1、 目 录 “杨辉三角”与二项式系数的性质 教学说明 1内容和内容解析内容和内容解析 “杨辉三角”与二项式系数的性质是全日制普通高级中学教科书人教 A 版选修 2-3 第 1 章第 3 节第 2 课时.教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨 辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代 数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行 爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二项式定理为基础， 由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数， 引导学生从函数的角度研究二项式系数 的性质，便于建
2、立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究问题的方法，可以画出它的 图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这对发现规律，形 成证明思路等都有好处. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力； 也有利于学生理解数学知识，培养其数学应用意识. 研究二项式系数这组特定的组合数的性质， 对巩固二项式定理， 建立相关知识之间的联 系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等 也具有重要地位. 根据以上对教材及学情的分析，特制定教学重点如下： 体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质. 2教学目标分析教学目标分析 “杨
3、辉三角”是我国古代数学重要成就之一，蕴含了丰富的内容，显示了我国古代人民 的卓越智慧和才能， 了解我国古代数学成就之一的“杨辉三角”包含的规律， 结合“杨辉三角”， 运用函数的知识深化对二项式系数性质的理解，联系函数图象和性质、赋值法、两个计数原 理等知识探究证明二项式系数的性质，体会用函数知识研究问题的方法，体验数形结合、特 殊到一般进行归纳等数学思想的渗透和运用，体现教师引导、学生探究的教学方式，培养学 生问题意识，提高数学思维能力，培育学生理性精神. 根据以上分析特制定教学目标如下： 1通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活 动，让学生感受我国古代数学
4、成就及其数学美，激发学生的民族自豪感. 2通过学生从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数 知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力. 3通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程，使学生掌握二 项式系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方 法解决问题的“再创造”过程. 4通过恰时恰点的问题引入、引申，采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延 伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生 探索、研究我国古代数学的热情. 3教学问题诊断分析教学问题诊断分析 教科书将二项
5、式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来， 不仅是因为“杨辉三角”是我国 古代数学重要成就之一，蕴含了丰富的内容，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，对学 生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感，而且“杨辉三角”与二项式系数的性质紧密相 联， 由它可以直观的看出二项式系数的性质， 同时课程体系在本节课后编排了关于探究与发 现“杨辉三角”中的奥妙的阅读材料，为了凸现数学史教学，更好的掌握本节知识，促进学生 发展，在高中学生学习的各个领域渗透研究性学习，因此对教材内容进行了精心加工，合理 调整，课前开展了探究与发现“杨辉三角”的一些规律的学习活动，课上进行展示. 学生不难发现和概括二项式系数的对称
6、性和增减性与最大值， 如何证明呢？这就需要适 当引导学生联系函数知识，画出6n 和 7 的函数图象，讨论函数的性质，让学生经历再发 现、再提炼、深入探究的学习过程，培育理性思维.在证明各二项式系数的和的过程中，教 材中运用赋值法，求证很简略，但是让学生记住这个结论并不难，难的是在这个学习过程中 如何遵循学生的认知规律，提高学生的思维能力？基于此，让学生自己归纳、猜想各二项式 系数的和，运用多种方法予以求证，如： （1）利用赋值法：在 .0122 (1)CCCCC nrrnn nnnnn xxxxx中，令1x 可得； （2）利用模型化思想：引入n元集合子集的个数的问题，利用分类计数原理和分步计
7、数原理进行说明，很好的解决了上面的问题. 根据以上分析，制定教学难点如下： （1）结合函数图象，理解二项式系数的增减性与最大值时，根据 n 的奇偶性确定相应 的分界点； （2）利用赋值法证明二项式系数的性质. 4、教法特点及预期效果分析、教法特点及预期效果分析 数学是思维的科学，数学学习不是简单的“告诉”，而应是学生个性化的“体验”. 在本节课的学习中，采用问题引导、合作探究的教学方法，设计六大教学环节：展示 成果话杨辉、感知规律悟性质、联系旧知探新知、合作交流议方法、反馈升华拨思路、悬念 小结再求索.倡导自主探索、独立思考、动手实践、合作交流，为学生开展数学体验，丰富 学习方式，形成积极主动
8、的、多样的学习方式创造了有利的条件和广阔的空间. 在探究二项式系数的性质中，设计为探究“三部曲”： 第一步是数形结合、概括性质第一步是数形结合、概括性质. 通过学生画出n=6 和n=7 时函数图象，并观察分析其 对称性和增减性与最大值，引导学生概括性质，学生有目的地动手实践，亲身参与探究活动 远比目睹幻灯播放更能体验数学蕴含的规律，使抽象的数学知识直观生成. 第二步是分组讨论、证明性质第二步是分组讨论、证明性质. 在学生初步认识“杨辉三角”包含的规律及“杨辉三角”与 二项式系数的关系的基础上，在画出n=6 和n=7 时函数图象并观察分析其对称性和增减性 与最大值的情境下，采取分组讨论、交流展示
9、的学习方式，诱发学生内在的认知冲突，激发 学生沉淀的知识，培养学生解决问题的能力，让知识经历一个再发现、再创造的过程，体验 到探究过程中涉及的思维策略，促进学生对内容的深刻理解，把课堂教学的“话语权”、“生 成权”、“展示权”、“交流权”交给学生，用学生的“亮点”，点亮学生的智慧. 第三步是师生合作、再探性质第三步是师生合作、再探性质. 在探究各二项式系数的和的教学中，设计探究性的问题 串，运用特殊到一般的归纳思想，猜想结论，再运用赋值法证明这一性质，培养学生思维的 严谨性和深刻性，引导学生挖掘问题的本质特征，同时呈现用分类和分步计数原理说明 ()nab的展开式的各二项式系数的和，引发学生的认
10、知冲突，培养学生思维的灵活性和独 创性，激发学生的探索兴趣. 学生经历课前初探、课中深探、变式细探的探究过程，对“杨辉三角”及二项式系数的性 质有比较深刻的认识，不断提高学生探究和解决问题的能力，促进学生数学思维发展. 5教后反思教后反思 通过本节课的教学实践，认识到多一点精心设计，就能融一份直观生成，体会到什么是 由“关注知识”转向“关注学生”.在教学过程中， 注意到了由“给出知识”转向“引起活动”， 由“完 成教学任务”转向“促进学生发展”，学生成为课堂上的真正主人.开展数学体验，丰富学习方 式，师生会有共同的、积极的情感体验. 成功之处：成功之处：一是教学设计独到而又新颖，打破常规，不走
11、寻常路，通过三步探究实现本 节课的教学目标，突出以学生为主体，教师以引导者的身份参与其中；二是教态自然得体， 亲和力强，能很好的驾驭课堂，积极调动学生思考问题，课堂气氛活跃. 改进之处：改进之处： 一是可考虑通过网上链接搜集一些杨辉三角包含的规律， 比较学生展示的结 论，让学生享受成功的喜悦，同时激发学生“再求索”的热情；二是学生展示小组讨论增减性 与最大值时出现口误，以及教师板书将“各二项式系数的和”写成“各二项式的系数和”，虽然 课后通过师生沟通，学生说不影响掌握本节知识，但是在以后的教学中一定要做得更好. 杨辉三角与二项式系数的性质 教学点评 本节课有以下几点值得一提：本节课有以下几点值
12、得一提： 一、目标定位准确一、目标定位准确 本节课，教师在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情 后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有 效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确， 科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实， 并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标完全符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概 括，提炼上升；特殊一般特殊到一般，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努 力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位二、突出主体地位 1放手放手发动学生发动学生 把课堂
13、还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？ 教师作了很好的诠释： 一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这 一根本教学原则. 二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一 组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7 时，离散型函数的图象起了直观引领， 奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困. 三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习 的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高. 2彰显理性数学彰显理性数学 本节课， 无论是对称
14、性， 增减性 （最大值） ， 及二项式系数和的逐步生成， 学生都能从“特 殊到一般”的认识规律， 归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想， 组合数两个性质的运用， 两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示 中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径. 这不仅会自然增强或辐射到学生的解题能力和理性思维， 更能影响和渗透到他们的终身学习 和今后从事的工作中去. 3呈现合作交流呈现合作交流 本节课每个问题的波浪式出现，我们不仅发现每个学生动手做、动眼看、动口说、动笔 写、动脑想，全身心投入到学习过程中去，真正地让学
15、生动起来，让课堂活起来，更令人吃 惊的是“合作交流”发挥得淋漓尽致. 这不仅反映在四人小组毫无掩饰、捏造的交流过程，更 有把自己的不同想法敢于同学面前展示和袒露的真实场景. 这种“生生合作”的经典，更来自 于“师生合作”的源头. 教师始终把自己放在和学生平等的位置上，“同欢乐，共困苦”，让学 生心情愉悦地、神情自信地回答和展示自己的“成果”，这些话成果、说思路、讲道理、议方 法、谈感悟等系列活动，既寄托了老师的殷切希望和拳拳爱生之心，又破除了传统的学生蹑 手蹑脚演板，胆怯地来回张望，等待老师去评点乃至训斥的那种尴尬局面，展现了一种兴趣 盎然、生动活泼的自主、合作、交流的课堂活动场景. 三、主导
16、水到渠成三、主导水到渠成 综观整节课三个性质的呈现（教师板书的主题）毫无生涩造作，支离隔阂的痕迹. 却是 分块搭建，彼此衔接，宛若于活动中生成，从过程中体验，在操作中建构，水到渠成之感， 这得益于教师充分挖掘和把握教材内在联系之功力和涵养， 也借助于教师过渡衔接之妙： 和 蔼微笑的教态，激励动情的语言，豁达激情的风貌，使得课堂情境天人合一. 四、增色情感价值四、增色情感价值 教材的主干内容之一“杨辉三角”就蕴含较丰富的文化价值（包括数字演变） ，我国古代 数学成就和爱国主义情结.教学过程中，由于提及到与“帕斯卡三角”的比照，涉及到与“斐波 那契数列”的联系，学生的民族自豪感，爱国主义情操不时会
17、写在那一张张稚嫩、率真的脸 上，相信对他们的精神风貌是一种陶冶，思想品质是一种升华. 本节课值得改进的地方：本节课值得改进的地方： 一是可考虑通过网上链接搜集一些“杨辉三角”包含的规律，比较学生展示的结论，让学 生享受成功的喜悦，同时激发学生“再求索”的热情；二是学生展示小组讨论增减性与最大值 时出现口误，以及教师板书将“各二项式系数的和”写成“各二项式的系数和”，尽管课后通过 师生沟通，形成了共识，但值得在以后的教学中更好地把握好教学细节. 课题：不等关系课题：不等关系比较大小比较大小 教材：教材：北师大版普通高中课程标准实验教科书（必修 5） 授课教师：授课教师： 教学目标：教学目标： 1
18、知识目标：掌握比较两个实数大小的方法差值比较法 理解不等关系的传递性 能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小 2能力目标：通过对具体问题的分析，培养学生的分析归纳能力,培养学 生代数变形的能力，提高学生解决实际问题的能力； 3情感目标：通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使 其主动参与双边交流活动。 通过对问题的提出、 思考、 解决培养学生自信、 自立的优良心理品质。 通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及 科学的学习态度，培养学生热爱家乡的优良品质 教学重、难点：教学重、难点： 教学重点：比较实数大小的方法 教学难点：1.比较实数大小方法中的代数变形； 2.比较实数大小
19、方法的实际应用 教学方法教学方法：启导法、感性体验法、合作讨论法 教学用具：教学用具：多媒体、印好的习题纸 教学过程：教学过程： ( (一一) )创设情境创设情境 （幻灯片给出几张庐山的优美图片，激发学生的兴趣） 引入引入: : 庐山以自然景观为载体，以人文景观为内涵。它那伟岸的山体、飞流湍泻 的瀑泉、扑朔迷离的云雾、钟灵毓秀的山城，以及宗教理趣的光华、千年书院的 风采、 冰川遗迹的神韵、西式别墅的音符无一不是中华民族乃至整个人类文 明的古今融合、精神凝聚、文化升华。它兼有大江的气魄、大湖的胸襟、雄山的 刚毅、秀山的温柔和灵山的潇洒，被联合国教科文组织评为“世界文化景观” 。 国庆放假期间，邀
20、上几个朋友一起去了趟庐山，恰好碰到景区推出一套门票优惠 方案，具体如下： 庐山旺季门票原价为 180 元，现推出两套优惠方案(两人以上集体购票时可 选择以下任一种方案) 优惠方案 A：买全票一张，则其余票可享受八折优惠； 优惠方案 B：按团体购票，一概优惠 30 元. 为了使门票花费最少， 请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案？ 学生肯定会问有多少人，教师告诉他们在 5-7 人，由学生先对多种情况进行 讨论。 合作交流：合作交流：同桌讨论合作完成下列表格（作业纸） 人数人数 方案方案A A 方案方案B B 方案选择方案选择 5 756 750 B 6 900 900 A 或 B 7 1
21、044 1050 A （学生思考演算并请学生回答结果） 由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比较大小的问题， 这就是我们这节 课所要学习的 1.2 节比较大小（板书课题同时幻灯片出示课题） 继续就上述情境提问：对于人数确定的情况，两个具体的实数我们很容易比 较大小，如果人数不确定呢，又该如何比较大小？ 若设人数为 n，记采用方案 A 的费用为)(nf，采用方案 B 的费用为)(ng， 则 36144)(nnf，nng150)( 接着我们要比较就是这两个代数式子的大小， 我们该怎么办呢？ （学生思考） 对于这两个式子来说，它们有以下的三种大小关系： 60)()()()(nngnfngnf 60)
22、()()()(nngnfngnf 60)()()()(nngnfngnf 所以 当62n时，选择方案 B; 当 6n时，选择两种方案都一样； 当 6n时，选择方案 A. 这样我们的问题就解决了。 归纳小结：归纳小结： 任意两个实数任意两个实数 a a，b b 都能比较大小：都能比较大小： 如果如果 a ab0b0，则，则 ab;ab; 如果如果 a ab0b0，则，则 ab;ab; 如果如果 a ab=0b=0，则，则 a=b.a=b. 要求学生明确要确定两个实数的大小，只需确定他们的差 ab 与 0 的大小 关系。 以上就是比较两个数（或式）的大小的方法差值比较法.其实差值比较 法我们很早就
23、已经用过了，请同学们回忆一下哪里用过？（研究函数的单调性的 时候，作差） 下面我们再看几个比较大小的例题 ( (二二) )范例启迪范例启迪 （例题由老师重点讲解，结合投影并简单板演示范） （出示例 1） 例 1：试比较(1)(5)xx与 2 (3)x的大小 分析：其差为常数，学生很容易得到答案，对学生进行肯定与表扬 解：(1)(1)(5)xx- 2 (3)x =)56( 2 xx-（96 2 xx） =-40 (1)(5)xx0 3 2 xx3 （出示例 3） 例 3.当 1x2 时,比较2 2 x与x3的大小 分析：学生会发现例 3 与例 2 惊人的相似,学生想到的肯定先是做差和配方 但是学
24、生会得到以下结果： 4 1 ) 2 3 (32 22 xxx，发现不能判定正负，教师 正好提醒，既然配方 法不能用，还有其他的方法吗？从函数观点来看，顶点在 x 轴下方，图象开口 向上，所以函数图象与 x 轴有两个交点，故方程023 2 xx是有根的，可以 将解析式改为两根式表示，即将其因式分解。 解： 2 2 x-x3=(1x)(2x) 1x0, 2x0 (1x)(2x)0 2 2 x1时,xx32 2 与6x的大小 如果学生自己找出答案应给予表扬，若学生思考无果，则如下引导： （1） 3 . 0 2和 1 哪个大？ （2） 2 3 . 0与 1 哪个大？ 学生恍然大悟： 2003 . 0
25、3 . 03 . 0122 不等关系的传递性（间接比较大小的理论依据） 若 ab,bc,则 ac. 例例 4 4：建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积。但按采光标准， 窗户面积与地板面积的比值应不小于 10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越 好。试问：同时增 加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明 理由。 分析：例 2 以建筑设计为背景，研究比较大小在实际生活中的应用，这是一个难 点.应该指导学生进行正确的审题。 解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a和b，同时增加的面积为m，根据问 题的要求ba，且%10 b a . 由于0 )( )( mbb a
26、bm b a mb ma ， 于是 b a mb ma ，又%10 b a ， 因此 %10 b a mb ma 所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光 条件变好了！ 结论：一般地，设a，b为正实数，且0,mba，则 b a mb ma 这是一个非常重要的不等式，其意思为：一个正的真分数， 当分子和分母同时加上一个正数后得到的分数比原来的大。例如 4 3 3 2 2 1 这个不等式在生活中还有一个模型。大家能否用这个不等式解释一下： 在一杯不太甜的糖水里加糖，糖水变甜了. 设在bg 糖水里有ag 糖，此时糖水浓度为 b a ，在加入mg 糖后，这杯糖水的浓 度为 mb ma ，按
27、照常识可知 b a mb ma . （四）思考交流（四）思考交流 （放映芭蕾舞演员的表演视频） 引言中的问题： 为什么芭蕾舞演员在表演时脚尖立起给人一种美的享受？ 你们知道黄金分割吗？黄金分割是一个值 0.618，一本书的短边长与长 边长之比接近 0.618 时，视觉上要优美一些，而对于人的身材也是一样的。 一个人的身材比例为 0.618 时是最优美的。一般的人，下半身长 x（肚 脐眼以下部分）与全身长 y 的比值 y x 在 0.57-0.6 之间，而芭蕾舞演员在演 出时，脚尖立起调整了身段的比例.如果设人的脚尖立起提高了 m，则下半身长 与全身长之比由 y x 变成 my mx ,这个比值
28、更加接近黄金分割值 0.618. 实际的生活中，很多的女士为了追求美而选择穿高跟鞋，其目的就是在追求 黄金分割值。 实践作业： 请大家回去为自己和家人量一量身材， 也许最美的东西就在你身边哦！ 如果是女性可以为她们设计高跟鞋的高度（是不是越高越好呢） 。 人员 下半身长 x （cm） 全身长 y(cm) 鞋子高度 m(cm) y x my mx 甲 乙 丙 丁 但是我们作为学生应该追求内在美，不能穿高跟鞋。 （五）回顾与小结（五）回顾与小结 请同学们相互讨论： 本节课你学到了哪些知识？ （引导学生归纳本堂课的重要知识，重要方法） （1） 比较大小的方法：差值比较法； （2） 不等关系的传递性（
29、间接比较大小的理论依据） ； （3） 比较大小在实际问题中的应用。 （六）布置作业（六）布置作业 课本 74 页 课后思考交流 2 以及练习 2 教 学 设 计 说 明教 学 设 计 说 明 现代教育心理学的研究认为， 有效的性质概念教学是建立在学生已有知识结 构基础上的，因此我在教学设计过程中注意了： 在学生已有知识结构和新知识间寻找“最近发展区” 引导学生通过同化，顺应掌握新知识。 设法走出“性质概念一带而过，演习作业铺天盖地”的误区，促使自己与 学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程” 的新天地。 我认为本节课的设计应遵循教学的基本原则；注重对学生思维的发展；贯 彻教师对本节内容的理
30、解；体现“学思结合学用结合学习动机与意志品质相 结合” 的原则。希望对学生的思维品质的培养数学思想的建立心理品质的优 化起到良好的作用 导数的导数的概概念念教案教案 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）数学选修 22 第 一章第一节的变化率与导数 ， 导数的概念是第 2 课时 教学内容分析教学内容分析 1导数的地位、作用导数的地位、作用 导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度导 数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、 不等式起着重要作用导数概念是我们今后学习微积分的基础同时，导数在物理学，经济
31、 学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. 2本课内容剖析本课内容剖析 教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的教材这样处理的原因，一方面是 因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习所以，让学生通过学习 导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础另一方面，函 数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生 学习和研究函数 基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一 时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是 瞬时变化率的的模型，并
32、将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的 进行导数概念教学时还应该看到， 通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬 时速度； 从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变 化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想 教学目的教学目的 1使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向 于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度； 2使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就 是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念； 3掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本
33、步骤； 4通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验； 5通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律 的重要过程 教学重点教学重点 通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念 教学难点教学难点 使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义， 由此得出函数在某点平均变化 率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念 教学准备教学准备 1查找实际测速中测量瞬时速度的方法； 2为学生每人准备一台 Tinspire CAS 图形计算器，并对学生进行技术培训； 3制作数学实验记录单及上课课件 教学流程框图教学
34、流程框图 教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导 数概念的表象， 再通过表象抽象出导数概念， 并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一 步体会导数的本质 教学的主要过程设计如下： 教学过程设计教学过程设计 预计时 间 （分） 教学内 容 教师活动 学生活动 教学评价 复 习 准复 习 准 备备 理解平均速度与瞬时速度 的区别与联系 体 会 模体 会 模 型型 感受当t0 时，平均速 度逼近于某个常数 提 炼 模提 炼 模 型型 从形式上完成从平均速度 向瞬时速度的过渡 形 成 概形 成 概 念念 由物体运动的瞬时速度推 广到函数瞬时变化率，并 由此得出导数的
35、定义 应 用 概应 用 概 念念 理解导数概念，熟悉求导 的步骤，应用计算结果解 释瞬时变化率的意义 小 结 作小 结 作 业业 通过师生共同小结，使学 生进一步感受极限思想对 人类思维的重大影响 5 分钟 1复习复习 准备准备 设 计 意 图： 让学 生 理 解 平 均 速 度 与 瞬 时 速 度 的 区 别 与联系， 感 受 到 平 均 速 度 在 时 间 间 隔 很 小 时 可 以 近 似 地 表 示 瞬 时 速度 （1）提问：请说出函数从 x1到 x2的平均变化率公式 （2）提问：如果用 x1与增量x 表示平均变化率的公式是怎样的？ （3）高台跳水的例子中，在时 间段 49 65 ,
36、0里的平均速度是零， 而实 际上运动员并不是静止的这说明平 均速度不能准确反映他在这段时间 里运动状态. （4）提问：用一个什么样的量 来反映物体在某一时刻的运动状 态？ （5）提问：我们如何得到物体 在某一时刻的瞬时速度？例如，要求 物体在 2S 的瞬时速度，应该怎么解 决？ （6）我们一起来看物理中测即 时速度（瞬时速度）的视频： （7）提问：这里所测得的真的 是瞬时速度吗？ （8）提问：怎样使平均速度更 好的表示瞬时速度？ （9）在学生回答的基础上讲述： 真正的瞬时速度根本无法通过 仪器测定，我们将平均速度作为瞬时 速度的近似值； 为了使平均速度更好的表示瞬 时速度，应该让时间间隔尽量小
37、 回答问题后理解： （1） 12 12 )()( xx xfxf （2） x xfxxf )()( 11 （3） 学生在教师的 讲述中思考用什么 量来反映运动员的 运动状态 （4） 让学生体会并 明确瞬时速度的作 用 （5）学生思考 （6） 学生观看视频 并思考 （7） 期望或引导答 出“是平均速度” （8）学生回答，得 出“时间间隔越小 越好！ ” （9） 学生体会教师 所 讲结论 （1）复习 过程应使 学生明确 函数的平 均变化率 表示 （2）应使 学生明确 平均速度 与瞬时速 度 的 关 系，为下 一阶段实 验活动作 铺垫 15 分 钟 2体体 会模会模 型型 设计 意图： 让学 生在
38、信息 技术 平台 上，通 过定 量分 析感 受平 均速 度在 时间 间隔 越来 越小 时向 瞬时 速度 逼近 的过 程 （1）向学生提出数学实验任务： 已知跳水运动员在跳水过程中距离水 面 的 高 度 与 时 间 的 函 数h(t)= 4.9t2+6.5t+10， 请你用计算器完成下列表格 中 t0=2 秒附近的平均速度的计算并填充好 表格，观察平均速度的变化趋势 数学实验记录单（1） x0 时，在2， 2+x内， (2)(2)hxh v x x0 时，在2+x， 2内， (2)(2)hhx v x X v x v 0.1 0.1 0.01 0.01 0.001 0.001 0.0001 0.
39、0001 0.00001 0.00001 0.000001 0.000001 你认为运动员在t0=2秒处的瞬时速度 为 m/s （2）提问：x、g(x)的含义各是什么？ （3） 提问： 观察你自己的实验记录单， 你能发现平均速度有什么变化趋势吗？ 先展示一个同学的实验结果，并让他 说说他的发现，再将计算器的结果投影， 引导同学们一起观察 （4） 将学生分四个组， 让他们分别完 成 t0=1.6、1.7、1.8、1.9 时的实验记录 单（2）的填写，说出他们观察的结果，并 将 4 个结果写列在黑板上 在学生实验与观察的基础上指出： （1）学生在 TInspire CAS 上完成以下操作： （2）
40、学生操作得出如下 结果，完成数学实验记 录单（1）的填写： （3）让学生讲他所发现 的规律 （4）学生分 4 个组再次 实验，分别完成本组的 数学实验记录单（2）的 填写，并观察平均速度 的变化趋势，回答教师 的提问 （1） 应 使 学 生 在 技 术 平 台 上 通 过 多 次 实 验 感 受 到 平 均 速 度 在 t 0 时趋 近 于 一 个 常数， 并 理 解 这 个 常 数 的 意义 （2） 应 使 学 生 从 感 性 上 获 得 求 瞬 时 速 度 的 方法 t0=1.6 v t0=1.7 v t0=1.8 v t0=1.9 v t0=2 v 当t趋近于 0 时， 平均速度都趋近于
41、 一个确定的常数， 这个常数就是瞬时速度 10 3提炼提炼 模型模型 设 计 意 图： 使学 生 认 识 到 平 均 速 度 当 时 间 间 隔 趋 向 于 零 时 的 极 限 就 是 瞬 时速度， 为 给 出 导 数 概 念 提 炼 出 一 个 具 体 的 极 限 模 型 （1）提问：你认为通过实验所得结果（常数） 就是瞬时速度吗？这个数据到底是精确值还是近似 值？ （2）让学生动笔化简 t0=2 对应的平 均速度的表达式 （化简结果为4.913.1t ） （3）引导学生从化简的表达式中发现当t0 时，4.913.1t 13.1 （4）让学生动手化简 t0=1.6 对应的平均速度的 表达式
42、（化简结果为18. 99 . 4t） 启发学生归纳出结论：t0 时， 平均速度所趋 近的这个常数是可以得到的，它不是近似值，是一个 精确值，它与变量t 无关，只与时刻 t0有关 （5）提问：我们得到了t0=1.6、1.7、1.8、1.9 时的瞬时速度， 但这还不足以代表所有时刻的瞬时速 度，能不能用同样的办法，得到t0时的瞬时速度？ 启发学生化简平均速度的表达式，并与学生一 起总结出： t thtth t f )()( 00 00 9.84.96.59.86.5(0)tttt （6）教师讲解：用 t thtth t 00 0 lim 表示v 所趋近的常数，即 5 . 68 . 9 0 00 0
43、 lim t t thtth t 今后把这个常 数叫做在 0 tt 处，当t趋近于 0 时，平均速度v的 极限比如，13.1 是在2t 处，当t 趋近于 0 时 t hth 22 的极限 （1） 学生 思考，也 可 以 讨 论 （2） 学生 化简 t0=2 处对应的 平均速度 的 表 达 式，观察 当t0 时平均速 度表达式 的变化趋 势 （3） 学生 化简 t0=1.6 处 对应的平 均速度的 表达式， 观察当 t0 时平 均速度表 达式的变 化趋势 （3） 学生 化简任意 时刻 t0处 对应的平 均速度的 表达式， 观察当 t0 时平 均速度表 达式的变 化趋势 （4） 学生 根据教师 的
44、讲解理 解平均速 度的极限 的意义 应使学 生通过 动手计 算，得 到平均 速度在 t0 时趋近 于一个 常数， 并且这 个常数 就是瞬 时速 度使 学生理 解极限 符号表 示的意 义 5 4形形 成概成概 念念 设计 意图： 完成 从运 动物 体的 瞬时 速度 到函 数瞬 时变 化率 的过 渡，形 成导 数的 概念 并给 出定 义 （1）给出下列图示： （2）针对上述图示，教师在启发后提问： 通过前面的学习，我们知道平均速度就是函数 h(t)的平 均变化率瞬时速度就是函数 h(t)的瞬时变化率同时，我 们已经知道：平均速度在t0 时的极限就是瞬时速度那 么，你能否说说，一般情况下，函数的平均
45、变化率与瞬时变 化率是一个什么关系？ （3）在学生理解了函数的平均变化率与瞬时变化率的 关系后提问：函数 f(x)在 x=x0处的瞬时变化率怎样表示？ 教师介绍如下的的表示方法： 函数 f(x)在 x= x0处的瞬时变化率可表示为 0 lim x f x 00 0 ()() lim x f xxf x x （4）教师给出导数的定义： 函数( )f x在 0 xx处的瞬时变化率 00 00 ()() limlim xx f xxf xf xx 称为( )yf x在 0 xx处的导数，记作 00 0 0 ()( ) ( )lim x f xxf x f x x 或 0 xx y， 即 00 0 0
46、 ()() ()lim x f xxf x f x x （ 1） 在教 师的 启发 下思 考函 数的 平均 变化 率与 瞬时 变化 率之 间的 关系 （ 2） 回答 教师 的提 问 （ 3） 理解 函数 导数 的概 念与 导数 的表 示方 法 应 使 学 生 从 “平 均 速 度 的 极 限 是 瞬 时 速 度” 这 个 具 体 的 模 型 中 抽 象 出 导 数 的 概 念， 并 能 理 解 导 数 是 一 个 极限， 明 确 导 数 的 表 示 5 5应用概应用概 念念 设计意图： 让 学 生 进 一 步 理 解 导数概念， 体 会 导 数 的 应 用 价 值，熟悉求 导 数 的 步 骤
47、（1）提问：你能说说求函数 y=f(x) 在 x= x0处的导数的步骤吗？ 教师在学生说的基础上要总结出步 骤 （2）讲解例 1： 将原油精练为汽油、柴油、塑胶等 各种不同产品， 需要对原油进行冷却和加 热如果第 x(h)时，原油的温度（单位: C ）为:f(x)=x 2-7x+15(0 x8).计算 第 2（h) 和第 6（h）时，原油温度的瞬 时变化率，并说明它们的意义 强调： 第 2 小时的瞬时变化率为3，说明 在第 2 小时附近 ， 原油大约 以3 C/ h 的 速度下降 （3）提出练习：计算 3h 时原油温 度的瞬时变化率，表述你所得结果的意 义 （1） 学生思 考并交流求 函 数 在 x0 处的导数的 步骤 （2） 在教师 讲解完后完 成教师提出 的练习 （3）求出 (3) f 后， 回 答(3) f 的 意义 （1）检查 学 生 是 否 清 楚 求 导 数的步骤 （2）检查 学 生 能 否 准 确 地 求 出 函 数 在 某 点 的 导 数 （3）应使 学 生 能 利 用 计 算 结 果 解 释 导 数（即瞬时 变化率）的 意义
