1、2021 年九年级数学中考复习专题： 二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）（三） 1已知抛物线yx2bx+c（b，c为常数，b0）经过点A（1，0），点M（m，0）是x 轴正半轴上的动点 （1）当b2 时，求抛物线的顶点坐标； （2）点D（b，yD）在抛物线上，当AMAD，m3 时，求b的值； （3） 点Q（b+，yQ） 在抛物线上， 当AM+2QM的最小值为时， 求b的值 （说 明：yD表示D点的纵坐标，yQ表示Q点的纵坐标） 2如图甲，直线yx+3 与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P （1）求该抛物线的解析式； （
2、2） 在该抛物线的对称轴上是否存在点M， 使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？ 若存在，请求出所符合条件的点M的坐标；着不存在，请说明理由； （3）当 0 x3 时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图 探究），求出E点的坐标 3综合与实践 如图， 抛物线y与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧） ， 交y轴于点C 点 D从点A出发以每秒 1 个单位长度的速度向点B运动， 点E同时从点B出发以相同的速度 向点C运动，设运动的时间为t秒 （1）求点A，B，C的坐标； （2）求t为何值时，BDE是等腰三角形； （3）在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将BOC的面积
3、分成 1：4 两份，若 存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由 4在平面直角坐标系中，点A（1，0），已知抛物线yx2+mx2m（m是常数），顶点为 P （1）当抛物线经过点A时，求顶点P坐标； （2）等腰 RtAOB，点B在第四象限，且OAAB当抛物线与线段OB有且仅有两个公 共点时，求m满足的条件； （3）无论m取何值，该抛物线都经过定点H当AHP45，求此抛物线解析式 5如图，抛物线ya（x） （x+3）交x轴于点A、B，交y轴于点C，tanCAO （1）求a值； （2）点P为第一象限内抛物线上一点，点P的横坐标为t，连接PA，PC，设PAC的面 积为S，求S与t之间的关系式； （3
4、）在（2）的条件下，点Q在第一象限内的抛物线上（点Q在点P的上方），过点P 作PEAB， 垂足为E， 点D在线段AQ上， 点F在线段AO上连接ED、DF，DE交AP于点G， 若QDF+QDE180，DFA+AED90，PGPE，PG：EF3：2，求点P的坐标 6如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，且AOB是等腰直角三角形，AOB 90，点A（2，1） （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式； （3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 7已知二次函数yax2+bx3a经过点A（1
5、，0）、C （0，3），与x轴交于另一点B， 抛物线的顶点为D （1）求此二次函数解析式； （2）连接DC、BC、DB，求证：BCD是直角三角形； （3）在对称轴右侧抛物线上找一点P，使得P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，求 出点P的坐标及此时四边形PBCD的面积 8如图，抛物线C1的图象与x轴交A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3） 点D为抛物线的顶点 （1）求抛物线C1的解析式； （2）将抛物线C1关于直线x1 对称后的抛物线记为C2，将抛物线C1关于点B对称后的 抛物线记为C3，点E为抛物线C3的顶点，在抛物线C2的对称轴上是否存在点F，使得 BEF为等腰三角形？
6、若存在请求出点F的坐标，若不存在请说明理由 9如图，直线ykx+2 与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c 经过点A，B （1）求k的值和抛物线的解析式 （2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交 于点P，N，连接BN 若BPN是直角三角形，求点N的坐标 当PBN45时，请直接写出m的值（注：当k1k21 时，直线yk1x+b1与直 线yk2x+b2垂直） 10 如图， 抛物线C的顶点坐标为 （2， 8） ， 与x轴相交于A，B两点 （点A在点B的左侧） ， 与y轴交于点D（0，6） （1）求抛物线C的函数表达式以及点B的坐标；
7、 （2） 平移抛物线C， 使平移后的抛物线C的顶点P落在线段BD上， 过P作x轴的垂线， 交抛物线C于点Q，再过点Q作QEx轴交抛物线C于另一点E，连接PE，若PQE是等 腰直角三角形，请求出所有满足条件的抛物线C的函数表达式 参考答案 1解：（1）抛物线yx2bx+c经过点A（1，0）， 1+b+c0， 即cb1， 当b2 时， yx22x3（x1）24， 抛物线的顶点坐标为（1，4）； （2）由（1）知，抛物线的解析式为yx2bxb1， 点D（b，yD）在抛物线yx2bxb1 上， yDb2bbb1b1， 由b0，得b0，b10， 点D（b，b1）在第四象限，且在抛物线对称轴x的右侧， 如
8、图 1，过点D作DEx轴，垂足为E，则点E（b，0）， AEb+1，DEb+1，得AEDE， 在 RtADE中，ADEDAE45， ADAE， 由已知AMAD，m3， 3（1）（b+1）， b21； （3）点Q（b+，yQ）在抛物线yx2bxb1 上， yQ（b+）2b（b+）b1， 可知点Q（b+，）在第四象限，且在直线xb的右侧， AM+2QM2（AM+QM）， 可取点N（0，1）， 如图 2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M， 由GAM45，得AMGM， 则此时点M满足题意， 过点Q作QHx轴于点H，则点H（b+，0）， 在 RtMQH中，可知QMHMQH45， Q
9、HMH，QMMH， 点M（m，0）， 0（）（b+）m， 解得，m， AM+2QM， （）（1）+2（b+）（）， b6 2解：（1）直线yx+3 与x轴、y轴分别交于点B、点C， B（3，0），C（0，3）， ， 解得， 抛物线解析式为yx24x+3； （2）yx24x+3（x2）21， 对称轴为直线x2，顶点坐标为P（2，1）， CP2， 设点M的坐标为（2，m）， 则PM|m+1|，CM， 若CPPM2， 则|m+1|2， m12， 点M（2，12）或（2，1+2）； 若CPCM2， 则2， m7， 点M（2，7）； 若PMCM，如图，过点C作CHPM于H， CH2，PH4， CH2+H
10、M2CM2， 4+HM2（4HM）2， HM， 点M（2，） 满足条件的点M分别为M1（2，7），M2（2，1+2），M3（2，），M4（2，2 1）； （4）当 0 x3 时，在此抛物线上任取一点E，连接CE、BE，过点E作x轴的垂线FE， 交直线BC于点F， 设点F（x，x+3），则点E（x，x24x+3）， EFx2+3x， SCBESCEF+SBEFEFOB， x2+x （x）2+， a0，0 x3， 当x时，SCBE有最大值， 此时，yx24x+3， E（，） 3解：（1）令y0，可得 0 x2x3， 解得：x11，x24， 点A（1，0），点B（4，0）， 令x0，可得y3， 点C
11、（0，3）； （2）点A（1，0），点B（4，0），点C（0，3）， AB5，OB4，OC3， BC5， 当BDBE时，则 5tt， t， 当BEDE时，如图 1，过点E作EHBD于H， DHBHBD， cosDBC， ， t， 当BDDE时，如图 2，过点D作DFBE于F， EFBFBEt， cosDBC， ， t， 综上所述：t的值为，和； （3）SBOCBOCO6， SBOC，SBOC， 如图 1，过点E作EHBD于H， sinDBC， ， HEt， 当SBDESBOC时，则（5t）t， t11，t24， 当SBDESBOC，时，则（5t）t， t25t+160， 方程无解， 综上所述：
12、t的值为 1 或 4 4解：（1）抛物线经过点A， 01+m2m， m1， 抛物线解析式为：yx2x+2（x+）2+， 顶点P坐标（，）； （2）点A（1，0），OAAB， 点B（1，1） 直线OB解析式为：yx， 抛物线与线段OB有且仅有两个公共点， xx2+mx2m， （m+1）28m0， m2+3，或m2+3， 抛物线与线段OB有且仅有两个公共点， m0， m2+3， （3）当x2 时，y4+2m2m4， 抛物线都经过定点H（2，4）， 若点P在AH的左侧，如图 1，过点A作ABPH，过点B作BDOA，过点H作HCBD于 C， AHP45，ABPH， BAHAHB45， ABBH， DB
13、A+CBH90，DBA+DAB90， DABCBH，且ABBH，ADBBCH90， DABCBH（AAS） ADBC，BDCH， BC+BD4，CHAD1， BDCH，BCAD， 点B（，） 设直线BH解析式为：ykx+b， 解得： 直线BH解析式为：yx， 点P（，）在直线BH上， m14，m2， 当m4 时，点P（2，4）与点H重合， m 抛物线解析式：yx2+x， 若点P在AH的右侧，如图 2， 同理可求：直线BH解析式为：yx， 点P（，）在直线BH上， ， m14，m2， 抛物线解析式：yx2+x， 综上所述，抛物线解析式为yx2+x或yx2+x 5解：（1）抛物线ya（x）（x+3
14、）交x轴于点A、B， 0a（x）（x+3） x1，x23， 点A（3，0），点B（，0）， AO3， tanCAO， CO4， 点C（0，4） 4a（0）（0+3）， a （2）y（x）（x+3） yx2x+4， 点P的横坐标为t， 点P（t，t2t+4）， S4+（t2x+4）t+34（t+3）（t2t+4） t2+t； （3）如图 3，延长AQ，EP交于点H，连接GF， QDF+QDE180，且QDE+ADE180， ADEQDF， ADFQDE， DFA+AED90，AED+DEP90， AFDDEP， HAEAHE，且HEAE， HAEAHE45， AEEHt+3， PEPG， PGE
15、PEG， PGEAFDAGD， 点A，点D，点G，点F四点共圆， ADFAGF，QDEAFG， AGFAFG， AFAG， 设PGPE3a，EF2a， AFt+32aAG，APt+32a+3at+3+a， AP2PE2+AE2， （t+3+a）29a2+（t+3）2， a， 3a 点P（t，） t2t+4， t1，t3（不合题意舍去） 点P（1，3） 6解：（1）如图 1，过A作ACx轴于点C，过B作BDx轴于点D， A（2，1）， AC1，OCBD， AOB为等腰直角三角形， AOBO， AOB90， AOC+DOBDOB+OBD90， AOCOBD， 在ACO和ODB中 ， ACOODB（
16、AAS）， ODAC1，BDOC2， B（1，2）； （2）抛物线过O点， 可设抛物线解析式为yax2+bx， 抛物线的图象经过点A，点B， ， 解得：， 经过A、B、O原点的抛物线解析式为yx2x； （3）存在， 理由如下： 四边形ABOP， 可知点P在线段OA的下方， 过P作PEy轴交AO于点E，如图 2， 设直线AO解析式为ykx， A（2，1）， k， 直线AO解析式为yx， 设P点坐标为（t，t2t），则E（t，t）， PEt（x2t）t2+t（t1）2+， SAOPPE2PE（t1）2+， 由A（2，1）可求得OAOB， SAOBAOBO， S四边形ABOPSAOB+SAOP（t1
17、）2+（t1）2+， 0， 当t1 时，四边形ABOP的面积最大，此时P点坐标为（1，）， 综上可知存在使四边形ABOP的面积最大的点P，其坐标为（1，） 7解：（1）二次函数yax2+bx3a经过点A（1，0）、C （0，3）， ， ， 抛物线的解析式为yx2+2x+3； （2）由yx2+2x+3（x1）2+4 得，D点坐标为（1，4）， yx2+2x+3 与x轴交于另一点B， 令y0，x2+2x+30，解得x1 或 3， A（1，0），B（3，0）， CD， BC3， BD2， CD2+BC2（）2+（3）220，BD2（2）220， CD2+BC2BD2， BCD是直角三角形； （3）如
18、图， P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形， 点D在PC的垂直平分线上， 点C与点P关于对称轴直线x1 对称， 点P的坐标为（2，3）， S四边形PBCDSDCP+SCBP， S四边形PBCD2（43）+234 8解：（1）设解析式ya（x1）（x+3） 将C（0，3）代入得 a1 抛物线C1的解析式为yx22x+3； （2）抛物线C1的解析式为yx22x+3； 抛物线C1的顶点为（1，4） 将抛物线C1关于直线x1 对称后的抛物线记为C2，将抛物线C1关于点B对称后的抛 物线记为C3， 抛物线C2解析式为：y（x3）2+4，抛物线C3解析式为：y（x3）24， 点E为抛物线C3的顶点， 点
19、E（3，4）， BE2， 点F抛物线C2的对称轴上， 点F横坐标为 3， 若BEEF2，则点F坐标为（3，4+2）或（3，42）， 若BEBF时，则点F与点E关于x轴对称， 点F（3，4）， 若BFEF时，则 22+（4EF）2BF2， BFEF， 点F（3，）， 综上所述：当点F为（3，4+2）或（3，42）或（3，4）或（3，）时， 使得BEF为等腰三角形 9解：（1）把A（3，0）代入ykx+2 中得，03k+2， k， 直线AB的解析式为：yx+2， B（0，2）， 把A（3，0）和B（0，2）代入抛物线yx2+bx+c中， 则， 解得：， 二次函数的表达式为：yx2+x+2； （2）
20、当BNP90时，且AMN90， BNPAMN， BNAO， 点N的纵坐标为 2， 2x2+x+2， x0（舍去），x， 点N坐标（，2）； 当NBP90时， 直线BN的解析式为：yx+2， x+2x2+x+2， x0（舍去），x， 点N（，） 有两解，N点在AB的上方或下方， 如图 2，过点B作BN的垂线交x轴于点G， 过点G作BA的垂线，垂足为点H 由PBN45 得GBP45， GHBH， 设GHBHt，则由AHGAOB， ， 得AHt，GAt， 由ABAH+BHt+t，解得t， AG， 从而OGOAAG3， 即G（，0）， 由B（0，2），G（，0）得： 直线BG：y5x+2，直线BN：y
21、0.2x+2 则， 解得：x10（舍），x2， 即m； 则， 解得：x10（舍），x2； 即m； 故m 与m为所求 10解：（1）抛物线C的顶点坐标为（2，8）， 可以假设抛物线C的解析式为ya（x2）2+8， 把（0，6）代入ya（x2）2+8，得a， 抛物线C的解析式为y（x2）2+8，即yx2+2x+6， 令y0，则有x2+2x+60，解得x2 或 6， A（2，0），B（6，0） （2）设直线BD的解析式为ykx+b，则， 解得， 直线BD的解析式为yx+6， 设P（t，t+6），则 0t6，Q（t，t2+2t+6）， E，Q关于x2 的长， E（t+4，t2+2t+6）， QPt2+2t+6（t+6）t2+3t，QE|2t4|， QPx轴，QEx轴， PQE90， 当QEPQ时，PQE是等腰直角三角形， 即t2+3t|2t4|， 当t2+3t2t4 时，解得t4 或2（舍弃），此时P（4，2） 当t2+3t2t+4 时，解得t5或 5+（舍弃），此时P（5， 1+） 满足条件的抛物线C的解析式为y（x4）2+2 或y（x5+）2+1+
