxxgfxxfg因在,ba上)(xg连续且不为0,0d)(baxxg从而不变号,因此故所证等式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 故由罗尔定理知,存在一点与定积分概念有关的问题的解法与定积分概念有关的问题的解法1.用定积分概念与性质求极限2.用定积分性质估值3.与变限积分有关的问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求.d1lim10 xeexxxnn解
17、解:因为 1,0 x时,xxneex10所以xeexxxnd1100 xxnd1011n利用夹逼准则得0d1lim10 xeexxxnn,nx例例.d411032xxx估计下列积分值解解:因为 1,0 x3241xx 41,412xxxxd411032xd2110 xxd41102即xxxd411032216机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.证明.2d222042exeexx证证:令,)(2xxexf则xxexxf2)12()(令,0)(xf得,21x,1)0(f,1)(421ef2)2(ef,1)(min42,0exf22,0)(maxexf故22042d22exeexx机动 目录
18、上页 下页 返回 结束 例例.解：解：,3)1(,0)(fxxf处连续在已知且由方程xyyxttfyttfxttf111d)(d)(d)(确定 y 是 x 的函数,求.)(xf方程两端对 x 求导,得)(yxfyttf1d)(yyfx)(xttfy1d)()(xfy)(yxy令 x=1,得)1(d)()(1fyttfyyfy再对 y 求导,得)1(1)(fyyfy3Cyyf ln3)(,3,1Cy得令3ln3)(xxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 故例例.ttttfxfxdcos2sin)()(02求可微函数 f(x)使满足解解:等式两边对 x 求导,得)()(2xfxfxxxfcos2sin)(不妨设 f(x)0,则xxxfcos2sin21)(xxfxfd)()(xxxdcos2sin21Cx)cos2ln(21机动 目录 上页 下页 返回 结束
