1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三章第三章 连续函数连续函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三章第三章 连续函数连续函数3.2 3.2 连续函数的性质连续函数的性质3.1 3.1 连续函数连续函数 二、二、间断点及其分类间断点及其分类 二、二、闭区间上连续函数的整体性质闭区间上连续函数的整体性质一、一、连续函数的概念连续函数的概念一、一、连续函数的局部性质连续函数的局部性质三、三、反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性四、四、初等函数的连续性初等函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、连续函数的概念一、连续函数的概念1、函数在点处连续的概念函数在点处连续的概念
2、2、函数在区间内连续的概念函数在区间内连续的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、函数在点处连续的概念、函数在点处连续的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 自然界中的许多现象，如气温的变化，河水的自然界中的许多现象，如气温的变化，河水的流动，植物的生长等等，都是连续地变化着的，这流动，植物的生长等等，都是连续地变化着的，这些现象在函数关系上的反映就是函数的连续性。些现象在函数关系上的反映就是函数的连续性。下面我们引入增量的概念然后用增量来描述连下面我们引入增量的概念然后用增量来描述连续性，并引出函数在点和区间上连续的定义。续性，并引出函数在点和区间上连续的定义。例如：就气温的变化来看
3、，当时间变动微小时例如：就气温的变化来看，当时间变动微小时,气温的变化也很微小，这种特点就是所谓的连续性气温的变化也很微小，这种特点就是所谓的连续性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 u0u1u10uuuu如果变量如果变量从它的初值从它的初值变到终值变到终值终值与初值之差终值与初值之差就叫做变量就叫做变量增量增量，又叫做，又叫做改变量改变量，即，即，则则10uuu 增量可以是增量可以是正正的，的，是是零零。10uuu10uuu当当时，时，是正的；是正的；时，时，的；的；的的记作记作当当是是负负10=uuu当当是零。是零。时，时，也可以是也可以是负负的，的，也可以也可以机动 目录 上页 下页
4、返回 结束 uuuxy注意：注意：是一个完整的记号，不能看作是符号是一个完整的记号，不能看作是符号和变量和变量的乘积。的乘积。可以是自变量可以是自变量，也可以也可以是是 。的变量的变量1 1、2 2、u如果是如果是x，则称则称10 x xx 为自变量为自变量的改变量；的改变量；如果是如果是y10yyy，则称，则称为因变量的改变量。为因变量的改变量。3 3、有时有时x1x和，而直接写，而直接写1y和的终的终值不写成值不写成y成成0yy 和0 xx。机动 目录 上页 下页 返回 结束 ()yf x0 xx0 xxy如果函数如果函数在在的某个邻域内有的某个邻域内有在在处有一改变量处有一改变量的相应改
5、变量则为的相应改变量则为00()()yf xxf x 其几何意义如图所示。其几何意义如图所示。当自变量当自变量数数义，义，定定时，时，函函机动 目录 上页 下页 返回 结束 ()yf xx0在在 X X0 0的某的某个邻个邻域内域内函数函数有定有定义义 。X0+xX0+xxyxy(x0)(X0+x)(X0+x)机动 目录 上页 下页 返回 结束 x0.y0+y()yf xyy0X0+x0 xy的绝对值可以无限变小的绝对值可以无限变小.在在 X X0 0的某的某个邻个邻域内域内函数函数有定有定义。义。xVy0+yX0+x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 x.0 xy的绝
6、对值是一个固定值的绝对值是一个固定值 在在 X X0 0的某的某个邻个邻域内域内函数函数有定有定义。义。()yf x0yy机动 目录 上页 下页 返回 结束()yf x0 xxy假设假设在点在点处的某个邻域内处的某个邻域内趋于零时，趋于零时，的极限是零，即的极限是零，即有定义。有定义。相应的函数的改变量相应的函数的改变量()f x处处连续连续。则称函数则称函数在点在点0 x0 x 0定义定义1 1如果自变量的改变量如果自变量的改变量0lim0 xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明：()fx处处连续连续，可得，可得根据定义根据定义 1 函数函数在点在点0 x f(x)f(x0)=0
7、 f(x)f(x0)=0 f(x)f(x0)=0在在X X0 0的某的某个邻个邻域内域内函数函数有定有定义。义。f(x)=f(x0)()yf x0 x因此，函数在点处连续的定义又可可以叙述为：机动 目录 上页 下页 返回 结束 ()yf x0 x如果函数在点处的某个邻域内有定义，00lim()()xxf xf x()fx0 x则称函数在点处连续。定义定义2且且机动 目录 上页 下页 返回 结束 条条 件件函数函数连续在点0 x)x(f)(0 xf)x(flim0 xx存在存在.)x(f)x(flim0 xx0存在存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 ()f x连续函数连续函数 在点在点 的极
8、限。的极限。在点连续，那么求点连续，那么求当当的极限时，只要求的极限时，只要求在在点的点的()f x0 x()f x0 xx在在已知已知如果如果函数值就行了。函数值就行了。0 x说明：说明：1、00lim()()xxf xf x函数函数()f x在在点连续点连续0 x函数函数 在点在点 连续。连续。在在X X0 0的某的某个邻个邻域内域内函数函数有定有定义。义。00lim()()xxf xf x()f x0 x00lim()()xxf xf x()f x0 x2、3、用用可以证明可以证明用用可以求可以求机动 目录 上页 下页 返回 结束 证：证：xxx1sinlim0,0)0(f又又由定义由定
9、义2 知知.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx 0,0,0,0,1sin)(.1 xxxxxxf在在试证函数试证函数.处连续处连续0)(lim0 xfx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2、求、求 （3X2+2x+5）的值。的值。3limx解：解：y y=3X=3X2 2+2x+5+2x+5在在X X0 0=3的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义（x x0 0+x x）=3（3+x）2+2（3+x)+5（x x0 0）=（3 3）=3=33 32 2+2+23+5=383+5=38=3 x2+20 x+38，且，且y y=（x x0+x x）-（x x0）
10、=3=3x x2 2+20+20 x x机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据连续函数定义根据连续函数定义1可知：可知：由以上得：由以上得：y0lim x=（3 3 x x2 2+20+20 x x）0lim x=0=0y y=3X=3X2 2+2x+5+2x+5在在X X0 0=3处连续。处连续。根据连续函数定义根据连续函数定义2可得：可得：（3X3X2 2+2x+5+2x+5）=3limx3 33 32 2+2+23+5=383+5=38机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 。()y f xyy()yf x0 x在点在点处有处有1 1、若函数、若函数00lim()(
11、)xxf xf x()yf x0 x则称则称在点在点处是处是左连续左连续。在在 X X0 0的某的某个邻个邻域内域内函数函数有定有定义义 .说明：说明：10000lim()()xxxyf xf x 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2 2、若函数、若函数()yf x在点在点处有处有0 x00lim()()xxf xf x,则称则称()yf x在点在点0 x处是处是右连续右连续。10000lim()()xxxyf xf x x0.y0+y()yf xyy0X0+x.在在 X X0 0的某的某个邻个邻域内域内函数函数有定有定义。义。xVy0+yX0+x。机动机动 目录目录
12、 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 x0 xx在在 X X0 0的某的某个邻个邻域内域内函数函数有定有定义。义。yyy0 xxyy()yf x()yf x0 x函数函数在点在点处处连续连续 函数函数 在在0 x处处左、右连续左、右连续。()yf x3、0000lim()()xxxyf xf x 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函数函数 在点在点 处处左连续左连续，在在 处处右不连续右不连续()yf x0 x0 x则函数则函数 在在0 x处处不连续不连续。()yf x4 4、左连续左连续右不连续右不连续不连续不连续机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回
13、 结束结束 ()yf x0 x例例:如图函数如图函数在在0 x y()yf xy0 x x0 x0 x（即（即在在的右侧）的右侧）,函数函数时，时，的绝对值不能的绝对值不能值值有一个突然有一个突然的改的改变，变，无限变小。无限变小。函数函数即：即：当当y够够点点处处不连续不连续的绝对值能的绝对值能无限变小。无限变小。x0y0+y()yf xy0X0+xx显然当显然当机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函数函数 在点在点 处处右连续右连续，在在 处处左不连续左不连续()yf x则函数则函数 在在0 x处处不连续不连续。()yf x0 x0 x5 5、左不连续左不连续右连续
14、右连续不连续不连续机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ()yf x0 x例例:如图函数如图函数在在0 x y()yf xyx0 x0 x（即（即在在的左侧），函的左侧），函数值数值时，时，的绝对值不能的绝对值不能有一个突然有一个突然的改变，的改变，无限变小。无限变小。函数函数即：即：当当y够够点点处处不连续不连续的绝对值能的绝对值能无限变小。无限变小。x0y0+y()yf xy0X0+xxx 0显然当显然当机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函数函数 在点在点 处处左不连续左不连续，在在 处处左不左不()yf x则函数则函数 在在0 x处处不连续
15、不连续。()yf x0 x0 x6 6、左不连续左不连续右不连续右不连续不连续不连续连续连续,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ()yf x0 x如图函数如图函数在在0 x y0 x0 x 的左右侧），的左右侧），时，时，的绝对值不能的绝对值不能够够有一个突然有一个突然函数值函数值的改变，的改变，无限变小。无限变小。函数函数即：即：当当y点点处处不连续。不连续。的绝对值能的绝对值能无限变小。无限变小。()yf x。x0y0+y()yf xyy0X0+xxX0+xy0+yxyx x 0 00 x（在（在或或显然当显然当例例:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2、函数在
16、区间内连续的概念、函数在区间内连续的概念机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ()yf x(,)a b()f x(,)a b1 1、若函数、若函数在开区间在开区间内的各点均内的各点均在开区间在开区间内内连续连续。则称则称()y f x(,)a bx ax b()f x,a b2 2、若函数、若函数在开区间在开区间内连续，在内连续，在处右连续且在处右连续且在处左连续，处左连续，间间内内连续连续。连续，连续，在闭区在闭区则称则称机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 3、函数连续点的全体所构、函数连续点的全体所构成的区间，成的区间，称为函数称为函数续区间续区间。在连续区间上在
17、连续区间上 ,连续函数的图形连续函数的图形不断不断的曲线。的曲线。的的连连是一条连绵是一条连绵4 4、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 .),(sin内是连续函数在例证明xy证明：证明：),(xxxxysin)sin()2cos(2sin2xxx 0limsin0,2xx Q1|)2cos(|xxyx 0lim)2cos(2sinlim20 xxxx 0.),(sin内内连连续续在在所所以以 xy为为任任意意一一点点，由由于于x时0 xxxsin2sin2cos2sinsin机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(lim0 xfx)(lim0 xfx 右连续但不左连续
18、右连续但不左连续 ,.0)(处处不不连连续续在在点点故故函函数数 xxf2 2 )0(f)0(f)2(lim0 xx)2(lim0 xx证：证：,0,2,0,2)(xxxxxf例例 讨论函数讨论函数在在x=0 x=0处的连续性。处的连续性。机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、间断点及其分类二、间断点及其分类1.1.第一类间断点第一类间断点 2.2.第二类间断点第二类间断点()yf x0 xxy假设假设在点在点处的某个邻域内处的某个邻域内趋于零时，趋于零时，也趋于零，也趋于零，有定义。有定义。相应的函数的改变量相应的函数的改变量0000limlim()()0 xxyfxxfx()f x处处连
19、续连续。则称函数则称函数在点在点0 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 复复 习习定义定义1 1如果自变量的改变量如果自变量的改变量即即0 x 0机动 目录 上页 下页 返回 结束 ()yf x0 x如果函数如果函数在点在点处的某个邻处的某个邻域域 内有定义，内有定义，00lim()()xxf xf x()fx0 x则称函数则称函数在点在点处处连续连续。定义定义2且且机动 目录 上页 下页 返回 结束 ()yf x0 x说明：说明：在点在点处有处有1 1、若函数、若函数00lim()()xxf xf x()y f x0 x则称则称在点在点处是处是左连续左连续。2 2、若函数、若函数()yf
20、x在点在点处有处有0 x00lim()()xxf xf x则称则称()yf x在点在点0 x处是处是右连续右连续。()yf x0 x3 3、函数、函数在点在点处处连续连续 函数在函数在0 x处处左、右连续左、右连续。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4 4、函数、函数 在点在点 处左连续（或右连续），处左连续（或右连续），在在 处右不连续（或左不连续）处右不连续（或左不连续）()yf x0 x0 x函数函数 在在0 x处处不连续不连续。()yf x5 5、函数、函数 在点在点 处左不连续，处左不连续，在在 处右不处右不()yf x0 x0 x函数函数 在在0 x处处不
21、连续不连续。()yf x不连续不连续机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xfx)(xfx)(xfx0limxx)(xf0limxx)(xf)(0 xf由函数由函数在点在点0 0处连续的定义，可知函数处连续的定义，可知函数在点在点0 0处连续处连续，必须同时满足下列三个，必须同时满足下列三个在在0 0处有定义；处有定义；存在；存在；=条件：条件：（1 1）函数）函数（2 2）（3 3）)(xfx如果上述三个条件至少有一个不满足，就有函如果上述三个条件至少有一个不满足，就有函在在0 0点不点不连续，则点连续，则点0 0就是函数的间就是函数的间数数断点断点x机动 目录 上页 下页 返回 结束 1
22、.1.第一类间断点第一类间断点 例：讨论函数符号函数例：讨论函数符号函数)x(fx=sgnsgn0，=0 1 1，x0 0 xx()yf x-1-1，x0 0在在x=0=0点是否连续？点是否连续？因为因为 0limx)(xf0limx0limx)(xf0limx0limx)(xf0limx)(xf=（1）=1，=1=1，所以，所以 因因函数函数在在=0=0点不连续。点不连续。=解：解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 由函数符号函数由函数符号函数 0limx)(xf0limx)(xfxy)(xf像这样左右极限都存在但不像这样左右极限都存在但不，所以，所以=0=0是是=的间断点的间断点相等的间
23、断点，因为相等的间断点，因为所以称为所以称为跳跃间断点跳跃间断点在它的图形上总有个跳跃，在它的图形上总有个跳跃，。机动 目录 上页 下页 返回 结束 讨论函数讨论函数)(xf=392xxx33 x=3=3 的连续性的连续性 x0limxx)(xf0limxxxx)(0 xfx)(xfx3limx)(xf3limx392xx3limxx)3(f3limx)(xf)3(f解：当解：当3 3 时，时，=（+3+3）=，3 3 时函数时函数当当=3=3时，时，=（但但，所以，所以，故当故当连续连续+3+3）=6=6，)(xf因此，在因此，在3 3点函数点函数不连续不连续。例例机动机动 目录目录 上页上
24、页 下页下页 返回返回 结束结束 由于函数由于函数 3limx)(xfx)3(f。因此，在。因此，在3 3是是函数函数)(xf的间断点。的间断点。但如果重新定义但如果重新定义)3(f )(xfxx)(xf=6时，时，在在连续，所以点连续，所以点=3=3为为的的可去间断点可去间断点=3处处说明：说明：第一类间断点包括可去、跳跃间断点第一类间断点包括可去、跳跃间断点633o o 2.2.第二类间断点第二类间断点yxx2例例:讨论函数讨论函数=tan=tan在在=处的连续性处的连续性yxx22yx解解:函数函数=tan=tan在在=处没有定义，处没有定义，=是是函数函数=tan=tan 的间断点，的
25、间断点，x2limxxtan=，所以，称这种间断点为所以，称这种间断点为无穷间断点无穷间断点机动 目录 上页 下页 返回 结束 因因所以点所以点机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明：)(xf的的第二类间断点第二类间断点因此，无穷间断点因此，无穷间断点是是第二类间断点第二类间断点除第一类间断点以外的其他间断点都称为除第一类间断点以外的其他间断点都称为机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、连续函数的局部性质一、连续函数的局部性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性是通过极限来定义的函数的连续性是通过极限来定义的,因此因此 ,由极由极限的运算法则和连续的定义可得连续函数的运算
26、法则：限的运算法则和连续的定义可得连续函数的运算法则：定理定理1 1：(连续函数的四则运算连续函数的四则运算)设函数设函数)(xf和和)(xg则则)()(xgxf)0)(0 xg都在都在0 x 点连续。点连续。、)()(xgxf、)()(xgxf 均在均在点连续点连续,0 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),()(lim00 xfxfxx 设设),()(00 xgxf )()(lim0 xgxfxx 则则即即.0)(0 xg),()(00 xgxf )()(lim0 xgxfxx)()(lim0 xgxfxx)()(00 xgxf).()(lim00 xgxgxx 机动 目录 上页 下页
27、 返回 结束 二、连续函数的整体性质二、连续函数的整体性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 我们不证明，只给出几何说明。我们不证明，只给出几何说明。()f x,a b()f x,a b定理定理（有界性）（有界性）若函数若函数在闭区间在闭区间连续，连续，在闭区间在闭区间有界。有界。内内即：即：0,Mxa b，有，有().fxM下面介绍闭区间上连续函数的一些重要性质，下面介绍闭区间上连续函数的一些重要性质，则函数则函数“”表示表示“存在某个存在某个”或或“能找到能找到”“”表示表示“任意任意”，或，或“任意一个任意一个”机动 目录 上页 下页 返回 结束 (0,11()fxx 一般来说，开区间（
28、或半开区间）的连续一般来说，开区间（或半开区间）的连续函数函数连续函数连续函数无界。无界。说明：说明：例如，在半开区间例如，在半开区间，1()f xx不一定有界。不一定有界。机动 目录 上页 下页 返回 结束 ()f x,a b()f x,a bmM若函数在闭区间在闭区间内连续，内连续，在闭区间在闭区间能取到最能取到最与最大值与最大值小值小值。即即：12,xxa b使使 1()fxm与与2()f xM,xa b().mf xM且且,有有 1x 2x()yf xa ab bm mM M则函数则函数定理定理（最值性最值性）机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明：间断间断 定理的结论不一定成
29、立。定理的结论不一定成立。（1 1）对开区间内的连续函数）对开区间内的连续函数或闭区间上有或闭区间上有点的函数，点的函数，函函数数xxf1)(在在开开区区间间)4,1(内内函函数数xxf1)(在在开开区区间间)4,1()4,1(内内是连续函数是连续函数如：如：内内，但但在在)4,1(不存在最大值不存在最大值 ,也不存在最小值。也不存在最小值。14。1()fxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 如如,函函数数 10100011)(xxxxxxf如如,函函数数 10100011)(xxxxxxf 10100011)(xxxxxxf在闭区间在闭区间1,-1 在闭区间在闭区间1,-1 1,-1 上上
30、有有间间断断点点0 x,上上有有间间断断点点0 x0 x,函函数数)(xf在在闭闭区区间间 1,-1 上上不不存存在在最最函函数数)(xf)(xf在在闭闭区区间间 1,-1 1,-1 上上不不存存在在最最大大值值,大大值值,也不也不存存在最小值。在最小值。-1+1.。.()yf x机动 目录 上页 下页 返回 结束 它它的的最最大大值值是是5)2(f,5)2(f5)2(f,它它的的最最小小值值是是3)1(f它它的的最最小小值值是是3)1(f3)1(f均在区间均在区间2,1的端的端均在区间均在区间2,12,1的端的端点上取得。点上取得。xyo132512 xy(2)函数的最大和最小值的点也可能是
31、函数的最大和最小值的点也可能是a,b的端点。的端点。机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理（介值性介值性）设设函函数数)(xf设设函函数数)(xf)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续,在在闭闭区区间间,ba,ba上上连连续续,M 和和mM 和和m分分别别是是)(xf在在区区间间,ba上上的的最最分分别别是是)(xf)(xf在在区区间间,ba,ba上上的的最最大大值值和和最最小小值值,大大值值和和最最小小值值,则则 对对 于于 满满 足足Mm Mm 的的任任何何实实数数 的的任任何何实实数数 至少存在一点至少存在一点,ba 至少存在一点至少存在一点,ba ,ba 使得使得 )(f (
32、)yf xb bm mM M1 12 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明：说明：定理（介值性）指出：定理（介值性）指出：闭区间闭区间aa，bb上的连续函数上的连续函数 可以取遍可以取遍 m m和和 M M 之间的一切值。之间的一切值。()f x机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理（零点定理）（零点定理）设设 函函 数数)(xf在在 闭闭 区区设设 函函 数数)(xf)(xf在在 闭闭 区区间间,ba上上 连连 续续,间间,ba,ba上上 连连 续续,且且0)()(bfaf,且且0)()(bfaf0)()(bfaf,则则至至少少存存在在一一点点),(ba ),(ba 使使 得得0
33、)(f使使 得得0)(f0)(f 几何意义几何意义当连续曲线当连续曲线 的端点的端点A、B在在X轴的两端时，曲轴的两端时，曲线线 与与X轴至少有轴至少有一个交点。一个交点。()yfx()yf x()yf xb bAB123机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例：例：证明超越方程证明超越方程cosxx在在(0,)2内至少存在一内至少存在一个实根。个实根。0,2证明：证明：已知函数已知函数=cosxxx（）在在连续，连续，并且并且()022(0)10 与与根据零点存在定理，根据零点存在定理，在在(0,)2内至少存在一点内至少存在一点C，使使()cos0ccc 即超越方程即超
34、越方程cosxx在在(0,)2内至少存在内至少存在一个实根。一个实根。机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、反函数与复合函数的连续性三、反函数与复合函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果函数如果函数()yf x在某区间内单调增加（或减少）在某区间内单调增加（或减少）的反函数也在对应的区间内单调增的反函数也在对应的区间内单调增且连续。且连续。单调连续函数的单调连续函数的反函数在其对应的区间上反函数在其对应的区间上是连续的是连续的.则它则它定理定理2：（反函数的连续性）（反函数的连续性）即：即：且连续，且连续，增加（或减少）增加（或减少）机动 目录 上页 下页 返回 结束 .),(
35、sin内内是是连连续续函函数数在在前前面面已已证证明明 xy.22sin上上是是连连续续函函数数，在在当当然然 xy 1,1函数。函数。例如：例如：由定理由定理2，所以，所以在在上是连续上是连续arcsinyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则 设函数设函数定理定理3（复合函数的连续性）（复合函数的连续性）在点在点处连续，处连续，()f u0u函数函数在点在点连续连续()ux0 x处处且且00()ux，复合函数复合函数在点在点处连续。处连续。()yfx0 x()ux00()ux0lim ()xxfx处连续处连续0 xx0uu0lim()uuf u0u0()f u()yf u0 x处连续处
36、连续0()fx复合函数复合函数在点在点处连续。处连续。()yfx0 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的复合函数仍为连续函数连续函数的复合函数仍为连续函数,),()(lim00ufufuu),()(lim00 xxxx 设设00(),ux).()(lim00 xfxfxx 则则).(lim)(lim00 xfxfxxxx 即即 这表明极限符号与复合函数符号这表明极限符号与复合函数符号 可交换顺序。可交换顺序。说明说明:()ux且且并有结论：并有结论：机动 目录 上页 下页 返回 结束 求求 的极限的极限函数函数处连续。处连续。则则例：例：解：解：22limsin(34)xx22si
37、n(lim 34)xx22lim sin(34)xxsinyu234ux处连续，处连续，在在在点在点0u02x sin4机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：解：0sinlim lnxxxxxxsinlnlim0)sinlimln(0 xxx 1ln 0 1sinlim0 xxx).(lim)(lim00 xfxfxxxx例：例：机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、初等函数的连续性四、初等函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 以上五类函数统称为以上五类函数统称为基本初等函数基本初等函数。uxy xay 10aa，且xyalog10aa，且xyxyxytancossin，xyxy
38、arccosarcsin，基本初等函数基本初等函数幂函数幂函数指数函数指数函数对数函数对数函数三角函数三角函数反三角函数反三角函数（为任意实数）；为任意实数）；（）；）；（）；）；等；等；等。等。机动 目录 上页 下页 返回 结束 任何初等函数在它的定义区间内都是连续的任何初等函数在它的定义区间内都是连续的所谓定义区间，就是包含在定义域内的区间。所谓定义区间，就是包含在定义域内的区间。基本初等函数在它的定义区间内都是连续的基本初等函数在它的定义区间内都是连续的 根据连续函数的定义和连续函数运算法则可根据连续函数的定义和连续函数运算法则可知有下列结论：知有下列结论：由于初等函数是由基本初等函数和
39、常数经过由于初等函数是由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的复合所构成的。有限次的四则运算和有限次的复合所构成的。机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明 0ln(1)lim1xxx证明：证明：).(lim)(lim00 xfxfxxxx0ln(1)limxxx10lnlim(1)xxxlne110lim ln(1)xxx例：例：ezzz1)1(lim0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例：例：2011limxxx解：解：0.求求2011limxxx20lim11xxx在在 0点不连续。点不连续。211()xf xx2()11xf xx在在 0点连续。点连续。00lim()(
40、)xxf xf x2220(11)(11)lim(11)xxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据根据函数在点处连续的定义可知：函数在点处连续的定义可知：只需求该点函数值只需求该点函数值.求求2211limxx 23 1lim221 xx解：解：2211 在点在点对连续函数在连续点求极限对连续函数在连续点求极限,例：例：2()1fxx12x 处连续处连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束 例：例：21,02,1()1,-1x0 xxf xxx的连续区间。的连续区间。10 x 2()f xx当当时，时，是连续的。是连续的。01x12x 1()1f xx()f x及及时，时，是连续的。是连续的。1x 1x()f x在在点无定义，点无定义，是是的间的间断点。断点。又当又当求函数求函数解：解：而而所以所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 x()f x()f x(1,0)即左、右极限存在但不相等，即左、右极限存在但不相等，是是的的跳跃跳跃间断点。间断点。的连续区间为的连续区间为综上所述，函数综上所述，函数200lim()lim0,xxf xx001lim()lim1,1xxf xx 21,02,1()1,-1x0 xxf xxx所以所以(1,2)(0,1)UU机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束
