1、第11章线性相位滤波器与自适应滤波器第11章线性相位滤波器与自适应滤波器11.1线性相位滤波器线性相位滤波器11.2自适应滤波器自适应滤波器第11章线性相位滤波器与自适应滤波器 11.1 线性相位滤波器线性相位滤波器11.1.1 线性相位与线性相位滤波器线性相位与线性相位滤波器1.线性相位图例设滤波前初始信号y(t)有三个频率分量y1(t)、y2(t)和y3(t)，y(t)=y1(t)+y2(t)+y3(t)，三个分量的频率依次为1=2f1，2=2f2和3=2f3，且f2=2f1，f3=3f1。于是，令=1，有y(t)=sin1t+sin2t+sin3t=sint+sin2t+sin3ty(t
2、)及其分量的波形如图11-1(a)所示。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器图11-1 线性相位图示(a)滤波前的三个频率分量；(b)滤波后的三个频率分量第11章线性相位滤波器与自适应滤波器经过滤波后，基波分量y1(t)=sint产生滞后时间t0，折合成相位为 j1=1t0=t0 (11-1)对于二次谐波分量y2(t)=sin2t与三次谐波分量y3(t)=sin3t而言，它们也必须滞后相同的时间t0，才能保证合成的信号y(t)的波形不会发生畸变,如图11-1(b)所示。同样的时间t0，对于不同的频率2和3有不同的相位。二次谐波y2(t)的相位滞后j2为j2=2t0=2t0 (11-2)第11章
3、线性相位滤波器与自适应滤波器三次谐波y3(t)的相位滞后j3为j3=3t0=3t0 (11-3)推论：若将一信号以采样间隔T0进行采样，共采样N点，经FFT(快速傅里叶变换)得到N条谱线，其中有效谱线N/2条，序号k为0,1,N/21；则基波k=1和k2的谐波必须有线性相移 jk=3t0=kt0 谐波次数 (11-4)于是，滤波前后信号波形保持不变。12,1Nk第11章线性相位滤波器与自适应滤波器2.线性相位滤波器概念线性滤波器对各次谐波分量产生相同时间t0的滞后，各次谐波k相移有如式(11-4)所示的与频率的线性比例关系。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器11.1.2 线性相位有限冲击响应
4、滤波器的数学模型线性相位有限冲击响应滤波器的数学模型FIR脉冲传递函数表达式及其对应差分方程已由4.5节式(4-67)和式(4-68)给出，脉冲传递函数及对应差分方程重写如下：H(z)=C0+C1z1+CN1z(N1)=)()(zXzY10NnnnC z(11-5a)y(n)=c0 x(n)+c1x(n1)+c2x(n2)+cN1x(nN+1)10()Nrrc x nr=(11-5b)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器根据4.5节内容可知，由一个等效模拟滤波器H(s)经采用不同的变换法，如后向差分法、双线性变换法等，就得到了Z域的脉冲传递函数H(z)：1201212012bb zb zaa
5、za zH(z)=)()(zXzY(11-6)但求得的是无限冲击响应(IIR)滤波器的脉冲传递函数，对式(11-6)进行多项式除法，保留前N项，即可获得如式(11-5)所示的N1阶FIR滤波器。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器1.一阶低通模拟滤波器生成的FIR滤波器 一阶低通模拟滤波器的S域传递函数Hd(s)为100()100daHssas(11-7)式中a=cd=100 rad/s，为截止角频率，相应的截止频率fcd=cd/2=15.915 Hz。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器采用双线性变换法求与Hd(s)等效的Z域脉冲传递函数Hd(z)，得到111121121111()()2 1
6、1zddszTzsTzaaHzHszsaaTz经整理可得 11()(2)(2)daTaTzHzaTaTz(11-8)(11-9)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器对式(11-9)进行多项式直接相除，其商的表达式即为FIR的一阶低通滤波器的脉冲传递函数 Hd(z)=c0+c1z1+c2z2+cN1z(N1)(11-10)式中c0=aT/(2+aT)，c1=4aT/(2+aT)2，c2=4aT(aT2)/(2+aT)3，cN1=4aT(aT2)N2/(2+aT)N。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器把ci(i=0,1,N1)的值代入式(11-5)得：第11章线性相位滤波器与自适应滤波器2.一阶
7、高通模拟滤波器生成的FIR滤波器 一阶高通模拟滤波器的S域传递函数Hg(s)为(11-11)式中a=cd=100 rad/s，为截止角频率，相应的截止频率fcd=cd/2=15.915 Hz。采用双线性变换法，也就是把112 11zsTz代入到式(11-11)中，得到与Hg(s)等效的Z域脉冲传递函数Hg(z)：第11章线性相位滤波器与自适应滤波器(11-12)与一阶低通滤波器FIR系数的求取方法一样，对式(11-12)进行多项式直接相除，其商的表达式即为FIR一阶高通滤波器的脉冲传递函数，其表达式的形式也与式(11-10)完全一样，只是此时的ci(i=0,1,N1)分别为c0=2/(2+aT
8、)，c1=4aT/(2aT)2，c2=4aT(2aT)/(2+aT)3，cN1=4aT(2aT)N2/(2+aT)N。当采样周期为T=1.0 ms 时，aT=0.1，一阶高通FIR滤波器的系数分别为第11章线性相位滤波器与自适应滤波器3.有限冲激响应滤波器(FIR)的频率特性H()由Z变换知识z=ejT，将其代入式(11-5a)可得(11-13)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器而时间序列h(n)的离散傅里叶变换式为(11-14)式(11-14)与式(11-13)形式相同，故式(11-14)中的傅里叶系数h(n)就是FIR系统的滤波系数Cn，即h(0)=C0,h(1)=C1,h(N1)=CN
9、1;N第11章线性相位滤波器与自适应滤波器4.生成线性相位FIR滤波器需要考虑的问题 1)无限长时间序列的不可实现与有限截取 由式(11-5b)差分方程可见，当前时刻(nT)的输出y(n)是由当前时刻的输入值x(n)乘以系数C0，以及无限长历史时刻的输入值x(n1)，x(n2)，x(nN+1)乘以相应的系数组成的无限长序列。实际上，若N趋于无穷大，这是不可能实现的，故必须对输入x(nT)进行有限截取，截取长度N应为有限值。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器2)具有线性相位FIR滤波器的形式当FIR系统的系数Cn(h(n)对称时，滤波器将具有线性相位。对称有偶对称和奇对称两种情况。对于偶对称，
10、即FIR滤波器系数h满足关系式h(N1n)=h(n)；而对于奇对称，即FIR滤波器系数h满足关系式h(N1n)=h(n)。另外，FIR系统系数的长度有奇数个和偶数个之分，因此需要分为四种情况来论证。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器（1）奇数长度偶对称。奇数长度偶对称的滤波器有奇数个参数，可以分成三部分，前(N3)/2个参数为一部分，后(N3)/2个参数为一部分，中间的参数h(N1)/2)为一部分。于是，该滤波器的离散傅里叶变换可写为12/)1(j2/)1(j2/)3(0j10je)(e)2/)1(e)(e)()j(NNnnNNnnNnnnhNhnhnhH(11-15)第11章线性相位滤波器
11、与自适应滤波器令n=m+(N1)/2，则h(n)ejn=h(N1)/2+m)ej(N1)/2+m),于是12/)1(je)(NNnnnh把m改为n，即得到2/)1(12/)1(je)2/)1(NnNnnNh第11章线性相位滤波器与自适应滤波器对于一个类似1+2+100的求和计算，我们知道，它等同于100+99+1的求和计算。因此，有再考虑到滤波器是偶对称的，h(N1n)=h(n)，因此，把上式中的h(N1)/2n)替换为 h(N1(N1)/2n)=h(N1)/2+n)得到：第11章线性相位滤波器与自适应滤波器于是，式(11-15)可以重写为第11章线性相位滤波器与自适应滤波器从上式右边三项中提
12、取ej（N1）/2得到：)2/)1()ee)(2/)1(e e)()j(j2/)1(1j2/)1(j10jNhnNhnhHnNnnNNnn(11-16)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器考虑到ejn+ejn=2 cos（n），式(11-16)可以写作(11-17)由式(11-17)中可以看出，H(j)的幅值为第11章线性相位滤波器与自适应滤波器对于给定的，它是一个确定的数值。H(j)的相位=(N1)/2，负号的存在表明相位是滞后的。当y和x满足形如y=ax+b的关系式时，我们称y和x是线性的，其中x为自变量，y为因变量，a为比例系数，b为截长。明显地，H(j)的相位与频率满足此条件，自变量为
13、，因变量为，比例系数为(N1)/2，截长为0，因此，相位与频率满足线性关系，也就是说H(j)具有线性相位。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器在采用形如式(11-17)的滤波器滤波后的信号中，所有的频率分量的滞后时间为t=/=(N1)/2。注意到离散傅里叶变换中，所选时间窗长度为N-1，忽略采样时间参数Ts，实为(N1)Ts，因此，经滤波后的信号中，各分量的滞后时间均为Ts(N1)/2。对于选定长度的滤波器，它是一个常数，经滤波后的信号中，各频率分量合成的信号等同于原信号的通带范围内各频率分量分别滞后Ts(N1)/2后重新合成的信号，也等同于原信号的通带范围内各频率分量的合成信号整体滞后Ts(
14、N1)/2，因此不会发生畸变。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器（2）偶数长度偶对称。偶数长度的滤波器系数可分成前半部分和后半部分两部分，因此其傅里叶变换可写作12/j12/0j10je)(e)(e)()j(NNnnNnnNnnnhnhnhH(11-18)12/je)(NNnnnh把 写作 2/)1(1 12/je)12/(NnNnnNNh第11章线性相位滤波器与自适应滤波器考虑到h(N1n)=h(n)，可以把12/0je)(Nnnnh12/112/je)12/(NnnNnnNNh写作于是，从式（11-18）右边两项中提取ej(N/21）得到：(11-19)第11章线性相位滤波器与自适应滤波
15、器（3）奇数长度奇对称。有（11-20）12/)1(je)(NNnnnh把 写作 2/)1(12/)1(je)12/(NnNnnNNh第11章线性相位滤波器与自适应滤波器2/)1(12/)1(je)2/)1(NnnNnnNh考虑到h(N1n)=h(n)，可以把12/0je)(Nnnnh(11-21)于是，从上式右边两项中提取ej(N/21)得到：第11章线性相位滤波器与自适应滤波器考虑到ejnejn=j2sin(n)，上式可以写作 (11-22)明显地，H(j)的滞后相位为(N1)/2+/2，它也是线性的。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器（4）偶数长度奇对称。有12/j12/0j10je)
16、(e)(e)()j(NNnnNnnNnnnhnhnhH12/je)(NNnnnh写作 2/)1(1 12/je)12/(NnNnnnNh把(11-23)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器12/112/je)12/(NnnNnnNh考虑到h(N1n)=h(n)，可以把12/0je)(Nnnnh于是，从式(11-23)右边两项中提取ej(N/21)得到：第11章线性相位滤波器与自适应滤波器11.1.3 线性相位线性相位FIR滤波器的窗口设计滤波器的窗口设计1.线性相位FIR滤波器窗口设计的基本思路线性相位FIR滤波器窗口设计的基本思路是：瞄准目标是理想频率特性，可以是理想低通、高通、带通或带阻，
17、根据需要而定。第一步，由傅里叶反变换求其频率特性Hd()的离散时间序列hd(n)。第二步，选择窗口的大小，也就是FIR滤波器系数的个数N，并截取hd(n)的以n=0为中心的中间N项，将时间序列右移延时floor(N/2)。函数floor(x)表示不大于x的整数。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器第三步，选择窗函数，并求取长度为N的窗函数系数。将hd(n)的中间N项与窗函数系数对应项相乘，即得到FIR滤波器的系数h(n)。第四步，求h(n)的频谱H()，该频谱与期望的理想频率特性有差异，差异与截取的长度和所选择的窗函数有关。第五步，根据采用窗函数的特点分析获得的频谱过渡带斜率及截止角频率c，若
18、不满足设计要求，则调整窗函数重复第二步至第四步，直至满足要求。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器2.线性相位低通滤波器的设计期望的理想低通滤波器频率特性Hd()为 (1)对Hd()进行傅里叶反变换，以获取时间序列hd(n)。离散傅里叶反变换的形式为(11-25)(11-26)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器将频域扩展到c，式(11-25)的值代入式(11-26)可得：(11-27)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器式中sinc(nc)=sin(nc)/nc，称之为sinc函数，它是以2为周期的。当0nn/c时，sinc函数小于0。由于随着n的增大，sinc函数的分母成比例增大，于是si
19、nc函数随着n的增加而作衰减振荡。另外，对于给定的截止频率c，Tc是一个常数，因此，hd(n)是以n=0为中心对称，其幅值呈sinc函数形式衰减的无限长时间序列，其形状如图11-2(b)所示。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器图11-2 理想矩形幅频特性及无限长序列的插入(a)理想矩形幅频特性|Hd()|；(b)|Hd()|对应放入无限长时间序列hd(n)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器（2)将无限长序列hd(n)有限截短，并向右移延时。如图11-2(b)所示，已知hd(n)是以n=0为中心对称的无限长序列，因此物理实现是不可能的。为了让FIR滤波成为可能，需要从hd(n)中提取一段有限
20、个系数来近似hd(n)，这个过程称之为截短。从图11-2(b)还可以看出，n=0时，hd(n)的绝对值最大，然后向n的正负方向振荡衰减，直至趋于0，因此，截短一般是截取以n=0为中心的一段长度为N的系数hN(n)。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器由于hd(n)是关于hd(0)偶对称的，N一般取为正的奇数。另外，负时间(n)的序列h(n)与正时间(n)的序列h(n)以n=0为中心对称，但负时间序列是真实物理世界不存在的，且又不可见，这称之为非因果的，也是不可实现的，因此需要对截短后的序列hN(n)向右移动(N1)/2，也就是将原来的序列hN(N1)/2,hN(1),hN(0),hN(1),h
21、N(N1)/2变成hN(0),hN(1),hN(N1)。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器 （3)加窗。hd(n)的有限截短实际上是对hd(n)加了一个矩形窗，在这个窗之内的系数可以全部看到，在这个窗之外的系数全部被置为0，这等效于给FIR滤波器系数另外再乘了一个系数，只是在窗内的系数为1，窗外的系数为0。在数学上，这个过程可以写作(11-28)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器式中RN(n)为矩形窗函数，其函数式为(11-29)除了矩形窗之外，为了获得不同指标的滤波器，有关研究工作者对矩形窗做了改进，窗内的系数并非全为1，而是从中心点开始，滤波器系数向左、向右逐步衰减，从而获得了其它形式
22、的窗函数。对于选用矩形窗来说，加窗的过程实质上在截短的过程中已经完成。若选用的是其它窗函数，则首先要求取窗函数的系数，然后代入到式(11-28)中，才能求得滤波器系数h(n)。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器（4)时间序列h(n)的频率H()。根据傅里叶变换中频域卷积特性可知，时域两个函数相乘，其积的频谱是各自频谱函数的卷积，因此，经过将无限长时间序列hd(N1)/2与窗函数相乘后，被截短为有限长时间序列h(n)，其频谱H()可由频域卷积定理来求。下面分别求时域两函数各自的频谱函数，再求它们频谱函数的卷积。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器 无限长时间序列的频谱函数。根据傅里叶变换中的时
23、移特性，将信号在时域中沿时间轴平移一个常值而成为时延信号，在频域其幅值不变，而相频谱中相位角的改变与频率成正比。已知未延时时间序列的频谱为Hd()时，时延序列 的频谱为21dNnh21dNnh(11-30)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器其中j()=j()+(N1)/2，相位角的改变量为j=j()j()=(N1)/2，当N为常数时，相位角的改变与频率成正比。当初始相位角j()=0时有 特别地，理想低通滤波器的频谱函数具有式(11-27)所示的形式。(11-31a)(11-31b)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器 窗函数的频谱。已知未时延窗函数时间序列即j()=0。经时延(N1)/2后有
24、(11-32)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器按傅里叶正变换定义式可求WN()。特别地，对于矩形窗，时延(N1)/2的频谱为(11-33)矩形窗函数及其幅值谱如图11-3所示。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器图11-3 矩形窗函数及幅值谱(a)矩形窗；(b)矩形窗频谱；(c)矩形窗幅值谱第11章线性相位滤波器与自适应滤波器 求两时间序列hd(n)与wN(n)之乘积h(n)的频谱。根据傅里叶变换中的频域卷积特性，将该两时间序列的频谱进行卷积。已知式(11-31)和式(11-32)成立，则乘积(11-34)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器将式(11-31)和式(11-32)代入式(11
25、-34)，由卷积定义有(11-35a)特别地，根据式(11-25)可知，在c至c区间，Hd()=1，将式(11-31a)和式(11-33)代入式(11-35a)可得窗函数为矩形窗的低通滤波器系数h(n)的频谱为第11章线性相位滤波器与自适应滤波器(11-35b)式(11-35b)卷积的结果如图11-4所示,图中曲线表示离散时刻幅值的包络。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器图11-4 卷积结果图(a)Hd()无限长时间序列hd(n)的频谱；(b)WR()矩形窗的频谱；(c)H()有限长时间序列h(n)，n=0,1,N1的频谱第11章线性相位滤波器与自适应滤波器（5)有限长时间序列h(n)频谱H
26、()的相关参数。由图11-4可看出，加矩形窗后使实际频率响应偏离理想频率响应，主要影响有三个方面：首先是理想幅频特性陡直边缘处形成过渡带，过渡带宽取决于矩形窗函数频率响应的主瓣宽度；其次是过渡带两侧形成肩峰和波纹，这是矩形窗函数频率响应的旁瓣引起的，旁瓣相对值越大，旁瓣越多，波纹越多；第三是随窗函数宽度N的增大，矩形窗函数频率响应的主瓣宽度减小，但不改变旁瓣的相对值。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器以矩形窗为例，从图11-4(c)所示的H()可以看出，当窗函数宽度为N时，加窗截取后的频谱图存在过渡带及泄漏(即截止频率之外的幅频特性不为0)。过渡带宽定义为=sp式中p为通带截止频率，s为阻带
27、允许最小衰减频率。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器 相对衰耗定义为A()=20 lg|H(ej)|/|H(ej0)|=20lgH()/H(0)(11-36)滤波器的几乎所有重要指标都是由窗函数决定的，改进滤波器的关键在于改进窗函数。为了便于研究，我们把窗谱W()也化为相对衰耗20lgW(ej)/W(ej0)的形式。窗谱的两个最重要的指标是主瓣宽度和旁瓣峰值衰耗。旁瓣峰值衰耗定义为旁瓣峰值衰耗20lg(第一旁瓣峰值/主瓣峰值)(11-37)对于矩形窗而言，旁瓣峰值衰耗为13 dB。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器为了改善FIR滤波器性能，必须修改窗函数，使其具有更好的窗谱。一个好的窗谱，
28、应满足以下两方面的条件：主瓣尽可能窄，以使设计出来的滤波器有较陡的过渡带；第一副瓣面积相对主瓣面积尽可能小，即能量尽可能集中在主瓣，外泄少，这样设计出来的滤波器才能尖峰和余振小。对任一个具体的窗函数而言，以上两个条件互相矛盾，不能同时满足。我们所能做的是根据具体设计指标，选择一种能兼顾各项指标的相对最佳的窗口。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器3.几种常用的窗口函数简介(1)矩形窗:(n)=RN(n)(11-38)矩形窗的特点是旁瓣较大，尤其是第一个旁瓣峰太高，达到主瓣高度的21%，所以泄漏很大。矩形窗的优点是容易获得，而且主瓣宽度小，其等效带宽为1/T。(11-39)它是由两个长度为N/2
29、的矩形窗进行线性卷积而得到的。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器(3)汉宁（Hanning）窗，又称为余弦窗:汉宁窗的主要思路是：通过矩形窗谱的合理叠加减小旁瓣面积。因此可写出其窗谱(11-4)(11-40)(11-42)式中WR(ej)为矩形窗谱。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器(4)海明（Hamming）窗:式（11-43）可转化为(11-43)由此式可知，海明窗是在矩形窗上拼结一个汉宁窗而形成的，它包括一个高为0.08的矩形窗和一个最大高度为0.92的汉宁窗。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器（5)布莱克曼（Blackman）窗：(11-44)它是5个矩形窗谱的叠加。前两项与汉宁
30、窗类似，是两个矩形窗谱的叠加；后一项构成两个调整副谱，使旁瓣进一步压低，但主瓣宽度增加到12/N。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器（6)凯塞(Kaiser)窗的表达式是:式中，I0是第一类修正的零阶贝塞尔函数，可以用级数展开来计算它的值：(11-45)(11-46)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器一般取1525次计算，便可达到足够精度。I0 x在0,上是单调增函数，I00=1。是决定窗函数形状从而决定窗函数特性的参数。不管是多少，窗口的中心点n=(N1)/2处总是1：(N1)/2=I0/I0=1。而在窗的两边n=0和n=N1处，(0)=(N1)=1/I0。越大，I0就越大，窗包络两边(
31、0)=(N0)就压得越低。改变值，就能得到不同特性的窗：=0时凯塞窗相当于矩形窗，=5.44时相当于海明窗，=8.5 时接近于布莱克曼窗。从频谱看，越大，主瓣越宽，旁瓣峰值衰耗越大，实践中常取40。（3）h=firceqrip(,passedge)：指定通带起始频率。（4）h=firceqrip(,stopedge)：指定阻带起始频率。（5）h=firceqrip(,high)：设计高通滤波器。（6）h=firceqrip(,min)：设计最小相位FIR滤波器。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器（7）h=firceqrip(,invsinc,c)：设计具有sinc函数形状的低通滤波器，关键词
32、invsinc采用逆sinc函数，它由c是标量还是二元素向量来确定。当c为标量时，通带采用函数1/sin(c*w)，其中w是正则化频率。当c为二元素向量c p时，通带采用函数1/sin(c*w)p,其中w是正则化频率。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器2)filter函数filter函数根据滤波器参数对信号进行滤波，并返回滤波后得到的信号。filter函数也有多种调用格式，分别介绍如下。（1）y=filter(b,a,x)：参数a和b分别指定滤波器分母和分子中的系数向量。该函数的作用实际上就是实现如下运算：a(1)y(n)=b(1)x(n)+b(2)x(n1)+b(nb+1)x(nnb)a(
33、2)y(n1)a(na+1)y(n-na)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器如果a(1)不等于1，滤波器对滤波器系数正则化；如果a(1)=0，返回错误。如果x是矩阵，那么该函数对矩阵的每一列进行滤波；如果x是一个多维阵列，那么函数沿着x的第一个非单维阵列滤波。（2）y,zf=filter(b,a,x)和y,zf=filter(b,a,x,zi)：滤波后产生一个附加输出zf，包含从0初始状态计算得到的最后状态向量。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器（3）y=filter(Hq,x)：用滤波器Hq对输入数据x进行滤波，得到滤波后的输出数据y，向量x和y具有相同的长度。如果x是矩阵，那么该函数对
34、矩阵的每一列进行滤波；如果x是一个多维阵列，那么函数沿着x的第一个非单维阵列滤波。（4）y,zf=filter(Hq,x)：滤波后产生一个附加输出zf，包含从0初始状态计算得到的最后状态向量。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器3)fvtool 函数fvtool 函数可用来分析数字滤波器的图形化用户界面，它也有多种调用格式。（1）fvtool(B,A)：装载滤波器可视化工具，并计算滤波器的幅频响应，公式如下：jnwjwjmwjwiwiwe)1n(ae)2(a)1(ae)1m(be)2(b)1(b)e(A)e(B分子和分母的系数分别在向量B和A中。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器（2）fvt
35、ool(B,A,B1,A1,)：实现多滤波器分析，如果用来实现有限冲击响应滤波器的分析，把Ai(i=1,2,)设为1即可。如果只对一个有限冲击响应滤波器进行分析，可直接写作fvtool(h)，h为FIR滤波器的系数向量。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器数字滤波器的图形化用户界面如图11-6所示，点击图标，只显示滤波器的幅频特性曲线，点击只显示相频特性，点击则同时显示滤波器的幅频特性曲线和相频特性曲线。点击显示滤波器的冲击响应，点击则显示滤波器的阶越响应，点击显示滤波器的零点和极点，点击则可查看滤波器的系数。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器图11-6 数字滤波器的图形化用户界面第11章线
36、性相位滤波器与自适应滤波器从图11-6中还可以看出，相位曲线成锯齿波状，这是将相位归算到0360的结果。从左到右，每多一个锯齿，其实际相位是显示的相位多增加一次360，即从左边开始，第i(i=1,2,3,)个锯齿中显示的相位为，其实际相位为(i1)360+。例如，若第二个锯齿中显示相位为180，其实际滞后的相位为(21)360180=540。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器另外，除了第一锯齿以外，其它锯齿的最大值往往不是0，最小值也不是360，这是由于滤波器长度有限所致。上一个锯齿的结束点和下一个锯齿的起始点，这两个相邻离散化相位之间有一定的间隔，这个间隔分散在上一个锯齿的结束处和下一个锯
37、齿的起始处。滤波器长度越大，则间隔越小，锯齿的起始点越接近0，结束点越接近360。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器2.应用实例程序如下：%生成方波t=0:0.01:20;for j=1:length(t)for i=1:10 if t(j)2*i-1 a(j)=1+0.2*(rand-0.5);%produce random noise whose amplitude is 0.2 end 第11章线性相位滤波器与自适应滤波器if t(j)2*i-2 a(j)=1+0.2*(rand0.5);endendend%设定滤波器参数，获得线性相位滤波器系数n=19;%设定滤波器阶次为19wo=0
38、.1;%设定截止频率为0.1第11章线性相位滤波器与自适应滤波器del=0.001,0.01;%指定通带与阻带的最大允许误差分别为0.001,0.01h=firceqrip(n,wo,del);%得到的滤波器系数为：0.0015 0.0091 0.0158 0.0269 0.0407 0.0561 0.0716 0.0852 0.0955 0.1010 0.1010 0.09550.0852 0.0716 0.0561 0.0407 0.0269 0.0158 0.0091 0.0015;第11章线性相位滤波器与自适应滤波器%卷积实现滤波for i=1:length(t)c=0;for j=1
39、:n+1 if ij c=c+h(j)*a(i-j+1);end end b(i)=c;%b为滤波后得到的信号end第11章线性相位滤波器与自适应滤波器%直接调用函数filter实现滤波y=filter(h,1,a);%显示信号figure(1)fvtool(h)%显示滤波器的幅频特性和相频特性figure(2)subplot(4,1,1)%在同一张图中设定4行1列的4个子图，并指定第一行的子图plot(t,a,r)%在第一行的子图中用红色线条r指定红色)绘出方波a的波形，横坐标为时间轴t第11章线性相位滤波器与自适应滤波器subplot(4,1,2)plot(t,y,b)%在第二行的子图中用
40、蓝色线条(b指定蓝色)绘出用filter函数滤波后的信号y的波形，横坐标为时间轴tsubplot(4,1,3)plot(t,b,c)%在第三行的子图中用青色线条(c指定青色)绘出自行编程滤波后的信号b的波形，横坐标为时间轴tsubplot(4,1,4)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器plot(t,b-y,k)%在第四行的子图中用黑色线条(k指定黑色)绘出两种滤波方法得到的信号的差异，横坐标为时间轴t 最后得到的滤波器幅频特性(蓝线)与相频特性(绿线)结果如图11-6所示。从图中可以看出，在频率高于0.27以后，即在阻带区，滤波器具有等纹波，而在通带内，滤波器具有线性相位。第11章线性相位滤
41、波器与自适应滤波器初始方波信号、滤波后的信号以及两种实现滤波计算得到的滤波信号的差异如图11-7所示。对比图11-7(a)与(b)和(c)可以看出，滤波后的信号具有一定程度的信号滞后。而由图11-7(d)可以看出，两种实现滤波计算的方法得到的信号的差异非常小，其幅值不及初始信号幅值的1/1015，这说明filter函数所完成的工作实质上就是滤波器系数与初始信号的卷积过程。两种实现滤波计算方法得到的结果之间的差异是由于计算的截断误差所带来的。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器图11-7 滤波结果(a)初始方波信号；(b)用filter函数计算得到的滤波信号；(c)自行编程计算得到的滤波信号；(
42、d)两种滤波信号的差异第11章线性相位滤波器与自适应滤波器 11.2 自适应滤波器自适应滤波器11.2.1 自适应滤波器的结构自适应滤波器的结构 图11-8示出了FIR自适应滤波器的一般结构。图中的x(n)为滤波器输入信号，也就是初始的测试信号，y(n)为滤波器输出信号，d(n)为参考信号或期望信号，e(n)则是d(n)和y(n)的误差信号。自适应滤波器的滤波器系数受误差信号e(n)控制，根据e(n)的值和自适应算法自动调整。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器图11-8 FIR自适应滤波器结构第11章线性相位滤波器与自适应滤波器11.2.2 自适应滤波理论与算法自适应滤波理论与算法对于一个含
43、有噪声的观测信号，它可以表示为 x(n)=s(n)+v(n)(11-51)式中s(n)为信号的真值，v(n)为噪声信号的值，x(n)为含有噪声的观测值。即与经典滤波的区别在于：经典滤波的前提是把v(n)看做频率可预测的，而且是一般不会变换的，其幅值往往是有一定范围的，而自适应滤波则把v(n)看做未知的，其频率、幅值都是时变的。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器在自适应滤波中，最广泛采用的目标函数之一是均方误差(MSE)，其定义为F(e(n)=(n)=E(e2(n)=E(d2(n)2d(n)y(n)+y2(n)(11-52)假设自适应滤波器是由线性组合器构成的，即输出信号是由来自于阵列的信号的
44、线性组合构成，在许多应用中，输入信号向量的每个元素是由同一个信号的时延形式构成的，此时，信号y(n)是输入信号经过FIR滤波的结果：第11章线性相位滤波器与自适应滤波器(11-53)式中:x(n)=x(n),x(n1),x(nN)T，w(n)=w0(n),w1(n),wN(n)T。此时，E(e2(n)=(n)=Ed2(n)2d(n)wT(n)x(n)+wT(n)x(n)xT(n)w(n)=Ed2(n)2Ed(n)wT(n)x(n)+EwT(n)x(n)xT(n)w(n)(11-54)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器对于固定系数的滤波器而言，MSE函数为(n)=Ed2(n)2wTEd(n)x
45、(n)+wTEx(n)xT(n)w =Ed2(n)2wTP+wTRw (11-55)式中P=Ed(n)x(n)，是输入信号与期望信号之间的互相关向量；R=Ex(n)xT(n)，是输入信号的自相关矩阵。MSE函数对向量w的梯度向量为(11-56)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器如果P向量和矩阵R已知，令该梯度向量为0，可以直接求解w：w0=R1P (11-57)上式中的解称为维纳解。遗憾的是，P向量和矩阵R很难精确估计，当输入和期望信号都是遍历性过程时，能利用时间平均估计R和P，大多数自适应算法都隐含地利用了这一点。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器1.最小均方算法最小均方算法(Least
46、 Mean Square,LMS)是由Widrow和Hoff(1960)开发并命名的，它是随机梯度算法族中的一员。LMS算法的一个显著特点是它的简单性，此外，它不需要计算有关的相关函数，也不需要矩阵求逆运算，这使得它成为其它线性自适应滤波算法的参照标准。LMS算法包含两个过程：(1)滤波过程,包括计算线性滤波器输出对输入信号的响应以及通过比较输出结果与期望响应产生的估计误差。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器（2)自适应过程，即根据估计误差自动调整滤波器参数。这两个过程一起工作组成一个反馈环。首先，我们有一个用来完成滤波过程的横向滤波器；其次，我们有一个调节滤波器系数的自适应控制算法。对于式
47、(11-55)，如果可以得到P向量和矩阵R的较好的估计，分别记为 和 ，则可以利用如下最陡下降算法搜索维纳解：第11章线性相位滤波器与自适应滤波器(11-58)式中 表示目标函数对滤波器系数的梯度向量估计值。一种可能的解是利用R和P的瞬态估计值来估计梯度向量，即(11-59)(11-60)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器于是得到的梯度估计值为(11-61)如果用瞬态平方误差e2(n)代替MSE作为目标函数，梯度估计值则代表了真实的梯度向量，因为第11章线性相位滤波器与自适应滤波器(11-62)由于得到的梯度算法使得平方误差的均值最小化，因此被称为LMS算法，其更新方程为w(n+1)=w(n
48、)+2e(n)x(n)(11-63)式中，收敛因子应该在一个小的范围内取值，以保证算法的收敛性。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器2.RLS算法最小二乘(Least Square,LS)算法旨在使期望信号与模型滤波器输出之差的平方和达到最小。当在每次迭代中接收到输入信号的新采样值时，可采用递归形式求解最小二乘问题，得到递归最小二乘(Recursive Least Square,RLS)算法。RLS算法能实现快速收敛，即使是在输入信号相关矩阵的特征值扩展比较大的情况下。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器对于最小二乘算法，目标函数是确定性的，并且由下式给出：(11-64)式中为指数加权因子或遗
49、忘因子，其值应选择在0,1范围内。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器应该注意的是，在推导LMS算法和基于RLS准则的算法时，利用了先念误差。在RLS算法中，用e(n)表示后念误差，e(n)表示先念误差，在推导基于RLS准则算法的过程中，将首先选择后念误差。每一个误差都是由期望信号和采用最近的系数w(n)得到的滤波器输出之差所组成的。将d(n)相对于w(n)求导，可以得到：(11-65)第11章线性相位滤波器与自适应滤波器令式(11-65)等于0，则可以通过如下关系式找到使得最小二乘误差最小的最优向量w(n)：(11-66)从而得到最优系数向量w(n)的表达式为(11-67)第11章线性相位滤
50、波器与自适应滤波器式中:称为输入信号与期望信号的确定性互相关向量；(11-68)称为输入信号的确定性相关矩阵。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器为了避免求矩阵RD(n)的逆，我们可以利用如下的矩阵求逆引理：A+BCD1=A1A1BDA1B+C11DA1(11-69)式中A、B、C和D是具有合适维数的矩阵，并且矩阵A和C是非奇异矩阵。于是由矩阵求逆引理可得：第11章线性相位滤波器与自适应滤波器(11-70)利用式(11-70)来计算，与每次迭代过程中直接计算的逆矩阵(乘法次数在N3数量级)相比，更新方程的计算复杂度更低(乘法次数在N2数量级)。第11章线性相位滤波器与自适应滤波器当n=0时，只
