1、第4章 统计数据的特征值4.1、集中趋势的测定4.2、离散程度的测定4.3、数据分布的形态数据的分布特征4.1集中趋势的测定 统计数据一般具有向中间靠拢的趋势，这种向中间靠拢的趋势被称为集中趋势。一般而言，集中趋势值可以表示变量的一般水平、中等水平或普遍水平等等。通常根据不同类型的变量，集中趋势值一般有众数、中位数和平均值三种。4.1.1 众数 众数(Mode)即是多数，是变量值表现次数最多的值，可以表示总体的一般水平，通常用Mo表示。适用于分类变量、顺序变量和数值型变量。1、分类变量的众数（60名学生喜好的球类运动）2、顺序变量的众数（游客对门票价格的评价）3、数值型变量的众数（18名工人每
2、天生产的次品数）（单变量值分组、组距分组）众数计算的一个例子分组资料身高频率150-1551155-16016160-16542165-17057170-17527175-1806180-185167.1665301515165)()(111dffffffLMo4.1.2 中位数和分位数1、中位数中位数(Median)即位置处于中间的数，将一组数据排序后，可以找出一个数据值，以这个数据值为界将总体分为单位数相等的两部分，中位数可以表示总体的中等水平，通常用Me 表示21n 中位数位置：中位数应用场合：顺序数据对门票价格的评价人数向上累积频数向下累积频数百分比%向上累积百分比%向下累积百分比%很
3、高95955001919100较高11420940522.841.881适中11632529123.26558.2较低9942417519.884.835很低765007615.210015.2合计500-100-中位数的位置：(n+1)/2=250.5中位数的应用场合：数值型中位数位置：为偶数为奇数nxxnxMe)(2112n2n21n 例1：根据调查9个投资基金2014年的投资净收益率(%）。27.1，39.2，44.2，44.5，53.8，56.6，59.5，62.5，66.4 顺序：1 2 3 4 5 6 7 8 9Me=53.8 例2：随机调查10名职工，记录从家到单位上班的时间(m
4、in)：29 31 35 38 40 42 45 46 50 52 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10因此取第5个数和第6个数之和的一半：Me=(40+42)/2=41。为偶数为奇数nxxnxMe)(2112n2n21n2、分位数四分位数41n 341n上四分位数的位置下四分位数的位置 例：9个投资基金2014年的投资净收益率：27.1 39.2 44.2 44.5 53.8 56.6 59.5 62.5 66.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9（9+1）/4=2.5,2.5*3=7.54.1.3平均数1、算术平均数2、调和平均数3、几何平均数1、算术平均数简单算术平均数未分组资料，
5、计算公式：nxxnii1例：根据数据4-2,10名职工从家到单位的平均时间8.40104081052 504645424038353129x1、算术平均数加权算术平均数分组资料，计算公式：miimiiiffxx1或者imiimiiimiiwxffxx例：根据150名学生身高分组数据计算平均身高。解答一：身高组中值(x)人数(f)(xf)150-155152.51152.5155-160157.5162520160-165162.5426825165-170167.5579547.5170-175172.5274657.5175-180177.561065180-185182.51182.5合计
6、-1502495033.166150249501miimiiiffxx身高组中值(xi)频率(wi)xi*wi150-155152.50.67%1.02 155-160157.510.67%16.80 160-165162.528.00%45.50 165-170167.538.00%63.65 170-175172.518.00%31.05 175-180177.54.00%7.10 180-185182.50.67%1.22 合计-100.00%166.33 解答二：33.166imiimiiimiiwxffxx4.1.4 众数、中位数和平均数的关系4.1.5几何平均数和动态平均增长率 几
7、何平均数几何平均数通常用于计算动态平均值或相对增长率的平均值。其计算公式：nnxxxG.21例、某投资者初始资本100万，第一年末投资收益100%，即本金和收益之和为200万，第二年末收益-50%(即亏损50%)，本金和收益又重新回到100万。如果按照算术平均数计算平均收益率：%252%)50(%100 x01%)501(%)1001(2G4.1.6调和平均数调和平均数也分为简单调和平均数和加权调和平均数，计算公式分别是：nxxxnH1.1121nniwxwxwxwH1.112211例、已知某企业销售A产品三批，每一批的销售量、销售价格、销售额数据如表4-5，根据资料计算产品A的平均销售价格。
8、批次销售单价（元/件）数量(件)销售额（元）1105005000210.56006300311.5100011500886.10100060050010005.116005.1050010销售量销售额x886.101150005.11163005.10150001011150063005000销售量销售额x4.2 4.2 离散程度的测定离散程度的测定数据分布的另一个属性就是离散程度，也称作离中程度。离散程度表示了总体内部的差异程度。4.2.1分类数据异众比率imrffV1关于 60名大学生最喜欢的运动项目，众数组“足球”17人，约占28%，则异众比率为72%，其数值较大，说明学生喜欢的运动项目
9、差异比较大，或者用足球代表大学生运动项目的偏好效果较差。4.2.2数值型数据1、全距(Range)()(xMinxMaxR2、平均差 平均差是全部变量值与平均值的平均偏离程度。平均差克服了全距的两个缺陷，其计算公式：nxxDi|例、根据下列数据计算职工到单位上班时间的平均差：29 31 35 38 40 42 45 46 50 528.40 x37.610|8.4052|.|8.4031|8.4029|)(nxxDi 未分组数据：iiMffxxDi|分组数据：如果要根据表4-3分组数据计算150名学生的平均差，则:22.41504.6631501|3.1665.182|.16|3.1665.1
10、57|1|3.1665.152|D3、方差和标准差Nxxi22)(iiMffxxi22)(Nxxi2)(iiMffxxi2)(样本方差和标准差1)(22nxxSi1)(22iiMffxxSi1)(2nxxSi1)(2iiMffxxSi重要概念 在根据样本数据计算方差或者标准差时，其分母用到的是n-1而不是n。在这里n-1叫做自由度(degrees of freedom)。,kndf例、试根据数据4-2，计算职工到单位上班时间的方差和标准差，29 31 35 38 40 42 45 46 50 528.40 x016.825.641)(25.649)8.4052(.)8.4031()8.4029
11、(1)(222222nxxSnxxSii 例、根据数据3-6的分组资料，计算方差是可采用计算表（150名学生身高方差计算表）身高组中值()人数()150-155152.51190.44190.44155-160157.51677.441239.04160-165162.54214.44606.48165-170167.5571.4482.08170-175172.52738.441037.88175-180177.56125.44752.64180-185182.51262.44262.44合计-150-4171根据上面的计算表，得：29.51)(99.27115041711)(222iiMi
12、iMffxxSffxxSii4、相对离散程度：标准差系数 相对离散程度最常用的测度值就是离散系数，其中标准差系数最为常见，它是标准差于平均值的比值，通常用系数或百分比来表示，计算公式是xSV 4.2.3 数据相对位置的衡量：标准化Z值SxxZi68.27%95.45%99.73%4.34.3数据分布的形态数据分布的形态4.3.1、偏态及其测度偏态即分布的偏斜程度，在偏态测度指标中，统计学家皮尔森(K.Pearson)给出的偏态系数被普遍采用，公式是：33)2)(1()(SnnxxnSKi3i3)(nSfxxSKMi4.3.2峰度及其测度 峰度是相对于标准正态分布而言，一组数据的集中或者分布的陡峭程度。通常测度峰度的指标是峰度系数(coefficient of kurtosis)，其计算公式：4224)3)(2)(1()()1(3)()1(SnnnxxnxxnnKii3)(4i4nSfxxKMi 在EXCEL中的描述统计，可以输出主要数据特征值Excel中描述统计的过程：Excel2007中：office选项加载宏数据分析数据数据分析按钮描述统计
